第七章 专题强化 卫星的变轨和双星问题-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一物理必修第二册教师用书（人教版2019）

DIQIZHANG 第七章 专题强化　卫星的变轨和 　　　　　双星问题 1 1.理解卫星变轨和对接原理，会分析卫星变轨前后物理量的变化(重难点)。 2.掌握双星运动的特点，会分析双星的相关问题(重点)。 学习目标 2 一、卫星的变轨问题 二、卫星的对接问题 专题强化练 三、双星及多星问题 内容索引 3 卫星的变轨问题 一 4 1.变轨过程 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫 星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火　　(选填“加”或“减”)速， 由于速度变　　，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ 上做圆周运动所需的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火　　(选填“加”或“减”)速进入圆轨道Ⅲ。 加 大 加 2.变轨过程各物理量分析 (1)两个不同轨道的“切点”处线速度 图中vⅢ　　vⅡB，vⅡA　　vⅠ(选填“>”“<”或“=”)。 (2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度 从远地点到近地点线速度逐渐　　　。 (3)两个不同轨道上的线速度 轨道半径越大，v越　　，图中vⅠ　　vⅢ(选填“>”“<”或“=”)。 > > 增大 小 > (4)不同轨道上运行周期T 根据开普勒第三定律=k知，内侧轨道的周期　　　外 侧轨道的周期，图中三个轨道周期关系：　　　　　　。 (5)两个不同轨道的“切点”处加速度 根据=ma得，同一点的加速度相同，图中aⅢ　　aⅡB，aⅡA　　aⅠ (选填“>”“<”或“=”)。 小于 TⅠ<TⅡ<TⅢ = = 　(2023·扬州市高一期中)2021年5月15日，我国发射的“天问一号”火星探测器成功着陆于火星。如图所示，“天问一号”被火星捕获之后，需要在近火星点P变速，进入环绕火星的椭圆轨道。下列说法中正确的是 A.“天问一号”发射时的速度必须大于第一宇宙 　速度小于第二宇宙速度 B.“天问一号”由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，需要在P点 　减速 C.“天问一号”在轨道Ⅰ上的运行周期小于在轨道Ⅱ上的运行周期 D.“天问一号”在轨道Ⅰ上经过P点时的加速度大于在轨道Ⅱ上经过P点 　时的加速度 例1 √ “天问一号”需要摆脱地球引力束缚飞向火星， 故发射时的速度必须大于第二宇宙速度小于第 三宇宙速度，A错误； 由题图可知，“天问一号”由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ的过程，需要在P点减速，B正确； 根据开普勒第三定律=k，由于轨道Ⅰ的轨道半长轴大于轨道Ⅱ的轨 道半长轴，故“天问一号”在轨道Ⅰ上的运行周期大于在轨道Ⅱ上的运行周期，C错误； 由G=ma，解得a=，可知“天问一号”在 轨道Ⅰ上经过P点时的加速度等于在轨道Ⅱ上 经过P点时的加速度，故D错误。 　如图为飞船运动过程的示意图。飞船先进入圆轨道1做匀速圆周运动，再经椭圆轨道2，最终进入圆轨道3完成对接任务。椭圆轨道2分别与轨道1、轨道3相切于A点、B点。则飞船 A.在轨道1的运行周期大于在轨道3的运行周期 B.在轨道2运动过程中，经过A点时的速率比B点大 C.在轨道2运动过程中，经过A点时的加速度比B点小 D.从轨道2进入轨道3时需要在B点处减速 例2 √ 根据G=mr得T=，轨道1的运动半径小于 轨道3的运动半径，则在轨道1的运行周期小于在轨 道3的运行周期，A错误； 在轨道2运动过程中，A点为近地点，速度最大；B点 为远地点，速度最小，B正确； 根据G=ma得a=G，可知经过A点时的加速度比B点大，C错误； 从轨道2进入轨道3时需要在B点加速，D错误。 返回 总结提升 判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路 1.判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断。 2.判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。 3.判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。 4.判断卫星的加速度大小时，可根据a==G判断。 卫星的对接问题 二 14 1.如图所示，若两个航天器在同一轨道上运动，后面的航天 器加速会追上前面的航天器吗？ 答案　不会，后面的航天器加速会做离心运动进入高轨道， 不会追上前面的航天器。 2.怎样才能使后面的航天器追上前面的航天器？ 答案　如图所示，后面的航天器先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使后面的航天器追上前面的航天器时恰好具有相同的速度。 返回 双星及多星问题 三 16 1.双星模型 (1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。 (2)特点 ①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同。 ②两星的向心力大小　　　，由它们间的万有引力提供。 ③两星的轨道半径之和等于两星中心之间的距离，即r1+r2=L。 (3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即=m1ω2r1，G=m2ω2r2。 相等 如图所示的双星系统中的两星，半径与质量有什么关系？ 思考与讨论 答案　m1∶m2=r2∶r1 2.多星系统 (1)多颗星体共同绕空间某点做匀速圆周运动。如： 三星模型 四星模型         (2)每颗星体做匀速圆周运动的周期和角速度都相同，以保持其相对位置不变。 (3)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它引力的合力提供的。 　两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示。已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，引力常量为G，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T。 例3 答案　见解析 双星间的万有引力提供了各自做匀速圆周运动的向心力， 对质量为m1的星体：=m1r1ω2 对质量为m2的星体：=m2r2ω2，且r1+r2=L 解得r1=，r2= 由G=m1r1及r1=得 周期T=2πL。 　宇宙间存在一些离其他恒星较远的“三星系统”，如图所示，三颗质量均为M的恒星位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗恒星的距离均为L，三颗星绕中心点O做匀速圆周运动。忽略其他星体对它们的引力作用，引力常量为G，三颗恒星均可视为质点。求： (1)每颗恒星所受的万有引力的大小； 例4 答案　G 任意两颗恒星之间的万有引力大小F0=G，则任意一颗恒星所受合力大小F=2F0cos 30°，解得F=G。 (2)每颗恒星运行的角速度大小。 答案　 每颗恒星运行的轨道半径R=Lcos 30°，根据万有引力提供向心力有F=Mω2R，解得ω=。 返回 专题强化练 四 训练1　卫星的变轨问题 训练2　双星及多星问题 26 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B C B D C C C 题号 8 9 答案 (1)加速　(2)　(3) -R D 对一对 答案 训练1　卫星的变轨问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 27 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D ACD D C AD C B 题号 8 9 答案 (1)2πL　(2)1.012 A 答案 训练2　双星及多星问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 28 1.(2023·泰州市高一月考)如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则 A.v1>v2，v1= 　　B.v1>v2，v1> C.v1<v2，v1= 　　D.v1<v2，v1> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 基础强化练 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 根据开普勒第二定律有v1>v2，若卫星绕地心 做轨道半径为r的匀速圆周运动时，线速度大 小为v=，将卫星从半径为r的圆轨道变 轨到题图所示的椭圆轨道，必须在近地点加速，所以有v1>，故 选B。 答案 2.我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室自动交会对接成功。假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是 A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实 　现对接 B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实 　现对接 C.飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空 　间实验室，两者速度接近时实现对接 D.飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空 　间实验室，两者速度接近时实现对接 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误； 空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，也不能实现对接，选项B错误； 当飞船在比空间实验室轨道半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可在两者速度接近时实现对接，选项C正确； 当飞船在比空间实验室轨道半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误。 答案 3.(2023·常州市高一期末)探月工程中，“嫦娥三号”探测器的发射过程可以简化如下：卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经过P点时变轨进入距离月球表面100公里的圆形轨道1，在轨道1上经过Q点时变轨进入椭圆轨道2，轨道2与月球表面相切于M点，月球车将在M点着陆月球。下列说法正确的是 A.“嫦娥三号”在轨道1上的速度比月球的第一宇宙速度大 B.“嫦娥三号”在地月转移轨道上经过P点的速度比在轨道1 　上经过P点时大 C.“嫦娥三号”在轨道1上的运动周期比在轨道2上的小 D.“嫦娥三号”在轨道1上经过Q点时的加速度小于在轨道2 　上经过Q点时的加速度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 月球的第一宇宙速度等于近月轨道的环绕速度，根据 G=m，解得v=，由于轨道1的半径大于近月 卫星轨道的半径，则“嫦娥三号”在轨道1上的速度 比月球的第一宇宙速度小，故A错误； 从地月转移轨道变轨到轨道1是由高轨道变轨到低轨道，需要在两轨道切点P位置减速，即“嫦娥三号”在地月转移轨道上经过P点的速度比在轨道1上经过P点时大，故B正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 根据开普勒第三定律可知=，由于轨道1的半径 大于轨道2的半长轴，则“嫦娥三号”在轨道1上的 运动周期比在轨道2上的大，故C错误； 根据G=ma，解得a=G，可知“嫦娥三号”在轨 道1上经过Q点时的加速度等于在轨道2上经过Q点时的加速度，故D错误。 答案 4.(2021·天津卷)2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器 A.在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态 B.在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短 C.从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速 D.沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速运动，受力不平衡， 故A错误； 根据开普勒第三定律可知，轨道Ⅰ的半长轴大于轨道Ⅱ 的半长轴，故在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，故B错误； 天问一号探测器从轨道Ⅰ进入Ⅱ，做近心运动，需要的向心力小于提供的向心力，故要在P点点火减速，故C错误； 在轨道Ⅰ向P飞近时，由开普勒第二定律可知速度增大，故D正确。 答案 5.2022年1月22日，位于同步轨道的中国“实践21号”卫星将一颗也位于同步轨道的失效的“北斗2号”卫星拖拽至距地面更远的“墓地轨道”(可视为圆轨道)，此后“实践21号”又回归同步轨道(如图所示)，这标志着中国能够真正意义上实现“太空垃圾清理”。对此，下列说法正确的是 A.“北斗2号”在“墓地轨道”的运行周期小于24小时 B.“北斗2号”在“墓地轨道”的速度大于它在同步轨道 　的速度 C.“实践21号”拖拽“北斗2号”离开同步轨道时需要点火加速 D.“实践21号”完成拖拽任务后离开“墓地轨道”时需要点火加速 1 2 3 4 5 6 7 8 9 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由G=m，得T=，即轨道半径越大，周 期越大，因为同步轨道卫星的周期为24小时，所以 “北斗2号”在“墓地轨道”的运行周期大于24小时， 故A错误； 由G=m得v=，即轨道半径越大，线速度越小，所以“北斗2 号”在“墓地轨道”的速度小于它在同步轨道的速度，故B错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因为从低轨道到高轨道，需要点火加速，使其万有引力不足以提供需要的向心力，从而发生离心运动到更高的轨道，同理，从高轨道到低轨道需要点火减速，故C正确，D错误。 