【领航密卷】2025年普通高等学校招生全国统一考试数学押题卷(6)

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 押题卷(六) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1. B 2. C 3. D 4. C 5. B 6. C 【解析】设等比数列{an}的公比为q,由a3a5=2a2a4,得a2q·a4q=2a2a4,q≠0,所以q2=2,所 以 S4 S2 = a1+a2+a3+a4 a1+a2 =1+ a3+a4 a1+a2 =1+ a1q2+a2q2 a1+a2 =1+q2=3,故选C. 7.C 【解析】由f(x)是偶函数知,f(x)的图象关于直线x=0对称,由f(1-x)=-f(1+x)知, f(x)的图象关于点(1,0)对称,故D 不正确;f(x)的周期为4×(1-0)=4,故B 不正确;f( 3 2 ) =f( 3 2-4 )=f(- 5 2 )=f( 5 2 ),故A 不正确;在f(1-x)=-f(1+x)中令x=0得f(1)=- f(1),∴f(1)=0,∴f(2 023)=f(4×505+3)=f(3)=f(-1)=f(1)=0,故C 正确.综上,选 C. 8. D 【解析】由导函数图象可知,f'(x)有三个零点,分别设为x1,x2,x3(x1<x2<x3).在(-∞,x1) 和(x2,x3)上,f'(x)<0,f(x)单调递减.在(x1,x2)和(x3,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递 增.x=0位于单调递增区间内,故选D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要 求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9. BCD 10. ABC 【解析】对于A,2a+2b ≥2 2a+b =2 22 =4>22,当且仅当a=b=1时,取等号,A 正确.对 于B,1a+ 1 b= a+b ab ≥ a+b (a+b 2 )2 =2,当且仅当a=b=1时,取等号,B正确.对于C,log2a+log2b =log2(ab)≤log2( a+b 2 )2=0<1,当且仅当a=b=1时,取等号,C 正确.对于D,a2+b2 ≥ (a+b)2 2 =2 ,当且仅当a=b=1时,取等号,D 错误.综上,选ABC. 11. ABC 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. 10 13. 8 3 【解析】如图所示,取等边三角形ABC 的中心为O1,连接AO1,过点O1 作l⊥ 平面ABC.因为 SA ⊥平面ABC,所以l∥SA.取线段SA 的中点为D,过点D 作l的垂线,垂足为O,则四边形 AO1OD 为矩形,所以OD⊥SA.连接OA,OB,OC,OS,则OA=OB=OC=OS,所以点O 为四 面体SABC 的外接球球心,则OA=2. 设SA=2h(h>0),AB=a(a>0),则O1A=a× 3 2× 2 3= 3 3a ,OO1=h,又OA=2,所以O1A2 +OO21=OA2,即 a2 3+h 2=4. 四面体SABC 的体积V= 1 3× 3 4a 2×2h= 3 6a 2h,由a 2 3+h 2=4得a2=12-3h2, 所以V= 3 6h (12-3h2)= 3 2 (-h3+4h),记V(h)= 3 2 (-h3+4h),h>0,则V'(h)= 3 2 (- 3h2+4),令V'(h)=0,得h= 23 3 ,当0<h< 23 3 时,V'(h)>0,当h> 23 3 时,V'(h)<0, 所以函数V(h)在(0,233 )上单调递增,在(23 3 ,+∞)上单调递减,所以当h= 23 3 时,V(h)取 得最大值,即V 取得最大值,且Vmax= 8 3. 14. -22 【解析】a·e=|a|·|e|·cos<a,e>=4×1×(- 2 2 )=-22. 四、解答题:本题共5小题,共25分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13分) 【解】(1)因为k(Sn +2an)=3Sn-1+3k(k>0,n≥2,n∈N), 所以当n≥3时,k(Sn-1+2an-1)=3Sn-2+3k, 两式相减得k(3an -2an-1)=3an-1, 整理得 an an-1 = 2k+3 3k (n≥3). 令n=2,得k(S2+2a2)=3S1+3k,故a2= 2k+3 3k ,a2 a1 = 2k+3 3k , 综上,数列{an}是首项为 1,公比为2k+33k 的等比数列. (2) 由题意得f(k)= 2k+3 3k (k>0), 1 bn =f(bn-1)= 2bn-1+3 3bn-1 = 1 bn-1 + 2 3 (n≥2,n∈N), 又b1=1,故 1 bn = 2n+1 3 . 当n 为偶数时, 1 b1b2 - 1 b2b3 + 1 b3b4 - 1 b4b5 +…+(-1)n+1 1 bnbn+1 = 1 b1b2 - 1 b2b3 + 1 b3b4 - 1 b4b5 +…+ 1 bn-1bn - 1 bnbn+1 = 1 b2 (1 b1 - 1 b3 )+ 1 b4 (1 b3 - 1 b5 )+…+ 1 bn (1 bn-1 - 1 bn+1 ) =- 4 3 (1 b2 + 1 b4 +…+ 1 bn ) =- 4 3× n 2× (2×2+1 3 + 2n+1 3 ) 2 =- 2 9n (n+3). 当n 为奇数时, 1 b1b2 - 1 b2b3 + 1 b3b4 - 1 b4b5 +…+(-1)n+1 1 bnbn+1 = 1 b1b2 - 1 b2b3 + 1 b3b4 - 1 b4b5 +…+ 1 bn-2bn-1 - 1 bn-1bn + 1 bnbn+1 =- 2 9 (n-1)(n+2)+ 2n+1 3 ·2n+3 3 (易错警示:n为奇数时,n-1为偶数,前n-1项的和是 - 2 9 (n-1)(n+2),注意不要错误写成前n 项的和) = 2n2+6n+7 9 . 综上,1 b1b2 - 1 b2b3 + 1 b3b4 - 1 b4b5 +…+(-1)n+1 1 bnbn+1 = - 2 9n (n+3),n 为偶数 2n2+6n+7 9 ,n 为奇数 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 . 16. (15分) 【解】(1)延长AD,BE,CF 相交于一点K,如图1所示. 图1 因为平面BCFE ⊥ 平面ABC,平面BCFE ∩ 平面ABC=BC,且AC ⊥BC, 所以AC ⊥ 平面BCK,又BF ⊂ 平面BCK,因此BF ⊥AC. 又EF ∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2, 所以 △BCK 为等边三角形,且F 为CK 的中点, 则BF ⊥CK,又CK ∩AC=C, 所以BF ⊥ 平面ACFD. 图2 (2)解法一 如图2,过点F 作FQ ⊥AK,垂足为Q,连接BQ. 因为BF ⊥ 平面ACK,所以BF ⊥AK,又BF ∩FQ=F, 所以AK ⊥ 平面BQF,所以BQ ⊥AK. 所以 ∠BQF 是二面角B-AD-F 的平面角. 在Rt△ACK 中,AC=3,CK =2,得FQ= 3 13 13 . 在Rt△BQF 中,FQ= 3 13 13 ,BF= 3,得BQ= FQ2+BF2 = 4 39 13 ,所以cos∠BQF= 3 4. 所以二面角B-AD-F 的平面角的余弦值为 3 4. 解法二 图3 如图3,取BC 的中点O,连接KO,则KO ⊥BC, 又平面BCFE ⊥ 平面ABC,平面BCFE ∩ 平面ABC=BC,KO ⊂ 平面BCFE, 所以KO ⊥ 平面ABC. 以点O为坐标原点,分别以射线OB,OK 的方向为x轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系O- xyz. 由题意得B(1,0,0),C(-1,0,0),K(0,0,3),A(-1,-3,0),E( 1 2 ,0,32 ). 因此,AC → =(0,3,0),AK → =(1,3,3),AB → =(2,3,0). 设平面ACK 的法向量为m=(x1,y1,z1), 平面ABK 的法向量为n=(x2,y2,z2). 由 AC → ·m=0 AK → ·m=0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,得 3y1=0 x1+3y1+ 3z1=0 , 取m=(3,0,-1). 由 AB → ·n=0 AK → ·n=0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,得 2x2+3y2=0 x2+3y2+ 3z2=0 , 取n=(3,-2,3). 于是,cos <m,n>= m·n |m||n|= 33- 3 3+1× 9+4+3 = 3 4. 由图知二面角B-AD-F 的平面角为锐角, 所以二面角B-AD-F 的平面角的余弦值为 3 4. 17. (15分) 【解】(1)由题意可知X 的所有可能取值为2,3,4, P(X =2)= 3 32 = 1 3 ,P(X =3)= A23C12 33 = 4 9 ,P(X =4)= A33 33 = 2 9. X 2 3 4 P 13 4 9 2 9 (2)设甲先一次性购买x 个吉祥物盲盒,集齐三款吉祥物需要的总费用为Z(元). 依题意,x 可取 1,2,3. 方案1:不购买盲盒时,则需要直接购买三款吉祥物,总费用Z1=3×30=90(元). 方案2:购买1个盲盒时,则需要再直接购买另外两款吉祥物, 总费用Z2=19+2×30=79(元). 方案3:购买2个盲盒时, 当2个盲盒打开后款式不同,则需要再直接购买剩下一款吉祥物, 总费用Z3=2×19+30=68(元),P(Z3=68)= A23 32 = 2 3 ;(另解:P(Z3=68)=C13× 1 3× 2 3= 2 3 ) 当2个盲盒打开后款式相同,则需要再直接购买另外两款吉祥物, 总费用Z3=2×19+2×30=98(元),P(Z3=98)=C13× 1 3× 1 3= 1 3. 所以E(Z3)=68× 2 3+98× 1 3=78 (元). 方案4:购买3个盲盒时, 当3个盲盒打开后款式各不相同,则总费用Z4=3×19=57(元), P(Z4=57)=A33( 1 3 )3= 2 9 ; 当3个盲盒打开后恰有两款相同时,则需要再直接购买剩下一款吉祥物, 总费用Z4=3×19+30=87(元),P(Z4=87)=A23× 1 3× 1 3= 2 3 ; 当3个盲盒打开后款式全部相同时,则需要再直接购买另外两款吉祥物, 总费用Z4=3×19+2×30=117(元),P(Z4=117)=C13×( 1 3 )3= 1 9. 所以E(Z4)=57× 2 9+87× 2 3+117× 1 9= 251 3 (元). 显然E(Z3)<Z2<E(Z4)<Z1. 综上,甲应一次性购买2个盲盒. 18. (17分) 【解】(1)由椭圆C 的焦距为2,得c=1, 则b2=a2-1, ① 由椭圆C 经过点P(1,32 ),得1 a2 + 9 4b2 =1, ② 联立 ①②,得a2=4,b2=3, 所以椭圆C 的方程为x 2 4+ y2 3=1. (2) 依题意知,直线l的斜率k≠0,令 1 k=m , 由椭圆右焦点F(1,0),可得直线l的方程为x=my+1, 与C:x 2 4+ y2 3=1 联立,消去x,得(3m2+4)y2+6my-9=0,Δ=36m2-4×(-9)×(3m2+ 4)=144(m2+1)>0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2= -6m 3m2+4 ,y1y2= -9 3m2+4 . 设存在点T,由|AF|·|BT|=|BF|·|AT|,得| AF| |BF|= |AT| |BT| , 因为|AF| |BF|= S△TFA S△TFB = 1 2|FT| ·|AT|sin∠ATF 1 2|FT| ·|BT|sin∠BTF =| AT|sin∠ATF |BT|sin∠BTF ,所以sin∠ATF = sin∠BTF,∠ATF=∠BTF, 所以直线TA 和TB 关于x 轴对称,其倾斜角互补,即有kAT +kBT =0. 设点T 坐标为(t,0),则kAT +kBT = y1 x1-t + y2 x2-t =0, 所以y1(x2-t)+y2(x1-t)=0, 所以y1(my2+1-t)+y2(my1+1-t)=0, 即2my1y2+(1-t)(y1+y2)=0, 即2m× - 9 3m2+4 +(1-t)× - 6m 3m2+4 =0, 即 3m 3m2+4 +(1-t) m 3m2+4 =0, 解得t=4,经检验t=4符合题意,即存在点T(4,0)满足题意. 19. (17分) 【解】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),由f(x)=(2x+1)ln x- x2 2 可得f'(x)=2ln x+ (2x+1)· 1 x -x=2ln x-x+ 1 x +2 , 则f'(1)=2,所以曲线f(x)在x=1处的切线斜率为k=2, 又因为f(1)=- 1 2 , 所以切线方程为y+ 1 2=2 (x-1),即y=2x- 5 2 , 所以a=2,b=- 5 2. (2) 要证明f(x)≤ax+b,只要证(2x+1)ln x- x2 2 -2x+ 5 2≤0 , 设g(x)=(2x+1)ln x- x2 2 -2x+ 5 2 , 则g'(x)=2ln x+ 1 x -x , 令h(x)=2ln x+ 1 x -x , 则h'(x)= 2 x - 1 x2 -1=- (x-1)2 x2 ≤0, 所以h(x)在(0,+∞)上单调递减, 又h(1)=0,所以当x ∈ (0,1)时,h(x)>0,则g(x)在(0,1)上单调递增, 当x ∈ (1,+∞)时,h(x)<0,则g(x)在(1,+∞)上单调递减, 所以g(x)≤g(1)=0,所以f(x)≤ax+b. YT6 数学试卷 第1 页(共4页) 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 押题卷(六) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1. 已知集合A={x|x=3n-2,n∈N*},B={6,7,10,11},则集合A ∩B 的元素个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 2. 已知复数z在复平面内对应的点为(1,1),则z+ 1 z 的虚部为 A.12i B. 3 2 C. 1 2 D. 3 2i 3. 2sin 80°cos 20°- sin 20° 2sin 10°= A.33 B. 2 2 C.1 D. 3 2 4. 已知反比例函数y= k x (k≠0)的图象是双曲线,其两条渐近线分别为x 轴和y轴,两条渐近线的 夹角为π 2 ,将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线y=±x,由此可求得其离心率为 2.已 知函数y= 3 3x+ 1 x 的图象也是双曲线,其两条渐近线为直线y= 3 3x 和y轴,则该双曲线的离 心率是 A.3 B.23 C.233 D. 43 3 YT6 数学试卷 第2 页(共4页) 5. 曲线C:x= -y2-2y 与直线l:x-y-m=0有两个交点,则实数m 的取值范围为 A.- 2-1<m <1+ 2 B.2≤m <1+ 2 C.-1- 2<m ≤-2 D.-2≤m ≤2 6. 记Sn 为等比数列{an}的前n 项和,若a3a5=2a2a4,则 S4 S2 = A.5 B.4 C.3 D.2 7. 已知定义在R 上的偶函数f(x)满足f(1-x)=-f(1+x),则下列说法正确的是 A.f( 3 2 )=-f( 5 2 ) B.函数f(x)的一个周期为2 C.f(2 023)=0 D.函数f(x)的图象关于直线x=1对称 8. 函数y=f(x)的导函数y=f '(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是 A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要 求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9. 设 M,N,P 为函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象上三点,其中A >0,ω >0,|φ|< π 2 ,已知M, N 是函数f(x)的图象与x 轴相邻的两个交点,P 是图象在M,N 之间的最高点,若MP → 2+2MN → ·NP → =0,△MNP 的面积是 3,M 点的坐标是(- 1 2 ,0),则 A.A= 2 B.ω= π 2 YT6 数学试卷 第3 页(共4页) C.φ= π 4 D.函数f(x)在 M,N 间的图象上存在点Q,使得QM → ·QN → <0 10. 已知a>0,b>0,且a+b=2,则 A.2a +2b ≥22 B. 1 a + 1 b ≥2 C.log2a+log2b≤1 D.a 2+b2≤2 11. 下图是离散型随机变量X 的概率分布图,其中 3a=5b,2b=3c,则 A.a=0.5 B.E(X)=2.3 C.D(X)=0.61 D.D(2X)=1.22 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. (x2+ 1 x )5 的展开式中,x4 的系数为 .(用数字作答) 13. 已知点S,A,B,C 均在半径为2的球面上,△ABC 是等边三角形,SA ⊥ 平面ABC,则四面体 SABC 体积的最大值为 . 14. 已知向量a 满足|a|=4,e为单位向量,<e,a>= 3π 4 ,则a·e= . 四、解答题:本题共5小题,共25分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13分) 设数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn 满足:k(Sn+2an)=3Sn-1+3k(k>0,n≥2,n∈N). (1)求证:数列{an}是等比数列; (2)设数列{an}的公比为f(k),数列{bn}满足:b1=1, 1 bn =f(bn-1)(n≥2,n∈N),求 1 b1b2 - 1 b2b3 + 1 b3b4 - 1 b4b5 +…+(-1)n+1 1 bnbn+1 . 16. (15分) 如图,在三棱台ABC-DEF 中,平面BCFE⊥ 平面ABC,∠ACB=90°,BC=2,AC=3,BE= EF=FC=1. YT6 数学试卷 第4 页(共4页) (1)求证:BF ⊥ 平面ACFD; (2)求二面角B-AD-F 的平面角的余弦值. 17. (15分) 杭州第19届亚运会的三个吉祥物是“琮琮”“宸宸”和“莲莲”,他们分别代表了世界遗产良渚古城 遗址、京杭大运河和西湖,“琮琮”实证中华五千多年文明史,“宸宸”和“莲莲”分别展现了海纳百 川的时代精神和精致和谐、大气开放的人文精神.甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物.方式 一:以盲盒方式购买,每个盲盒19元,盲盒外观完全相同,内部随机放有“琮琮”“宸宸”和“莲莲” 三款中的一个,只有打开才会知道买到吉祥物的款式,买到每款吉祥物是等可能的.方式二:直 接购买吉祥物,每个30元. (1)甲若以方式一购买吉祥物,每次购买一个盲盒并打开,当甲买到的吉祥物首次出现相同款式 时,用X 表示甲购买的次数,求X 的分布列; (2)为了集齐三款吉祥物,甲计划先一次性购买盲盒,且数量不超过3个,若未集齐再直接购买吉 祥物,以所需费用的期望值为决策依据,甲应一次性购买多少个盲盒? 18. (17分) 已知椭圆C:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的焦距为2,且经过点P(1, 3 2 ). (1)求椭圆C 的方程. (2)经过椭圆右焦点F 且斜率为k(k≠0)的动直线l与椭圆交于A,B 两点,试问x 轴上是否存 在异于点F 的定点T,使|AF|·|BT|=|BF|·|AT|恒成立? 若存在,求出点T 坐标,若不 存在,请说明理由. 19. (17分) 已知f(x)=(2x+1)ln x- x2 2 ,曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=ax+b. (1)求a,b; (2)证明:f(x)≤ax+b.