第12讲 分式方程（7个知识清单+9类热点题型讲练+分层练习）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪科版2024）

第12讲 分式方程 课程标准 学习目标 1 分式方程的定义 2 分式方程的解 3 解分式方程 4 换元法解分式方程 5 分式方程的增根 6 由实际问题抽象出分式方程 7 分式方程的经济问题 1、经历探索分式方程概念、分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程。 2、初步了解解分式方程可能产生增根，并掌握验根的方法，明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系和区别。 学习重点：掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法。 学习难点：理解化分式方程为一元一次方程的依据和过程，明确产生增根的原因。 知识点01 分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 【即学即练1】（2023•宣化区期末）在①；②；③；④；⑤中，分式方程有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据分式方程定义进行解答即可． 【解答】解：③；④是分式方程，共2个， 故选：． 【点评】此题主要考查了分式方程定义，关键是掌握判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 知识点02 分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 【即学即练1】（2023春•天长市校级月考）若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的个数是　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】解不等式组并根据不等式组的解集为，求出，根据分式方程的解为非负数求出且，最终得到且，即可得到答案． 【解答】解：； 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， ，， 去分母得，， 解得， 分式方程的解为非负数，且， 且， 且， 综上可知，的取值范围为且， 所有满足条件的整数为2，3，5，共有3个， 故选：． 【点评】此题考查了一元一次不等式组和分式方程，根据解的情况确定的取值范围是解题的关键． 【即学即练2】（2023春•天长市校级月考）阅读材料： 对于两个不相等的非零实数，，若分式，则或． 因为， 所以关于的方程有两个解，分别是，． 利用上面的结论解答下列问题： （1）关于方程的两个解分别是，，则　　，　　． （2）关于的方程的两个解分别为，，求的值． 【分析】（1）根据题中所给新定义运算可直接进行求解； （2）方程两边同时加1，然后根据题中所给新定义运算可知，然后代入求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：关于方程的两个解分别是，， 则，； 故答案为6；； （2）， ， 令，则有， 设该方程的两个根为，，且， ，， ，，即，， ， ． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系及分式的运算，掌握一元二次方程根与系数的关系及分式的运算是解题的关键． 知识点03 解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 【即学即练1】（2023春•金安区校级期末）方程的解是　　 A． B．0 C． D．1 【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以分式方程的解是． 故选：． 【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 【即学即练2】（2023春•天长市校级月考）在实数范围内定义运算“※”；※，请解决下列问题： （1）3※　　； （2）若※，则　　． 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）由※，可得答案． 【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式； 故答案为：； （2）由新定义得※， ， 由题意，得：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的加减混合运算顺序和运算法则． 知识点04 换元法解分式方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 【即学即练1】（2024春•金山区期中）用换元法解方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为 　　． 【分析】设，则，根据换元法解答即可，注意最后的形式是整式方程． 【解答】解：设，则原方程可变形为：， 即为． 故答案为：． 【点评】本题考查了换元法解方程，正确变形是关键． 知识点05 分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 【即学即练1】（2023春•怀远县校级期末）方程有增根，则增根是　　 A． B． C． D． 【分析】根据增根的定义可知，最简公分母为零的未知数的值是增根，根据分式方程判断出最简公分母，令最简公分母为零即可求出的值． 【解答】解：分式方程有增根， 最简公分母， ，即分式方程增根为， 故选：． 【点评】此题考查了分式方程的求解．注意增根形成的原因：最简公分母为零． 【即学即练2】（2022春•东至县期末）若关于的分式方程有增根，则的值为　　． 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值． 【解答】解：方程两边都乘，得 原方程增根为， 把代入整式方程，得， 解得． 故答案为：． 【点评】考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 知识点06 由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 【即学即练1】（2023春•濉溪县校级月考）某河道有大小两台挖机作河底清淤泥工作，大挖机每小时比小挖机多挖，若大挖机挖所用的时间与小挖机挖所用的时间相同，若设小挖机每小时挖，则依题意可列方程为 　　． 【分析】根据大挖机挖所用的时间与小挖机挖所用的时间相同，列分式方程即可． 【解答】解：根据题意，得． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 知识点07 分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【即学即练1】（利辛县期末）一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前到达目的地．原计划的行驶速度是　　． 【分析】设原计划的行驶速度是．根据原计划的行驶时间实际行驶时间，列出方程即可解决问题． 【解答】解：设原计划的行驶速度是． 由题意：， 解得， 经检验：是原方程的解． 原计划的行驶速度是． 故答案为60； 【点评】本题考查分式方程的应用、解题的关键是学会设未知数、找等量关系、列出方程解决问题，注意分式方程必须检验，属于中考常考题型． 【即学即练2】（2023春•滁州期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？ （3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元个和15元个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 【分析】（1）设每件乙种商品的进价为元，则每件甲种商品的进价为元，根据题意建立方程求出其解就可以了． （2）本题中“根据进两种商品的总数量不超过95个”可得出不等式； （3）根据“使销售两种商品的总利润（利润售价进价）超过380元”可以得出关于利润的不等式，组成不等式组后得出未知数的取值范围，然后根据取值的不同情况，列出不同的方案． 【解答】解：（1）设每件乙种商品的进价为元，则每件甲种商品的进价为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的根， 每件甲种商品的进价为：． 答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元． （2）设购进乙种商品个，则购进甲种商品个． 由题意得：． 解得． 答：商场最多购进乙商品25个； （3）由（2）知，， 解得：． 为整数，， 或25． 共有2种方案． 方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个； 方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个． 【点评】本题考查了列分式方程解应用题与列不等式组解实际问题的运用，重点在于准确地找出相等关系与不等关系． 题型01解分式方程 1．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）解方程，两边同乘后得到的式子为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤去分母进行求解即可． 【详解】解：， 两边同乘后得：， 故选：B． 2．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的分式方程的解是整数，则整数m的值是 ． 【答案】1或3或4 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程 【分析】本题考查分式方程的解，先将m当作已知解方程，根据方程的解为整数可得m的取值，再结合分母不为0舍去不符合的m的值即可求解． 【详解】解： 解得：， ∵关于x的分式方程的解是整数， ∴m的取值为1，0，3或4， ∵，， ∴m的取值为1或3或4， 故答案为：1或3或4． 3．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验整式方程的解．依次去分母、移项、合并同类项、化系数为1，检验后即可作答． 【详解】解：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 该分式方程的解为． 题型02 根据分式方程解的情况求值 4．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程根的情况求参数，先解分式方程求得，再根据方程有增根，可得，即，从而可得，即可求解． 【详解】解：去分母得，， 移项、合并同类项得，， ∵方程有增根， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 5．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）已知关于的分式方程的解为正数，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的前提．将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是正数，结合分式方程有意义进行求解即可． 【详解】解：关于x的分式方程 去分母得，， 解得， ∵关于的分式方程的解为正数， ∴，且 ∴且． 故答案为：且． 6．（22-23七年级下·安徽滁州·阶段练习）已知关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若方程有增根，求的值． 【答案】(1)； (2)10或． 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程 【分析】（1）将代入方程，然后解分式方程即可； （2）先将分式方程化成整式方程，然后将、分别代入求得k即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴方程， ∴， 解得：， 经检验，是这个方程的根， ∴这个方程的解为． （2）解：分式方程去分母得， ∵这个方程有增根， ∴或， 将代入整式方程得， 将代入整式方程得， 则k的值为10或． 【点睛】本题主要考查了解分式方程、分式方程的增根等知识点，掌握解分式方程的方法和步骤是解答本题的关键． 题型03 分式方程无解问题 7．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ） A． B． C．1或 D．5 【答案】D 【知识点】分式方程无解问题 【分析】先确定最简公分母，令最简公分母为0，求出x的值，然后把分式方程化为整式方程，再将x的值代入整式方程，解关于m的方程即可． 本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．熟练掌握增根的定义是解题的关键． 【详解】∵关于x的分式方程有增根， ∴最简公分母， ∴增根为， 将分式方程去分母得， 把代入方程得， 解得． 故选：D 8．（23-24七年级下·安徽池州·期末）若关于x的分式方程：无解，则m值为 ． 【答案】0或2或4 【知识点】分式方程无解问题 【分析】此题考查分式方程无解的情况，正确理解分式方程无解的性质得到整式方程的解是解题的关键．分式方程无解有两种情况：①去分母后所得整式方程无解，②解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．将原方程化为整式，再代入该整式即可的到m的值． 【详解】解：方程两边同时乘以得： ， 整理得：， ∵无解， ∴，即时，方程无解； 当时，方程也无解，此时，则有， ∴． 当时，方程也无解，则有， 故答案为：0或2或4． 9．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知关于的分式方程． (1)若方程有增根，求的值； (2)若方程无解，求的值． 【答案】(1)m的值为或1.5 (2)m的值为或或1.5 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，正确的将分式方程转化为整式方程，明确方程产生无解的原因，能正确地根据产生的原因进行解答是关键． （1）方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程；若方程有增根，则最简公分母为0，从而求得x的值，然后代入整式方程即可得解； （2）方程无解，有两种情况，一种是原方程有增根，一种是所得整式方程无解，分别求解即可得． 【详解】（1）解：方程两边同时乘以，得 ， 整理得， ∵原分式方程有增根， ∴， 解得：或， 当时，； 当时，； 综上，m的值为或1.5． （2）解：当时，该整式方程无解，则原分式方程也无解，此时； 当时，要使原方程无解，由（2）得：或， 综上，m的值为或或1.5． 题型04 列分式方程 10．（23-24·安徽滁州·期末）定义一种运算：当时，．当时，．若，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了新定义，解分式方程，注意要分情况讨论．分和两种情况，分别根据定义的新运算列出分式方程，解分式方程求出的值，经检验后可得答案． 【详解】解：当时，则， 解得：（舍去）； 当时，则， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意； 综上，的值为， 故选：B． 11．（22-23七年级下·安徽滁州·阶段练习）某河道有大小两台挖机作河底清淤泥工作，大挖机每小时比小挖机多挖，若大挖机挖所用的时间与小挖机挖所用的时间相同，若设小挖机每小时挖，则依题意可列方程为 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】设小挖机每小时挖，则大挖机每小时挖，根据“大挖机挖所用的时间与小挖机挖所用的时间相同”列出方程即可． 【详解】解：设小挖机每小时挖，则大挖机每小时挖，由题意可得， ， 故答案为： 【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，根据等量关系正确列出方程是解题的关键． 题型05 分式方程的行程问题 12．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）端午期间，班主任王老师带领全班同学去距离学校25的公园做活动，男生在班长的带领下，骑自行车提前80分钟出发，女生在王老师的带领下乘公交车出发，结果两队同时到达，若公交车的速度是自行车速度的3倍，设男生队骑车的速度是x，则方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：骑自行车所用的时间坐公交车所用的时间小时，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：D． 13．（2024七年级下·安徽·专题练习）2020年6月8日，岳西县黄沙岭隧道建成通车，来榜至岳西里程由原来的23千米缩短为现在的16千米．从来榜开车到岳西，若隧道开通后的平均速度比隧道开通前的平均速度提高，则隧道开通后比隧道开通前少用22分钟，在隧道开通和平均速度提高的条件下，从来榜开车到岳西只需多少分钟？ 【答案】24分钟 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设在隧道开通和平均速度提高的条件下，从来榜开车到岳西只需分钟，则隧道开通前，从来榜开车到岳西需要分钟，根据速度路程时间结合隧道开通后的平均速度比隧道开通前的平均速度提高，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设在隧道开通和平均速度提高的条件下，从来榜开车到岳西只需分钟，则隧道开通前，从来榜开车到岳西需要分钟， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：在隧道开通和平均速度提高的条件下，从来榜开车到岳西只需24分钟． 题型06 分式方程的工程问题 14．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）巢马城际铁路某路段由甲、乙两个工程队共同承包修建，经调查，甲工程队单独完成该工程的时间是乙工程队单独完成该工程时间的2倍，若甲、乙两工程队共同完成该工程需要20天，则乙工程队单独完成该工程的时间是（    ） A．30天 B．35天 C．40天 D．60天 【答案】A 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设乙工程队单独完成该工程的时间为x天，则甲工程队单独完成该工程的时间是天，根据两个工程队共同干，每天完成整个工程的，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设乙工程队单独完成该工程的时间为x天，则甲工程队单独完成该工程的时间是天，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的根， 即乙工程队单独完成该工程的时间是30天， 故选：A． 15．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）我县一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知有三种方案． A方案：甲队单独完成这项工程，需要的时间是规定时间的倍； B方案：乙队单独完成这项工程刚好如期完成； C方案：******，剩下的工程由甲队单独做，也正好如期完成． 已知一个同学按照C方案，设规定的时间为天，根据题意列出方程： (1)根据所列方程，C方案中“******”部分描述的已知条件应该是_________． (2)从投标书中得知，甲队每施工一天所需费用为万元，乙队每施工一天所需费用为万元，请你在如期完成的两种方案中，判断哪种方案更省钱，说明理由． 【答案】(1)甲、乙两队合作3天 (2)C方案，理由见解析 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题主要考查分式方程的应用； （1）设规定的工期为x天，根据题意得出的方程，可知方案C中“星号”部分为：若甲、乙两队合作3天； （2）根据题意先求得规定的天数，然后算出两种方案的费用之后，再根据题意选择节省工程款的方案． 【详解】（1）解：根据题意得出的方程为，则条件为：若甲、乙两队合作3天； 故答案为：若甲、乙两队合作3天; （2）解：解方程，得：， 经检验，是原分式方程的解，所以规定的工期为9天 如期完成的两种施工方案需要的费用分别为： B方案：（万元）； C方案： （万元）， ∵， ∴C方案更省钱. 题型07 分式方程的经济问题 16．（21-22七年级下·安徽合肥·阶段练习）课本习题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶？”以下为四位同学列出的方程，正确的是 ． 甲：解：设该品牌饮料每瓶是元，则 乙：解：设该品牌饮料每箱瓶，则 丙：解：设该品牌饮料每瓶是元，则 丁：解：设该品牌饮料每箱瓶，则 【答案】乙丙/丙乙 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、分式方程的经济问题 【分析】根据题意，分别列出分式方程与一次方程然后即可得出结果． 【详解】解：设该品牌饮料每瓶是x元，则五一期间促销每瓶是0.9x元， 根据题意可得：或0.9（36+2x）=36， ∴甲同学错误，丙同学正确； 设该品牌饮料每箱x瓶， 根据题意可得：， ∴乙同学所列方程正确，丁同学所列方程错误； 故答案为：乙丙． 【点睛】题目主要考查分式方程及一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解题关键． 17．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）为创建花园式学校，提升学生的学习环境，在学校团委的倡议下，七年级同学计划购买绿萝和吊兰两种花卉美化教室．已知吊兰的单价比绿萝的单价高5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． (1)求绿萝和吊兰的单价分别是多少元； (2)若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，求最多能购买吊兰多少盆． 【答案】(1)购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元 (2)购买吊兰的数量最多为17盆 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用， （1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，然后可得方程为，进而求解即可； （2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，然后可列不等式进行求解． 【详解】（1）解：设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：当时，则， ∴是原方程的解， ∴， 答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元； （2）解：设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，由（1）及题意得： ， 解得：， ∵m是整数， ∴m取最大值为17； 答：购买吊兰的数量最多为17盆． 题型08 分式方程和差倍分问题 18．（22-23七年级下·安徽六安·期末）已知甲同学阅读150页课外读物与乙同学阅读200页课外读物所用的时间相同，且两人每小时共阅读60页课外读物，求甲同学每小时阅读课外读物的页数？若设甲同学每小时阅读课外读物x页，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】设甲同学每小时阅读课外读物x页，则乙每小时读页，根据“已知甲同学阅读150页课外读物与乙同学阅读200页课外读物所用的时间相同”即可列出方程． 【详解】解：设甲同学每小时阅读课外读物x页，则乙每小时读页， 那么甲读150页所用的时间为：， 乙读200页所用的时间：． 由题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系：已知甲同学阅读150页课外读物与乙同学阅读200页课外读物所用的时间相同是解决问题的关键． 19．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）地推经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用600元购进A型玩具的数量比用180元购进B型玩具的数量多64个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.2倍． (1)求A、B两种型号玩具的单价各是多少元？ 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：    乙： 则甲所列方程中的x表示：__________； 乙所列方程中的x表示：__________； 请你帮助甲同学完成剩下的解题过程． (2)该经营者第二次进货恰好用了1150元，由于场地存放限制，要求总数量不超过200个，则最多可购进B型玩具多少个？ 【答案】(1)B型玩具的单价；A型玩具的数量；A、B两种型号的玩具的单价分别为6元/个和5元/个，过程见解析 (2)最多购进B型玩具50个 【知识点】分式方程和差倍分问题、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用． （1）根据题意可得甲所列方程中的x表示：B型玩具的单价；乙所列方程中的x表示：A型玩具的数量；再解出甲所列方程，即可； （2）设购进B型玩具m个，根据题意列不等式，据此求解即可． 【详解】（1）解：甲所列方程中的x表示：B型玩具的单价； 乙所列方程中的x表示：A型玩具的数量； 解得：， 经检验，是原方程的根， 且符合题意， 所以． 答：A、B两种型号的玩具的单价分别为6元/个和5元/个． （2）解：由（1）知A、B两种型号的玩具的单价分别为6元/个和5元/个， 设购进B型玩具m个，根据题意得： ， 解得． 答：最多购进B型玩具50个． 题型09 分式方程的其它实际问题 20．（23-24七年级下·安徽宣城·期末）某快递公司采用两种型号的数控机器人分拣快递，已知型数控机器人比型数控机器人每小时多分拣30件快递，型数控机器人分拣900件快递所用时间与型数控机器人分拣600件快递所用时间相等． (1)两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ (2)“618”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分拣完成5760件快递，且两种机器人都要有，则有几种机器人的安排方案． 【答案】(1)型数控机器人每小时分拣90件快递，型数控机器人每小时分拣60件快递 (2)共有3种方案：方案一：型号机器人6台，型号机器人3台；方案二：型号机器人4台，型号机器人6台；方案三：型号机器人2台，型号机器人9台 【知识点】分式方程的其它实际问题、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查分式方程和一元一次方程的实际应用，读懂题意，根据所给关系列出分式方程和一元一次方程是解题的关键，注意分式方程求出解后要进行检验． （1）设型数控机器人每小时分拣件快递，则型数控机器人每小时分拣件快递，根据题意列分式方程，即可求解； （2）设需要台型数控机器人，台型数控机器人，根据题意列方程，根据均为正整数，列出方案即可． 【详解】（1）解：设型数控机器人每小时分拣件快递，则型数控机器人每小时分拣件快递， 根据题意，得， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴（件）， 答：型数控机器人每小时分拣90件快递，型数控机器人每小时分拣60件快递． （2）解：设需要台型数控机器人，台型数控机器人， 由题意得，， 得， ∵均为正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 答：共有3种方案：方案一：型号机器人6台，型号机器人3台； 方案二：型号机器人4台，型号机器人6台； 方案三：型号机器人2台，型号机器人9台． 一、单选题 1．在方程：①，②，③，④，是分式方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【答案】C 【分析】分母中含有未知数的方程称为分式方程，据此解题即可． 【详解】解:①分母不含未知数，故①不是分式方程； ②分母不含未知数，故②不是分式方程； ③分母含有未知数，故③是分式方程； ④分母含有未知数，故④是分式方程． 故选C． 【点睛】本题考查分式方程的概念，难度容易，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 2．甲、乙两人同时从 A地出发，步行 15km 到 B地，甲比乙每小时多走 1km，结果甲比乙早到半小时，两人每小时各走几千米？设甲每小时走 x km，则可列出的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设甲每小时走xkm，则乙每小时走（x-1）km，根据时间=路程÷速度结合甲比乙早到半小时，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】设甲每小时走xkm，则乙每小时走（x-1）km， 依题意，得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 3．分式方程的解是（    ） A． B．无解 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， ， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以分式方程的解是． 故选：C 4．下列关于的方程，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：．方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意； ．方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意； ．方程分母中不含表示未知数的字母，是常数，故不是分式方程，不符合题意； ．方程分母中含未知数，故是分式方程，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 5．把分式方程，的两边同时乘以x-2，约去分母，得（ ） A．1-(1-x)=1 B．1+(1-x)=1 C．1-(1-x)=x-2 D．1+(1-x)=x-2 【答案】D 【分析】本题需要注意的有两个方面：①、第二个分式的分母为2-x，首先要化成x-2；②、等式右边的常数项不要漏乘． 【详解】解： 两边同时乘以x-2，约去分母，得1+(1-x)=x-2 故选：D 【点睛】本题考查解分式方程． 6．若关于x的方程有增根，则k的值为(    )． A．3 B．1 C．0 D．－1 【答案】A 【详解】首先根据解分式方程的方法求出x的值 然后根据增根为x=1代入方程求出k的值 将方程的两边同时乘以(x-1)可得 3=x-1+k，解得：x=4-k 根据方程有增根可得：x=1 即4-k=1，k=3 故选A 7．某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路公里，根据题意列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设原计划每天修路公里，则实际每天的工作效率为公里，根据题意即可列出分式方程. 【详解】解：设原计划每天修路公里，则实际每天的工作效率为公里， 依题意得：． 故选D． 【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程. 8．衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数改良后种植的亩数亩，根据等量关系列出方程即可． 【详解】设原计划每亩平均产量万千克，则改良后平均每亩产量为万千克， 根据题意列方程为：． 故选． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 9．甲、乙两地之间的高速公路全长，比原来国道的长度减少了．高速公路通车后，某长途汽车的行驶速度提高了，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半．设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为．则正确的是（    ） A．依题意 B．依题意 C．在国道上的速度是 D．在高速上的速度是 【答案】D 【分析】设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为，根据题意列分式方程并求解，据此即可得到答案． 【详解】解：设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为，则在高速公路上行驶的速度为， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ， 即在国道上的速度是，在高速上的速度是， 结论正确的是D选项， 故选D． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意正确列方程是解题关键． 10．若实数m使得关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m的和为（    ） A．-7 B．-10 C．-12 D．-15 【答案】B 【分析】解不等式组求出解集，根据不等式组只有4个整数解得出m的取值范围，解分式方程得，由方程的解为整数且分式有意义得出只可以取奇数且，综合以上要求，找出符合条件的值相加即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组有且只有4个整数解， ∴， ∴， 将分式方程变形整理得，， ∵， ， ， ∴分式方程的解为：， ∵分式方程的解为整数， ∴只可以取奇数， 由，可得，或， ∴符合条件的所有整数m的和为， 故选B． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、分式方程的解，有一定难度，要注意分式方程的解要满足分母不分0的情况． 二、填空题 11．方程的解为 ． 【答案】 【详解】方程两边同乘，得，解得． 经检验：时，，是原分式方程的解． 12．已知关于x的方程的解为，则m= ． 【答案】5 【分析】根据方程的解的意义，把代入原方程得关于m的方程，解方程即可． 【详解】把代入方程， 解得： 故答案为5. 【点睛】考查分式方程的解的定义，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解. 13．分式方程有增根，则增根为 ，a为 . 【答案】 2 1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，令最简公分母为0求出增根为x=2，将x=2代入整式方程计算即可求出a的值． 【详解】解：方程两边同乘以x-2得， a=x-1-3（x-2） ∵分式方程有增根， ∴x-2=0，即x=2， ∴分式方程的增根为2； 把x=2代入a=x-1-3（x-2）可得， a=1. 故答案为2；1. 【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 14．某商场分别用2000元和2400元购进相同数量的甲、乙两种商品，已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，则甲种商品每件进价为 元； 【答案】40 【分析】设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为（x+8）元，根据数量=总价÷单价结合购进的甲、乙两种商品件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为（x+8）元． 依题意，得：， 解得：x=40， 经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意， ∴x+8=48． 答：甲种商品的每件进价为40元． 故答案为：40． 【点睛】本题考查了分式方程的应用的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程． 三、解答题 15．已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式的解得情况确定参数，需通过解分式方程，用含的式子表示，根据且，确定的取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵方程两边乘，得， ∴． ∵方程的解为正数， ∴，即，解得． 又，即，解得， ∴且． 16．解方程 (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】（1）移项，通分，去分母，再移项，合并同类项，系数化为，带根检验，即可求解分式方程； （2）方程左边通分，右边的分母按照平方差公式因式分解，再通分，使左右两边的分母相同，这时只要分子相等即可求解，带根检验，即可求解． 【详解】（1）解： 去分母得： 去括号，移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 检验：当时，原方程无意义， ∴原方程无解． （2）解： 去分母得： 移项合并同类项得：， 检验：当时，原分式方程有意义， ∴原分式方程的解是． 【点睛】本题主要考查解分式方程的方法，掌握乘法公式，分式的通分，约分化简是解题的关键． 17．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）方程两边同时乘以，得，再求解此方程，然后验根即可； （2）方程两边同时乘，得，再求解此方程，然后验根即可． 【详解】（1）方程两边同时乘以，得， 化简，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 所以． （2）方程两边同时乘，得 ， 化简，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的增根， 所以原分式方程无解． 【点睛】本题考查了分式方程的求解，掌握分式方程的一般解法是关键，分式方程要检验． 18．某市与A、B两地的距离分别是600千米和450千米，从某市开往A地列车的速度比从某市开往B地列车的速度快15千米/时，结果从某市到A、B两地所需时间相同，求从某市开往A地列车的速度． 【答案】A地列车速度是60千米/时． 【分析】设开往B地列车的速度为x千米/时，开A往地列车速度为（x＋15）千米/时，根据两车行驶600千米和450千米所用时间相等，列出分式方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设开往B地列车的速度为x千米/时，开A往地列车速度为（x＋15）千米/时， 根据题意可得＝， 解得，x＝45， 经检验，x＝45是原方程的解， 则x＋15＝60千米/时， 答：A地列车速度是60千米/时． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系，解题的关键是根据两车的所用时间相等列出方程． 19．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）方程两边同时乘以，得到整式方程，解方程并检验即可求解； （2）方程两边同时乘以，得到整式方程，解方程并检验即可求解； 【详解】（1）解： 去分母得， ∴ 解得：， 当时，， ∴是原方程的解； （2）解： 方程两边同时乘以，得 即 解得：， 当时，， ∴是原方程的增根，原方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 20．（1）化简求值：，其中． （2）解分式方程： 【答案】（1），；（2）无解 【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式进行运算即可求解； （2）先去分母，再解整式方程，最后检验即可求解． 【详解】（1）解： 当时，原式； （2）解： 方程两边乘得：， 解得：， 检验：当时，． 是原方程的增根，应舍去， 原方程无解． 【点睛】本题主要考查整式的加减运算，解分式方程，熟练掌握乘法公式和解分式方程的步骤是解题的关键． 21．解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去分母将分式方程化为一元一次方程，再解方程并注意检验即可； （2）先去分母将分式方程化为一元一次方程，再解方程并注意检验即可． 【详解】（1）解： 去分母得，解得． 经检验是原方程的解， ∴原方程的解是． （2）解：去分母得， 解得， 经检验是原方程的解． ∴原方程的解是． 【点睛】本题考查分式方程的解法，解题关键是掌握分式方程的解题步骤，并注意一定要检验． 22．小明骑助动车，从家到学校去参加计算机能力考试，两地之间相距50千米，当他行驶了10千米后将车速加速为原先的2倍，结果比原计划提前1小时到达学校，请问他原计划的 车速是多少千米/小时？ 【答案】20 【分析】设原计划车速为x千米/小时，根据两地之间相距50千米，当他行驶了10千米后将车速加速为原先的2倍，结果比原计划提前1小时到达学校，列出方程即可解答. 【详解】设原计划车速为x千米/小时 =1 =1 x=20. 经检验x=20是原方程的解. 答：他原计划的车速是20千米/小时. 【点睛】此题考查分式方程的应用，解题关键在于列出方程. 23．已知分式方程有解，其中“”表示一个数． (1)若“”表示的数为，求分式方程的解； (2)嘉淇回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错了，导致找不到原题目了，但可以肯定的是“”是，这两个数中的一个．请你帮助嘉淇确定“”表示的数，并求原分式方程的解． 【答案】(1) (2)“”表示的数是，分式方程的解为 【分析】（1）根据题意列出分式方程，求解即可； （2）把和分别代入方程，求解判断即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为； （2）解：若“”是，则有， 去分母得：，该方程无解， 分式方程无解； 若“”是，则有， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为， 综上所述：“”表示的数是，分式方程的解为． 【点睛】本题考查解分式方程及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 分式方程 课程标准 学习目标 1 分式方程的定义 2 分式方程的解 3 解分式方程 4 换元法解分式方程 5 分式方程的增根 6 由实际问题抽象出分式方程 7 分式方程的经济问题 1、经历探索分式方程概念、分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程。 2、初步了解解分式方程可能产生增根，并掌握验根的方法，明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系和区别。 学习重点：掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法。 学习难点：理解化分式方程为一元一次方程的依据和过程，明确产生增根的原因。 知识点01 分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 【即学即练1】（2023•宣化区期末）在①；②；③；④；⑤中，分式方程有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点02 分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 【即学即练1】（2023春•天长市校级月考）若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的个数是　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【即学即练2】（2023春•天长市校级月考）阅读材料： 对于两个不相等的非零实数，，若分式，则或． 因为， 所以关于的方程有两个解，分别是，． 利用上面的结论解答下列问题： （1）关于方程的两个解分别是，，则　　，　　． （2）关于的方程的两个解分别为，，求的值． 知识点03 解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 【即学即练1】（2023春•金安区校级期末）方程的解是　　 A． B．0 C． D．1 【即学即练2】（2023春•天长市校级月考）在实数范围内定义运算“※”；※，请解决下列问题： （1）3※　　； （2）若※，则　　． 知识点04 换元法解分式方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 【即学即练1】（2024春•金山区期中）用换元法解方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为 　　． 知识点05 分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 【即学即练1】（2023春•怀远县校级期末）方程有增根，则增根是　　 A． B． C． D． 【即学即练2】（2022春•东至县期末）若关于的分式方程有增根，则的值为　　． 知识点06 由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 【即学即练1】（2023春•濉溪县校级月考）某河道有大小两台挖机作河底清淤泥工作，大挖机每小时比小挖机多挖，若大挖机挖所用的时间与小挖机挖所用的时间相同，若设小挖机每小时挖，则依题意可列方程为 　　． 知识点07 分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【即学即练1】（利辛县期末）一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前到达目的地．原计划的行驶速度是　　． 【即学即练2】（2023春•滁州期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？ （3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元个和15元个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 题型01解分式方程 1．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）解方程，两边同乘后得到的式子为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的分式方程的解是整数，则整数m的值是 ． 3．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）解方程：． 题型02 根据分式方程解的情况求值 4．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A．0 B． C．1 D． 5．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）已知关于的分式方程的解为正数，则k的取值范围是 ． 6．（22-23七年级下·安徽滁州·阶段练习）已知关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若方程有增根，求的值． 题型03 分式方程无解问题 7．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ） A． B． C．1或 D．5 8．（23-24七年级下·安徽池州·期末）若关于x的分式方程：无解，则m值为 ． 9．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知关于的分式方程． (1)若方程有增根，求的值； (2)若方程无解，求的值． 题型04 列分式方程 10．（23-24·安徽滁州·期末）定义一种运算：当时，．当时，．若，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 11．（22-23七年级下·安徽滁州·阶段练习）某河道有大小两台挖机作河底清淤泥工作，大挖机每小时比小挖机多挖，若大挖机挖所用的时间与小挖机挖所用的时间相同，若设小挖机每小时挖，则依题意可列方程为 ． 题型05 分式方程的行程问题 12．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）端午期间，班主任王老师带领全班同学去距离学校25的公园做活动，男生在班长的带领下，骑自行车提前80分钟出发，女生在王老师的带领下乘公交车出发，结果两队同时到达，若公交车的速度是自行车速度的3倍，设男生队骑车的速度是x，则方程为（    ） A． B． C． D． 13．（2024七年级下·安徽·专题练习）2020年6月8日，岳西县黄沙岭隧道建成通车，来榜至岳西里程由原来的23千米缩短为现在的16千米．从来榜开车到岳西，若隧道开通后的平均速度比隧道开通前的平均速度提高，则隧道开通后比隧道开通前少用22分钟，在隧道开通和平均速度提高的条件下，从来榜开车到岳西只需多少分钟？ 题型06 分式方程的工程问题 14．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）巢马城际铁路某路段由甲、乙两个工程队共同承包修建，经调查，甲工程队单独完成该工程的时间是乙工程队单独完成该工程时间的2倍，若甲、乙两工程队共同完成该工程需要20天，则乙工程队单独完成该工程的时间是（    ） A．30天 B．35天 C．40天 D．60天 15．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）我县一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知有三种方案． A方案：甲队单独完成这项工程，需要的时间是规定时间的倍； B方案：乙队单独完成这项工程刚好如期完成； C方案：******，剩下的工程由甲队单独做，也正好如期完成． 已知一个同学按照C方案，设规定的时间为天，根据题意列出方程： (1)根据所列方程，C方案中“******”部分描述的已知条件应该是_________． (2)从投标书中得知，甲队每施工一天所需费用为万元，乙队每施工一天所需费用为万元，请你在如期完成的两种方案中，判断哪种方案更省钱，说明理由． 题型07 分式方程的经济问题 16．（21-22七年级下·安徽合肥·阶段练习）课本习题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶？”以下为四位同学列出的方程，正确的是 ． 甲：解：设该品牌饮料每瓶是元，则 乙：解：设该品牌饮料每箱瓶，则 丙：解：设该品牌饮料每瓶是元，则 丁：解：设该品牌饮料每箱瓶，则 17．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）为创建花园式学校，提升学生的学习环境，在学校团委的倡议下，七年级同学计划购买绿萝和吊兰两种花卉美化教室．已知吊兰的单价比绿萝的单价高5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． (1)求绿萝和吊兰的单价分别是多少元； (2)若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，求最多能购买吊兰多少盆． 题型08 分式方程和差倍分问题 18．（22-23七年级下·安徽六安·期末）已知甲同学阅读150页课外读物与乙同学阅读200页课外读物所用的时间相同，且两人每小时共阅读60页课外读物，求甲同学每小时阅读课外读物的页数？若设甲同学每小时阅读课外读物x页，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 19．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）地推经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用600元购进A型玩具的数量比用180元购进B型玩具的数量多64个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.2倍． (1)求A、B两种型号玩具的单价各是多少元？ 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：    乙： 则甲所列方程中的x表示：__________； 乙所列方程中的x表示：__________； 请你帮助甲同学完成剩下的解题过程． (2)该经营者第二次进货恰好用了1150元，由于场地存放限制，要求总数量不超过200个，则最多可购进B型玩具多少个？ 题型09 分式方程的其它实际问题 20．（23-24七年级下·安徽宣城·期末）某快递公司采用两种型号的数控机器人分拣快递，已知型数控机器人比型数控机器人每小时多分拣30件快递，型数控机器人分拣900件快递所用时间与型数控机器人分拣600件快递所用时间相等． (1)两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ (2)“618”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分拣完成5760件快递，且两种机器人都要有，则有几种机器人的安排方案． 一、单选题 1．在方程：①，②，③，④，是分式方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 2．甲、乙两人同时从 A地出发，步行 15km 到 B地，甲比乙每小时多走 1km，结果甲比乙早到半小时，两人每小时各走几千米？设甲每小时走 x km，则可列出的方程为（    ） A． B． C． D． 3．分式方程的解是（    ） A． B．无解 C． D． 4．下列关于的方程，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 5．把分式方程，的两边同时乘以x-2，约去分母，得（ ） A．1-(1-x)=1 B．1+(1-x)=1 C．1-(1-x)=x-2 D．1+(1-x)=x-2 6．若关于x的方程有增根，则k的值为(    )． A．3 B．1 C．0 D．－1 7．某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路公里，根据题意列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为　　 A． B． C． D． 9．甲、乙两地之间的高速公路全长，比原来国道的长度减少了．高速公路通车后，某长途汽车的行驶速度提高了，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半．设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为．则正确的是（    ） A．依题意 B．依题意 C．在国道上的速度是 D．在高速上的速度是 10．若实数m使得关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m的和为（    ） A．-7 B．-10 C．-12 D．-15 二、填空题 11．方程的解为 ． 12．已知关于x的方程的解为，则m= ． 13．分式方程有增根，则增根为 ，a为 . 14．某商场分别用2000元和2400元购进相同数量的甲、乙两种商品，已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，则甲种商品每件进价为 元； 三、解答题 15．已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 16．解方程 (1) (2) 17．解方程： (1)； (2)． 18．某市与A、B两地的距离分别是600千米和450千米，从某市开往A地列车的速度比从某市开往B地列车的速度快15千米/时，结果从某市到A、B两地所需时间相同，求从某市开往A地列车的速度． 19．解方程： (1)； (2)． 20．（1）化简求值：，其中． （2）解分式方程： 21．解下列分式方程： (1) (2) 22．小明骑助动车，从家到学校去参加计算机能力考试，两地之间相距50千米，当他行驶了10千米后将车速加速为原先的2倍，结果比原计划提前1小时到达学校，请问他原计划的 车速是多少千米/小时？ 23．已知分式方程有解，其中“”表示一个数． (1)若“”表示的数为，求分式方程的解； (2)嘉淇回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错了，导致找不到原题目了，但可以肯定的是“”是，这两个数中的一个．请你帮助嘉淇确定“”表示的数，并求原分式方程的解． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$