北师大版高中数学必修四　课件：第二单元第5课从力做的功到向量的数量积（共32张PPT）

知识点1 向量的夹角 如图，已知两个非零向量a和b，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角，其范围是[0，π]．当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；当θ＝eq \f(π,2)时，a与b垂直，记作a⊥b.规定零向量可与任一向量垂直. 知识点2 向量的数量积 已知两非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ. 知识点3 射影 向量a在b方向上的射影为|a|cosθ，向量b在a方向上的射影为|b|cosθ. 知识点4 a·b的几何意义 a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cosθ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cosθ的乘积． 讲重点 对平面向量的数量积的理解 (1)两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)． (2)两向量的数量积是两个向量之间的乘法，它与以前学过的数的乘法是有区别的，在书写时，一定要把它们严格区分开来，决不可混淆． (3)向量b在a上的投影不是向量而是数量，其值为|b|·cos〈a，b〉，也可写成eq \f(a·b,|a|)，投影可正可负如图所示，即为|b|cosθ，它的符号取决于θ角的范围. 知识点5 向量的数量积的性质 设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角． (1)若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cosθ. (2)若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥b.通常记作a⊥b⇔a·b＝0. (3)|a|＝eq \r(a·a). (4)cosθ＝eq \f(a·b,|a||b|)(|a|||b|≠0)． (5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|. 知识点6 向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 讲重点 平面向量数量积性质的应用 (1)利用性质(2)，可以解决关于两个非零向量垂直的问题．由a⊥b，可得a·b＝0；反之，由