答案 6.(2023·盐城市高一期中)“神舟十二号”载人飞船与天和核心舱的对接过程示意图如图所示，天和核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ；“神舟十二号”载人飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与天和核心舱对接。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 能力综合练 答案 则“神舟十二号”飞船 A.在轨道Ⅰ的A点加速可进入轨道Ⅱ，因此在轨道Ⅱ 　的运行速度始终大于在轨道Ⅰ的运行速度 B.沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中，速度不断增大 C.沿轨道Ⅱ运行的周期为T2=T1 D.沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 “神舟十二号”载人飞船在轨道Ⅲ上经过B点的速度 大于在轨道Ⅱ上经过B点的速度，而在轨道Ⅰ上的速 度大于在轨道Ⅲ上的速度，所以飞船在轨道Ⅰ上的速 度大于在轨道Ⅱ上经过B点的速度，故A错误； 飞船沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中，根据开普勒 第二定律，速度不断减小，故B错误； 根据开普勒第三定律，有=，解得T2=T1，故C正确； 由=k知飞船沿轨道Ⅰ运行的周期小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周 期，故D错误。 答案 7.(2022·浙江1月选考)“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号 A.发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间 B.从P点转移到Q点的时间小于6个月 C.在环绕火星的停泊轨道运行的周期比 　在调相轨道上小 D.在地火转移轨道运动到Q点时的速度大于地球绕太阳的速度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因“天问一号”要能脱离地球引力束 缚，则发射速度要大于第二宇宙速度， 即发射速度介于11.2 km/s与16.7 km/s 之间，故A错误； 因从P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期(12个月)，则从P点转移到Q点的时间大于地球公转周期的一半，故应大于6个月，故B错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小 于调相轨道的半长轴，则由开普勒第 三定律可知在环绕火星的停泊轨道运 行的周期比在调相轨道上小，故C正确； 假设“天问一号”在Q点变轨进入火星轨道，则需要加速，又知v火<v地，故“天问一号”在Q点的速度小于地球绕太阳的速度，故D错误。 答案 8.中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，A点距地面的高度为h1，飞船飞行5圈后进行变轨，进入预定圆轨道，如图所示。设飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，忽略地球的自转，求： (1)飞船在B点经椭圆轨道进入预定圆轨道时是加速还是减速； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案　加速 飞船要进入预定圆轨道，需在B点加速。 答案 (2)飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案　 在地球表面有mg= ① 在A点时，根据牛顿第二定律有： G=maA ② 由①②式联立解得飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小为 aA= 答案 (3)椭圆轨道远地点B距地面的高度h2。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案　-R 飞船在预定圆轨道上飞行时，由万有引力提供向心力，有G= m(R+h2) ③ 由题意可知，飞船在预定圆轨道上运行的周期为T= ④ 由①③④式联立解得h2= -R。 答案 9.(2024·咸阳市高一期中)如图所示，一颗质量为m的卫星要发射到中地圆轨道上，通过M、N两位置的变轨，经椭圆转移轨道进入中地圆轨道运行。已知近地圆轨道的半径可认为等于地球半径，中地圆轨道与近地圆轨道共面且轨道半径为地球半径的3倍，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 尖子生选练 答案 下列说法中正确的是 A.卫星进入中地圆轨道时需要在N点减速 B.在转移轨道上的M点和N点速度关系为 　vM<vN C.该卫星在中地圆轨道上运行的速度为 D.该卫星在转移轨道上从M点运行至N点(M、N与地心在同一直线上)所 　需的时间为2π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 尖子生选练 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 卫星进入中地圆轨道时需要在N点加速， 故A错误； 由开普勒第二定律，M点到地球的距离小于N点到地球的距离，因此近地点M点的速度大于远地点N点的速度，即vM>vN，故B错误； 卫星在中地圆轨道上运行时，由万有引力提供向心力得= =mg，解得v=，故C错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 卫星在中地圆轨道上的周期为T中== 6π，由开普勒第三定律得=， 联立解得T转=4π，在转移轨道上从M点运行至N点(M、N与地心在同一直线上)所需的时间tMN==2π，故D正确。 答案 1.在太空中，两颗靠得很近的星球可以组成双星系统，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。则下列说法错误的是 A.两颗星有相同的角速度 B.两颗星的运动半径与质量成反比 C.两颗星的向心加速度大小与质量成反比 D.两颗星的线速度大小与质量成正比 1 2 3 4 5 6 7 8 9 基础强化练 √ 答案 双星由彼此间的万有引力提供做圆周运动的向心力，令双星的质量分别为m和M，圆周运动的半径分别为r和R，两星间的距离为R+r。 双星绕连线上某点做圆周运动，故双星的周期和角速度相同，故A正确； 运动半径满足mrω2=MRω2，可见两颗星的运动半径与质量成反比，故B正确； 两颗星的向心力大小相等，则满足mam=MaM，两颗星的向心加速度大小与质量成反比，故C正确； 线速度v=rω，两星的角速度相等，而半径与质量成反比，故线速度大小与质量成反比，故D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 2.(多选)(2024·海口市高一期中)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统，设某双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示，若AO<OB，则下列说法正确的是 A.星球A的质量大于B的质量 B.星球A的向心力大于B的向心力 C.星球A的线速度小于B的线速度 D.双星的总质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 对于星球A，G=mAω2rOA，解得mB=，对于 星球B，同理可得mA=，由于rOB>rOA，故星球A的 质量大于星球B的质量，A正确； 两星球的向心力都是由星球间的万有引力提供，大小都为F=G， B错误； 根据角速度和线速度的关系可知vA=ωrOA，vB=ωrOB，由于rOB>rOA，则星球A的线速度小于B的线速度，C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 根据题意可知G=mArOA，G=mB()2rOB， 解得T=2π，故双星的总质量一定，双星之间 的距离越大，其转动周期越大，D正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 3.(2023·扬州市高一期中)LAMOST黑洞猎手计划研究团队发现了一颗质量大约为1.2倍太阳质量的中子星，与一颗大约0.6倍太阳质量的红矮星组成了双星系统，绕它们连线上某点旋转，如图所示。则下列说法正确的是 A.中子星与红矮星的向心力之比大约为2∶1 B.中子星与红矮星的角速度之比大约为1∶2 C.中子星与红矮星的转动半径之比大约为2∶1 D.中子星与红矮星的线速度之比大约为1∶2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 设两星绕它们连线上的O点旋转，双星系统中，星体 之间的万有引力提供向心力，可知中子星绕O点运动 的向心力大小等于红矮星的向心力大小，A错误； 双星系统中两天体的角速度相等，即中子星绕O点运动的角速度等于红矮星的角速度，B错误； 设中子星质量为M，红矮星质量为m，相距L，根据万有引力提供向 心力有=Mr1ω2，=mr2ω2，联立可得==，即中子星与红矮 星的转动半径之比大约为1∶2，C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 双星系统角速度相等，根据v=ωr可知，中子星与红 矮星的线速度之比大约为1∶2，D正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 4.(2024·内江市高一期中)中国天眼FAST已发现约500颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团M92第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图，距离为L的A、B双星绕它们连线上的某点O在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，运动周期为T，引力常量为G，则双星的总质量为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 双星A、B之间的万有引力提供向心力，有G=mAω2RA，G= mBω2RB，其中ω=，L=RA+RB，联立解得mA+mB=，故选C。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 5.(多选)(2023·湛江市月考)如图所示，宇宙中一对年轻的双星，在距离地球16万光年的蜘蛛星云之中。该双星系统由两颗炽热又明亮的大质量恒星构成，二者围绕连线上中间某个点旋转。通过观测发现，两颗恒星正在缓慢靠近。不计其他天体的影响，且两颗恒星的质量不变。则以下说法中正确的是 A.双星之间引力变大 B.每颗星的加速度均变小 C.双星系统周期逐渐变大 D.双星系统转动的角速度变大 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 根据万有引力定律F=G知，两颗恒星正在缓慢靠近， r减小，而两颗恒星的质量不变，则双星之间引力变大， A正确； 对质量为m1的恒星，a1=G，对质量为m2的恒星，a2=G，两颗恒 星正在缓慢靠近，则每颗星的加速度均变大，B错误； 由双星系统的两颗星的周期相等，万有引力提供向心力，可以得到 ==，R1+R2=r，整理得T=2π， 知双星系统周期T变小，C错误； 由ω=知双星系统转动的角速度变大，D正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 6.(2023·连云港市高一期中)宇宙中互相绕转的两个恒星，天文学上称之为“双星”。如图所示，某双星系统中质量较大的A星球正在“吸食”质量较小的B星球的表面物质，从而达到质量转移。假设“吸食”过程A、B两星球球心间距离不变，运动的轨道均为圆周，则在“吸食”的最初阶段，下列说法正确的是 A.A、B运动的周期变大 B.A、B之间的万有引力保持不变 C.A星球做圆周运动的轨道半径变小 D.B星球做圆周运动的线速度变小 √ 能力综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 根据题意，设A的质量为M，B的质量为m，则A、B之间的万 有引力为F=，由于M增大，m减小，则M与m的乘积改变， 则A、B之间的万有引力改变，故B错误； 若双星稳定运行，则双星的角速度相等，双星间万有引力提供向心力，则 有=Mω2rA，=mω2rB，又有r=rA+rB，解得ω=，由于质量在 两星球间转移，故总质量不变，则角速度大小不变，由T=可知，周期不 变，由上述分析可得Mω2rA=mω2rB，解得=，由于M增大，m减小，则rA 减小，rB增大，由于角速度不变，则B星球做圆周运动的线速度变大，故A、D错误，C正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 7.双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做匀速圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时两星做匀速圆周运动的周期为 A.T B.T C.T D.T √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 设两恒星原来的质量分别为m1、m2，距离为L， 双星靠彼此的万有引力提供向心力，则有 G=m1r1 G=m2r2 并且r1+r2=L 解得T=2π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 当两星总质量变为原来的k倍，两星之间距离变为原来的n倍时 T'=2π=T 故选B。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 8.如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知星球A、B的中心和O三点始终共线，星球A和B分别在O的两侧，引力常量为G。 (1)求两星球做圆周运动的周期； 答案　2πL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，其角速度相同，周期也相同，其所需向心力由两者间的万有引力提供，设A、B的轨道半径分别为r1、r2， 对B有：G=Mr2 对A有：G=mr1 又r1+r2=L 联立解得T=2πL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 (2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做匀速圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg。求T2与T1两者平方之比(计算结果保留四位有效数字)。 答案　1.012 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，根据题意可知m地=5.98×1024 kg，m月=7.35×1022 kg，地月距离设为L'，由(1) 可知地球和月球绕其轨道中心的运行周期为T1=2π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二 定律得=m月L' 解得T2=2π 则= 故=≈1.012。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 9.(2024·河南省高一期中)宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星体组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星体位于同一直线上，两颗星体围绕中央星在同一半径为R的轨道上运行，如图甲所示，周期为T1；另一种是三颗星体位于边长为R 的等边三角形的三个顶点上，并沿等边 三角形的外接圆运行，如图乙所示，周 期为T2。 尖子生选练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 若每颗星的质量都相同，则的值为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 第一种形式下，左边星体受到中间 星体和右边星体两个万有引力作用， 它们的合力充当向心力，则G+ G=mR，解得= 第二种形式下，三颗星体之间的距离均为R，由几何关系知，三颗星体做圆周运动的半径为R'=R，任一星体所受的合力充当向心力， 即有F合=2Gcos 30°=mR，解得==， 故选A。 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 BENKEJIESHU 本课结束 $$ 专题强化　卫星的变轨和双星问题 [学习目标]　1.理解卫星变轨和对接原理，会分析卫星变轨前后物理量的变化(重难点)。2.掌握双星运动的特点，会分析双星的相关问题(重点)。 一、卫星的变轨问题 1.变轨过程 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加(选填“加”或“减”)速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动所需的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加(选填“加”或“减”)速进入圆轨道Ⅲ。 2.变轨过程各物理量分析 (1)两个不同轨道的“切点”处线速度 图中vⅢ>vⅡB，vⅡA>vⅠ(选填“>”“<”或“=”)。 (2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度 从远地点到近地点线速度逐渐增大。 (3)两个不同轨道上的线速度 轨道半径越大，v越小，图中vⅠ>vⅢ(选填“>”“<”或“=”)。 (4)不同轨道上运行周期T 根据开普勒第三定律=k知，内侧轨道的周期小于外侧轨道的周期，图中三个轨道周期关系：TⅠ<TⅡ<TⅢ。 (5)两个不同轨道的“切点”处加速度 根据=ma得，同一点的加速度相同，图中aⅢ=aⅡB，aⅡA=aⅠ(选填“>”“<”或“=”)。 例1　(2023·扬州市高一期中)2021年5月15日，我国发射的“天问一号”火星探测器成功着陆于火星。如图所示，“天问一号”被火星捕获之后，需要在近火星点P变速，进入环绕火星的椭圆轨道。下列说法中正确的是(　　) A.“天问一号”发射时的速度必须大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度 B.“天问一号”由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，需要在P点减速 C.“天问一号”在轨道Ⅰ上的运行周期小于在轨道Ⅱ上的运行周期 D.“天问一号”在轨道Ⅰ上经过P点时的加速度大于在轨道Ⅱ上经过P点时的加速度 答案　B 解析　“天问一号”需要摆脱地球引力束缚飞向火星，故发射时的速度必须大于第二宇宙速度小于第三宇宙速度，A错误；由题图可知，“天问一号”由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ的过程，需要在P点减速，B正确；根据开普勒第三定律=k，由于轨道Ⅰ的轨道半长轴大于轨道Ⅱ的轨道半长轴，故“天问一号”在轨道Ⅰ上的运行周期大于在轨道Ⅱ上的运行周期，C错误；由G=ma，解得a=，可知“天问一号”在轨道Ⅰ上经过P点时的加速度等于在轨道Ⅱ上经过P点时的加速度，故D错误。 例2　如图为飞船运动过程的示意图。飞船先进入圆轨道1做匀速圆周运动，再经椭圆轨道2，最终进入圆轨道3完成对接任务。椭圆轨道2分别与轨道1、轨道3相切于A点、B点。则飞船(　　) A.在轨道1的运行周期大于在轨道3的运行周期 B.在轨道2运动过程中，经过A点时的速率比B点大 C.在轨道2运动过程中，经过A点时的加速度比B点小 D.从轨道2进入轨道3时需要在B点处减速 答案　B 解析　根据G=mr得T=，轨道1的运动半径小于轨道3的运动半径，则在轨道1的运行周期小于在轨道3的运行周期，A错误；在轨道2运动过程中，A点为近地点，速度最大；B点为远地点，速度最小，B正确；根据G=ma得a=G，可知经过A点时的加速度比B点大，C错误；从轨道2进入轨道3时需要在B点加速，D错误。 判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路 1.判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断。 2.判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。 3.判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。 4.判断卫星的加速度大小时，可根据a==G判断。 二、卫星的对接问题 1.如图所示，若两个航天器在同一轨道上运动，后面的航天器加速会追上前面的航天器吗？ 答案　不会，后面的航天器加速会做离心运动进入高轨道，不会追上前面的航天器。 2.怎样才能使后面的航天器追上前面的航天器？ 答案　如图所示，后面的航天器先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使后面的航天器追上前面的航天器时恰好具有相同的速度。 三、双星及多星问题 1.双星模型 (1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。 (2)特点 ①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同。 ②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。 ③两星的轨道半径之和等于两星中心之间的距离，即r1+r2=L。 (3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即=m1ω2r1，G=m2ω2r2。 如图所示的双星系统中的两星，半径与质量有什么关系？ 答案　m1∶m2=r2∶r1 2.多星系统 (1)多颗星体共同绕空间某点做匀速圆周运动。如： 三星模型 四星模型 (2)每颗星体做匀速圆周运动的周期和角速度都相同，以保持其相对位置不变。 (3)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它引力的合力提供的。 例3　两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示。已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，引力常量为G，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T。 答案　见解析 解析　双星间的万有引力提供了各自做匀速圆周运动的向心力， 对质量为m1的星体：=m1r1ω2 对质量为m2的星体：=m2r2ω2，且r1+r2=L 解得r1=，r2= 由G=m1r1及r1=得 周期T=2πL。 例4　宇宙间存在一些离其他恒星较远的“三星系统”，如图所示，三颗质量均为M的恒星位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗恒星的距离均为L，三颗星绕中心点O做匀速圆周运动。忽略其他星体对它们的引力作用，引力常量为G，三颗恒星均可视为质点。求： (1)每颗恒星所受的万有引力的大小； (2)每颗恒星运行的角速度大小。 答案　(1)G　(2) 解析　(1)任意两颗恒星之间的万有引力大小F0=G，则任意一颗恒星所受合力大小F=2F0cos 30°，解得F=G。 (2)每颗恒星运行的轨道半径R=Lcos 30°，根据万有引力提供向心力有F=Mω2R，解得ω=。 专题强化练 训练1　卫星的变轨问题　[分值：60分] 1~5题每题5分，共25分 1.(2023·泰州市高一月考)如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则(　　) A.v1>v2，v1= B.v1>v2，v1> C.v1<v2，v1= D.v1<v2，v1> 答案　B 解析　根据开普勒第二定律有v1>v2，若卫星绕地心做轨道半径为r的匀速圆周运动时，线速度大小为v=，将卫星从半径为r的圆轨道变轨到题图所示的椭圆轨道，必须在近地点加速，所以有v1>，故选B。 2.我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室自动交会对接成功。假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是(　　) A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接 B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接 C.飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 D.飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 答案　C 解析　飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，也不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室轨道半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可在两者速度接近时实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室轨道半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误。 3.(2023·常州市高一期末)探月工程中，“嫦娥三号”探测器的发射过程可以简化如下：卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经过P点时变轨进入距离月球表面100公里的圆形轨道1，在轨道1上经过Q点时变轨进入椭圆轨道2，轨道2与月球表面相切于M点，月球车将在M点着陆月球。下列说法正确的是(　　) A.“嫦娥三号”在轨道1上的速度比月球的第一宇宙速度大 B.“嫦娥三号”在地月转移轨道上经过P点的速度比在轨道1上经过P点时大 C.“嫦娥三号”在轨道1上的运动周期比在轨道2上的小 D.“嫦娥三号”在轨道1上经过Q点时的加速度小于在轨道2上经过Q点时的加速度 答案　B 解析　月球的第一宇宙速度等于近月轨道的环绕速度，根据G=m，解得v=，由于轨道1的半径大于近月卫星轨道的半径，则“嫦娥三号”在轨道1上的速度比月球的第一宇宙速度小，故A错误；从地月转移轨道变轨到轨道1是由高轨道变轨到低轨道，需要在两轨道切点P位置减速，即“嫦娥三号”在地月转移轨道上经过P点的速度比在轨道1上经过P点时大，故B正确；根据开普勒第三定律可知=，由于轨道1的半径大于轨道2的半长轴，则“嫦娥三号”在轨道1上的运动周期比在轨道2上的大，故C错误；根据G=ma，解得a=G，可知“嫦娥三号”在轨道1上经过Q点时的加速度等于在轨道2上经过Q点时的加速度，故D错误。 4.(2021·天津卷)2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器(　　) A.在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态 B.在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短 C.从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速 D.沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大 答案　D 解析　天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速运动，受力不平衡，故A错误；根据开普勒第三定律可知，轨道Ⅰ的半长轴大于轨道Ⅱ的半长轴，故在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，故B错误；天问一号探测器从轨道Ⅰ进入Ⅱ，做近心运动，需要的向心力小于提供的向心力，故要在P点点火减速，故C错误；在轨道Ⅰ向P飞近时，由开普勒第二定律可知速度增大，故D正确。 5.2022年1月22日，位于同步轨道的中国“实践21号”卫星将一颗也位于同步轨道的失效的“北斗2号”卫星拖拽至距地面更远的“墓地轨道”(可视为圆轨道)，此后“实践21号”又回归同步轨道(如图所示)，这标志着中国能够真正意义上实现“太空垃圾清理”。对此，下列说法正确的是(　　) A.“北斗2号”在“墓地轨道”的运行周期小于24小时 B.“北斗2号”在“墓地轨道”的速度大于它在同步轨道的速度 C.“实践21号”拖拽“北斗2号”离开同步轨道时需要点火加速 D.“实践21号”完成拖拽任务后离开“墓地轨道”时需要点火加速 答案　C 解析　由G=m，得T=，即轨道半径越大，周期越大，因为同步轨道卫星的周期为24小时，所以“北斗2号”在“墓地轨道”的运行周期大于24小时，故A错误；由G=m得v=，即轨道半径越大，线速度越小，所以“北斗2号”在“墓地轨道”的速度小于它在同步轨道的速度，故B错误；因为从低轨道到高轨道，需要点火加速，使其万有引力不足以提供需要的向心力，从而发生离心运动到更高的轨道，同理，从高轨道到低轨道需要点火减速，故C正确，D错误。 6、7题每题7分，8题12分，共26分 6.(2023·盐城市高一期中)“神舟十二号”载人飞船与天和核心舱的对接过程示意图如图所示，天和核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ；“神舟十二号”载人飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与天和核心舱对接。则“神舟十二号”飞船(　　) A.在轨道Ⅰ的A点加速可进入轨道Ⅱ，因此在轨道Ⅱ的运行速度始终大于在轨道Ⅰ的运行速度 B.沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中，速度不断增大 C.沿轨道Ⅱ运行的周期为T2=T1 D.沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期 答案　C 解析　“神舟十二号”载人飞船在轨道Ⅲ上经过B点的速度大于在轨道Ⅱ上经过B点的速度，而在轨道Ⅰ上的速度大于在轨道Ⅲ上的速度，所以飞船在轨道Ⅰ上的速度大于在轨道Ⅱ上经过B点的速度，故A错误；飞船沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中，根据开普勒第二定律，速度不断减小，故B错误；根据开普勒第三定律，有=，解得T2=T1，故C正确；由=k知飞船沿轨道Ⅰ运行的周期小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期，故D错误。 7.(2022·浙江1月选考)“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号(　　) A.发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间 B.从P点转移到Q点的时间小于6个月 C.在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D.在地火转移轨道运动到Q点时的速度大于地球绕太阳的速度 答案　C 解析　因“天问一号”要能脱离地球引力束缚，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于11.2 km/s与16.7 km/s之间，故A错误； 因从P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期(12个月)，则从P点转移到Q点的时间大于地球公转周期的一半，故应大于6个月，故B错误； 因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确； 假设“天问一号”在Q点变轨进入火星轨道，则需要加速，又知v火<v地，故“天问一号”在Q点的速度小于地球绕太阳的速度，故D错误。 8.(12分)中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，A点距地面的高度为h1，飞船飞行5圈后进行变轨，进入预定圆轨道，如图所示。设飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，忽略地球的自转，求： (1)(2分)飞船在B点经椭圆轨道进入预定圆轨道时是加速还是减速； (2)(5分)飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小； (3)(5分)椭圆轨道远地点B距地面的高度h2。 答案　(1)加速　(2)　(3) -R 解析　(1)飞船要进入预定圆轨道，需在B点加速。 (2)在地球表面有mg= ① 在A点时，根据牛顿第二定律有： G=maA ② 由①②式联立解得飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小为aA= (3)飞船在预定圆轨道上飞行时，由万有引力提供向心力，有G=m(R+h2) ③ 由题意可知，飞船在预定圆轨道上运行的周期为 T= ④ 由①③④式联立解得h2= -R。 (9分) 9.(2024·咸阳市高一期中)如图所示，一颗质量为m的卫星要发射到中地圆轨道上，通过M、N两位置的变轨，经椭圆转移轨道进入中地圆轨道运行。已知近地圆轨道的半径可认为等于地球半径，中地圆轨道与近地圆轨道共面且轨道半径为地球半径的3倍，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，下列说法中正确的是(　　) A.卫星进入中地圆轨道时需要在N点减速 B.在转移轨道上的M点和N点速度关系为vM<vN C.该卫星在中地圆轨道上运行的速度为 D.该卫星在转移轨道上从M点运行至N点(M、N与地心在同一直线上)所需的时间为2π 答案　D 解析　卫星进入中地圆轨道时需要在N点加速，故A错误； 由开普勒第二定律，M点到地球的距离小于N点到地球的距离，因此近地点M点的速度大于远地点N点的速度，即vM>vN，故B错误； 卫星在中地圆轨道上运行时，由万有引力提供向心力得=，在地球表面有=mg，解得v=，故C错误； 卫星在中地圆轨道上的周期为T中==6π，由开普勒第三定律得=，联立解得T转=4π，在转移轨道上从M点运行至N点(M、N与地心在同一直线上)所需的时间tMN==2π，故D正确。 训练2　双星及多星问题　[分值：60分] 1~5题每题5分，共25分 1.在太空中，两颗靠得很近的星球可以组成双星系统，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。则下列说法错误的是(　　) A.两颗星有相同的角速度 B.两颗星的运动半径与质量成反比 C.两颗星的向心加速度大小与质量成反比 D.两颗星的线速度大小与质量成正比 答案　D 解析　双星由彼此间的万有引力提供做圆周运动的向心力，令双星的质量分别为m和M，圆周运动的半径分别为r和R，两星间的距离为R+r。 双星绕连线上某点做圆周运动，故双星的周期和角速度相同，故A正确； 运动半径满足mrω2=MRω2，可见两颗星的运动半径与质量成反比，故B正确； 两颗星的向心力大小相等，则满足mam=MaM，两颗星的向心加速度大小与质量成反比，故C正确； 线速度v=rω，两星的角速度相等，而半径与质量成反比，故线速度大小与质量成反比，故D错误。 2.(多选)(2024·海口市高一期中)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统，设某双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示，若AO<OB，则下列说法正确的是(　　) A.星球A的质量大于B的质量 B.星球A的向心力大于B的向心力 C.星球A的线速度小于B的线速度 D.双星的总质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大 答案　ACD 解析　对于星球A，G=mAω2rOA，解得mB=，对于星球B，同理可得mA=，由于rOB>rOA，故星球A的质量大于星球B的质量，A正确； 两星球的向心力都是由星球间的万有引力提供，大小都为F=G，B错误； 根据角速度和线速度的关系可知vA=ωrOA，vB=ωrOB，由于rOB>rOA，则星球A的线速度小于B的线速度，C正确； 根据题意可知G=mArOA，G=mB()2rOB，解得T=2π，故双星的总质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大，D正确。 3.(2023·扬州市高一期中)LAMOST黑洞猎手计划研究团队发现了一颗质量大约为1.2倍太阳质量的中子星，与一颗大约0.6倍太阳质量的红矮星组成了双星系统，绕它们连线上某点旋转，如图所示。则下列说法正确的是(　　) A.中子星与红矮星的向心力之比大约为2∶1 B.中子星与红矮星的角速度之比大约为1∶2 C.中子星与红矮星的转动半径之比大约为2∶1 D.中子星与红矮星的线速度之比大约为1∶2 答案　D 解析　设两星绕它们连线上的O点旋转，双星系统中，星体之间的万有引力提供向心力，可知中子星绕O点运动的向心力大小等于红矮星的向心力大小，A错误；双星系统中两天体的角速度相等，即中子星绕O点运动的角速度等于红矮星的角速度，B错误；设中子星质量为M，红矮星质量为m，相距L，根据万有引力提供向心力有=Mr1ω2，=mr2ω2，联立可得==，即中子星与红矮星的转动半径之比大约为1∶2，C错误；双星系统角速度相等，根据v=ωr可知，中子星与红矮星的线速度之比大约为1∶2，D正确。 4.(2024·内江市高一期中)中国天眼FAST已发现约500颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团M92第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图，距离为L的A、B双星绕它们连线上的某点O在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，运动周期为T，引力常量为G，则双星的总质量为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　双星A、B之间的万有引力提供向心力，有G=mAω2RA，G=mBω2RB，其中ω=，L=RA+RB，联立解得mA+mB=，故选C。 5.(多选)(2023·湛江市月考)如图所示，宇宙中一对年轻的双星，在距离地球16万光年的蜘蛛星云之中。该双星系统由两颗炽热又明亮的大质量恒星构成，二者围绕连线上中间某个点旋转。通过观测发现，两颗恒星正在缓慢靠近。不计其他天体的影响，且两颗恒星的质量不变。则以下说法中正确的是(　　) A.双星之间引力变大 B.每颗星的加速度均变小 C.双星系统周期逐渐变大 D.双星系统转动的角速度变大 答案　AD 解析　根据万有引力定律F=G知，两颗恒星正在缓慢靠近，r减小，而两颗恒星的质量不变，则双星之间引力变大，A正确；对质量为m1的恒星，a1=G，对质量为m2的恒星，a2=G，两颗恒星正在缓慢靠近，则每颗星的加速度均变大，B错误；由双星系统的两颗星的周期相等，万有引力提供向心力，可以得到=，=，R1+R2=r，整理得T=2π，知双星系统周期T变小，C错误；由ω=知双星系统转动的角速度变大，D正确。 6、7题每题7分，8题12分，共26分 6.(2023·连云港市高一期中)宇宙中互相绕转的两个恒星，天文学上称之为“双星”。如图所示，某双星系统中质量较大的A星球正在“吸食”质量较小的B星球的表面物质，从而达到质量转移。假设“吸食”过程A、B两星球球心间距离不变，运动的轨道均为圆周，则在“吸食”的最初阶段，下列说法正确的是(　　) A.A、B运动的周期变大 B.A、B之间的万有引力保持不变 C.A星球做圆周运动的轨道半径变小 D.B星球做圆周运动的线速度变小 答案　C 解析　根据题意，设A的质量为M，B的质量为m，则A、B之间的万有引力为F=，由于M增大，m减小，则M与m的乘积改变，则A、B之间的万有引力改变，故B错误；若双星稳定运行，则双星的角速度相等，双星间万有引力提供向心力，则有=Mω2rA，=mω2rB，又有r=rA+rB，解得ω=，由于质量在两星球间转移，故总质量不变，则角速度大小不变，由T=可知，周期不变，由上述分析可得Mω2rA=mω2rB，解得=，由于M增大，m减小，则rA减小，rB增大，由于角速度不变，则B星球做圆周运动的线速度变大，故A、D错误，C正确。 7.双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做匀速圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时两星做匀速圆周运动的周期为(　　) A.T B.T C.T D.T 答案　B 解析　设两恒星原来的质量分别为m1、m2，距离为L， 双星靠彼此的万有引力提供向心力，则有 G=m1r1 G=m2r2 并且r1+r2=L 解得T=2π 当两星总质量变为原来的k倍，两星之间距离变为原来的n倍时 T'=2π=T 故选B。 8.(12分)如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知星球A、B的中心和O三点始终共线，星球A和B分别在O的两侧，引力常量为G。 (1)(5分)求两星球做圆周运动的周期； (2)(7分)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做匀速圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg。求T2与T1两者平方之比(计算结果保留四位有效数字)。 答案　(1)2πL　(2)1.012 解析　(1)两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，其角速度相同，周期也相同，其所需向心力由两者间的万有引力提供，设A、B的轨道半径分别为r1、r2， 对B有：G=Mr2 对A有：G=mr1 又r1+r2=L 联立解得T=2πL (2)若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，根据题意可知m地=5.98×1024 kg，m月=7.35×1022 kg，地月距离设为L'，由(1)可知地球和月球绕其轨道中心的运行周期为T1=2π 若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得=m月L' 解得T2=2π 则= 故=≈1.012。 (9分) 9.(2024·河南省高一期中)宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星体组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星体位于同一直线上，两颗星体围绕中央星在同一半径为R的轨道上运行，如图甲所示，周期为T1；另一种是三颗星体位于边长为R的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为T2。若每颗星的质量都相同，则的值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　第一种形式下，左边星体受到中间星体和右边星体两个万有引力作用，它们的合力充当向心力，则G+G=mR，解得=，第二种形式下，三颗星体之间的距离均为R，由几何关系知，三颗星体做圆周运动的半径为R'=R，任一星体所受的合力充当向心力，即有F合=2Gcos 30°=mR，解得=，则= ，故选A。 学科网（北京）股份有限公司 $$