第6章 计数原理(考案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第三册同步学习指导(人教A版2019)

书 ▲ １８１ ▲ ▲ １８２ ▲ 考 案 （一） 第六章　 计数原理 考试时间：１２０分钟，满分：１５０分． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、单项选择题（本大题共８小题，每小题５分，共４０分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） １．用１，３，５，７，９五个数字中的三个替换直线方程Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝ ０中的Ａ，Ｂ，Ｃ，若Ａ，Ｂ，Ｃ的值互不相同， 则不同的直线共有 （Ｂ ） Ａ． ２５条 Ｂ． ６０条 Ｃ． ８０条 Ｄ． １８１条 ２．已知Ｃ６ｎ ＋１ － Ｃ６ｎ ＝ Ｃ７ｎ（ｎ∈Ｎ），则ｎ ＝ （Ｄ ） Ａ． １４ Ｂ． １５ Ｃ． １３ Ｄ． １２ ３．已知槡ｘ ＋ ３３槡( )ｘ ｎ 的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为６４，则ｎ等于 （Ｃ ） Ａ． ４ Ｂ． ５ Ｃ． ６ Ｄ． ７ ４．现有甲、乙、丙、丁４名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同 一项活动的情况有 （Ｂ ） Ａ． １种 Ｂ． ２种 Ｃ． ３种 Ｄ． ４种 ５．（２０２３·北京高考题）２ｘ － １( )ｘ ５ 的展开式中ｘ的系数为 （Ｄ ） Ａ． － ８０ Ｂ． － ４０ Ｃ． ４０ Ｄ． ８０ ６．（２０２３·全国乙卷）甲乙两位同学从６种课外读物中各自选读２种，则这两人选读的课外读物中恰有 １种相同的选法共有 （Ｃ ） Ａ． ３０种 Ｂ． ６０种 Ｃ． １２０种 Ｄ． ２４０种 ７．如图所示，若从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克 关系的情况有 （Ｂ ） Ａ． ３种 Ｂ． ５种 Ｃ． ７种 Ｄ． ９种 ８．已知１槡ｘ － ａｘ( )２ １０ （ａ ＜ ０）的展开式中常数项为４５，则展开式中系数最大的是 （Ｄ ） Ａ．第２项 Ｂ．第４项 Ｃ．第５项 Ｄ．第６项 二、多项选择题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分．在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题 目要求的，全部选对的得５分，选对但不全的得２分，有选错的得０分） ９．关于（ａ － ｂ）１０的说法，正确的是 （　 ） Ａ．展开式中的二项式系数之和为１ ０２４ Ｂ．展开式中第６项的二项式系数最大 Ｃ．展开式中第５项和第７项的二项式系数最大 Ｄ．展开式中第６项的系数最小 １０．五个人排成一排，下列说法正确的是 （　 ） Ａ．甲不站排头的排法有９６种 Ｂ．甲不站排头，乙不站排尾的排法有５４种 Ｃ．甲、乙两人必须相邻的排法有２４种 Ｄ．甲、乙中间有且只有一人的排法有３６种 １１．下列结论正确的是 （　 ） Ａ．若Ｃｍ１０ ＝ Ｃ３ｍ －２１０ ，则ｍ ＝ ３ Ｂ．若Ａ２ｎ ＋１ － Ａ２ｎ ＝ １２，则ｎ ＝ ６ Ｃ．在（１ ＋ ｘ）２ ＋（１ ＋ ｘ）３ ＋（１ ＋ ｘ）４ ＋…＋（１ ＋ ｘ）１１的展开式中，含ｘ２的项的系数是２２０ Ｄ．（ｘ － １）８的展开式中，第４项和第５项的二项式系数最大 １２．连接正方体每个面的中心构成一个正八面体，甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三角形，乙随 机选择此正八面体三个面的中心构成三角形，且甲、乙的选择互不影响，则下列说法正确的是 （　 ） Ａ．甲选择的三个点构成正三角形的概率为２５ Ｂ．甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为３５ Ｃ．乙选择的三个点构成正三角形的概率为３７ Ｄ．甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为１１３５ 三、填空题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分） １３．如果Ａ５ｎ ＝ ａＣｎ －５ｎ ，则ａ的值是１２０　 　 ． １４．从０，１，２，３，４，５这６个数中每次取３个不同的数，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的 三位数有４０　 　 个． １５．已知（ｘ － ２）７ ＝ ａ０ ＋ ａ１ｘ ＋ ａ２ｘ２ ＋…＋ ａ７ｘ７，ａｉ∈Ｒ（ｉ ＝ ０，１，…，７），则ａ０ ＝ － １２８　 ，ａ４ ＝ － ２８０　 ． １６．中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际 友谊，多次为祖国赢得了荣誉．现有５支救援队前往Ａ，Ｂ，Ｃ ３个受灾点执行救援任务，若每支救援队 只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排１支救援队，其中甲救援队只能去Ｂ，Ｃ两个受灾 点中的一个，则不同的安排方法数是　 　 　 　 ． 四、解答题（本大题共６小题，共７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（本小题满分１０分）已知 Ｃｘｎ ＝ Ｃ ２ｘ ｎ ， Ｃｘ ＋１ｎ ＝ １１ ３ Ｃ ｘ －１ ｎ{ ，试求ｘ，ｎ的值                                                                      ． ▲ １８３ ▲ ▲ １８４ ▲ １８．（本小题满分１２分）已知在１２ ｘ ２ － １ 槡( )ｘ ｎ 的展开式中，第９项为常数项，求： （１）ｎ的值； （２）展开式中ｘ５的系数； （３）含ｘ的整数指数幂的项的个数． １９．（本小题满分１２分）一个口袋内有４个不同的红球，６个不同的白球． （１）从中任取４个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？ （２）若取一个红球记２分，取一个白球记１分，从中任取５个球，使总分不少于７分的取法有多少种？ ２０．（本小题满分１２分）某兴趣小组有９名学生，若从这９名学生中选取３人，且选取的３人中恰好有一 名女生的概率是１５２８． （１）该小组中男、女学生各有多少人？ （２）９名学生站成一列，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后顺序保持不变）重新站队，有多 少种重新站队的方法？（要求用数字作答） （３）９名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？（要求用数字作答） ２１．（本小题满分１２分）已知ｘ ＋ １ ３ ３槡( )ｘ ｎ 的展开式的各项二项式系数之和为５１２． （１）求展开式中所有的有理项； （２）求展开式中系数最大的项． ２２．（本小题满分１２分）０，１，２，３，４这五个数字组成无重复数字的自然数． （１）在组成的三位数中，求所有偶数的个数； （２）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹 数”，如３０１，４２３等都是“凹数”，试求“凹数”的个数； （３）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数                                                                      ． 书 ▲ ２１３ ▲ ▲ ２１４ ▲ 　 　 　 　 　 考案部分 　 　 　 　 　 　 参考答案 考案（一） １． Ｂ　 用１，３，５，７，９五个数字中的三个来替换Ａ，Ｂ，Ｃ；Ａ， Ｂ，Ｃ的值互不相同，利用分步乘法计数原理可知直线条 数是５ × ４ × ３ ＝ ６０． ２． Ｄ　 由组合数性质知，Ｃ６ｎ ＋ Ｃ７ｎ ＝ Ｃ７ｎ ＋ １，所以Ｃ６ｎ ＋ １ ＝ Ｃ７ｎ ＋ １， 所以６ ＋ ７ ＝ ｎ ＋ １，得ｎ ＝ １２． ３． Ｃ　 二项式槡ｘ ＋ ３３槡( )ｘ ｎ 的各项系数的和为（１ ＋ ３）ｎ ＝ ４ｎ， 二项式槡ｘ ＋ ３３槡( )ｘ ｎ 的各项二项式系数的和为２ｎ，因为各 项系数的和与其各项二项式系数的和之比为６４，所以 ４ｎ ２ｎ ＝ ２ｎ ＝ ６４，ｎ ＝ ６．故选Ｃ． ４． Ｂ　 由题意，现有甲、乙、丙、丁４名学生平均分成两个志 愿者小组到校外参加两项活动，其中乙、丙两人恰好参 加同一项活动的情况有Ｃ２２Ｃ２２Ａ２２ ＝ ２（种）． ５． Ｄ　 ２ｘ － １( )ｘ ５ 的展开式的通项为Ｔｒ ＋ １ ＝ Ｃｒ５（２ｘ）５ － ｒ· － １( )ｘ ｒ ＝（－ １）ｒ２５ － ｒＣｒ５ｘ５ － ２ｒ， 令５ － ２ｒ ＝ １得ｒ ＝ ２， 所以２ｘ － １( )ｘ ５ 的展开式中ｘ的系数为（－１）２２５ －２Ｃ２５ ＝８０， 故选Ｄ． ６． Ｃ　 首先确定相同的读物，共有Ｃ１６种情况，然后两人各 自的选另外一种读物相当于在剩余的５种读物里，选出 两种进行排列，共有Ａ２５ 种，根据分步乘法公式则共有 Ｃ１６·Ａ２５ ＝ １２０种，故选Ｃ． ７． Ｂ　 从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种 物质恰好是相克关系的情况有Ｃ１５ ＝ ５（种）． ８． Ｄ　 １ 槡ｘ － ａｘ( )２ １０ （ａ ＜ ０）的展开式的通项公式为Ｔｒ ＋ １ ＝ Ｃｒ１０·（－ ａ）ｒ·ｘ ５ｒ － １０ ２ ， 令５ｒ － １０２ ＝ ０，求得ｒ ＝ ２，可得展开式中常数项为Ｃ ２ １０· （－ ａ）２ ＝ ４５，∴ ａ ＝ － １，∴ － ａ ＝ １， 则展开式中第ｒ ＋ １项的系数为Ｃｒ１０·（－ ａ）ｒ ＝ Ｃｒ１０， 故当ｒ ＝ ５时，第ｒ ＋ １项的系数Ｃｒ１０最大， 即第６项的系数最大． ９． ＡＢＤ　 由二项式系数的性质知，二项式系数之和为２１０ ＝ １ ０２４，故Ａ正确；当ｎ为偶数时，二项式系数最大的 项是中间一项，故Ｂ正确，Ｃ错误；Ｄ也是正确的，因为 展开式中第６项的系数是负数且其绝对值最大，所以是 系数中最小的． １０． ＡＤ　 对于Ａ，先排甲，有４种排法，然后排其余４人，有 Ａ４４种排法，故有４Ａ４４ ＝ ９６（种）排法；对于Ｂ，若甲在排 尾，其余四人有Ａ４４ 种排法，若甲排在中间三个位置中 的一个，而乙不在排尾，则有Ａ１３ × Ａ１３ × Ａ３３ ＝ ５４（种）排 法，共Ａ４４ ＋ ５４ ＝ ７８（种）排法；对于Ｃ，将甲、乙两人看 作一个元素，与其他３个元素作全排列有Ａ４４ 种排法， 然后甲、乙再作全排列有Ａ２２ 种排法，故有Ａ４４Ａ２２ ＝ ４８ （种）排法；对于Ｄ，甲、乙两人有Ａ２２ 种排法，从剩下的 三人中选一人插入甲、乙中间，有Ａ１３种，然后再将三人 看作一个元素，和其他两个元素作全排列，有Ａ３３ 种排 法，故共有Ａ２２·Ａ１３·Ａ３３ ＝ ３６（种）排法． １１． ＢＣ　 若Ｃｍ１０ ＝ Ｃ３ｍ － ２１０ ，则ｍ ＝ ３ｍ － ２或ｍ ＋ ３ｍ － ２ ＝ １０， 解得ｍ ＝ １或ｍ ＝ ３，故Ａ错误；若Ａ２ｎ ＋ １ － Ａ２ｎ ＝ １２，则（ｎ ＋ １）ｎ － ｎ（ｎ － １）＝ １２，求得ｎ ＝ ６，故Ｂ正确；在（１ ＋ ｘ）２ ＋（１ ＋ ｘ）３ ＋（１ ＋ ｘ）４ ＋…＋（１ ＋ ｘ）１１的展开式中， 含ｘ２的项的系数是Ｃ２２ ＋ Ｃ２３ ＋ Ｃ２４ ＋…＋ Ｃ２１１ ＝ ２２０，故Ｃ 正确；（ｘ － １）８ 的展开式中，第４项的二项式系数为 Ｃ３８，第５项的二项式系数为Ｃ４８，故只有第５项的二项式 系数最大，故Ｄ错误． １２． ＡＢＤ　 甲随机选择的情况有Ｃ３６ ＝ ２０（种），乙随机选择 的情况有Ｃ３８ ＝ ５６（种），甲选择的三个点构成正三角 形，只有一种情况：甲从上下两个点中选一个，从中间 四个点中选相邻两个，共有Ｃ１２Ｃ１４ ＝ ８（种），故甲选择的 三个点构成正三角形的概率为８２０ ＝ ２ ５ ，故Ａ正确；甲选 择的三个点构成等腰直角三角形，有三种情况：①上下 两点都选，中间四个点中选一个，共有Ｃ１４ ＝ ４（种）；② 上下两点中选一个，中间四个点中选相对的两个点，共 有Ｃ１２Ｃ１２ ＝ ４（种）；③中间四个点中选三个点，共有Ｃ３４ ＝ ４（种），故共有４ ＋ ４ ＋ ４ ＝ １２（种），所以甲选择的三个 点构成等腰直角三角形的概率为１２２０ ＝ ３ ５ ，故Ｂ正确；正 八面体的各面中心是正方体的８个顶点，所以乙选择 的三个点构成正三角形，共有８种，所以乙选择的三个 点构成正三角形的概率为８５６ ＝ １ ７ ，故Ｃ错误；乙选择的 三个点构成等腰直角三角形，共有３ × ８ ＝ ２４（种），概 率为２４５６ ＝ ３ ７ ，甲、乙相似，则甲、乙均为正三角形或均为 等腰直角三角形，所以甲选择的三个点构成的三角形 与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为２５ × １ ７ ＋ ３５ × ３ ７ ＝ １１ ３５，故Ｄ正确． １３． １２０　 ａ ＝ Ａ５ｎ Ｃｎ － ５ｎ ＝ Ａ５ｎ Ｃ５ｎ ＝ Ａ５ｎ·５！ Ａ５ｎ ＝ ５！＝ １２０． １４． ４０　 先选取３个不同的数，有Ｃ３６ 种选法；然后把其中 最大的数放在百位上，另２个不同的数放在十位和个 位上，有Ａ２２种放法，故共有Ｃ３６Ａ２２ ＝ ４０（个）三位数． １５． － １２８　 － ２８０　 令ｘ ＝０，可得ａ０ ＝（－２）７ ＝ －１２８；二项 式（ｘ －２）７的展开式的通项公式为Ｔｒ ＋１ ＝ Ｃｒ７ｘ７ － ｒ（－２）ｒ， 所以ａ４ ＝ Ｃ３７（－２）３ ＝ －２８０． １６． １００　 若甲去Ｂ点，则剩余４人，可只去Ａ，Ｃ两个点，也可 分为３组去Ａ，Ｂ，Ｃ ３个点．当剩余４人只去Ａ，Ｃ两个点 时，人员分配为１，３或２，２，此时的分配方法有Ｃ３４·Ｃ１１· Ａ２２ ＋ Ｃ２４·Ｃ２２ Ａ２２ ·Ａ２２ ＝ １４；当剩余４人分为３组去Ａ，Ｂ，Ｃ ３个点时，先从４人中选出２人，即可分为３组，然后分 配到３个小组即可，此时的分配方法有Ｃ２４·Ａ３３ ＝ ３６， 综上可得，甲去Ｂ点，不同的安排方法数是１４ ＋ ３６ ＝ ５０．同理，甲去Ｃ点，不同的安排方法数也是５０，所以， 不同的安排方法数是５０ ＋ ５０ ＝ １００． １７． ∵ Ｃｘｎ ＝ Ｃ ｎ － ｘ ｎ ＝ Ｃ ２ｘ ｎ ，∴ ｎ － ｘ ＝ ２ｘ或ｘ ＝ ２ｘ（舍去），∴ ｎ ＝ ３ｘ． 由Ｃｘ ＋ １ｎ ＝ １１３ Ｃ ｘ － １ ｎ ，得 ｎ！（ｘ ＋ １）！（ｎ － ｘ － １）！＝ １１ ３· ｎ！ （ｘ － １）！（ｎ － ｘ ＋ １）！， 整理得３（ｘ － １）！（ｎ － ｘ ＋ １）！ ＝ １１（ｘ ＋ １）！（ｎ － ｘ － １）！，３（ｎ － ｘ ＋ １）（ｎ － ｘ）＝ １１（ｘ ＋ １）ｘ． 将ｎ ＝ ３ｘ代入，整理得６（２ｘ ＋ １）＝ １１（ｘ ＋ １）， ∴ ｘ ＝ ５，ｎ ＝ ３ｘ ＝ １５． １８．二项展开式的通项为Ｔｋ ＋ １ ＝ Ｃｋｎ １２ ｘ( )２ ｎ － ｋ － １ 槡( )ｘ ｋ ＝ （－ １）ｋ ( )１２ ｎ － ｋ Ｃｋｎｘ ２ｎ － ５２ ｋ（ｋ ＝ ０，１，２，…，ｎ）． （１）因为第９项为常数项，所以当ｋ ＝８时，２ｎ － ５２ ｋ ＝０， 解得ｎ ＝ １０． （２）令２ｎ － ５２ ｋ ＝ ５，得ｋ ＝ ２ ５ （２ｎ － ５）＝ ６， 所以ｘ５的系数为（－ １）６ ( )１２ ４ Ｃ６１０ ＝ １０５ ８ ． （３）要使２ｎ － ５２ ｋ为整数，即 ４ｎ － ５ｋ ２ 为整数，只需ｋ为 偶数． 由于ｋ ＝ ０，１，２，３，…，９，１０， 故符合要求的有６项，分别为展开式的第１，３，５，７，９， １１项． １９．（１）将取出４个球分成三类情况：①取４个红球，没有 白球，有Ｃ４４种；②取３个红球１个白球，有Ｃ３４Ｃ１６种；③ 取２个红球２个白球，有Ｃ２４Ｃ２６ 种，故有Ｃ４４ ＋ Ｃ３４Ｃ１６ ＋ Ｃ２４Ｃ ２ ６ ＝ １１５种． （２）设取ｘ个红球，ｙ个白球，则ｘ ＋ ｙ ＝５，０≤ｘ≤４， ２ｘ ＋ ｙ≥７，０≤ｙ≤６{ ， 故ｘ ＝ ２， ｙ ＝ ３{ ，或 ｘ ＝ ３， ｙ ＝ ２{ ，或 ｘ ＝ ４， ｙ ＝ １{ ． 因此，符合题意的取法共有Ｃ２４Ｃ３６ ＋ Ｃ３４Ｃ２６ ＋ Ｃ４４Ｃ１６ ＝ １８６种． ２０．（１）设男生有ｘ人，则Ｃ ２ ｘＣ １ ９ － ｘ Ｃ３９ ＝ １５２８， 即ｘ（ｘ － １）（９ － ｘ）＝ ９０，解得ｘ ＝ ６．经检验符合题意， 故男生有６人，女生有３人． （２）由（１）知，男生有６人，女生有３人． 方法一：第一步：让６名男生先从９个位置中选６个位 置，共有Ａ６９ ＝ ６０ ４８０（种）方法； 第二步：余下的位置让３名女生去站，                                                                                                                                                                                                                因为要保持相对 ▲ ２１５ ▲ ▲ ２１６ ▲ 顺序不变，故只有１种选择，因此一共有６０ ４８０ × １ － １ ＝ ６０ ４７９（种）重新站队的方法． 方法二：９名学生站队共有Ａ９９种站队方法，３名女生有 Ａ３３种站队顺序，因此一共有Ａ ９ ９ Ａ３３ ＝ ６０ ４８０（种）站队方 法，所以重新站队的方法有６０ ４８０ － １ ＝ ６０ ４７９（种）． （３）由（１）知，男生有６人，女生有３人，第一步：将６ 名男生分成３组，每组２人，共有Ｃ ２ ６Ｃ ２ ４Ｃ ２ ２ Ａ３３ ＝ １５（种） 分法； 第二步：三名女生站好队，然后将３组男生插入她们形 成的空中，共有Ａ３３Ａ３４ ＝ １４４（种）站队方法； 第三步：３组男生站队方法共有（Ａ２２）３ ＝ ８（种），故一共 有１５ × １４４ × ８ ＝ １７ ２８０（种）站队方法． ２１．（１）由题意可得各项二项式系数之和为２ｎ ＝ ５１２，则ｎ ＝ ９． 故通项公式Ｔｒ ＋１ ＝Ｃｒ９·ｘ９ － ｒ·３ － ｒ·ｘ － １ ３ ｒ ＝Ｃｒ９·３ － ｒ·ｘ９ － ４ｒ ３， 由题意可得９ － ４ｒ３为整数，则ｒ是３的倍数， 因为０≤ｒ≤９，所以ｒ的值为０或３或６或９， 则有理项为Ｔ１ ＝ ｘ９，Ｔ４ ＝ ２８９ ｘ ５，Ｔ７ ＝ ２８２４３ ｘ， Ｔ１０ ＝ １ １９ ６８３ｘ３ ． （２）设第ｒ ＋１项的系数ｔｒ ＋１最大，因为Ｔｒ ＋１ ＝ Ｃｒ９·３ － ｒ· ｘ９ － ４ｒ ３， 所以，ｔｒ ＋ １ｔｒ ＝ Ｃｒ９·３ － ｒ Ｃｒ － １９ ·３ － ｒ ＋ １ ＝ １０ － ｒ ３ｒ ≥１， ｔｒ ＋ ２ ｔｒ ＋ １ ＝ Ｃｒ ＋ １９ ·３ － ｒ － １ Ｃｒ９·３ － ｒ ＝ ９ － ｒ ３ｒ ＋ ３≤１， 解得３２ ≤ｒ≤ ５ ２ ， 因为ｒ为整数，所以ｒ ＝ ２． 故展开式中系数最大的项Ｔ３ ＝ Ｃ２９ × ３ －２·ｘ９ － ４ × ２ ３ ＝ ４ｘ １９ ３ ． ２２．（１）将所有的三位偶数分为两类：①若个位数为０，则 共有Ａ２４ ＝ １２（种）；②若个位数为２或４，则共有２ × ３ × ３ ＝ １８（种）．所以共有３０个符合题意的三位偶数． （２）将这些“凹数”分为三类：①若十位数字为０，则共 有Ａ２４ ＝ １２（种）；②若十位数字为１，则共有Ａ２３ ＝ ６ （种）；③若十位数字为２，则共有Ａ２２ ＝ ２（种）．所以共 有２０个符合题意的“凹数”． （３）将符合题意的五位数分为三类：①若两个奇数数 字在一、三位置，则共有Ａ２２·Ａ３３ ＝ １２（种）；②若两个奇 数数字在二、四位置，则共有Ａ２２·Ｃ１２·Ａ２２ ＝ ８（种）； ③若两个奇数数字在三、五位置，则共有Ａ２２·Ｃ１２·Ａ２２ ＝ ８ （种）．所以共有２８个符合题意的五位数． 考案（二） １． Ｄ　 由于两次出现相同点的种数是定值６，故不是随机 变量． ２． Ａ　 因为数学成绩Ｘ ～ Ｎ（１１０，１０２）， 所以由Ｐ（１００≤Ｘ≤１１０）＝ ０． ３５可得Ｐ（１１０≤Ｘ≤１２０） ＝ ０． ３５， 所以该班学生数学成绩在１２０分以上的概率为Ｐ（Ｘ ＞ １２０）＝ １ － ０． ５ － ０． ３５ ＝ ０． １５， 所以估计该班学生数学成绩在１２０分以上的人数为 ０． １５ × ６０ ＝ ９（人），故选Ａ． ３． Ｃ　 因为Ｅ（ξ）＝ ｎ × ０． ６ ＝ ３，所以ｎ ＝ ５． 所以Ｐ（ξ ＝ １）＝ Ｃ１５ × ０． ６ ×（１ － ０． ６）４ ＝ ３ × ０． ４４ ． ４． Ａ　 Ｄ（２Ｘ ＋ １）＝ Ｄ（Ｘ）× ２２ ＝ ４Ｄ（Ｘ），Ｄ（Ｘ）＝ ６ × １２ × １ －( )１２ ＝ ３２ ，所以Ｄ（２Ｘ ＋ １）＝ ４ × ３２ ＝ ６． ５． Ｂ　 由题意可得事件Ａ：“甲骰子的点数大于３”包含点数为 ４，５，６三种情况，所以Ｐ（Ａ）＝ ３６ ＝ １ ２ ． 又事件Ｂ：“甲、乙两骰子的点数之和等于７”， 所以事件Ａ与事件Ｂ都发生所包含的情况有（４，３）， （５，２），（６，１），共３个基本事件；而抛掷甲、乙两颗骰 子，共有３６种情况，所以事件Ａ与事件Ｂ都发生的概率 为Ｐ（ＡＢ）＝ ３３６ ＝ １ １２，故Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ） Ｐ（Ａ）＝ １ ６ ． ６． Ｄ　 ∵ Ｐ（Ｘ ＝ ｎ）＝ ａｎ（ｎ ＋ １）（ｎ ＝ １，２，３，４）， ∴ ａ２ ＋ ａ ６ ＋ ａ １２ ＋ ａ ２０ ＝ １，∴ ａ ＝ ５ ４ ． ∴ Ｐ ７４ ＜ Ｘ ＜ １３( )４ ＝ Ｐ（Ｘ ＝ ２）＋ Ｐ（Ｘ ＝ ３）＝ ５４ × １６ ＋ ５４ × １１２ ＝ ５ １６，故选Ｄ． ７． Ｂ　 由题意知抽取１０次，每次抽到次品的概率为ｎ１０，则 方差Ｄ（Ｘ）＝ １０ × ｎ１０ × １ － ｎ( )１０ ＝ ２． １， 又ｍ≥ｎ，则ｎ≤５，∴解得ｎ ＝ ３， ∴所求的概率为ｐ ＝ １ － Ｃ ２ ３ Ｃ２１０ ＝ １４１５．故选Ｂ． ８． Ｂ　 由分布列的性质，可得ｘ ＋ ｙ ＋ ０． ４ ＝ １，所以ｙ ＝ ０． ６ － ｘ，又由期望的公式，可得Ｅ（ξ）＝ ０． ４ ＋ ２ｘ，所以Ｅ（ξ２） ＝ ０． ４ ＋ ４ｘ，则Ｄ（ξ）＝ Ｅ（ξ２）－（Ｅ（ξ））２ ＝ ０． ４ ＋ ４ｘ － （０． ４ ＋ ２ｘ）２ ＝ － ４ｘ２ ＋ ２． ４ｘ ＋ ０． ２４ ＝ － ４（ｘ － ０． ３）２ ＋ ０． ６，所以当ｘ ＝ ０． ３时，方差最大值为０． ６，故选Ｂ． ９． ＡＣＤ　 由已知Ｅ（Ｘ）＝（－ １）× １２ ＋ ０ × １ ３ ＋ １ × １ ６ ＝ － １３ ，故Ａ正确；Ｅ（Ｘ ＋ ４）＝ Ｅ（Ｘ）＋ ４ ＝ － １ ３ ＋ ４ ＝ １１ ３ ， 故Ｂ错误；由Ｄ（Ｘ）＝ － １ ＋( )１３ ２ × １２ ＋ ０ ＋( )１３ ２ × １３ ＋ １ ＋( )１３ ２ × １６ ＝ ５ ９ ，可得Ｄ（３Ｘ ＋ １）＝ ３ ２Ｄ（Ｘ）＝ ９ × ５ ９ ＝ ５，故Ｃ正确；由分布列可知Ｐ（Ｘ ＞ ０）＝ Ｐ（Ｘ ＝ １） ＝ １６ ，故Ｄ正确，所以选ＡＣＤ． １０． ＡＢ　 由题意得，Ｘ的所有可能取值为０，１，２，Ｐ（Ｘ ＝ ０） ＝ Ｃ２２ Ｃ２５ ＝ １１０，Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ Ｃ１２ × Ｃ １ ３ Ｃ２５ ＝ ６１０ ＝ ３ ５ ，Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝ Ｃ２３ Ｃ２５ ＝ ３１０，故Ａ、Ｂ正确，Ｃ错误，Ｅ（Ｘ）＝ ０ × １ １０ ＋ １ × ３ ５ ＋ ２ × ３１０ ＝ ６ ５ ，故Ｄ不正确． １１． ＡＣＤ　 因为Ｐ（Ｘ≥０． ４）＝ １２ ，Ｐ（Ｙ≥０． ８）＝ １ ２ ，所以 Ｐ（Ｘ≥０． ４）＝ Ｐ（Ｙ≥０． ８），所以Ａ正确；由题图可得 Ｐ（Ｘ≥０）＞ Ｐ（Ｙ≥０），所以Ｂ错误；由题图可得曲线Ｘ 在均值０． ４附近图象比曲线Ｙ在均值０． ８附近图象更 陡，所以Ｘ的取值比Ｙ的取值更集中于平均值左右，即 Ｃ正确；两支密度曲线与ｘ轴之间的面积都等于所有 概率和，即均为１，所以Ｄ正确． １２． ＢＤ　 由题意Ａ１，Ａ２，Ａ３是两两互斥的事件，Ｐ（Ａ１）＝ ５１０ ＝ １２ ，Ｐ（Ａ２）＝ ２ １０ ＝ １ ５ ，Ｐ（Ａ３）＝ ３ １０，Ｐ（Ｂ ｜Ａ１）＝ Ｐ（ＢＡ１） Ｐ（Ａ１）＝ １ ２ × ５ １１ １ ２ ＝ ５１１，故Ｂ正确； Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（Ｂ·Ａ１）＋ Ｐ（Ｂ·Ａ２）＋ Ｐ（Ｂ·Ａ３）＝ ５１０ × ５ １１ ＋ ２１０ × ４ １１ ＋ ３ １０ × ４ １１ ＝ ９ ２２，故Ａ、Ｃ不正确；Ａ１，Ａ２，Ａ３ 是 两两互斥的事件，故Ｄ正确．故选ＢＤ． １３． ０． １ 　 ∵ 随机变量Ｘ服从正态分布Ｎ（０，σ２），且 Ｐ（－ ２≤Ｘ≤０）＝ ０． ４， ∴ Ｐ（０≤Ｘ≤２）＝ ０． ４， ∴ Ｐ（Ｘ ＞ ２）＝ ０． ５ － ０． ４ ＝ ０． １， 故答案为０． １． １４． ５４１２５　 设中奖为事件Ａ，则事件Ａ包含的基本事件个数 为（Ｃ１２）３ ＝ ８，所有的基本事件共有Ｃ３６ ＝ ２０，所以中奖 概率为Ｐ（Ａ）＝ ８２０ ＝ ２ ５ ； 有３个人参与这个游戏，设中奖人数为Ｘ，则Ｘ ～ Ｂ ３，( )２５ ，Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ Ｃ１３ × ２５ × １ －( )２５ ２ ＝ ５４１２５． １５． １ ５００元　 由题意知Ｅ（Ｘ）＝（１ ＋ ２ ＋ ３ ＋…＋ １２）× １１２ ＝ ６． ５． ∵每售出一件可获利３００元，如果销售不出去， 每件每月需要保养费１００元，该商场月初进货９件这 种商品，则销售该商品获利的期望为６ × ３００ －（９ － ６） × １００ ＝ １ ５００（元）． 故答案为１ ５００元． １６． １ 　 ８９ 　 由题意可得，Ｐ （ξ ＝ ２） ＝ Ｃ２４ Ｃ２４ ＋ ｍ ＋ ｎ ＝ １２ （４ ＋ｍ ＋ ｎ）（３ ＋ｍ ＋ ｎ）＝ １ ６ ，化简得（ｍ ＋ ｎ） ２ ＋ ７（ｍ ＋ ｎ）－ ６０ ＝ ０，得ｍ ＋ ｎ ＝ ５，取出的两个球一红一黄的 概率Ｐ ＝ Ｃ １ ４Ｃ １ ｍ Ｃ２４ ＋ ｍ ＋ ｎ ＝ ４ｍ３６ ＝ １ ３ ，解得ｍ ＝ ３，故ｎ ＝ ２．所以 ｍ － ｎ ＝ １，易知ξ的所有可能取值为０，１，２，且Ｐ（ξ                                                                                                                                                                                                                ＝