【优选】数学-北师大版-高中-必修4-第2章-第3节 从速度的倍数到数乘向量-课件（2课时打包）

3.1 数乘向量 知识点1 数乘向量及几何意义 (1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa. (2)长度：|λa|＝|λ||a|. (3)方向：|λa|的方向 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(当λ＞0时，与a的方向相同；,当λ＜0时，与a的方向相反.)) (4)λa的几何意义将表示向量a的有向线段伸长或压缩，当|λ|＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍；当|λ|＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短为原来的|λ|倍. 知识点2 数乘向量的运算律 (1)λ(μa)(＝λ·μ)a；(λ，μ∈R) (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(λ，μ∈R) (3)λ(a＋b)＝λa＋λb.(λ∈R) 知识点3 向量共线的判定定理和性质定理 (1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线． (2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa. 知识点4 向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 讲重点 三点共线问题 (1)三点共线的判定 对于平面内任意三点A，B，C，若存在一个实数λ，使得eq \o(AB,\s\up16(→))＝λeq \o(AC,\s\up16(→))(或eq \o(AB,\s\up16(→))＝λeq \o(BC,\s\up16(→))或eq \o(AC,\s\up16(→))＝λeq \o(BC,\s\up16(→)))，则根据共线向量基本定理，可知eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))共线(或eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))共线或eq \o(AC,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))共线)，又由于它们具有公共点A(或B或C)，则可知A，B，C三点共线．除此之外我们又有： 对于平面内任意三点A，B，C，O为不同于A，B，C的任意一点，设eq \o(OC,\s\up16(→))＝λeq \o(OA,\s\up16(→))＋μeq \o(OB,\s\up16(→))，若实数λ，μ满足λ＋μ＝1，则三点A，B，C共线． 事实上，由λ＋μ＝1可得λ＝1－μ，代入eq \o(OC,\s\up16(→))＝λeq \o(OA,\s\up16(→))＋μeq \o(OB,\s\up16(→))中可得eq \o(OC,\s\up16(→))＝(1－μ)eq \o(OA,\s\up16(→))＋μeq \o(OB,\s\up16(→))，即eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝μ(eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→)))，也即eq \o(AC,\s\up16(→))＝μeq \o(AB,\s\up16(→))，从而A，B，C三点共线． (2)三点共线的性质 根据向量共线的性质定理及三点共线的判定可得：若平面内三点A，B，C共线，O为不同于A，B，C的任意一点，若eq \o(OC,\s\up16(→))＝λeq \o(OA,\s\up16(→))＋μeq \o(OB,\s\up16(→))，则λ＋μ＝1.事实上，若A，B，C三点共线，则一定存在实数m，使得eq \o(AC,\s\up16(→))＝meq \o(AB,\s\up16(→))，即eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝m(eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→)))，从而eq \o(OC,\s\up16(→))＝(1－m)eq \o(OA,\s\up16(→))＋meq \o(OB,\s\up16(→))，令λ＝1－m，μ＝m，则λ＋μ＝(1－m)＋m＝1. 类型一 向量的线性运算 【例1】　化简：eq \f(2,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4a－3b＋\f(1,3)b－\f(1,4)6a－7b)). 思维启迪：运用向量的数乘运算，以及数乘运算的运算律进行化简． 解析：eq \f(2,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4a－3b＋\f(1,3)b－\f(1,4)6a－7b)) ＝eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a－3b＋\f(1,3)b－\f(3,2)a＋\