精品解析：辽宁省沈阳市南昌初级中学2024-2025学年七年级下学期4月考数学试题

数学 一、选择题（本题共10道题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，线段的长表示点A到直线距离的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值分别为( ) A. 9，5 B. 3，5 C. 5，3 D. 6，12 3. 如图，能判定的条件是（ ） A. B. C D. 4. 如果x2﹣(m+1)x+1是完全平方式，则m的值为( ) A. ﹣1 B. 1 C. 1或﹣1 D. 1或﹣3 5. 如图，边长为a大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（ ） A. B. C. D. 6. 将一个直角三角板和一把直尺按如图方式摆放，三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 下列等式中正确个数是（ ） ①；②；③；④ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 8. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B. 13个人中至少有两个人生肖相同 C. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D. 明天一定会下雨 9. 如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（　　） A. 36° B. 34° C. 32° D. 30° 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 过任意一点可作已知直线的一条平行线 B. 同一平面内两条不相交的直线是平行线 C. 在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 D. 平行于同一直线的两直线平行 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则需要满足的条件是______ 12. 计算：_________． 13. 若，则______． 14. 珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE=__________度． 15. 已知，则___. 三、解答题（共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）已知，，求值； （2）已知，，求的值． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 若的积中不含x项与项， （1）求p、q的值； （2）求代数式的值 19. 如图，已知，求证：∥ 20. 阅读材料后解决问题： 小明遇到下面一个问题： 计算 ． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ， 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： （1）_________； （2）_________； （3）化简：． 21. 阅读理解，补全证明过程及推理依据． 已知：如图，点E直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4． 求证∠A＝∠F 证明：∵∠1＝∠2（已知） ∠2＝∠DGF（　 　） ∴∠1＝∠DGF（等量代换） ∴　 　∥　 　（　 　） ∴∠3+∠　 　＝180°（　 　） 又∵∠3＝∠4（已知） ∴∠4+∠C＝180°（等量代换） ∴　 　∥　 　（　 　） ∴∠A＝∠F（　 　） 22. 如果，那么我们规定，例如：因为，所以 （1）根据上述规定，填空： ， ， ； （2）记．求证：． 23. 当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有．设镜子与的夹角． （1）如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． （2）如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索α与β的数量关系，并说明理由． （3）如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，当第n次反射光线与入射光线平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题（本题共10道题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，线段的长表示点A到直线距离的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，熟知相关的定义是解答本题的关键 根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离解答即可． 【详解】解：A、与不垂直，所以线段长不能表示点到直线距离，故此选项不合题意； B、与不垂直，所以线段的长不能表示点到直线距离，故此选项不合题意； C、与不垂直，所以线段的长不能表示点到直线距离，故此选项不合题意； D、于，则线段的长表示点到直线的距离，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 若，则的值分别为( ) A. 9，5 B. 3，5 C. 5，3 D. 6，12 【答案】B 【解析】 【分析】根据积的乘方法则展开得出a3mb3n=a9b15，推出3m=9，3n=15，求出m、n即可． 【详解】解：∵（ambn）3=a9b15， ∴a3mb3n=a9b15， ∴3m=9，3n=15， ∴m=3，n=5， 故选B． 3. 如图，能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．在复杂的图形中具有相等关系的两角，首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线． 【详解】解：A、不能判断出，故A选项不符合题意； B、不能判断出，故B选项不符合题意； C、只能判断出，不能判断出，故C选项不符合题意； D、，根据内错角相等，两直线平行，可以得出，故D选项符合题意． 故选：D． 4. 如果x2﹣(m+1)x+1是完全平方式，则m的值为( ) A. ﹣1 B. 1 C. 1或﹣1 D. 1或﹣3 【答案】D 【解析】 【分析】根据首末两项是x和1的平方，那么中间项为加上或减去x和1的乘积的2倍． 【详解】∵x2-（m+1）x+1是完全平方式， ∴-（m+1）x=±2×1•x， 解得：m=1或m=-3． 故选：D． 【点睛】考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解． 5. 如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积为，新的图形面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【详解】解∶左边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴验证的等式为， 故选∶B． 6. 将一个直角三角板和一把直尺按如图方式摆放，三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．先求得的度数，再根据“两直线平行，同位角相等”即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵直尺两边平行， ∴， 故选：B． 7. 下列等式中正确的个数是（ ） ①；②；③；④ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法法则进行分析即可. 【详解】①；故错误； ②；故错误； ③；故错误； ④，故正确； 故选：B 【点睛】考核知识点：同底数幂乘法.理解法则是关键. 8. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B. 13个人中至少有两个人生肖相同 C. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D. 明天一定会下雨 【答案】B 【解析】 【分析】必然事件就是一定发生的事件，结合不可能事件、随机事件的定义依据必然事件的定义逐项进行判断即可． 【详解】A、“任意买一张电影票，座位号是2的倍数”是随机事件，故此选项不符合题意， B、“13个人中至少有两个人生肖相同”是必然事件，故此选项符合题意， C、“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”是随机事件，故此选项不符合题意， D、“明天一定会下雨”是随机事件，故此选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了随机事件．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 9. 如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（　　） A. 36° B. 34° C. 32° D. 30° 【答案】A 【解析】 【分析】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由EF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEF的度数，结合∠CEF=∠AEF-∠AEC可得出∠CEF的度数，由EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠C的度数． 【详解】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示． ∵EF∥AB， ∴∠AEF＝∠A＝54°， ∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°． 又∵EF∥CD， ∴∠C＝∠CEF＝36°． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 过任意一点可作已知直线的一条平行线 B. 同一平面内两条不相交的直线是平行线 C. 在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 D. 平行于同一直线的两直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的定义及平行公理，熟练掌握公理、定理是解决本题的关键． 根据平行线的定义及平行公理进行判断． 【详解】解：A．若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，故本选项符合题意； B．同一平面内两条不相交的直线是平行线，说法正确，故本选项不符合题意； C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直，说法正确，故本选项不符合题意； D．平行于同一直线的两直线平行，说法正确，故本选项不符合题意． 故选：A． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则需要满足的条件是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，根据底数不等于解答即可，熟记非数的零指数幂为1是解题的关键． 【详解】解：若，则， ∴， 故答案为： 12. 计算：_________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，正确计算是解题的关键． 13 若，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了乘方的性质、0指数的性质，解题关键是根据底数和指数进行分类讨论，注意：0指数底数不为0．分底数为或，指数为几种情况，分类讨论，列方程求解即可． 【详解】解：当，解得：， 此时， 当，解得：， 此时，不符合题意舍去， 当，解得：，此时， 综上所述：的值为：或． 故答案为：或． 14. 珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE=__________度． 【答案】20 【解析】 【分析】由已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，得AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，由平行线的性质可得，∠BCF+∠ABC=180°，所以能求出∠BCF，继而求出∠DCF，又由CF∥DE，所以∠CDE=∠DCF． 【详解】解：过点C作CF∥AB， 已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同， ∴AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴∠BCF+∠ABC=180°， ∴∠BCF=60°， ∴∠DCF=20°， ∴∠CDE=∠DCF=20°． 故答案为：20． 【点睛】此题考查知识点是平行线的性质，关键是过C点先作AB的平行线，由平行线的性质求解． 15. 已知，则___. 【答案】0 【解析】 【分析】本题根据已知等式的特点，用配方法进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即： 整理得， ∴． 故答案为0. 【点睛】本题考查了完全平方公式，根据式子特点，等式两边都减去2（2008-a）（2007-a），转化为完全平方式是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）10；（2）900 【解析】 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法运算法则，先求出，即可求出结果； （2）逆用幂的乘方运算法则，逆用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1），， ， ； （2）． 【点睛】本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】9x-5， 【解析】 【分析】先计算乘法，再计算加减，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： 当时，原式= 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 18. 若的积中不含x项与项， （1）求p、q的值； （2）求代数式的值 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）将原式根据多项式乘以多项式法则展开后合并同类项，由积中不含项与项，可知项与项的系数均等于0，可得关于的方程组，解方程组即可； （2）由（1）中的值得，将原式整理变形，再将的值代入计算即可． 【小问1详解】 解： ∵积中不含项与项 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运算，负整数指数幂、积的乘方，幂的乘方等知识，掌握相关运算法则是解题的关键， 19. 如图，已知，求证：∥ 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据垂直的定义可得，进而得到，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”即可证明即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∵（已知）， ∴，即． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 【点睛】本题主要考查平行线的判定、垂直定义等知识点，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键． 20. 阅读材料后解决问题： 小明遇到下面一个问题： 计算 ． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ， 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： （1）_________； （2）_________； （3）化简：． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查多项式乘法中的规律性问题，平方差公式，同底数幂的乘法： （1）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果； （2）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果； （3）分与两种情况，化简得到结果即可． 【小问1详解】 解：原式 ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：原式 ， 故答案为： ； 【小问3详解】 解：当时， 原式 ； 当时， 原式． 21. 阅读理解，补全证明过程及推理依据． 已知：如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4． 求证∠A＝∠F 证明：∵∠1＝∠2（已知） ∠2＝∠DGF（　 　） ∴∠1＝∠DGF（等量代换） ∴　 　∥　 　（　 　） ∴∠3+∠　 　＝180°（　 　） 又∵∠3＝∠4（已知） ∴∠4+∠C＝180°（等量代换） ∴　 　∥　 　（　 　） ∴∠A＝∠F（　 　） 【答案】对顶角相等；BD；CE；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同旁内角互补；AC，DF；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【解析】 【分析】先证明BD∥CE，得出同旁内角互补∠3+∠C=180°，再由已知得出∠4+∠C=180°，证出 AC∥DF，即可得出结论． 【详解】∵∠1＝∠2（已知） ∠2＝∠DGF（对顶角相等） ∴∠1＝∠DGF（ 等量代换 ） ∴BD∥CE （同位角相等，两直线平行） ∴∠3+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补） 又∵∠3＝∠4（已知） ∴∠4+∠C＝180° ∴AC∥DF（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）. 【点睛】本题考查了平行线判定与性质、对顶角相等的性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键，注意两者的区别． 22. 如果，那么我们规定，例如：因为，所以 （1）根据上述规定，填空： ， ， ； （2）记．求证：． 【答案】（1）3，0， （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据规定求解即可； （2）根据规定，得到，进而得到，即可得证． 【小问1详解】 解∵ ∴，，， 故答案为：3，0，； 【小问2详解】 解：由题意，得：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的乘法．理解并掌握题干中的规定，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 23. 当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有．设镜子与的夹角． （1）如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． （2）如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索α与β的数量关系，并说明理由． （3）如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，当第n次反射光线与入射光线平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示） 【答案】（1）,理由见解析 （2），理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用． （1）在中，，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，进而可得； （2）在中，，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，在中，，可得α与β的数量关系； （3）分两种情况画图讨论：①当时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及内角和，可得．②当时，如果在边反射后与平行，则，与题意不符；则只能在边反射后与平行，根据三角形外角定义，可得，由，且由（1）的结论可得，． 【小问1详解】 ，理由如下： 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ，理由如下： 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， 在中，， ∴ ； 【小问3详解】 或． 理由如下：①当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②当时，如果在边反射后与平行，则， 与题意不符； 则只能在边反射后与平行， 如图所示： 根据三角形外角性质得，， ∵， ∴， 由，且由（1）的结论可得，， 则． 综上所述：γ的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $