6.1.1 函数的平均变化率(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

当n=1时，4=2，当n≥2，a,a1=2-,则8=2， "a。- 若选@6.=g÷即么=ls”什+e:2 所以数列a,的奇数项是以1为首项，以2为公比的等比数列， =log:n 数列a,的偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列， n 3 所以Se1= x(1-2102+2x1-2o0.21-1+2× 1-2 1-2 所以7-（子+子++l”）+1+2+…+n n 2100-2=2×2o1-3=22-3,故选D. n 2 4.C由a.1=-a,-2,有a,+a1=-2,则5o1=a1+(a:+ a）+…+(a1m+01a）=1-2×50=-99. =log(n+1)+1+n)n 2 故选C 5.A因为a1=1,a1= a(nEN), am+a。 1+a 所以a,>0,Sm之2 1 =1- (n+2)2”-7 a !7.(1)设等比数列a.1的公比为9>0， 因为a1=1,S2=a,-1,即a+a2=a,-1, 可得1+q=g2-1,整理得g-9-2=0,解得g=2或9=-1 根据累加法可得，右≤1+“号：“，当且仅当4=1时取 (舍去)， 2 /a. 所以8号-山 等号a,≥(n+1月 4 (2)(i)证明：由(1)可知a4=2-,且keN°k≥2 = 1+石1+之…2≤ an+3 当n=a1=2≥4时，则=2<2-1=n- In-1=a1-1<a ,即a,<n n+1 -1<a 6 由累乘法可得a.≤(n+)(n+2) 可知a=2-,bn=k+1, b,-1=b+(a1-a4-1）·2k=k+2k(2-1-1)=k(2- 当且仅当n=1时取等号， 1), 由裂项求和法得： 可得6，-1-a·6=k(2-1)-(k+1)2-+=(k-1)2-1-6 所以≤6（++ 1111 了+…+0102 ≥2(k-1)-k=k-2≥0， 当且仅当k=2时，等号成立，所以b.1≥a4·b: =6(分)<3，<sm<3 (i)由(1)可知：S=2-1=a1-1, 故选：A 若n=1,则S1=1,b=1: 6.(1)证明：当n≥2时，因为S,1=4a,所以S.=4a,,两式相 若n≥2，则a1-a4=2- 减得，a+1=4a,-4a- 当2-<i≤2-1时，6-b-1=2k,可知b,1为等差数列， 所以a,1-2a,=2(a.-2a,-1 可得室A=2+2422山：4=g(3 2 当n=1时，因为S1=4a,所以S=4a1,又a1=4,故a:= 12,于是42-2a1=4, -1)4-(3k-4)4-1]. 所以at-2a}是以4为首项，2为公比的等比数列. 所以20，=1+5×4-2x4+8×4-5×4++(3n 所以41-2a,=2,两边除以2得，器-会=1 1)4-(3m-4)4-门=3n-4+山，且m=1,符合上式，综 9 又号=2，所以{会}是以2为首项1为公差的等差数列 上所述：26-3n-04+1 9 所以号=n+1,即a=a+)·2 第六章导数及其应用 (2)若选①：b,=a+1-a.,即6，=(n+2)·21-(n+1)· 6.1 导数 2°=(n+3)·2 因为T。=4×2+5×22+6×2+…+(n+3)×2, 6.1.1函数的平均变化率 所以2Tn=4×22+5×2+6×2+…+(n+3)×21 必备知识·探新知 两式相诚得，-T。=4×2+(22+2+…+2*)-(n+3) ×21 知识点1 是（是） 平均变 △x2-x1 =8+4x(2-D-(n+3)×2r=-(n+2)×2+4, 化率 2-1 所以Tn=(n+2)×2+1-4. 知识点2 A()-h(/s) 2-5 -142 关键能力·攻重难 6.1.2导数及其几何意义 例1：(1)B 山 △x 必备知识·探新知 （2x)=+3在区间[-1.0]上的平均变化*为兰 △x 知闵点1)=kf,)=回气+- 1 0-1-业2-1 知识点2切线的斜率y-f八x)=f()(x-x。)】 1-2 :关键能力·攻重难 0-(-1) 九)=2在区间[1,3]上的平均变化常为兰 例1岩=±》 2+△)°+3-(22+31=4+24 11 3）-2-53.-1 3-1 22=5 )当t=2,4=001时，=4×2+2×0.01=802(cm/】 几)=本2在区间[，6+门上的平均变化常为兰 （2)当1=2,4=0.01时，兰=4×2+2x00t=802 f。+1)-f)。1.1 -1 :(cm/s). (0+1)-。x。+3和+2(0+2)(+3) 对点训练1：(1)因为fx)=3x2+5,所以从0.1到0.2的平 （6)加=是-n4+20-4=4x2=8am 均变化率为3x02+5-3×0.1-5.09, 对点训练1：(1)D该质点在1=1时的解时速度为-6， 0.2-0.1 敌选D. (2)f八+△x)-f(x）=3(0+△x)2+5-(3G+5)= (2)D△S=-4(2+△)2+16(2+△r)+4×22-16×2 3x6+6x△r+3(△x)2+5-3x6-5=6x△x+3(△x)2. =-4(4)2, 函数f(x)在区间[，+4x]上的平均变化率为 4=-44 =-4△ 6,4x+3(A=6+3Ax △ △ =-回(-4)=0 例24D-10平均速度为兰=-2x3”,2x2。 ∴.物体在t=2s时的瞬时速度为0m/s 3-2 -10,故该物体在1=2到1=3时的平均速度为-10. 例2：△y=f2+△x)-f2)=(2+4r)3-(2+4x)-(2 -2)=(△x)3+6(4x)2+114x, (2)A列车从开始运行到10秒时，列车距离的增加量为 s(10)-s(0)=100-0=100(米)，则列车运行10秒的平均速度 =(4x)2+64x+11, Ar 为10)-=0=10（米/秒）. 10-0 ÷2=(a2+6a+1]=,期'2)=山 对点训练2：(1)C由题意，△y=f(1+△)-1) 1 =2(1+△)2+1-3=4△+2(4)2， 对点训练2：因为△y=1+4)++△-(1+1)=△r+ 所以A=4+2△=4+2A. At △ 1+4rL, (2)C在0到。范围内，甲、乙所走的路程相同，时间一 所哈a 1 样，所以平均速度相同；在。到范围内，甲.乙所用的时问相 同，而甲走的路程较多，所以甲的平均速度大于乙的平均速度， 所以--(+a)0 例3：B由题可知，A机关单位所对应的图像比较陡峭，B 机关单位所对应的图像比较平缓，且用电量在[0，]上的平均 例3：(1)当x=2时，y=(2+4x)+2+4+5- 变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效果 (2++5)=4e+(a)P+22 -△x 好故选B 课堂检测·固双基 L.D由题意，可得平均变化率 所哈4+r-2a f+4x)-_2(+A）-2=2, Ax 所以=会=四4+小k-4+2a 故选D. 1 2A函数爪x)=x2-1的自变量x由1变成1.1，所以4x= 4+02X0卓所以隔数在=2处的切线斜率为上 1.1-1=0.1,4y=(1.12-1)-(12-1)=0.21, 41 --21放选 (2)A曲线f爪x)=3x+x2在点(1(1))处的切线的斜率 3.D 4y_21+4x2-2×12 为k=m31+△)）+L+△)-(3+山=51)=4.由点斜 △x =4+2△r 式得切线方程为y-4=5(x-1),即y=5x-1. 42根据题意，函数f代x)=x-1在区间[1，m]上的平均变化 率为=--山=m+1 对点训练3：(1)因为4y=2(2+△x)+2+△ m-1 ∴，m+1=3则m=2 -(2x2+) -143! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 第六章 　 导数及其应用 ６． １　 导数 ６． １． １　 函数的平均变化率 !"#$%&'( 课程目标 理解函数平均变化率的概念，会求函数的平均变化率．（数学抽象） 学法指导 从物理和几何背景认识平均变化率． )*+,%-.+ 函数的平均变化率 　 　 一般地，若函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的定义域为Ｄ，且ｘ１， ｘ２∈Ｄ，ｘ１≠ｘ２，ｙ１ ＝ ｆ（ｘ１），ｙ２ ＝ ｆ（ｘ２），则称Δｘ ＝ ｘ２ － ｘ１为自变量的改变量；称Δｙ ＝ ｙ２ － ｙ１（或Δｆ ＝ ｆ（ｘ２）－ ｆ（ｘ１））为相应的因变量的改变量；称　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 为函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在以ｘ１，ｘ２为端 点的闭区间上的　 　 　 　 　 ． 　 　 知识解读：函数平均变化率的几何意义： （１）如图所示，函数ｆ（ｘ）在区间［ｘ１，ｘ２］上的 平均变化率，就是直线ＡＢ的斜率，其中Ａ（ｘ１， ｆ（ｘ１）），Ｂ（ｘ２，ｆ（ｘ２））．事实上，ｋＡＢ ＝ ｆ（ｘ２）－ ｆ（ｘ１）ｘ２ － ｘ１ ＝ Δｙ Δｘ ． （２）Δｘ可以为正数，也可以为负数，但Δｘ不 可以为０，Δｙ可以为０；ΔｙΔｘ可以为０．当平均变化率 Δｙ Δｘ 等于０时，并不说明函数在该区间上一定为常 数．例如函数ｆ（ｘ）＝ ｘ２ 在区间［－ ２，２］的平均变 化率是０，但它不是常数函数． 平均速度与平均变化率 　 　 从物理学中我们知道，平均速度可以描述物 体在一段时间内运动的快慢，如果物体运动的位 移ｘ ｍ与时间ｔ ｓ的关系为ｘ ＝ ｈ（ｔ），则物体在［ｔ１， ｔ２］（ｔ１ ＜ ｔ２时）这段时间内的平均速度为　 　 　 　 　 　 　 　 ．这就是说，物体在某段时间内的平均速 度等于ｘ ＝ ｈ（ｔ）在该段时间内的平均变化率                                 ． !%( # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # /012%345 题型探究 题型一 求函数的平均变化率 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）如图所示，函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在［１，３］上的 平均变化率为 （Ｂ ） Ａ． １ Ｂ． －１ Ｃ． ２ Ｄ． －２ （２）求函数ｆ（ｘ）＝ １ｘ ＋２在区间［－ １，０］，［１， ３］，［ｘ０，ｘ０ ＋ １］上的平均变化率． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 求函数平均变化率的解题策略 （１）求函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在区间［ｘ１，ｘ２］上的平均 变化率的解题步骤： ①求函数值的增量：Δｆ ＝ ｆ（ｘ２）－ ｆ（ｘ１）； ②求自变量的增量：Δｘ ＝ ｘ２ － ｘ１； ③作商即得平均变化率：ΔｆΔｘ ＝ ｆ（ｘ２）－ ｆ（ｘ１） ｘ２ － ｘ１ ． 对点训练? 已知函数ｆ（ｘ）＝３ｘ２ ＋ ５，求： （１）ｆ（ｘ）在区间［０． １，０． ２］上的平均变化率； （２）ｆ（ｘ）在区间［ｘ０，ｘ０ ＋ Δｘ］上的平均变 化率． 题型二 求物体运动的平均速度 ２．（１）若某一物体的运动方程为ｓ ＝ － ２ｔ２，那 么该物体在ｔ ＝２到ｔ ＝３时的平均速度为　 － １０． （２）设地铁在某段时间内进行调试，由始点 起经过ｔ秒后的距离为ｓ ＝ １４ ｔ ４ － ４ｔ３ ＋ １６ｔ２（单位： 米），则列车运行１０秒的平均速度为 （Ａ ） Ａ． １０米／秒 Ｂ． ８米／秒 Ｃ． ４米／秒 Ｄ． ０米／秒 　 　 ［规律方法］　 物体运动的平均速度就是ｓ ＝ ｈ（ｔ）在该段时间内的平均变化率． 对点训练? （１）已知一物体的运动方程 为ｙ ＝ ｆ（ｔ）＝２ｔ２ ＋ １，其中ｔ的单位是ｓ，路程单位 为ｍ，那么物体在时间［１，１ ＋ Δｔ］内的平均速度为 （Ｃ ） Ａ． ４ Ｂ． ４Δｔ Ｃ． ４ ＋ ２Δｔ Ｄ． ２Δｔ （２）物体甲、乙在时间０到ｔ１ 范围内路程的 变化情况如图所示，下列说法正确的是 （Ｃ ） Ａ．在０到ｔ０ 范围内甲的平均速度大于乙的 平均速度 Ｂ．在０到ｔ０范围内甲的平均速度小于乙的平 均速度 Ｃ．在ｔ０ 到ｔ１ 范围内甲的平均速度大于乙的 平均速度 Ｄ．在ｔ０到ｔ１ 范围内甲的平均速度小于乙的 平均速度 易错警示 　 　 不能正确识图致误 ３． Ａ，Ｂ两机关单位开展节能活动，活动开始 后两机关的用电量Ｗ１（ｔ），Ｗ２（ｔ）与时间ｔ （天）的关系如图所示，则一定有 （Ｂ ） Ａ．                                                                    两机关单位节能效果一样好 !%) ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # Ｂ． Ａ机关单位比Ｂ机关单位 节能效果好 Ｃ． Ａ机关单位的用电量在［０，ｔ０］ 上的平均变化率比Ｂ机关单位的用电量在［０，ｔ０］ 上的平均变化率大 Ｄ． Ａ机关单位与Ｂ机关单位自节能以来用电 量总是一样大 ［错解］　 选Ｃ．因为在（０，ｔ０）上，Ｗ１（ｔ）的图 像比Ｗ２（ｔ）的图像陡峭，∴在（０，ｔ０）上用电量的平 均变化率，Ａ机关单位比Ｂ机关单位大． ［误区警示］　 从图上看，两机关单位在（０， ｔ０）上用电量的平均变化率都取负值． 　 　 ［正解        ］ 　 　 ［点评］　 识图时，一定要结合题意弄清图像 所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长（减 少）的快慢等要弄清                       ． 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．函数ｙ ＝ ２ｘ在区间［ｘ０，ｘ０ ＋ Δｘ］上的平均变化 率为 （Ｄ ） Ａ． ｘ０ ＋ Δｘ　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． １ ＋ Δｘ Ｃ． ２ ＋ Δｘ Ｄ． ２ ２．（２０２３·杭州高二检测）设函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）＝ ｘ２ － １，当自变量ｘ由１变为１． １时，函数的平均变 化率为 （Ａ ） Ａ． ２． １　 　 　 　 Ｂ． １． １　 　 　 　 Ｃ． ２　 　 　 　 Ｄ． ０ ３．已知函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）＝２ｘ２的图像上的点Ｐ（１，２）及邻 近点Ｑ（１ ＋Δｘ，２ ＋Δｙ），则ΔｙΔｘ的值为 （Ｄ ） Ａ． ４ Ｂ． ４ｘ Ｃ． ４ ＋ ２（Δｘ）２ Ｄ． ４ ＋ ２Δｘ ４．函数ｆ（ｘ）＝ ｘ２ － １在区间［１，ｍ］上的平均变化 率为３，则实数ｍ的值为　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１３                  ］ ６． １． ２　 导数及其几何意义 !"#$%&'( 课程目标 １．理解瞬时变化率与导数的概念，会用导数的定义求函数在某点处的导数．（数学运算） ２．理解导数的几何意义，并能应用导数的几何意义解决相关问题．（逻辑推理） 学法指导 充分理解瞬时速度的基础上，体会函数在某点的瞬时变化率，进而理解导数的定义，体会运动变 化和无限逼近的思想． !%*