精品解析：广东省深圳市光明区实验学校2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试卷

光明区实验学校2024-2025学年第一学期 八年级期中考试数学试卷 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 的算术平方根是（    ） A. B. C. D. 2. 一个三角形，其中有两个角分别是和，第三个角是（ ） A. B. C. D. 3. 某校八（1）班在2024年秋季运动会中，参加跳绳比赛的10名学生的参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（ ） A. 平均数是95分 B. 众数是90分 C. 中位数是95分 D. 方差是15 4. 已知直线过点和点，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 5. 下列命题中，真命题的个数为（ ） ①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；②角平分线所在的直线是这个角的对称轴；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④三角形三个内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 清朝数学家梅文鼎的著作《方程论》中有这样一题：松林四顷，杉林三顷，共产实木五十四方；又松林两顷，杉林五顷，共产实木四十一方，问松林和杉林每顷产量几何？设每公顷松林产方木材，每公顷杉林产方木材，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 点关于直线的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，AD是的角平分线，作AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF．下列结论：①；②；③；④．其中命题一定成立的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（每题3分，共15分） 9. 已知一次函数与（是常数，且）的图象的交点坐标是，则方程组的解是 __． 10. 若函数是关于的一次函数，则______． 11. 光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，，则的度数是 __． 12. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为___________． 13. 数学活动课上，将底边8的等腰三角形按图1所示剪成三个直角三角形，这三个直角三角形按图2方式进行拼搭，其中点，，，四点处在同一直线上，且点与点重合，点与点重合，点恰好在与交点处，则的长是 __． 三．解答题（共61分） 14. 计算或解方程组： （1）； （2）． 15. 某校为了了解学生掌握劳动教育知识的情况，举行了“劳动光荣”为主题的知识竞答活动． 【收集数据】从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞答成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）． 【整理数据】将抽取的七年级的20名学生的成绩进行整理，得出了以下信息．七年级20名学生的测试成绩为：9，9，8，5，8，7，6，6，9，7，6，7，9，7，10，6，7，8，7，9． 【描述数据】根据统计数据得到八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图： 【分析数据】七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示： 年 级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比 七年级 7.5 7 45% 八年级 7.5 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中的的值； （2）该校七、八年级共1600名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？ （3）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握劳动教育知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； 16. “低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有，两种规格的自行车，型车的利润为元/辆，型车的利润为元/辆，该专卖店一月份前两周销售情况如下： 型车销售量（辆） 型车销售量（辆） 总利润（元） 第一周 10 12 2240 第二周 20 15 3400 （1）求，的值． （2）若第三周某天型车和型车的总利润为680元，请问这天型车和型车各卖出了多少辆． 17. 如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点M． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求CM的长度． 18. 根据背景素材，在两种解决方法里选择其中一种作答． 计算遮雨棚的高度 背 景 素 材 如图，只空油桶（每只油桶底面的直径均为）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？（，结果精确到） 问题解决 解 决 方 法 一 如下图某小组同学通过测量不同层数的高度，完成了如下的表格： 油桶层数 1 2 3 4 遮雨棚高度 （1）根据表格内容，求出遮雨棚高度和层数的关系式： （2）当油桶层数是层时，这样遮雨棚高度是多少？ 解 决 方 法 二 如下图某小组同学根据油桶的摆放方式，绘制了如下截面图，、、三点都是对应圆的圆心， （1）判断的形状，并说明理由； （2）求出遮雨棚的高度. 19. 【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： x … 0 1 2 … y … _________ 2 0 _________ … ①补全表格中横线部分的数据并根据表中的结果在图所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象； ②已知直线与的伴随函数的图象交于，两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有个时，直接写出的取值范围． 20. 如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c） （1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2＝c2； （2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出证明过程； （3）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处． ①请写出C、D两点的坐标； ②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 光明区实验学校2024-2025学年第一学期 八年级期中考试数学试卷 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 的算术平方根是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：． 【点睛】本题考查算术平方根的求解，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 2. 一个三角形，其中有两个角分别是和，第三个角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理“三角形三个内角的和等于”，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵一个三角形，其中有两个角分别是和， ∴ 这个三角形的第三个角是， 故选：A． 3. 某校八（1）班在2024年秋季运动会中，参加跳绳比赛的10名学生的参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（ ） A. 平均数是95分 B. 众数是90分 C. 中位数是95分 D. 方差是15 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，众数，中位数和方差的定义，熟练掌握这些知识点是解决问题的关键，根据相关知识点一一判断即可； 【详解】解：A．这组数据的平均数为，此选项错误，不符合题意； B．这组数据中90分出现5次，次数最多，所以这组数据的众数为90分，此选项正确，符合题意； C．这组数据的中位数为，此选项错误，不符合题意； D．这组数据的方差为，此选项错误，不符合题意； 故选： 4. 已知直线过点和点，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，再结合，即可得出． 本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 【详解】解：， 随的增大而增大， 又，直线过点和点， ， 故选： 5. 下列命题中，真命题的个数为（ ） ①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；②角平分线所在的直线是这个角的对称轴；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④三角形三个内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理．根据三角形外角性质、平行线的性质和角平分线的性质等进行判断即可． 【详解】解：①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，是真命题； ②角平分线所在的直线是这个角的对称轴，是真命题； ③两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是假命题； ④三角形三个内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等，是真命题； 真命题有3个， 故选：C． 6. 清朝数学家梅文鼎的著作《方程论》中有这样一题：松林四顷，杉林三顷，共产实木五十四方；又松林两顷，杉林五顷，共产实木四十一方，问松林和杉林每顷产量几何？设每公顷松林产方木材，每公顷杉林产方木材，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“松林四顷,杉林三顷，共产实木五十四方；松林两顷，杉林五顷，共产实木四十一方”，即可列出关于的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选： 7. 点关于直线的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化：轴对称，掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质求出对称点的横坐标，即可得解； 【详解】解：设点关于直线的对称点的坐标是， ， 解得：， 对称点的坐标是， 故选：B． 8. 如图，AD是的角平分线，作AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF．下列结论：①；②；③；④．其中命题一定成立的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质和线段垂直平分线的性质即可判断①②；根据∠BAF=∠BAD+∠DAF，∠ACF=∠DAC+∠ADF，即可判断③；根据∠BAF不一定为90°，则∠ACF不一定为90°，即可判断④． 【详解】解：∵EF是线段AD的垂直平分线， ∴AF=DF，故①正确； ∴∠ADF=∠DAF， 过点D分别作DH⊥AB于H，DG⊥AC于G， ∵AD平分∠BAC， ∴DH=DG，∠BAD=∠CAD ∵，， ∴，故②正确； ∵∠BAF=∠BAD+∠DAF，∠ACF=∠DAC+∠ADF， ∴∠BAF=∠ACF，故③正确； ∵∠BAF不一定为90°， ∴∠ACF不一定为90°， ∴AF与BC不一定垂直，故④错误， 故选C． 【点睛】本题主要考擦了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知角平分线和线段垂直平分线的性质是解题的关键． 二．填空题（每题3分，共15分） 9. 已知一次函数与（是常数，且）的图象的交点坐标是，则方程组的解是 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，理解交点的横纵坐标就是两个解析式联立的二元一次方程的解是解决问题的关键，根据题意得到答案即可； 【详解】解：∵一次函数与是常数，的图象的交点坐标是， ∴方程组的解是． 故答案为： 10. 若函数是关于的一次函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的定义可得，求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数解析式的结构特征是解题的关键． 11. 光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，，则的度数是 __． 【答案】59 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质．根据平行线的性质得到，由平角的定义得到，即可得到． 【详解】解：∵， ， ， ． 故答案为：59 12. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，解题的关键是根据勾股定理得到． 由勾股定理得，再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， 如图所示， ∴， ∵阴影部分的面积为，与正方形等底等高， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 13. 数学活动课上，将底边8的等腰三角形按图1所示剪成三个直角三角形，这三个直角三角形按图2方式进行拼搭，其中点，，，四点处在同一直线上，且点与点重合，点与点重合，点恰好在与交点处，则的长是 __． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由图1及等腰三角形的性质可知， ，，， 如图2，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， 故答案为：3 三．解答题（共61分） 14. 计算或解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的除法、完全平方公式计算，再合并即可； （2）根据加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：原式， ； 【小问2详解】 解： 由②，得③， ①③得：， 解得， 将代入①得：， 解得． 原方程组的解为 15. 某校为了了解学生掌握劳动教育知识的情况，举行了“劳动光荣”为主题的知识竞答活动． 【收集数据】从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞答成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）． 【整理数据】将抽取的七年级的20名学生的成绩进行整理，得出了以下信息．七年级20名学生的测试成绩为：9，9，8，5，8，7，6，6，9，7，6，7，9，7，10，6，7，8，7，9． 【描述数据】根据统计数据得到八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图： 【分析数据】七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示： 年 级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比 七年级 7.5 7 45% 八年级 7.5 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中的的值； （2）该校七、八年级共1600名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？ （3）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握劳动教育知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； 【答案】（1），， （2）估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是1480人 （3） 解：我认为八年级学生掌握劳动教育知识较好， 理由如下： 因为七年级、八年级学生知识竞答活动的平均分一样均为7.5分，但是八年级的中位数为7.5分大于七年级的中位数7分．因此我认为八年级学生掌握劳动教育知识较好． 【解析】 【分析】（1）由条形统计图及统计表中相关信息，结合众数、中位数及条形统计图信息求解即可得到答案； （2）由样本中成绩合格的人数百分比估计该校七、八年级共1600名学生参加此次测试活动的合格人数即可得到答案； （3）由七年级、八年级学生知识竞答活动的平均分一样，但是八年级的中位数为7.5分大于七年级的中位数7分即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题中数据可知七年级20名学生的测试成绩为7分的人数最多， ∴； 八年级学生的成绩按顺序排列后位于最中间的两名同学的成绩分别为7分和8分， ∴； 由题中数据可知八年级学生成绩为8分及以上的人数有人， ∴； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是1480人； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查统计综合，涉及条形统计图、平均数、众数、中位数、百分比、用样本估计总体、由相关统计量做决策等知识，熟记相关统计量的意义及求法是解决问题的关键． 16. “低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有，两种规格的自行车，型车的利润为元/辆，型车的利润为元/辆，该专卖店一月份前两周销售情况如下： 型车销售量（辆） 型车销售量（辆） 总利润（元） 第一周 10 12 2240 第二周 20 15 3400 （1）求，的值． （2）若第三周某天型车和型车的总利润为680元，请问这天型车和型车各卖出了多少辆． 【答案】（1） （2）这天型车和型车分别卖出了7辆、1辆或4辆、3辆或1辆、5辆 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程和二元一次方程组的应用，读懂题意正确列方程是关键． （1）根据第一周和第二周总利润列方程组并解方程即可； （2）根据总利润为680元列二元一次方程，求整数解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得； 【小问2详解】 设这天型车和型车分别卖出了辆、辆， 根据题意得， 整理得， 解得或或， 所以这天型车和型车分别卖出了7辆、1辆或4辆、3辆或1辆、5辆． 17. 如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点M． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求CM的长度． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）3 【解析】 【分析】（1）根据角平分线平分角，对顶角相等，以及等角的余角相等，推出，进而得到，即可得证； （2）作于点F，角平分线的性质得到，勾股定理求出的长，等积法求出的长，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作于点F，如图所示， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 由（1）知：， ∴， 即的长度为3． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，角平分线的性质，勾股定理，等积法求线段的长．掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 18. 根据背景素材，在两种解决方法里选择其中一种作答． 计算遮雨棚的高度 背 景 素 材 如图，只空油桶（每只油桶底面的直径均为）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？（，结果精确到） 问题解决 解 决 方 法 一 如下图某小组同学通过测量不同层数的高度，完成了如下的表格： 油桶层数 1 2 3 4 遮雨棚高度 （1）根据表格内容，求出遮雨棚高度和层数的关系式： （2）当油桶层数是层时，这样遮雨棚高度是多少？ 解 决 方 法 二 如下图某小组同学根据油桶的摆放方式，绘制了如下截面图，、、三点都是对应圆的圆心， （1）判断的形状，并说明理由； （2）求出遮雨棚的高度. 【答案】解决方法一： （1） （2） 解决方法二： （1）是等边三角形，理由为： ∵，，， ∴， ∴是等边三角形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用和勾股定理的应用，等边三角形的判定和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 解决方法一：（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入计算函数值即可； 解决方法二：（1）根据三边相等的三角形是等边三角形判定即可； （2）利用勾股定理计算即可． 【详解】解：解决方法一： （1）解：设遮雨棚高度和层数的关系式为，把，代入得： ，解得， ∴遮雨棚高度和层数的关系式为， （2）当时，， ∴遮雨棚的高度为； 解决方法二：（1）略 （2）∵， ∴， ∴， ∴遮雨棚的高度为． 19. 【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： x … 0 1 2 … y … _________ 2 0 _________ … ①补全表格中横线部分的数据并根据表中的结果在图所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象； ②已知直线与的伴随函数的图象交于，两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有个时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）①0；； ②或； （3）或者． 【解析】 【分析】（1）根据伴随函数的定义即可求解； （2）①把代入，把代入，求得函数值即可填表，根据列表即可作出图形；②分别求出、两点的坐标，进而根据面积构造方程求解即可； （3）先求出直线与轴的交点坐标，再由一次函数的伴随函数为，根据不等式即可得结论． 【详解】解：（1）∵函数为一次函数的伴随函数． 的伴随函数为； 故答案为：； （2）①当时，，当时，， ∴补全表格如下： x … 0 1 2 … y … 0 2 0 … 作图如下， ②联立和得 ，解得， ∴ 联立和得， 解得， ∴ 当时，， ∴与轴的交点为， ∵点 ∴， ∵的面积为 ∴，即， 解得或 （3）如图， 设直线为， ∵点、的坐标分别为，， ∴， 解得， ∴直线为， 令，则， ∴直线:与轴的交点为， 由题意得，一次函数的伴随函数为． 当轴右侧部分与有交点时，把和代入，得， 当轴左侧部分与有交点时，把和，代入，得， 当时，， ∴或者， ∴伴随函数与有个交点时，的取值范围为：或者， 故答案为：或者． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，了函数图象与函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式，两直线相交等知识，正确的理解题意是解题的关键． 20. 如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c） （1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2＝c2； （2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出证明过程； （3）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处． ①请写出C、D两点的坐标； ②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标． 【答案】（1）证明：∵S梯形ABCD=S梯形ABCD= ． （2）能，连接，证明如下： 如图： S四边形ABCD=， S四边形ABCD=， ， ． （3）①C、D两点的坐标为C（0，），D（2，0）； ②符合条件的所有点M的坐标为：（，0）、（，0）；、（﹣2，0）、（﹣，0） 【解析】 【分析】（1）根据梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）根据四边形ABCD的面积的两种表示方法即可证明； （3）①根据翻折的性质和勾股定理即可求解； ②根据等腰三角形的性质分四种情况求解即可． 【详解】解：（1）略 （2） （3）①设，则，又， 根据翻折可知： ，， ． 在中，根据勾股定理，得 ， 解得． ，． 答：、两点的坐标为，． ②如图： 当点在轴正半轴上时， ， 设，则，解得， ， ，； ，，， ，； 当点在轴负半轴上时， ，， ； ，， ， ，． ∴符合条件的所有点的坐标为：，、，、、，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，是三角形的综合题，解决本题的关键是分情况讨论思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $