第一章 专题强化 运动的合成与分解应用实例-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一物理必修第二册教师用书（教科版2019）

DIYIZHANG 第一章 专题强化　运动的合成与 分解应用实例 1 1.能利用运动的合成和分解知识分析小船渡河问题，会求小船渡河的最短时间和最短位移(重难点)。 2.能掌握常见的绳关联模型和杆关联模型速度分解的方法(重点)。 学习目标 2 一、小船渡河模型 二、关联速度模型 专题强化练 内容索引 3 小船渡河模型 一 4 一条宽度为d的河流，已知船在静水中的速度为v船，水流速度为v水，那么： 1.渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？方向如何？ 答案　(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同。 (2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行。 2.小船渡河时间问题 (1)怎么求解小船渡河过程所用的时间？ 答案　小船渡河时间取决于垂直河岸的分速度，可知渡河时间：t=。 (2)怎样航行小船渡河时间最短？最短时间是多少？ 答案　由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度。因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。tmin=。 (3)以最短时间航行，小船能否到达正对岸？画出运动情况示意图加以说明。 答案　不能。如图所示。 (4)如果渡河过程中水流速度突然增大，是否影响渡河时间？ 答案　不影响，因为渡河时间与水流速度无关。 3. 小船渡河位移问题 (1)若小船渡河位移最小，船头指向如何？此时位移为多少？画出运动情况示意图加以说明(设v船>v水)。 答案　船头指向偏向上游，使合速度垂直岸。此时位移为河宽d。如图所示。 (2)以最短位移渡河时，渡河时间是多少？ 答案　以最短位移渡河时，船头与上游河岸夹角θ满足：v船cos θ=v水，渡河所用时间t=。 (2023·四川绵阳市高一期中)1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300 m，水流速度3 m/s，木船相对静水速度1 m/s，则突击队渡河所需的最短时间为 A.75 s B.95 s C.100 s D.300 s 例1 √ 河宽d=300 m一定，当木船船头垂直河岸时，在河宽方向上的速度最大，渡河用时最短，即木船垂直河岸的速度为相对静水的速度v=1 m/s，渡河时间最短为tmin== s=300 s，故选D。 　小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求：(sin 53°=0.8，cos 53°=0.6) (1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？ 例2 答案　40 s　正对岸下游120 m处 当小船的船头始终正对对岸行驶时，小船垂直河岸的速度即为小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t== s=40 s，小船沿河流方向的位移x=v水t=3×40 m=120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。 (2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？ 答案　船头指向与河岸的上游成53°角　50 s 要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图所示，则v合==4 m/s，经历时间t'== s=50 s 又cos θ==，即船头指向与河岸的上游成53°角。 拓展　如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？画出运动情景示意图加以说明。 答案　如果水流速度变为10 m/s，如图所示，要使小 船航程最短，应使v合'的方向垂直于v船，故船头应偏 向上游，与河岸成θ'角，有cos θ'==，解得θ'=60°，即船头指向与河岸的上游成60°角。 返回 关联速度模型 二 14 如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，用绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连。 (1)在相等的时间内，小车A和小船B运动的位移相等吗？ 答案　不相等。如图，船的位移x船大于车的位移x车=l1-l2。 (2)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？如果不相等，哪个速度大？ 答案　不相等，船的速度大于车的速度。 (3)从运动的合成与分解的角度看，小船上P点的速度可以分解为哪两个分速度？ 答案　如图，P点速度可以分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度。 (4)若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α，则船的速度是多大？ 答案　由v=v船cos α得v船=。 (2023·成都市高一期中)如图，一辆货车通过轻绳提升一货物，某一时刻拴在货车一端的轻绳与水平方向的夹角为θ，此时货车的速度大小为v0，则此时货物的速度大小为 A. B.v0cos θ C.v0sin θ D.v0tan θ 例3 √ 货车的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度，根据平行四边形定则，有v绳=v0cos θ，而货物的速度等于沿绳子方向的速度，即货物的速度大小为v0cos θ，故选B。 (2023·重庆高一期中)如图所示，有一不可伸长的轻绳，绕过光滑定滑轮C，与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接，连接物体B的绳刚开始水平。从当前位置开始，使物体B以速度v沿杆匀速向下运动，设绳的拉力为T，重力加速度为g，在此后的运动过程中，下列说法正确的是 A.物体A做加速运动 B.当轻绳与杆夹角为α时，物体A的速度为vsin α C.T小于mgsin θ D.T等于mgsin θ 例4 √ 当轻绳与杆夹角为α时，将物体B的速度方向沿绳方向和垂直绳方向分解，可知绳端的速度为vcos α，且vcos α=vA，因为B为匀速运动，B下降过程中α变小，cos α变大，因此物体A做加速运动，所以T大于mgsin θ。故选A。 (多选)(2022·邢台市高一月考)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，在如图位置，下列说法正确的是 A.甲、乙两球的速度大小之比为∶3 B.甲、乙两球的速度大小之比为3∶7 C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等 D.甲球即将落地时，乙球的速度为零 例5 √ √ 设此时轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为v1∥=v1cos θ，v2在沿杆方向的分量为v2∥=v2sin θ，而v1∥=v2∥，题图所示位置时，有cos θ=，sin θ=，解 得此时甲、乙两球的速度大小之比为=，故A错误，B正确； 当甲球即将落地时，有θ=90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，故C错误，D正确。 1.分析“关联”速度的基本步骤 总结提升 2.常见的速度分解模型 总结提升 情景图示 定量结论   v=v∥=v物cos θ   v物'=v∥=v物cos θ 总结提升 情景图示 定量结论   v∥=v∥' 即v物cos θ=v物'cos α   v∥=v∥' 即v物cos α=v物'cos β 返回 专题强化练 三 26 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B AD D A C D 题号 9 11 答案 C B 27 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. (1)①船头应朝垂直河岸方向　36 s　90 m ②船头与上游河岸成60°角　24 s　180 m (2)船头应朝上游与河岸成53°角方向　150 s　300 m 28 考点一 　小船渡河模型 1.(2023·四川自贡高一期中)如图所示，河水向左流动，实线表示河岸，虚线表示某同学画出小船从河岸M驶向对岸N的航线，下图中符合实际且能使小船渡河时间最短的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础对点练 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 小船若要使渡河时间最短，则船头应始终与河岸保持垂直，而小船实际运动轨迹沿合速度方向，为斜向左上，综上所述可知A符合实际。 答案 2.(2024·四川高一联考期中)某条河宽度为600 m，河水流速恒为3 m/s，小船在静水中的速度大小为5 m/s，则 A.若船以最短时间渡河，渡河时间为120 s B.若船以最短时间渡河，渡河路程为600 m C.船不能到达出发点正对岸 D.若河水流速增大，则渡河最短时间将增大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 小船渡河时间最短时，船头始终垂直河岸方向，则最短时间为t== s=120 s，沿水流方向位移x=v水t=3×120 m=360 m，渡河路程为s=>600 m，故A正确，B错误； 小船在静水中的速度大于河水的流速，当合速度与河岸垂直时，小船能到达正对岸，故C错误； 只要船速恒定，无论水速如何变化，小船的最短渡河时间都为120 s，故D错误。 答案 3.(2023·四川遂宁高一期末)某次应急演练在一段河岸平直的河面举行。抢险志愿者驾驶摩托快艇到对岸救人。快艇在静水中的航行速度大小为10 m/s，河流的水流速度大小为6 m/s，已知快艇在此河流中渡河的最短时间为10 s。若快艇以最短路程渡河，渡河的时间为 A.10 s B.12.5 s C.15.5 s D.17.5 s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 当快艇船头垂直河岸时，渡河时间最短，可得河宽为d=v艇t1=100 m，设快艇以最短路程渡河时，船头与河岸上游夹角为θ，满足cos θ==，此时渡河时间为t2==12.5 s，故选B。 答案 考点二　关联速度模型 4.(多选)(2023·四川泸州高一期中)如图所示，一人在岸上以v0的速度匀速拉动绳子，此时连接小船的绳子与竖直方向成θ角，则下列关系成立的是 A.此时船的速度大小为 B.此时船的速度大小为v0cos θ C.船向左做减速运动 D.船向左做加速运动 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 船的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度，根据平行四边形定则，有v船sin θ=v0，则v船=；船向左运动时，θ减小，则船速变大，即船向左做加速运动，则选项A、D正确，B、C错误。 答案 5.(2024·绵阳市高一期中)如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，物体A和B分别在两条轨道上，它们通过一根绕过光滑轻质定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速率vA=10 m/s匀速运动，在绳与轨道成30°角时，物体B的速度大小vB为 A.5 m/s B. m/s C.20 m/s D. m/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 物体B的速度可分解为如图所示的两个分速度，由图可知vB∥=vBcos 30°，由于绳不可伸长，有vB∥=vA，故vA=vBcos 30°，所以vB== m/s，故选D。 答案 6.(2023·江苏淮安高一期中)如图所示，均质细杆的上端A靠在光滑竖直墙面上，下端B置于光滑水平面上，现细杆由与墙面夹角很小处滑落，则当细杆A端与B端的速度大小之比为时，细杆与水平面间的夹角θ为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A.30° B.45° C.60° D.90° √ 当细杆与水平面间夹角为θ时，细杆A端与B端的速度沿杆方向的分速度相等，可得vAsin θ=vBcos θ，即tan θ==，解得θ=30°，故选A。 答案 7.(2023·武强中学高一期中)如图甲所示，小球A与小球B用跨搭在一半球形容器壁上边缘的轻绳相连接，半球形容器壁的上边缘是光滑的，小球A位于半球形容器的内壁靠近上边缘处，小球B位于半球形容器外，将小球A由静止释放牵引小球B运动，当小球A运动至半球形容器底部时(如图乙所示)，小球B的速度是v，则此时A的速度为 A.v B.2v C.v D.v 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 能力综合练 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 将小球A的速度分解为沿轻绳方向的速度和垂直轻绳方向的速度，则沿轻绳方向的速度等于小球B的速度v，则由速度的分解可得vAcos 45°=v，解得vA=v，故选C。 答案 8.如图所示为一条河流，水流速度为v，某船从A点先后两次渡河到对岸，船在静水中行驶的速度为v静，第一次船头向着AB方向行驶，渡河时间为t1，船的位移为l1；第二次船头向着AC方向行驶，渡河时间为t2，船的位移为l2，若AB、AC与河岸垂线方向的夹角相等，则 A.t1>t2，l1<l2 B.t1<t2，l1>l2 C.t1=t2，l1<l2 D.t1=t2，l1>l2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由题知先后两次船在垂直于河岸方向上的分速度相等，渡河时间t=，所以两次渡河时间相等；设 AB、AC与河岸垂线的夹角为θ，船头向着AB方向行驶时，沿河岸方向v1=v静sin θ+v，船头向着AC方向行驶时，沿河岸方向v2=|v-v静sin θ|<v1，则沿河岸方向上的位移x1>x2，又因为垂直河岸方向的位移相等，根据平行四边形定则，l1>l2，故D正确，A、B、C错误。 答案 9.如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A与球形容器的球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ=30°角，B球的速度大小为v2，则 A.v2=v1 B.v2=2v1 C.v2=v1 D.v2=v1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 如图所示，将A球速度分解成沿着杆与垂直于杆两个方向，同时B球速度也分解成沿着杆与垂直于杆两个方向。根据矢量关系则有，对A球：v∥=v1sin θ，而对B球：v∥'=v2sin θ，由于A、B两球在同一杆上，则有v1sin θ=v2sin θ，所以v2=v1，故C正确，A、B、D错误。 答案 10.(2022·遂宁市绿然国际学校高一月考)一小船渡河，河宽d=180 m，水流速度v1=2.5 m/s。(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8) (1)若船在静水中的速度为v2=5 m/s。 ①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案　船头应朝垂直河岸方向　36 s　90 m 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 若v2=5 m/s，船速大于水速。 欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向；当船头垂直河岸时，如图甲所示 tmin== s=36 s v合== m/s x1=v合tmin=90 m 答案 ②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案　船头与上游河岸成60°角　24 s　180 m 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向，如图乙所示 有v2sin α=v1 得α=30° 所以当船头与上游河岸夹角为60°时航程最短 x2=d=180 m t===24 s 答案 (2)若船在静水中的速度v2'=1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案　船头应朝上游与河岸成53°角方向　150 s　300 m 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 若v2'=1.5 m/s，船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为θ，则航程x3= 欲使航程最短，需使θ最大，如图丙所示，以v1矢量末端为圆心，v2'大小为半径作圆，出发点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v合″与水平方向夹角最大，应使v合″与圆相切， 即v合″⊥v2'，sin θ==，得θ=37° 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 所以船头应朝上游与河岸夹角为53°方向 t'===150 s x3==300 m。 答案 11.(2023·揭阳市高一期中)如图所示，物块B套在倾斜杆上，并用轻绳绕过定滑轮与物块A相连(定滑轮体积大小可忽略)，今使物块B沿杆由M点匀速下滑到N点，运动中连接A、B的轻绳始终保持绷紧状态，在下滑过程中，下列说法正确的是 A.物块A的速度先变大后变小 B.物块A的速度先变小后变大 C.物块A始终处于失重状态 D.物块A先处于失重状态，后处于超重状态 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 尖子生选练 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 将物块B的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，如图， 根据平行四边形定则，沿绳子方向的速度为vA=vBcos θ， 可知θ在增大到90°的过程中，物块A的速度方向向下， 且逐渐减小；由图可知，当物块B到达P点时，物块B与滑轮之间的距离最短，绳子长度最小，此时θ=90°，vA=0，此后物块A向上运动，且速度增大；所以在物块B沿杆由M点匀速下滑到N点的过程中，物块A的速度先向下减小，然后向上增大，故A错误，B正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 物块A向下做减速运动和向上做加速运动的过程中，加速度的方向都向上，所以物块A始终处于超重状态，故C、D错误。 返回 答案 BENKEJIESHU 本课结束 $$ 专题强化　运动的合成与分解应用实例 ［学习目标］　1.能利用运动的合成和分解知识分析小船渡河问题，会求小船渡河的最短时间和最短位移(重难点)。2.能掌握常见的绳关联模型和杆关联模型速度分解的方法(重点)。 一、小船渡河模型 一条宽度为d的河流，已知船在静水中的速度为v船，水流速度为v水，那么： 1.渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？方向如何？ 答案　(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同。 (2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行。 2.小船渡河时间问题 (1)怎么求解小船渡河过程所用的时间？ (2)怎样航行小船渡河时间最短？最短时间是多少？ (3)以最短时间航行，小船能否到达正对岸？画出运动情况示意图加以说明。 (4)如果渡河过程中水流速度突然增大，是否影响渡河时间？ 答案　(1)小船渡河时间取决于垂直河岸的分速度，可知渡河时间：t=。 (2)由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度。因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。tmin=。 (3)不能。如图所示。 (4)不影响，因为渡河时间与水流速度无关。 3. 小船渡河位移问题 (1)若小船渡河位移最小，船头指向如何？此时位移为多少？画出运动情况示意图加以说明(设v船>v水)。 (2)以最短位移渡河时，渡河时间是多少？ 答案　(1)船头指向偏向上游，使合速度垂直岸。此时位移为河宽d。如图所示。 (2)以最短位移渡河时，船头与上游河岸夹角θ满足：v船cos θ=v水，渡河所用时间t=。 例1　(2023·四川绵阳市高一期中)1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300 m，水流速度3 m/s，木船相对静水速度1 m/s，则突击队渡河所需的最短时间为(　　) A.75 s B.95 s C.100 s D.300 s 答案　D 解析　河宽d=300 m一定，当木船船头垂直河岸时，在河宽方向上的速度最大，渡河用时最短，即木船垂直河岸的速度为相对静水的速度v=1 m/s，渡河时间最短为tmin== s=300 s，故选D。 例2　小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求：(sin 53°=0.8，cos 53°=0.6) (1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？ (2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？ 答案　(1)40 s　正对岸下游120 m处　(2)船头指向与河岸的上游成53°角　50 s 解析　(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，小船垂直河岸的速度即为小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t== s=40 s，小船沿河流方向的位移x=v水t=3×40 m=120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。 (2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图所示，则v合==4 m/s，经历时间t'== s=50 s 又cos θ==，即船头指向与河岸的上游成53°角。 拓展　如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？画出运动情景示意图加以说明。 答案　如果水流速度变为10 m/s，如图所示，要使小船航程最短，应使v合'的方向垂直于v船，故船头应偏向上游，与河岸成θ'角，有cos θ'==，解得θ'=60°，即船头指向与河岸的上游成60°角。 二、关联速度模型 如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，用绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连。 (1)在相等的时间内，小车A和小船B运动的位移相等吗？ (2)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？如果不相等，哪个速度大？ (3)从运动的合成与分解的角度看，小船上P点的速度可以分解为哪两个分速度？ (4)若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α，则船的速度是多大？ 答案　(1)不相等。如图，船的位移x船大于车的位移x车=l1-l2。 (2)不相等，船的速度大于车的速度。 (3)如图，P点速度可以分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度。 (4)由v=v船cos α得v船=。 例3　(2023·成都市高一期中)如图，一辆货车通过轻绳提升一货物，某一时刻拴在货车一端的轻绳与水平方向的夹角为θ，此时货车的速度大小为v0，则此时货物的速度大小为(　　) A. B.v0cos θ C.v0sin θ D.v0tan θ 答案　B 解析　货车的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度，根据平行四边形定则，有v绳=v0cos θ，而货物的速度等于沿绳子方向的速度，即货物的速度大小为v0cos θ，故选B。 例4　(2023·重庆高一期中)如图所示，有一不可伸长的轻绳，绕过光滑定滑轮C，与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接，连接物体B的绳刚开始水平。从当前位置开始，使物体B以速度v沿杆匀速向下运动，设绳的拉力为T，重力加速度为g，在此后的运动过程中，下列说法正确的是(　　) A.物体A做加速运动 B.当轻绳与杆夹角为α时，物体A的速度为vsin α C.T小于mgsin θ D.T等于mgsin θ 答案　A 解析　当轻绳与杆夹角为α时，将物体B的速度方向沿绳方向和垂直绳方向分解，可知绳端的速度为vcos α，且vcos α=vA，因为B为匀速运动，B下降过程中α变小，cos α变大，因此物体A做加速运动，所以T大于mgsin θ。故选A。 例5　(多选)(2022·邢台市高一月考)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，在如图位置，下列说法正确的是(　　) A.甲、乙两球的速度大小之比为∶3 B.甲、乙两球的速度大小之比为3∶7 C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等 D.甲球即将落地时，乙球的速度为零 答案　BD 解析　设此时轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为v1∥=v1cos θ，v2在沿杆方向的分量为v2∥=v2sin θ，而v1∥=v2∥，题图所示位置时，有cos θ=，sin θ=，解得此时甲、乙两球的速度大小之比为=，故A错误，B正确；当甲球即将落地时，有θ=90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，故C错误，D正确。 1.分析“关联”速度的基本步骤 2.常见的速度分解模型 情景图示 定量结论 v=v∥=v物cos θ v物'=v∥=v物cos θ v∥=v∥' 即v物cos θ=v物'cos α v∥=v∥' 即v物cos α=v物'cos β 专题强化练　［分值：100分］ 1~6题每题8分，共48分 考点一 　小船渡河模型 1.(2023·四川自贡高一期中)如图所示，河水向左流动，实线表示河岸，虚线表示某同学画出小船从河岸M驶向对岸N的航线，下图中符合实际且能使小船渡河时间最短的是(　　) 答案　A 解析　小船若要使渡河时间最短，则船头应始终与河岸保持垂直，而小船实际运动轨迹沿合速度方向，为斜向左上，综上所述可知A符合实际。 2.(2024·四川高一联考期中)某条河宽度为600 m，河水流速恒为3 m/s，小船在静水中的速度大小为5 m/s，则(　　) A.若船以最短时间渡河，渡河时间为120 s B.若船以最短时间渡河，渡河路程为600 m C.船不能到达出发点正对岸 D.若河水流速增大，则渡河最短时间将增大 答案　A 解析　小船渡河时间最短时，船头始终垂直河岸方向，则最短时间为t== s=120 s，沿水流方向位移x=v水t=3×120 m=360 m，渡河路程为s=>600 m，故A正确，B错误；小船在静水中的速度大于河水的流速，当合速度与河岸垂直时，小船能到达正对岸，故C错误； 只要船速恒定，无论水速如何变化，小船的最短渡河时间都为120 s，故D错误。 3.(2023·四川遂宁高一期末)某次应急演练在一段河岸平直的河面举行。抢险志愿者驾驶摩托快艇到对岸救人。快艇在静水中的航行速度大小为10 m/s，河流的水流速度大小为6 m/s，已知快艇在此河流中渡河的最短时间为10 s。若快艇以最短路程渡河，渡河的时间为(　　) A.10 s B.12.5 s C.15.5 s D.17.5 s 答案　B 解析　当快艇船头垂直河岸时，渡河时间最短，可得河宽为d=v艇t1=100 m，设快艇以最短路程渡河时，船头与河岸上游夹角为θ，满足cos θ==，此时渡河时间为t2==12.5 s，故选B。 考点二　关联速度模型 4.(多选)(2023·四川泸州高一期中)如图所示，一人在岸上以v0的速度匀速拉动绳子，此时连接小船的绳子与竖直方向成θ角，则下列关系成立的是(　　) A.此时船的速度大小为 B.此时船的速度大小为v0cos θ C.船向左做减速运动 D.船向左做加速运动 答案　AD 解析　船的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度，根据平行四边形定则，有v船sin θ=v0，则v船=；船向左运动时，θ减小，则船速变大，即船向左做加速运动，则选项A、D正确，B、C错误。 5.(2024·绵阳市高一期中)如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，物体A和B分别在两条轨道上，它们通过一根绕过光滑轻质定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速率vA=10 m/s匀速运动，在绳与轨道成30°角时，物体B的速度大小vB为(　　) A.5 m/s B. m/s C.20 m/s D. m/s 答案　D 解析　物体B的速度可分解为如图所示的两个分速度，由图可知vB∥=vBcos 30°，由于绳不可伸长，有vB∥=vA，故vA=vBcos 30°，所以vB== m/s，故选D。 6.(2023·江苏淮安高一期中)如图所示，均质细杆的上端A靠在光滑竖直墙面上，下端B置于光滑水平面上，现细杆由与墙面夹角很小处滑落，则当细杆A端与B端的速度大小之比为时，细杆与水平面间的夹角θ为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案　A 解析　当细杆与水平面间夹角为θ时，细杆A端与B端的速度沿杆方向的分速度相等，可得vAsin θ=vBcos θ，即tan θ==，解得θ=30°，故选A。 7~9题每题9分，10题14分，共41分 7.(2023·武强中学高一期中)如图甲所示，小球A与小球B用跨搭在一半球形容器壁上边缘的轻绳相连接，半球形容器壁的上边缘是光滑的，小球A位于半球形容器的内壁靠近上边缘处，小球B位于半球形容器外，将小球A由静止释放牵引小球B运动，当小球A运动至半球形容器底部时(如图乙所示)，小球B的速度是v，则此时A的速度为(　　) A.v B.2v C.v D.v 答案　C 解析　将小球A的速度分解为沿轻绳方向的速度和垂直轻绳方向的速度，则沿轻绳方向的速度等于小球B的速度v，则由速度的分解可得vAcos 45°=v，解得vA=v，故选C。 8.如图所示为一条河流，水流速度为v，某船从A点先后两次渡河到对岸，船在静水中行驶的速度为v静，第一次船头向着AB方向行驶，渡河时间为t1，船的位移为l1；第二次船头向着AC方向行驶，渡河时间为t2，船的位移为l2，若AB、AC与河岸垂线方向的夹角相等，则(　　) A.t1>t2，l1<l2 B.t1<t2，l1>l2 C.t1=t2，l1<l2 D.t1=t2，l1>l2 答案　D 解析　由题知先后两次船在垂直于河岸方向上的分速度相等，渡河时间t=，所以两次渡河时间相等；设AB、AC与河岸垂线的夹角为θ，船头向着AB方向行驶时，沿河岸方向v1=v静sin θ+v，船头向着AC方向行驶时，沿河岸方向v2=|v-v静sin θ|<v1，则沿河岸方向上的位移x1>x2，又因为垂直河岸方向的位移相等，根据平行四边形定则，l1>l2，故D正确，A、B、C错误。 9.如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A与球形容器的球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ=30°角，B球的速度大小为v2，则(　　) A.v2=v1 B.v2=2v1 C.v2=v1 D.v2=v1 答案　C 解析　如图所示，将A球速度分解成沿着杆与垂直于杆两个方向，同时B球速度也分解成沿着杆与垂直于杆两个方向。根据矢量关系则有，对A球：v∥=v1sin θ，而对B球：v∥'=v2sin θ，由于A、B两球在同一杆上，则有v1sin θ=v2sin θ，所以v2=v1，故C正确，A、B、D错误。 10.(14分)(2022·遂宁市绿然国际学校高一月考)一小船渡河，河宽d=180 m，水流速度v1=2.5 m/s。(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8) (1)(8分)若船在静水中的速度为v2=5 m/s。 ①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ ②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ (2)(6分)若船在静水中的速度v2'=1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ 答案　(1)①船头应朝垂直河岸方向　36 s 90 m ②船头与上游河岸成60°角　24 s　180 m (2)船头应朝上游与河岸成53°角方向　150 s　300 m 解析　(1)若v2=5 m/s，船速大于水速。 ①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向；当船头垂直河岸时，如图甲所示 tmin== s=36 s v合== m/s x1=v合tmin=90 m ②欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向，如图乙所示 有v2sin α=v1 得α=30° 所以当船头与上游河岸夹角为60°时航程最短 x2=d=180 m t===24 s (2)若v2'=1.5 m/s，船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为θ，则航程x3= 欲使航程最短，需使θ最大，如图丙所示，以v1矢量末端为圆心，v2'大小为半径作圆，出发点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v合″与水平方向夹角最大，应使v合″与圆相切， 即v合″⊥v2'，sin θ==，得θ=37° 所以船头应朝上游与河岸夹角为53°方向 t'===150 s x3==300 m。 　(11分) 11.(2023·揭阳市高一期中)如图所示，物块B套在倾斜杆上，并用轻绳绕过定滑轮与物块A相连(定滑轮体积大小可忽略)，今使物块B沿杆由M点匀速下滑到N点，运动中连接A、B的轻绳始终保持绷紧状态，在下滑过程中，下列说法正确的是(　　) A.物块A的速度先变大后变小 B.物块A的速度先变小后变大 C.物块A始终处于失重状态 D.物块A先处于失重状态，后处于超重状态 答案　B 解析　将物块B的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，如图， 根据平行四边形定则，沿绳子方向的速度为vA=vBcos θ， 可知θ在增大到90°的过程中，物块A的速度方向向下，且逐渐减小；由图可知，当物块B到达P点时，物块B与滑轮之间的距离最短，绳子长度最小，此时θ=90°，vA=0，此后物块A向上运动，且速度增大；所以在物块B沿杆由M点匀速下滑到N点的过程中，物块A的速度先向下减小，然后向上增大，故A错误，B正确；物块A向下做减速运动和向上做加速运动的过程中，加速度的方向都向上，所以物块A始终处于超重状态，故C、D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $$