第七单元图形的运动（二）·思维素养篇【从课内到奥数】-2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）人教版

篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 目 录 【课内精选一】轴对称 3 【课内精选二】平移 3 【课内精选三】平移和轴对称综合作图 4 【奥数拓展一】图形的平移 7 【奥数拓展二】图形的切拼（一） 8 【奥数拓展三】图形的切拼（二） 8 【奥数拓展四】图形的拼组 9 【奥数拓展五】等腰三角形的对称轴（一） 10 【奥数拓展六】等腰三角形的对称轴（二） 11 2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」 第七单元图形的运动（二）·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】轴对称。 下面是轴对称图形的画上“√”，不是的画上“×”。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 【专项训练】 1．数学的对称美无处不在，“”是一个汉字的左半部分，那么完整的汉字可能是( )。 2．下面图形中有2条对称轴的是( )，有4条对称轴的是( )，有无数条对称轴的是( )（填序号）。 ①.        ②.        ③. 3．在一个轴对称图形中，如果点A到对称轴的距离是5厘米，那么它的对称点A＇到对称轴的距离是( )厘米。 【课内精选二】平移。 哪一幅图是由左边的图形平移得到，在后面的括号里画“√”。 【专项训练】 1．下边图形的面积是( )。（每个小正方形边长是2cm。） 2．如图，把平行四边形ABCD的左边这一小部分剪下来，向( )平移( )格，就可以拼成一个长方形。这个长方形面积是( )cm2。（1格代表1cm2） 3．“徽州三雕”是徽派文化中最具代表性的艺术，名列第一批国家级非物质文化遗产名录。下图是徽州花窗的平面图，仔细观察，图形A通过( )可以得到图形B，图形B通过( )能得到图形C。 【课内精选三】平移和轴对称综合作图。 画出轴对称图形的另一半，再把整个图形向右平移4格。 【专项训练】 1．按要求画图。 （1）画出将图A向下平移5格后的图形。 （2）以虚线为对称轴，画出轴对称图形B的另一半。 2．“俄罗斯方块”的规则是平移或旋转方块，使之排列成完整的一行，这一行就会消除。 （1）要把最下面一行的方块消除，应该先向( )平移( )格，再向( )平移( )格。 （2）提示栏中，下一组图形是由3个小方块组成的，请你再画一个小方块，把它变成3个不同的轴对称图形。 3．画一画。 （1）画出图形①关于虚线的轴对称图形。 （2）画出将图形②先向右平移5个方格，再向下平移2个方格后的图形。 （3）画出将图形③向左平移5格后的图形。 【奥数拓展一】图形的平移。 用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其他地方铺白色的，如图所示，如果铺满这块地面共用101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块? 【专项训练】 1. 下图，一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有二道黑条，黑条宽都是2厘米，这条手帕白色部分的面积是多少? 2. 下图所示，一个大长方形由7个完全相同的长方形和3个小长方形(图中阴影部分)拼成，图中白色部分的面积是多少平方厘米? 3. 在一个正方形中放入一个四个顶点与大正方形相接的小正方形(如图)，如果两个正方形的周长相差16厘米，面积相差96平方厘米，小正方形的面积是多少平方厘米? 【奥数拓展二】图形的切拼（一）。 把图割成形状、大小都相等的6小块，使每块所含数字的和都相等。 【专项训练】 1. 将图形分成四个大小相等、形状相同的图形。 2. 将图形分成五个大小相等、形状相同的图形。 3. 将图形分成五个大小相等、形状相同的图形。(阴影部分是空的) 【奥数拓展三】图形的切拼（二）。 有两块同样大小的正方形桌布(如图)，现在请你把它们剪拼成一个大正方形桌布。 【专项训练】 1. 下图是一个正方形，请你用直线将它划分成11个互不重叠的小正方形(大小不一定全相同)。 2. 把下图长方形剪两刀，可以拼成一个正方形，应该怎样剪? 3. 先将图形分成两块，然后拼成一个正方形。 【奥数拓展四】图形的拼组。 一个正三角形的边长是3厘米，用几个这样的三角形可以拼成边长12厘米的大正三角形? 【专项训练】 1. 一个正三角形的边长是1，用几个这样的三角形可以拼成边长是6的大正三角形? 2. 一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸片，可以剪出多少个腰长4厘米的等腰直角三角形? 3. 一张长方形纸片长3厘米、宽2厘米，至少要有多少张这样的纸片才能拼出一张正方形纸片? 【奥数拓展五】等腰三角形的对称轴（一）。 下列方格图中，线段AB为等腰三角形的底边，画出△ABC使之为等腰三角形。 【专项训练】 1. 画出下列等腰三角形的对称轴。 2. 画出等边三角形的对称轴。 3. 以线段AB为等腰三角形ABC的腰，画出等腰三角形ABC。 【奥数拓展六】等腰三角形的对称轴（二）。 在下图中，△ABE、△BCE、△CDE都是等腰直角三角形，已知五边形ABCDE的面积是35平方分米，△ABE的面积是多少平方分米? 【专项训练】 1. 在下图的等腰直角三角形ABC中有一个正方形BDEF，已知正方形的面积是20平方厘米，三角形ABC的面积是多少平方厘米? 2. 画出下图的另一半，使之成为以三角形的边为轴的轴对称图形，共有几种画法?请你画一画。 3. 如图，一个大正方形被分成了9个小正方形，其中的2个小正方形已被涂上了阴影，在剩下的7个白色的小正方形中任选一个涂上阴影，使得图中涂有阴影的三个小正方形组成轴对称图形，共有多少种涂法? 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 15 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 15 页 目 录 【课内精选一】轴对称 .............................................................................................................3 【课内精选二】平移 .................................................................................................................3 【课内精选三】平移和轴对称综合作图 ................................................................................ 5 【奥数拓展一】图形的平移 .................................................................................................... 8 【奥数拓展二】图形的切拼（一） ........................................................................................ 9 【奥数拓展三】图形的切拼（二） ...................................................................................... 11 【奥数拓展四】图形的拼组 .................................................................................................. 12 【奥数拓展五】等腰三角形的对称轴（一） ...................................................................... 13 【奥数拓展六】等腰三角形的对称轴（二） ...................................................................... 14 第 3 页 共 15 页 2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第七单元图形的运动（二）·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】轴对称。 下面是轴对称图形的画上“√”，不是的画上“×”。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 【答案】 √ √ √ √ × √ 【专项训练】 1．数学的对称美无处不在，“ ”是一个汉字的左半部分，那么完整的汉字可能 是( )。 【答案】非 2．下面图形中有 2条对称轴的是( )，有 4条对称轴的是( )，有 无数条对称轴的是( )（填序号）。 ①. ②. ③. 【答案】 ② ③ ① 3．在一个轴对称图形中，如果点 A到对称轴的距离是 5厘米，那么它的对称点 A＇到对称轴的距离是( )厘米。 【答案】5 【课内精选二】平移。 哪一幅图是由左边的图形平移得到，在后面的括号里画“√”。 第 4 页 共 15 页 【答案】 【专项训练】 1．下边图形的面积是( ) 2cm 。（每个小正方形边长是 2cm。） 【答案】24 2．如图，把平行四边形 ABCD的左边这一小部分剪下来，向( )平移 ( )格，就可以拼成一个长方形。这个长方形面积是( )cm2。（1 格代表 1cm2） 【答案】 右 5 10 3．“徽州三雕”是徽派文化中最具代表性的艺术，名列第一批国家级非物质文化 遗产名录。下图是徽州花窗的平面图，仔细观察，图形 A通过( )可以得 到图形 B，图形 B通过( )能得到图形 C。 第 5 页 共 15 页 【答案】 轴对称 平移 【课内精选三】平移和轴对称综合作图。 画出轴对称图形的另一半，再把整个图形向右平移 4格。 【答案】 【专项训练】 1．按要求画图。 （1）画出将图 A向下平移 5格后的图形。 （2）以虚线为对称轴，画出轴对称图形 B的另一半。 【答案】 第 6 页 共 15 页 2．“俄罗斯方块”的规则是平移或旋转方块，使之排列成完整的一行，这一行就 会消除。 （1）要把最下面一行的方块消除， 应该先向( )平移( ) 格，再向( )平移( )格。 （2）提示栏中，下一组图形是由 3个小方块组成的，请你再画一个小方块，把 它变成 3个不同的轴对称图形。 【答案】 第 7 页 共 15 页 （1）由题意可知，要把最下面一行的方块消除， 应该先向右平移 3格， 再向下平移 8格。 （2）如图：（画法不唯一） 3．画一画。 （1）画出图形①关于虚线的轴对称图形。 （2）画出将图形②先向右平移 5个方格，再向下平移 2个方格后的图形。 （3）画出将图形③向左平移 5格后的图形。 【答案】 第 8 页 共 15 页 【奥数拓展一】图形的平移。 用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其他地方铺白色 的，如图所示，如果铺满这块地面共用 101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少 块? 解析： 我们可以把对角线上的黑瓷砖，通过平移，移到两条边上(如下图)，在这一转化 过程中瓷砖的位置发生了变化，但数量没有变，此时白色瓷砖组成一个正方形， 大正方形的边上能放(101+1)÷2=51(块)，白色瓷砖组成的正方形的边上能放 51－ 1=50(块)，所以白色瓷砖共用了 50×50=2500(块)，另解：51×51－101=2500(块)。 【专项训练】 1. 下图，一条白色的正方形手帕，它的边长是 18厘米，手帕上横竖各有二道黑 条，黑条宽都是 2厘米，这条手帕白色部分的面积是多少? 解析：(18－2×2)×(18－2×2)=196(平方厘米) 2. 下图所示，一个大长方形由 7个完全相同的长方形和 3个小长方形(图中阴影 部分)拼成，图中白色部分的面积是多少平方厘米? 第 9 页 共 15 页 解析： 对大长方形进行平移，可看出长=4个宽，长+2宽=24，宽为 24÷(4+2)=4(厘米)， 长为 4×4=16(厘米)，白色部分面积为 16×4×7=448(平方厘米)。 3. 在一个正方形中放入一个四个顶点与大正方形相接的小正方形(如图)，如果两 个正方形的周长相差 16厘米，面积相差 96平方厘米，小正方形的面积是多少平 方厘米? 解析： 可以将里面的正方形挪到一角上来计算，由下图可知 A的边长为：16÷4=4(厘米)， 所以小正方形 A的面积为：4×4=16(平方厘米)，白色长方形 B的面积为：(96－ 16)÷2=40(平方厘米)，小正方形 C的边长为：40÷4=10(厘米)，小正方形 C的面 积为：10×10=100(平方厘米)。 【奥数拓展二】图形的切拼（一）。 把图割成形状、大小都相等的 6小块，使每块所含数字的和都相等。 解析： 长方形中有 24个方格，将它分成大小相等的 6小块，那么每块就由 4个小方格 组成，长方形中 24个数，它们和等于 3×6+2×12+1×6=48，根据每块所含数字的 第 10 页 共 15 页 和都相等，那么每块图形中 4个数的和等于 48÷6=8，最后我们考虑 4个小方格 组成的图形是何种形状的，是“田”字形、“L"形还是“T”形、“Z”形，经过尝试， 就能找到答案。 【专项训练】 1. 将图形分成四个大小相等、形状相同的图形。 解析： 2. 将图形分成五个大小相等、形状相同的图形。 解析： 3. 将图形分成五个大小相等、形状相同的图形。(阴影部分是空的) 解析： 第 11 页 共 15 页 【奥数拓展三】图形的切拼（二）。 有两块同样大小的正方形桌布(如图)，现在请你把它们剪拼成一个大正方形桌布。 解析： 两个小正方形分别沿对角线剪开，得到 4个等腰直角三角形，拼成 1个大正方形。 (答案不唯一) 【专项训练】 1. 下图是一个正方形，请你用直线将它划分成 11个互不重叠的小正方形(大小不 一定全相同)。 解析： 2. 把下图长方形剪两刀，可以拼成一个正方形，应该怎样剪? 解析： 3. 先将图形分成两块，然后拼成一个正方形。 第 12 页 共 15 页 解析： 【奥数拓展四】图形的拼组。 一个正三角形的边长是 3厘米，用几个这样的三角形可以拼成边长 12厘米的大 正三角形? 解析： 根据题意，我们可以把问题转化为数小三角形的个数，将大正三角形分割成边长 为 3厘米的小三角形，如图，我们可以发现小三角形的个数是 1+3+5+7=16(个)， 所以用 16个边长 3厘米的小正三角形可以拼成边长 12厘米的大正三角形。 【专项训练】 1. 一个正三角形的边长是 1，用几个这样的三角形可以拼成边长是 6的大正三角 形? 解析：1+3+5+7+9+11=36(个) 2. 一张长 12厘米、宽 8厘米的长方形纸片，可以剪出多少个腰长 4厘米的等腰 直角三角形? 解析：12×8÷(4×4÷2)=12(个) 3. 一张长方形纸片长 3厘米、宽 2厘米，至少要有多少张这样的纸片才能拼出 一张正方形纸片? 第 13 页 共 15 页 解析：[3，2]=6，6×6÷(3×2)=6(张) 【奥数拓展五】等腰三角形的对称轴（一）。 下列方格图中，线段 AB为等腰三角形的底边，画出△ABC使之为等腰三角形。 解析： 【专项训练】 1. 画出下列等腰三角形的对称轴。 解析： 2. 画出等边三角形的对称轴。 解析： 3. 以线段 AB为等腰三角形 ABC的腰，画出等腰三角形 ABC。 第 14 页 共 15 页 解析： 【奥数拓展六】等腰三角形的对称轴（二）。 在下图中，△ABE、△BCE、△CDE都是等腰直角三角形，已知五边形 ABCDE 的面积是 35平方分米，△ABE的面积是多少平方分米? 解析： △ABE、△BCE、△CDE是等腰直角三角形，都是轴对称图形.画出△BCE的对 称轴 CF，△ABE的对称轴 BG，△ABG与△BEG 的对称轴 HG与 GF，可知： S△AHG=S△BHG=S△GBF=S△GFE=S△FBC=S△FEC=S△CDE ， 由 此 可 得 △CDE的面积为 35÷7=5(平方分米)，所以△ABE的面积为 5×4=20(平方分米)。 【专项训练】 1. 在下图的等腰直角三角形 ABC中有一个正方形 BDEF，已知正方形的面积是 20平方厘米，三角形 ABC的面积是多少平方厘米? 解析： 第 15 页 共 15 页 连结 BE，由于∠AED=∠ECF=45°，∠FEC=180°－90°－45°=45°，因此△EFC 是等腰直角三角形，又由于 BF=FC，所以△EFC的面积等于△BEF的面积，同 理，△ADE的面积等于△BDE的面积，因为△BEF的面积等于△DBE的面积， 那么三角形 ABC的面积是 20×2=40(平方厘米)。 2. 画出下图的另一半，使之成为以三角形的边为轴的轴对称图形，共有几种画 法?请你画一画。 解析： 3. 如图，一个大正方形被分成了 9个小正方形，其中的 2个小正方形已被涂上 了阴影，在剩下的 7个白色的小正方形中任选一个涂上阴影，使得图中涂有阴影 的三个小正方形组成轴对称图形，共有多少种涂法? 解析： 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 目 录 【课内精选一】轴对称 3 【课内精选二】平移 3 【课内精选三】平移和轴对称综合作图 5 【奥数拓展一】图形的平移 8 【奥数拓展二】图形的切拼（一） 9 【奥数拓展三】图形的切拼（二） 11 【奥数拓展四】图形的拼组 12 【奥数拓展五】等腰三角形的对称轴（一） 13 【奥数拓展六】等腰三角形的对称轴（二） 14 2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」 第七单元图形的运动（二）·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】轴对称。 下面是轴对称图形的画上“√”，不是的画上“×”。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 【答案】 √ √ √ √ × √ 【专项训练】 1．数学的对称美无处不在，“”是一个汉字的左半部分，那么完整的汉字可能是( )。 【答案】非 2．下面图形中有2条对称轴的是( )，有4条对称轴的是( )，有无数条对称轴的是( )（填序号）。 ①.        ②.        ③. 【答案】 ② ③ ① 3．在一个轴对称图形中，如果点A到对称轴的距离是5厘米，那么它的对称点A＇到对称轴的距离是( )厘米。 【答案】5 【课内精选二】平移。 哪一幅图是由左边的图形平移得到，在后面的括号里画“√”。 【答案】 【专项训练】 1．下边图形的面积是( )。（每个小正方形边长是2cm。） 【答案】24 2．如图，把平行四边形ABCD的左边这一小部分剪下来，向( )平移( )格，就可以拼成一个长方形。这个长方形面积是( )cm2。（1格代表1cm2） 【答案】 右 5 10 3．“徽州三雕”是徽派文化中最具代表性的艺术，名列第一批国家级非物质文化遗产名录。下图是徽州花窗的平面图，仔细观察，图形A通过( )可以得到图形B，图形B通过( )能得到图形C。 【答案】 轴对称 平移 【课内精选三】平移和轴对称综合作图。 画出轴对称图形的另一半，再把整个图形向右平移4格。 【答案】 【专项训练】 1．按要求画图。 （1）画出将图A向下平移5格后的图形。 （2）以虚线为对称轴，画出轴对称图形B的另一半。 【答案】 2．“俄罗斯方块”的规则是平移或旋转方块，使之排列成完整的一行，这一行就会消除。 （1）要把最下面一行的方块消除，应该先向( )平移( )格，再向( )平移( )格。 （2）提示栏中，下一组图形是由3个小方块组成的，请你再画一个小方块，把它变成3个不同的轴对称图形。 【答案】 （1）由题意可知，要把最下面一行的方块消除，应该先向右平移3格，再向下平移8格。 （2）如图：（画法不唯一） 3．画一画。 （1）画出图形①关于虚线的轴对称图形。 （2）画出将图形②先向右平移5个方格，再向下平移2个方格后的图形。 （3）画出将图形③向左平移5格后的图形。 【答案】 【奥数拓展一】图形的平移。 用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其他地方铺白色的，如图所示，如果铺满这块地面共用101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块? 解析： 我们可以把对角线上的黑瓷砖，通过平移，移到两条边上(如下图)，在这一转化过程中瓷砖的位置发生了变化，但数量没有变，此时白色瓷砖组成一个正方形，大正方形的边上能放(101+1)÷2=51(块)，白色瓷砖组成的正方形的边上能放51－1=50(块)，所以白色瓷砖共用了50×50=2500(块)，另解：51×51－101=2500(块)。 【专项训练】 1. 下图，一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有二道黑条，黑条宽都是2厘米，这条手帕白色部分的面积是多少? 解析：(18－2×2)×(18－2×2)=196(平方厘米) 2. 下图所示，一个大长方形由7个完全相同的长方形和3个小长方形(图中阴影部分)拼成，图中白色部分的面积是多少平方厘米? 解析： 对大长方形进行平移，可看出长=4个宽，长+2宽=24，宽为24÷(4+2)=4(厘米)，长为4×4=16(厘米)，白色部分面积为16×4×7=448(平方厘米)。 3. 在一个正方形中放入一个四个顶点与大正方形相接的小正方形(如图)，如果两个正方形的周长相差16厘米，面积相差96平方厘米，小正方形的面积是多少平方厘米? 解析： 可以将里面的正方形挪到一角上来计算，由下图可知A的边长为：16÷4=4(厘米)，所以小正方形A的面积为：4×4=16(平方厘米)，白色长方形B的面积为：(96－16)÷2=40(平方厘米)，小正方形C的边长为：40÷4=10(厘米)，小正方形C的面积为：10×10=100(平方厘米)。 【奥数拓展二】图形的切拼（一）。 把图割成形状、大小都相等的6小块，使每块所含数字的和都相等。 解析： 长方形中有24个方格，将它分成大小相等的6小块，那么每块就由4个小方格组成，长方形中24个数，它们和等于3×6+2×12+1×6=48，根据每块所含数字的和都相等，那么每块图形中4个数的和等于48÷6=8，最后我们考虑4个小方格组成的图形是何种形状的，是“田”字形、“L"形还是“T”形、“Z”形，经过尝试，就能找到答案。 【专项训练】 1. 将图形分成四个大小相等、形状相同的图形。 解析： 2. 将图形分成五个大小相等、形状相同的图形。 解析： 3. 将图形分成五个大小相等、形状相同的图形。(阴影部分是空的) 解析： 【奥数拓展三】图形的切拼（二）。 有两块同样大小的正方形桌布(如图)，现在请你把它们剪拼成一个大正方形桌布。 解析： 两个小正方形分别沿对角线剪开，得到4个等腰直角三角形，拼成1个大正方形。(答案不唯一) 【专项训练】 1. 下图是一个正方形，请你用直线将它划分成11个互不重叠的小正方形(大小不一定全相同)。 解析： 2. 把下图长方形剪两刀，可以拼成一个正方形，应该怎样剪? 解析： 3. 先将图形分成两块，然后拼成一个正方形。 解析： 【奥数拓展四】图形的拼组。 一个正三角形的边长是3厘米，用几个这样的三角形可以拼成边长12厘米的大正三角形? 解析： 根据题意，我们可以把问题转化为数小三角形的个数，将大正三角形分割成边长为3厘米的小三角形，如图，我们可以发现小三角形的个数是1+3+5+7=16(个)，所以用16个边长3厘米的小正三角形可以拼成边长12厘米的大正三角形。 【专项训练】 1. 一个正三角形的边长是1，用几个这样的三角形可以拼成边长是6的大正三角形? 解析：1+3+5+7+9+11=36(个) 2. 一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸片，可以剪出多少个腰长4厘米的等腰直角三角形? 解析：12×8÷(4×4÷2)=12(个) 3. 一张长方形纸片长3厘米、宽2厘米，至少要有多少张这样的纸片才能拼出一张正方形纸片? 解析：[3，2]=6，6×6÷(3×2)=6(张) 【奥数拓展五】等腰三角形的对称轴（一）。 下列方格图中，线段AB为等腰三角形的底边，画出△ABC使之为等腰三角形。 解析： 【专项训练】 1. 画出下列等腰三角形的对称轴。 解析： 2. 画出等边三角形的对称轴。 解析： 3. 以线段AB为等腰三角形ABC的腰，画出等腰三角形ABC。 解析： 【奥数拓展六】等腰三角形的对称轴（二）。 在下图中，△ABE、△BCE、△CDE都是等腰直角三角形，已知五边形ABCDE的面积是35平方分米，△ABE的面积是多少平方分米? 解析： △ABE、△BCE、△CDE是等腰直角三角形，都是轴对称图形.画出△BCE的对称轴CF，△ABE的对称轴BG，△ABG与△BEG的对称轴HG与GF，可知：S△AHG=S△BHG=S△GBF=S△GFE=S△FBC=S△FEC=S△CDE，由此可得△CDE的面积为35÷7=5(平方分米)，所以△ABE的面积为5×4=20(平方分米)。 【专项训练】 1. 在下图的等腰直角三角形ABC中有一个正方形BDEF，已知正方形的面积是20平方厘米，三角形ABC的面积是多少平方厘米? 解析： 连结BE，由于∠AED=∠ECF=45°，∠FEC=180°－90°－45°=45°，因此△EFC是等腰直角三角形，又由于BF=FC，所以△EFC的面积等于△BEF的面积，同理，△ADE的面积等于△BDE的面积，因为△BEF的面积等于△DBE的面积，那么三角形ABC的面积是20×2=40(平方厘米)。 2. 画出下图的另一半，使之成为以三角形的边为轴的轴对称图形，共有几种画法?请你画一画。 解析： 3. 如图，一个大正方形被分成了9个小正方形，其中的2个小正方形已被涂上了阴影，在剩下的7个白色的小正方形中任选一个涂上阴影，使得图中涂有阴影的三个小正方形组成轴对称图形，共有多少种涂法? 解析： 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 18 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 18 页 目 录 【课内精选一】轴对称 .............................................................................................................3 【课内精选二】平移 .................................................................................................................4 【课内精选三】平移和轴对称综合作图 ................................................................................ 6 【奥数拓展一】图形的平移 .................................................................................................. 11 【奥数拓展二】图形的切拼（一） ...................................................................................... 12 【奥数拓展三】图形的切拼（二） ...................................................................................... 14 【奥数拓展四】图形的拼组 .................................................................................................. 15 【奥数拓展五】等腰三角形的对称轴（一） ...................................................................... 16 【奥数拓展六】等腰三角形的对称轴（二） ...................................................................... 17 第 3 页 共 18 页 2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第七单元图形的运动（二）·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】轴对称。 下面是轴对称图形的画上“√”，不是的画上“×”。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 【答案】 √ √ √ √ × √ 【分析】轴对称图形是指一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够 完全重合，据此即可判断。 【详解】 【点睛】本题主要考查轴对称图形，解答本题的关键在于熟记其特征。 【专项训练】 1．数学的对称美无处不在，“ ”是一个汉字的左半部分，那么完整的汉字可能 是( )。 【答案】非 【分析】沿一条直线对折后两部分可以完全重合的图形叫做轴对称图形。把图形 补全，使它成为一个轴对称图形，需要在对称轴的另一侧找到对应的顶点，依次 连接这些点；据此解答。 【详解】根据解析补成完整以后的汉字是 ，所以完整的汉字可能是非。 2．下面图形中有 2条对称轴的是( )，有 4条对称轴的是( )，有 第 4 页 共 18 页 无数条对称轴的是( )（填序号）。 ①. ②. ③. 【答案】 ② ③ ① 【分析】轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分 能够完全重合的图形。直线叫做对称轴，并且对称轴用点画线表示，据此判断图 形有几条对称轴即可。 【详解】 ①如图： ，圆形有无数条对称轴； ②如图： ，该图形有两条对称轴； ③如图： ，该图形有四条对称轴。 图形中有 2条对称轴的是②，有 4条对称轴的是③，有无数条对称轴的是①。 3．在一个轴对称图形中，如果点 A到对称轴的距离是 5厘米，那么它的对称点 A＇到对称轴的距离是( )厘米。 【答案】5 【分析】在轴对称图形中，两个对称点到对称轴的距离相等。据此解答即可。 【详解】在一个轴对称图形中，如果点 A到对称轴的距离是 5厘米，那么它的 对称点 A＇到对称轴的距离是 5厘米。 【课内精选二】平移。 哪一幅图是由左边的图形平移得到，在后面的括号里画“√”。 【答案】见详解 第 5 页 共 18 页 【分析】根据平移的定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作 相同距离移动的图形运动。平移后图形的位置改变，形状，大小，方向不变。 【详解】根据分析： 【专项训练】 1．下边图形的面积是( ) 2cm 。（每个小正方形边长是 2cm。） 【答案】24 【分析】每个小正方形的边长是 2cm，每个小正方形的面积是 4cm2，因此数清 图形中有几个小正方形，即可计算出这个图形的面积。 【详解】该图形由 4个完整的小正方形和 4个一半的小正方形组成，4个一半的 小正方形通过平移可以组成 2个完整的小正方形，共有 6个小正方形，如下图： 每个小正方形的面积是 2×2＝4cm2，这个图形的面积是 6×4＝24cm2。 【点睛】熟练掌握对面积的认识是解答此题的关键。 2．如图，把平行四边形 ABCD的左边这一小部分剪下来，向( )平移 ( )格，就可以拼成一个长方形。这个长方形面积是( )cm2。（1 格代表 1cm2） 第 6 页 共 18 页 【答案】 右 5 10 【分析】把平行四边形 ABCD的左边这一小部分剪下来向右平移，找 A点平移 后对应的 D点平移了几格。数出长有 5格为 5cm，宽有 2格为 2cm，再根据长 方形面积＝长×宽计算。 【详解】5×2＝10（cm2） 如图，把平行四边形 ABCD的左边这一小部分剪下来，向右平移 5格，就可以 拼成一个长方形。这个长方形面积是 10cm2。 3．“徽州三雕”是徽派文化中最具代表性的艺术，名列第一批国家级非物质文化 遗产名录。下图是徽州花窗的平面图，仔细观察，图形 A通过( )可以得 到图形 B，图形 B通过( )能得到图形 C。 【答案】 轴对称 平移 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做 轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴；在平面内，把一个图形整体沿某条直 线方向平行移动一定距离的过程，称为平移；平移前后，物体的大小、形状和方 向均不会改变，只是位置发生变化。 【详解】由图可知，图形 A和图形 B关于中间的直线对称，所以图形 A通过轴 对称可以得到图形 B；图形 B和图形 C形状、大小和方向都一样，所以图形 B 通过平移能得到图形 C。 仔细观察，图形 A通过轴对称可以得到图形 B，图形 B通过平移能得到图形 C。 【课内精选三】平移和轴对称综合作图。 画出轴对称图形的另一半，再把整个图形向右平移 4格。 第 7 页 共 18 页 【答案】见详解 【分析】补全轴对称图形的方法： （1）确定所给图形的关键点，也就是图形上每条线段的端点； （2）确定关键点的对称点（对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于 对称轴，在对称轴的另一边画出图形的关键对称点。）； （3）把描出的对称点按顺序连线，得到轴对称图形的另一半。 作平移图形：把图的各顶点分别向右平移 4格，然后顺次把各个顶点连接起来即 可。 【详解】 【专项训练】 1．按要求画图。 （1）画出将图 A向下平移 5格后的图形。 （2）以虚线为对称轴，画出轴对称图形 B的另一半。 【答案】见详解 【分析】（1）作平移后的图形步骤：找点-找出构成图形的关键点；定方向、距 离-确定平移方向和平移距离；画线-过关键点沿平移方向画出平行线；定点-由平 移的距离确定关键点平移后的对应点的位置；连点-连接对应点。 （2）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对 第 8 页 共 18 页 称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。 【详解】 2．“俄罗斯方块”的规则是平移或旋转方块，使之排列成完整的一行，这一行就 会消除。 （1）要把最下面一行的方块消除， 应该先向( )平移( ) 格，再向( )平移( )格。 （2）提示栏中，下一组图形是由 3个小方块组成的，请你再画一个小方块，把 它变成 3个不同的轴对称图形。 第 9 页 共 18 页 【答案】（1）右；3；下；8 （2）见详解 【分析】 （1）平移是指在平面内将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距 离的移动，这样的运动叫做图形的平移运动。在平移的过程中，只是位置发生变 化，图形的大小和形状不发生变化。 （2）一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就 是轴对称图形。据此解答。（本题画法不唯一） 【详解】 （1）由题意可知，要把最下面一行的方块消除， 应该先向右平移 3格， 再向下平移 8格。 （2）如图：（画法不唯一） 3．画一画。 （1）画出图形①关于虚线的轴对称图形。 （2）画出将图形②先向右平移 5个方格，再向下平移 2个方格后的图形。 （3）画出将图形③向左平移 5格后的图形。 【答案】见详解 第 10 页 共 18 页 【分析】（1）轴对称图形沿着对称轴对折，两边可以完全重合，也就是对称轴 两侧的对应点到对称轴的距离相等，据此找到图形①各个关键点的对称点，再将 这些对称点依次连接即可作出轴对称图形； （2）将图形②的各个关键点先同时向右平移 5格，再同时向下平移 2格，最后 将各点依次连接起来得到平移后的图形。 （3）将图形③的四个顶点同时向左平移 5格再依次连接起来得到平移后的图形。 【详解】由分析可作图： 第 11 页 共 18 页 【奥数拓展一】图形的平移。 用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其他地方铺白色 的，如图所示，如果铺满这块地面共用 101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少 块? 解析： 我们可以把对角线上的黑瓷砖，通过平移，移到两条边上(如下图)，在这一转化 过程中瓷砖的位置发生了变化，但数量没有变，此时白色瓷砖组成一个正方形， 大正方形的边上能放(101+1)÷2=51(块)，白色瓷砖组成的正方形的边上能放 51－ 1=50(块)，所以白色瓷砖共用了 50×50=2500(块)，另解：51×51－101=2500(块)。 【专项训练】 1. 下图，一条白色的正方形手帕，它的边长是 18厘米，手帕上横竖各有二道黑 条，黑条宽都是 2厘米，这条手帕白色部分的面积是多少? 解析：(18－2×2)×(18－2×2)=196(平方厘米) 2. 下图所示，一个大长方形由 7个完全相同的长方形和 3个小长方形(图中阴影 部分)拼成，图中白色部分的面积是多少平方厘米? 第 12 页 共 18 页 解析： 对大长方形进行平移，可看出长=4个宽，长+2宽=24，宽为 24÷(4+2)=4(厘米)， 长为 4×4=16(厘米)，白色部分面积为 16×4×7=448(平方厘米)。 3. 在一个正方形中放入一个四个顶点与大正方形相接的小正方形(如图)，如果两 个正方形的周长相差 16厘米，面积相差 96平方厘米，小正方形的面积是多少平 方厘米? 解析： 可以将里面的正方形挪到一角上来计算，由下图可知 A的边长为：16÷4=4(厘米)， 所以小正方形 A的面积为：4×4=16(平方厘米)，白色长方形 B的面积为：(96－ 16)÷2=40(平方厘米)，小正方形 C的边长为：40÷4=10(厘米)，小正方形 C的面 积为：10×10=100(平方厘米)。 【奥数拓展二】图形的切拼（一）。 把图割成形状、大小都相等的 6小块，使每块所含数字的和都相等。 解析： 长方形中有 24个方格，将它分成大小相等的 6小块，那么每块就由 4个小方格 组成，长方形中 24个数，它们和等于 3×6+2×12+1×6=48，根据每块所含数字的 第 13 页 共 18 页 和都相等，那么每块图形中 4个数的和等于 48÷6=8，最后我们考虑 4个小方格 组成的图形是何种形状的，是“田”字形、“L"形还是“T”形、“Z”形，经过尝试， 就能找到答案。 【专项训练】 1. 将图形分成四个大小相等、形状相同的图形。 解析： 2. 将图形分成五个大小相等、形状相同的图形。 解析： 3. 将图形分成五个大小相等、形状相同的图形。(阴影部分是空的) 解析： 第 14 页 共 18 页 【奥数拓展三】图形的切拼（二）。 有两块同样大小的正方形桌布(如图)，现在请你把它们剪拼成一个大正方形桌布。 解析： 两个小正方形分别沿对角线剪开，得到 4个等腰直角三角形，拼成 1个大正方形。 (答案不唯一) 【专项训练】 1. 下图是一个正方形，请你用直线将它划分成 11个互不重叠的小正方形(大小不 一定全相同)。 解析： 2. 把下图长方形剪两刀，可以拼成一个正方形，应该怎样剪? 解析： 3. 先将图形分成两块，然后拼成一个正方形。 第 15 页 共 18 页 解析： 【奥数拓展四】图形的拼组。 一个正三角形的边长是 3厘米，用几个这样的三角形可以拼成边长 12厘米的大 正三角形? 解析： 根据题意，我们可以把问题转化为数小三角形的个数，将大正三角形分割成边长 为 3厘米的小三角形，如图，我们可以发现小三角形的个数是 1+3+5+7=16(个)， 所以用 16个边长 3厘米的小正三角形可以拼成边长 12厘米的大正三角形。 【专项训练】 1. 一个正三角形的边长是 1，用几个这样的三角形可以拼成边长是 6的大正三角 形? 解析：1+3+5+7+9+11=36(个) 2. 一张长 12厘米、宽 8厘米的长方形纸片，可以剪出多少个腰长 4厘米的等腰 直角三角形? 解析：12×8÷(4×4÷2)=12(个) 3. 一张长方形纸片长 3厘米、宽 2厘米，至少要有多少张这样的纸片才能拼出 一张正方形纸片? 第 16 页 共 18 页 解析：[3，2]=6，6×6÷(3×2)=6(张) 【奥数拓展五】等腰三角形的对称轴（一）。 下列方格图中，线段 AB为等腰三角形的底边，画出△ABC使之为等腰三角形。 解析： 【专项训练】 1. 画出下列等腰三角形的对称轴。 解析： 2. 画出等边三角形的对称轴。 解析： 3. 以线段 AB为等腰三角形 ABC的腰，画出等腰三角形 ABC。 第 17 页 共 18 页 解析： 【奥数拓展六】等腰三角形的对称轴（二）。 在下图中，△ABE、△BCE、△CDE都是等腰直角三角形，已知五边形 ABCDE 的面积是 35平方分米，△ABE的面积是多少平方分米? 解析： △ABE、△BCE、△CDE是等腰直角三角形，都是轴对称图形.画出△BCE的对 称轴 CF，△ABE的对称轴 BG，△ABG与△BEG 的对称轴 HG与 GF，可知： S△AHG=S△BHG=S△GBF=S△GFE=S△FBC=S△FEC=S△CDE ， 由 此 可 得 △CDE的面积为 35÷7=5(平方分米)，所以△ABE的面积为 5×4=20(平方分米)。 【专项训练】 1. 在下图的等腰直角三角形 ABC中有一个正方形 BDEF，已知正方形的面积是 20平方厘米，三角形 ABC的面积是多少平方厘米? 解析： 第 18 页 共 18 页 连结 BE，由于∠AED=∠ECF=45°，∠FEC=180°－90°－45°=45°，因此△EFC 是等腰直角三角形，又由于 BF=FC，所以△EFC的面积等于△BEF的面积，同 理，△ADE的面积等于△BDE的面积，因为△BEF的面积等于△DBE的面积， 那么三角形 ABC的面积是 20×2=40(平方厘米)。 2. 画出下图的另一半，使之成为以三角形的边为轴的轴对称图形，共有几种画 法?请你画一画。 解析： 3. 如图，一个大正方形被分成了 9个小正方形，其中的 2个小正方形已被涂上 了阴影，在剩下的 7个白色的小正方形中任选一个涂上阴影，使得图中涂有阴影 的三个小正方形组成轴对称图形，共有多少种涂法? 解析： 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 目 录 【课内精选一】轴对称 3 【课内精选二】平移 4 【课内精选三】平移和轴对称综合作图 6 【奥数拓展一】图形的平移 11 【奥数拓展二】图形的切拼（一） 12 【奥数拓展三】图形的切拼（二） 14 【奥数拓展四】图形的拼组 15 【奥数拓展五】等腰三角形的对称轴（一） 16 【奥数拓展六】等腰三角形的对称轴（二） 17 2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」 第七单元图形的运动（二）·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】轴对称。 下面是轴对称图形的画上“√”，不是的画上“×”。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 【答案】 √ √ √ √ × √ 【分析】轴对称图形是指一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，据此即可判断。 【详解】 【点睛】本题主要考查轴对称图形，解答本题的关键在于熟记其特征。 【专项训练】 1．数学的对称美无处不在，“”是一个汉字的左半部分，那么完整的汉字可能是( )。 【答案】非 【分析】沿一条直线对折后两部分可以完全重合的图形叫做轴对称图形。把图形补全，使它成为一个轴对称图形，需要在对称轴的另一侧找到对应的顶点，依次连接这些点；据此解答。 【详解】根据解析补成完整以后的汉字是，所以完整的汉字可能是非。 2．下面图形中有2条对称轴的是( )，有4条对称轴的是( )，有无数条对称轴的是( )（填序号）。 ①.        ②.        ③. 【答案】 ② ③ ① 【分析】轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。直线叫做对称轴，并且对称轴用点画线表示，据此判断图形有几条对称轴即可。 【详解】 ①如图：，圆形有无数条对称轴； ②如图：，该图形有两条对称轴； ③如图：，该图形有四条对称轴。 图形中有2条对称轴的是②，有4条对称轴的是③，有无数条对称轴的是①。 3．在一个轴对称图形中，如果点A到对称轴的距离是5厘米，那么它的对称点A＇到对称轴的距离是( )厘米。 【答案】5 【分析】在轴对称图形中，两个对称点到对称轴的距离相等。据此解答即可。 【详解】在一个轴对称图形中，如果点A到对称轴的距离是5厘米，那么它的对称点A＇到对称轴的距离是5厘米。 【课内精选二】平移。 哪一幅图是由左边的图形平移得到，在后面的括号里画“√”。 【答案】见详解 【分析】根据平移的定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离移动的图形运动。平移后图形的位置改变，形状，大小，方向不变。 【详解】根据分析： 【专项训练】 1．下边图形的面积是( )。（每个小正方形边长是2cm。） 【答案】24 【分析】每个小正方形的边长是2cm，每个小正方形的面积是4cm2，因此数清图形中有几个小正方形，即可计算出这个图形的面积。 【详解】该图形由4个完整的小正方形和4个一半的小正方形组成，4个一半的小正方形通过平移可以组成2个完整的小正方形，共有6个小正方形，如下图： 每个小正方形的面积是2×2＝4cm2，这个图形的面积是6×4＝24cm2。 【点睛】熟练掌握对面积的认识是解答此题的关键。 2．如图，把平行四边形ABCD的左边这一小部分剪下来，向( )平移( )格，就可以拼成一个长方形。这个长方形面积是( )cm2。（1格代表1cm2） 【答案】 右 5 10 【分析】把平行四边形ABCD的左边这一小部分剪下来向右平移，找A点平移后对应的D点平移了几格。数出长有5格为5cm，宽有2格为2cm，再根据长方形面积＝长×宽计算。 【详解】5×2＝10（cm2） 如图，把平行四边形ABCD的左边这一小部分剪下来，向右平移5格，就可以拼成一个长方形。这个长方形面积是10cm2。 3．“徽州三雕”是徽派文化中最具代表性的艺术，名列第一批国家级非物质文化遗产名录。下图是徽州花窗的平面图，仔细观察，图形A通过( )可以得到图形B，图形B通过( )能得到图形C。 【答案】 轴对称 平移 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴；在平面内，把一个图形整体沿某条直线方向平行移动一定距离的过程，称为平移；平移前后，物体的大小、形状和方向均不会改变，只是位置发生变化。 【详解】由图可知，图形A和图形B关于中间的直线对称，所以图形A通过轴对称可以得到图形B；图形B和图形C形状、大小和方向都一样，所以图形B通过平移能得到图形C。 仔细观察，图形A通过轴对称可以得到图形B，图形B通过平移能得到图形C。 【课内精选三】平移和轴对称综合作图。 画出轴对称图形的另一半，再把整个图形向右平移4格。 【答案】见详解 【分析】补全轴对称图形的方法： （1）确定所给图形的关键点，也就是图形上每条线段的端点； （2）确定关键点的对称点（对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出图形的关键对称点。）； （3）把描出的对称点按顺序连线，得到轴对称图形的另一半。 作平移图形：把图的各顶点分别向右平移4格，然后顺次把各个顶点连接起来即可。 【详解】 【专项训练】 1．按要求画图。 （1）画出将图A向下平移5格后的图形。 （2）以虚线为对称轴，画出轴对称图形B的另一半。 【答案】见详解 【分析】（1）作平移后的图形步骤：找点-找出构成图形的关键点；定方向、距离-确定平移方向和平移距离；画线-过关键点沿平移方向画出平行线；定点-由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置；连点-连接对应点。 （2）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。 【详解】 2．“俄罗斯方块”的规则是平移或旋转方块，使之排列成完整的一行，这一行就会消除。 （1）要把最下面一行的方块消除，应该先向( )平移( )格，再向( )平移( )格。 （2）提示栏中，下一组图形是由3个小方块组成的，请你再画一个小方块，把它变成3个不同的轴对称图形。 【答案】（1）右；3；下；8 （2）见详解 【分析】 （1）平移是指在平面内将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的运动叫做图形的平移运动。在平移的过程中，只是位置发生变化，图形的大小和形状不发生变化。 （2）一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。据此解答。（本题画法不唯一） 【详解】 （1）由题意可知，要把最下面一行的方块消除，应该先向右平移3格，再向下平移8格。 （2）如图：（画法不唯一） 3．画一画。 （1）画出图形①关于虚线的轴对称图形。 （2）画出将图形②先向右平移5个方格，再向下平移2个方格后的图形。 （3）画出将图形③向左平移5格后的图形。 【答案】见详解 【分析】（1）轴对称图形沿着对称轴对折，两边可以完全重合，也就是对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等，据此找到图形①各个关键点的对称点，再将这些对称点依次连接即可作出轴对称图形； （2）将图形②的各个关键点先同时向右平移5格，再同时向下平移2格，最后将各点依次连接起来得到平移后的图形。 （3）将图形③的四个顶点同时向左平移5格再依次连接起来得到平移后的图形。 【详解】由分析可作图： 【奥数拓展一】图形的平移。 用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其他地方铺白色的，如图所示，如果铺满这块地面共用101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块? 解析： 我们可以把对角线上的黑瓷砖，通过平移，移到两条边上(如下图)，在这一转化过程中瓷砖的位置发生了变化，但数量没有变，此时白色瓷砖组成一个正方形，大正方形的边上能放(101+1)÷2=51(块)，白色瓷砖组成的正方形的边上能放51－1=50(块)，所以白色瓷砖共用了50×50=2500(块)，另解：51×51－101=2500(块)。 【专项训练】 1. 下图，一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有二道黑条，黑条宽都是2厘米，这条手帕白色部分的面积是多少? 解析：(18－2×2)×(18－2×2)=196(平方厘米) 2. 下图所示，一个大长方形由7个完全相同的长方形和3个小长方形(图中阴影部分)拼成，图中白色部分的面积是多少平方厘米? 解析： 对大长方形进行平移，可看出长=4个宽，长+2宽=24，宽为24÷(4+2)=4(厘米)，长为4×4=16(厘米)，白色部分面积为16×4×7=448(平方厘米)。 3. 在一个正方形中放入一个四个顶点与大正方形相接的小正方形(如图)，如果两个正方形的周长相差16厘米，面积相差96平方厘米，小正方形的面积是多少平方厘米? 解析： 可以将里面的正方形挪到一角上来计算，由下图可知A的边长为：16÷4=4(厘米)，所以小正方形A的面积为：4×4=16(平方厘米)，白色长方形B的面积为：(96－16)÷2=40(平方厘米)，小正方形C的边长为：40÷4=10(厘米)，小正方形C的面积为：10×10=100(平方厘米)。 【奥数拓展二】图形的切拼（一）。 把图割成形状、大小都相等的6小块，使每块所含数字的和都相等。 解析： 长方形中有24个方格，将它分成大小相等的6小块，那么每块就由4个小方格组成，长方形中24个数，它们和等于3×6+2×12+1×6=48，根据每块所含数字的和都相等，那么每块图形中4个数的和等于48÷6=8，最后我们考虑4个小方格组成的图形是何种形状的，是“田”字形、“L"形还是“T”形、“Z”形，经过尝试，就能找到答案。 【专项训练】 1. 将图形分成四个大小相等、形状相同的图形。 解析： 2. 将图形分成五个大小相等、形状相同的图形。 解析： 3. 将图形分成五个大小相等、形状相同的图形。(阴影部分是空的) 解析： 【奥数拓展三】图形的切拼（二）。 有两块同样大小的正方形桌布(如图)，现在请你把它们剪拼成一个大正方形桌布。 解析： 两个小正方形分别沿对角线剪开，得到4个等腰直角三角形，拼成1个大正方形。(答案不唯一) 【专项训练】 1. 下图是一个正方形，请你用直线将它划分成11个互不重叠的小正方形(大小不一定全相同)。 解析： 2. 把下图长方形剪两刀，可以拼成一个正方形，应该怎样剪? 解析： 3. 先将图形分成两块，然后拼成一个正方形。 解析： 【奥数拓展四】图形的拼组。 一个正三角形的边长是3厘米，用几个这样的三角形可以拼成边长12厘米的大正三角形? 解析： 根据题意，我们可以把问题转化为数小三角形的个数，将大正三角形分割成边长为3厘米的小三角形，如图，我们可以发现小三角形的个数是1+3+5+7=16(个)，所以用16个边长3厘米的小正三角形可以拼成边长12厘米的大正三角形。 【专项训练】 1. 一个正三角形的边长是1，用几个这样的三角形可以拼成边长是6的大正三角形? 解析：1+3+5+7+9+11=36(个) 2. 一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸片，可以剪出多少个腰长4厘米的等腰直角三角形? 解析：12×8÷(4×4÷2)=12(个) 3. 一张长方形纸片长3厘米、宽2厘米，至少要有多少张这样的纸片才能拼出一张正方形纸片? 解析：[3，2]=6，6×6÷(3×2)=6(张) 【奥数拓展五】等腰三角形的对称轴（一）。 下列方格图中，线段AB为等腰三角形的底边，画出△ABC使之为等腰三角形。 解析： 【专项训练】 1. 画出下列等腰三角形的对称轴。 解析： 2. 画出等边三角形的对称轴。 解析： 3. 以线段AB为等腰三角形ABC的腰，画出等腰三角形ABC。 解析： 【奥数拓展六】等腰三角形的对称轴（二）。 在下图中，△ABE、△BCE、△CDE都是等腰直角三角形，已知五边形ABCDE的面积是35平方分米，△ABE的面积是多少平方分米? 解析： △ABE、△BCE、△CDE是等腰直角三角形，都是轴对称图形.画出△BCE的对称轴CF，△ABE的对称轴BG，△ABG与△BEG的对称轴HG与GF，可知：S△AHG=S△BHG=S△GBF=S△GFE=S△FBC=S△FEC=S△CDE，由此可得△CDE的面积为35÷7=5(平方分米)，所以△ABE的面积为5×4=20(平方分米)。 【专项训练】 1. 在下图的等腰直角三角形ABC中有一个正方形BDEF，已知正方形的面积是20平方厘米，三角形ABC的面积是多少平方厘米? 解析： 连结BE，由于∠AED=∠ECF=45°，∠FEC=180°－90°－45°=45°，因此△EFC是等腰直角三角形，又由于BF=FC，所以△EFC的面积等于△BEF的面积，同理，△ADE的面积等于△BDE的面积，因为△BEF的面积等于△DBE的面积，那么三角形ABC的面积是20×2=40(平方厘米)。 2. 画出下图的另一半，使之成为以三角形的边为轴的轴对称图形，共有几种画法?请你画一画。 解析： 3. 如图，一个大正方形被分成了9个小正方形，其中的2个小正方形已被涂上了阴影，在剩下的7个白色的小正方形中任选一个涂上阴影，使得图中涂有阴影的三个小正方形组成轴对称图形，共有多少种涂法? 解析： 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 11 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 11 页 目 录 【课内精选一】轴对称 .............................................................................................................3 【课内精选二】平移 .................................................................................................................3 【课内精选三】平移和轴对称综合作图 ................................................................................ 4 【奥数拓展一】图形的平移 .................................................................................................... 7 【奥数拓展二】图形的切拼（一） ........................................................................................ 8 【奥数拓展三】图形的切拼（二） ........................................................................................ 8 【奥数拓展四】图形的拼组 .................................................................................................... 9 【奥数拓展五】等腰三角形的对称轴（一） ...................................................................... 10 【奥数拓展六】等腰三角形的对称轴（二） ...................................................................... 11 第 3 页 共 11 页 2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第七单元图形的运动（二）·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】轴对称。 下面是轴对称图形的画上“√”，不是的画上“×”。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 【专项训练】 1．数学的对称美无处不在，“ ”是一个汉字的左半部分，那么完整的汉字可能 是( )。 2．下面图形中有 2条对称轴的是( )，有 4条对称轴的是( )，有 无数条对称轴的是( )（填序号）。 ①. ②. ③. 3．在一个轴对称图形中，如果点 A到对称轴的距离是 5厘米，那么它的对称点 A＇到对称轴的距离是( )厘米。 【课内精选二】平移。 哪一幅图是由左边的图形平移得到，在后面的括号里画“√”。 【专项训练】 1．下边图形的面积是( ) 2cm 。（每个小正方形边长是 2cm。） 第 4 页 共 11 页 2．如图，把平行四边形 ABCD的左边这一小部分剪下来，向( )平移 ( )格，就可以拼成一个长方形。这个长方形面积是( )cm2。（1 格代表 1cm2） 3．“徽州三雕”是徽派文化中最具代表性的艺术，名列第一批国家级非物质文化 遗产名录。下图是徽州花窗的平面图，仔细观察，图形 A通过( )可以得 到图形 B，图形 B通过( )能得到图形 C。 【课内精选三】平移和轴对称综合作图。 画出轴对称图形的另一半，再把整个图形向右平移 4格。 【专项训练】 1．按要求画图。 （1）画出将图 A向下平移 5格后的图形。 （2）以虚线为对称轴，画出轴对称图形 B的另一半。 第 5 页 共 11 页 2．“俄罗斯方块”的规则是平移或旋转方块，使之排列成完整的一行，这一行就 会消除。 （1）要把最下面一行的方块消除， 应该先向( )平移( ) 格，再向( )平移( )格。 （2）提示栏中，下一组图形是由 3个小方块组成的，请你再画一个小方块，把 它变成 3个不同的轴对称图形。 3．画一画。 第 6 页 共 11 页 （1）画出图形①关于虚线的轴对称图形。 （2）画出将图形②先向右平移 5个方格，再向下平移 2个方格后的图形。 （3）画出将图形③向左平移 5格后的图形。 第 7 页 共 11 页 【奥数拓展一】图形的平移。 用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其他地方铺白色 的，如图所示，如果铺满这块地面共用 101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少 块? 【专项训练】 1. 下图，一条白色的正方形手帕，它的边长是 18厘米，手帕上横竖各有二道黑 条，黑条宽都是 2厘米，这条手帕白色部分的面积是多少? 2. 下图所示，一个大长方形由 7个完全相同的长方形和 3个小长方形(图中阴影 部分)拼成，图中白色部分的面积是多少平方厘米? 3. 在一个正方形中放入一个四个顶点与大正方形相接的小正方形(如图)，如果两 个正方形的周长相差 16厘米，面积相差 96平方厘米，小正方形的面积是多少平 方厘米? 第 8 页 共 11 页 【奥数拓展二】图形的切拼（一）。 把图割成形状、大小都相等的 6小块，使每块所含数字的和都相等。 【专项训练】 1. 将图形分成四个大小相等、形状相同的图形。 2. 将图形分成五个大小相等、形状相同的图形。 3. 将图形分成五个大小相等、形状相同的图形。(阴影部分是空的) 【奥数拓展三】图形的切拼（二）。 有两块同样大小的正方形桌布(如图)，现在请你把它们剪拼成一个大正方形桌布。 第 9 页 共 11 页 【专项训练】 1. 下图是一个正方形，请你用直线将它划分成 11个互不重叠的小正方形(大小不 一定全相同)。 2. 把下图长方形剪两刀，可以拼成一个正方形，应该怎样剪? 3. 先将图形分成两块，然后拼成一个正方形。 【奥数拓展四】图形的拼组。 一个正三角形的边长是 3厘米，用几个这样的三角形可以拼成边长 12厘米的大 正三角形? 【专项训练】 1. 一个正三角形的边长是 1，用几个这样的三角形可以拼成边长是 6的大正三角 形? 第 10 页 共 11 页 2. 一张长 12厘米、宽 8厘米的长方形纸片，可以剪出多少个腰长 4厘米的等腰 直角三角形? 3. 一张长方形纸片长 3厘米、宽 2厘米，至少要有多少张这样的纸片才能拼出 一张正方形纸片? 【奥数拓展五】等腰三角形的对称轴（一）。 下列方格图中，线段 AB为等腰三角形的底边，画出△ABC使之为等腰三角形。 【专项训练】 1. 画出下列等腰三角形的对称轴。 2. 画出等边三角形的对称轴。 3. 以线段 AB为等腰三角形 ABC的腰，画出等腰三角形 ABC。 第 11 页 共 11 页 【奥数拓展六】等腰三角形的对称轴（二）。 在下图中，△ABE、△BCE、△CDE都是等腰直角三角形，已知五边形 ABCDE 的面积是 35平方分米，△ABE的面积是多少平方分米? 【专项训练】 1. 在下图的等腰直角三角形 ABC中有一个正方形 BDEF，已知正方形的面积是 20平方厘米，三角形 ABC的面积是多少平方厘米? 2. 画出下图的另一半，使之成为以三角形的边为轴的轴对称图形，共有几种画 法?请你画一画。 3. 如图，一个大正方形被分成了 9个小正方形，其中的 2个小正方形已被涂上 了阴影，在剩下的 7个白色的小正方形中任选一个涂上阴影，使得图中涂有阴影 的三个小正方形组成轴对称图形，共有多少种涂法?