精品解析：福建省泉州市安溪一中、养正中学、泉州实验中学2024-2025学年高三下学期模拟预测数学试题

安溪一中养正中学泉州实验中学2025届高三年毕业班模拟考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出集合，逐一验证即可. 【详解】由， 所以，故A错误， ，故B错误； ，故C错误，D正确. 故选：D. 2. 已知是虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简复数，再求其共轭复数即可. 【详解】因为 所以， 所以， 故选：D. 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据奇函数判断排除B，C，在内选择特殊值得排除D. 【详解】函数是定义域为 函数，是奇函数，所以排除B，C， 又函数在原点附近的零点为和1，可取大于0且接近于0的一个数， 如0.1，得，所以排除D． 故选：A. 4. 已知为单位向量，且在上的投影向量为，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积及投影向量即可求出两个向量的夹角，再利用向量的模长公式即可得到结果. 【详解】设的夹角为 ，由题意得，， 所以， 故选：C 5. 已知为曲线与的一个交点的横坐标，则函数的一个单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求解，利用整体法求解函数的单调区间，即可得解. 【详解】由题意可知，，由于， 所以，故，解得，故， 令，解得， 故单调递增区间为， 当 时，一个单调递增区间为， 当时，一个单调递增区间为， 当 时，一个单调递增区间为. 故选：B 6. 已知双曲线虚轴的两个端点分别为，左､右焦点分别为，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合倍角公式以及即可求解. 【详解】由题， 所以，即，所以，即. 故选：A 7. 从集合中任取三个数，取出的三个数之和是3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析和为3的可能性情况，结合组合数运算求解即可. 【详解】设集合，，， 任取三个数的和为3的倍数，分为两类情形，一类是从集合或取三个数，一类是从三个集合各取一个数， 所以概率是 故选：B. 8. 若斜率为 的直线 交曲线于点，交曲线于点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意设出点的坐标，联立方程组得到，合理构造，结合对数函数与一次函数的性质得到单调递增，进而得到，最后利用两点间距离公式求解边长即可. 【详解】由题意得的定义域为，定义域为 ， 由题意得 的斜率为 ，故设，设，， 因为 交曲线于点，交曲线于点， 则，， 此时，， 则是方程的解，是方程的解， 故，化简得， 构造，故， 由对数函数性质得在上单调递增， 由一次函数性质得在上单调递增， 得到在上单调递增，故，即， 由两点间距离公式得， ，故B正确. 故选：B． 【点睛】关键点点睛：解题关键是运用给定条件并联立方程组，然后结合函数单调性得到，最后利用两点间距离公式得到所要求的值即可． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜中挑选了100个称重（单位：kg），并整理数据，得到如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下面结论正确的是（ ） A. B. 估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为 C. 估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间 D. 估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图有所有频率之和为1即可求得，根据质量不低于1.6kg的频率之和即可判断B， 求出哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间的频率即可判断C，计算中位数即可判断D. 【详解】对于A：，解得，A错误； 对于B：估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为，B正确； 对于C:因为，所以估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间，C正确； 对于D:设该哈密瓜的质量的中位数为 ，则有， 所以估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间，D正确. 故选：BCD. 10. 已知是抛物线的焦点，点在圆上，圆在点处的切线与只有一个公共点，动直线，则下列说法正确的是（） A. B. 与和圆各恰有一个公共点的直线有6条 C. 若圆上仅有一个点到 的距离为2，则满足条件的的值有4个 D. 若上一点到 的距离为，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据点在直线上记直线与圆和抛物线相切可求得；对于B，画图可以判断；对于C，依题意可知圆心到直线 的距离为3或1，求出t的值即可判断；对于D，由且等号同时成立可以判断D. 【详解】对于A，因为点在圆上，所以，解得， 所以圆的方程为，所以圆心， 所以直线的斜率， 所以圆在点处的切线的斜率， 所以切线方程为，即， 代入抛物线的方程中，得， 由，解得，(舍去），故项正确； 对于B，如图所示，在 轴右侧，当直线斜率不存在时，有一条直线与和圆各恰有一个公共点，当斜率存在时，有两条这样的直线.根据对称，总共有6条直线与和圆各恰有一个公共点，故B正确； 对于C，若圆上仅有一个点到 的距离为2，则圆心到直线 的距离为3或1， 当圆心到直线 的距离为3时，，解得 或； 当圆心到直线 的距离为1时，，解得或 ；故项正确； 对于 D ，因为 ，所以，当点与原点重合时等号成立， 此时取得最小值 ，故 D 错误． 故选：ABC. 11. 在三棱锥 中，已知平面，，过点作，，分别交于点记三棱锥、四棱锥、三棱锥 的外接球的表面积分别为，，，体积分别为，，若 ，则（ ） A. 平面 B. C. D. 的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用线面垂直判定定理证明可得平面，即可判断A错误；将三棱锥 放入长方体中，三棱锥 的外接球的直径即为 ，求出半径可得B正确，利用线面垂直性质以及长方体对角线与外接球半径之间的关系，计算可得C正确，求得的表达式并通过构造函数，利用导数求出函数单调性即可得出相应值域，可得D错误. 【详解】对于A，因为平面，平面，所以， 又，， 平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为，，平面PBC，平面， 所以平面， 而，则与平面不垂直，故A错误； 对于B，将三棱锥 放入长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥 的外接球， 可知长方体的体对角线即为外接球的直径， 则三棱锥 外接球的半径， 可得，，故B正确； 对于C，因为，， 所以与均为直角三角形， 取的中点为，则， 即点即为三棱锥的外接球球心， 三棱锥的外接球半径， 因为平面，平面，所以， 又，，平面AEF， 平面， 所以 平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以， 在四棱锥的底面四边形中，，， 则 即为四边形的外接圆直径， 而平面， 则四棱锥的外接圆半径， 又，则，所以， 因为，所以，可得， 则，故C正确； 对于D，易知， 由可得，，则， 令，， 则， 令，即，解得； 令，即，解得； 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当或时，， 则的值域为 即的取值范围为，故D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据利用得出的表达式，通过构造函数利用导数求得其单调性，求出值域即可. 三、填空題：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知二项式展开式中含有常数项，则n的最小值为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】写出二项式的通项公式并化解，根据已知列式，利用即可得到最小时的情况即可得出答案. 【详解】二项式展开式的通项为： ， 二项式展开式中含有常数项， 有解， ,则当时，最小，且最小值为6. 故答案为：6. 13. 已知正实数 满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，将化为，再利用基本不等式可求得的范围． 【详解】因为 为正实数，所以， 因此的最小值为4，故存在，即时使得等号成立， 此时，又因为，所以在上有解， 所以由基本不等式可知时等号成立， 所以，故实数的取值范围是． 故答案为：. 14. 在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知，，则的内切圆半径r的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设利用正弦定理、余弦定理得到及，再根据 得到，化简变形并运用基本不等式即可求得其最大值. 【详解】已知，由正弦定理可得， 又，可求得，， 利用余弦定理，可得， 所以， 又三角形面积， 又，所以， 故，当且仅当时等号成立， 所以的内切圆半径r的最大值为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【小问1详解】 方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 16. 如图，平行六面体的所有棱长均为2，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内. （1）若中点为 ，求的面积； （2）若平面，求线段长度的最小值. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用几何关系求出，从而得到，然后利用三角形面积公式求解即可； （2）构造平面平面，从而确定点必在上，然后利用等面积法求解即可；或者利用空间向量结合二次函数求最值. 【小问1详解】 连接、、， ， ，同理， 是正方形对角线AC中点， ，且， ， 即，则， . 【小问2详解】 法一： 取中点，连接 ，，， 易得，故四边形是平行四边形， ，又 平面 平面， 平面，同理， 平面 平面， 平面 ，且都在面内， 故平面平面， 则点必在上，且当时，长度最小， ， 由等面积法得：，解得， 故的最小长度为. 法二： 取为一组空间基底，则，， 平面， ，代入整理得， 故， 动点在平面内， ， ， 故， 当且仅当时，有最小值为. 法三： 由第一问知，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， ， ，， 同理， ，， ，， 设平面的法向量为， 则，令 ，得， 设点，， ，即， 故， 当且仅当时，有最小值为. 17. 小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷． （1）规定第1次从小明开始． （ⅰ）求前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率； （ⅱ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为，求随机变量的分布列与期望． （2）若第1次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率． 【答案】（1）（ⅰ） （ⅱ）的分布列为 0 1 2 3 （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概率为，前4次投掷中小明恰好投掷2次有三种情况：小明，小明，小芳，小芳；小明，小芳，小明，小芳；小明，小芳，小芳，小明，分别计算概率相加即可；（ⅱ）小芳投掷的次数的所有可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率即可； （2）若第1次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况：1.第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，2.第次由小明投掷，第次由小芳投掷. 【详解】（1）一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概率为． （ⅰ）因为第1次从小明开始，所以前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率， ． （ⅱ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为，依题意，可取0，1，2，3， 所以，， ，． 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． （2）若第1次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况： ①第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为； ②第次由小明投掷，第次由小芳投掷， 其概率为． 因为①②两种情形是互斥的，所以， 所以．因为，所以是以为首项， 为公比的等比数列，所以，即． 【点睛】本题考查随机变量的分布列与数列综合应用，涉及到利用递推数列求通项公式，考查学生逻辑推理与运算能力，是一道有一定难度的综合题. 18. 已知椭圆 的离心率为，点在上，直线与交于两点，点关于 轴的对称点为为坐标原点． （1）求的方程； （2）证明：的面积为定值； （3）若点在直线的右侧，求直线在 轴上的截距的最小值． 【答案】（1）； （2）证明：设，则， 由消去 并整理得， ，， ， 所以的面积为定值. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出关于的方程组即可求出的方程. （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理、三角形面积公式及数量积的坐标表示计算得证. （3）在时，利用斜率坐标表示求出截距的表达式，结合韦达定理求出最小值，再求出的情况即可. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，得，即， 由点在上，得，联立解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由点在直线的右侧，得，设直线与 轴的交点为， 当时，点 中有一个点与椭圆的上顶点重合，此时即为的上顶点，， 当时，由共线，得，即， 整理得，而 ，当且仅当 时取等号，， 所以直线在 轴上的截距的最小值为. 【点睛】 19. 若函数的图象上存在三点，且 ，使得直线与的图象在点处的切线平行，则称为在区间上的“中值点”． （1）若函数 在区间上的中值点为，证明： 成等差数列． （2）已知函数 ，存在 ，使得． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）当时，记在区间上所有可能的中值点之和为，证明： ． 【答案】（1）证明：由题意知. 因为 ， 又 ， 所以 ，即 ， 所以 成等差数列； （2）（i）； （ii）证明：因为，所以中值点满足 ， 由（i）知当时，即有两个零点， 所以在区间上所有可能的中值点即. 先证明： 由 ，得. 要证，即证. 设 ， 则. 设，当时， ， 所以在上单调递增，所以 ， 所以当时， ，所以在上单调递减. 所以当时， ，即. 因为 ，所以，即， 又 ，再结合在上单调递减， 可得，从而. 令，得， 所以 . 【解析】 【分析】（1）根据中值点定义得到相关方程，则 ，化简即可； （2）（ⅰ）通过二次求导得 ，再对 和讨论即可； （ii）首先证明，通过构造函数 ，利用二次求导即可证明，再进行代换即可证明，最后再设，利用累加法和等差数列求和公式即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i） ， 设，则 ， 当时，单调递增，当时，单调递减. 故 ，且当时， ，当时， . 若 ，则恒有 ，所以在上单调递减，不符合题意； 若，则在和上分别存在一个零点，记为， 当时， ，即单调递减， 当时，，即单调递增，当时， ，即单调递减， 故存在 ，满足. 所以的取值范围是. （ii）略 【点睛】关键点点睛：本题第二问第二小问的关键是构造函数 ，从而证明关键的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安溪一中养正中学泉州实验中学2025届高三年毕业班模拟考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为单位向量，且在上的投影向量为，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5. 已知为曲线与的一个交点的横坐标，则函数的一个单调增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线虚轴的两个端点分别为，左､右焦点分别为，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 从集合中任取三个数，取出的三个数之和是3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若斜率为 的直线 交曲线于点，交曲线于点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜中挑选了100个称重（单位：kg），并整理数据，得到如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下面结论正确的是（ ） A. B. 估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为 C. 估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间 D. 估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间 10. 已知是抛物线的焦点，点在圆上，圆在点处的切线与只有一个公共点，动直线，则下列说法正确的是（） A. B. 与和圆各恰有一个公共点的直线有6条 C. 若圆上仅有一个点到 的距离为2，则满足条件的的值有4个 D. 若上一点到 的距离为，则的最小值为 11. 在三棱锥 中，已知平面，，过点作，，分别交于点记三棱锥、四棱锥、三棱锥 的外接球的表面积分别为，，，体积分别为，，若 ，则（ ） A. 平面 B. C. D. 的取值范围为 三、填空題：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知二项式展开式中含有常数项，则n的最小值为____________． 13. 已知正实数 满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是______． 14. 在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知，，则的内切圆半径r的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 16. 如图，平行六面体的所有棱长均为2，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内. （1）若中点为，求的面积； （2）若平面，求线段长度的最小值. 17. 小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷． （1）规定第1次从小明开始． （ⅰ）求前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率； （ⅱ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为，求随机变量的分布列与期望． （2）若第1次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率． 18. 已知椭圆 的离心率为，点在上，直线与交于两点，点关于轴的对称点为为坐标原点． （1）求的方程； （2）证明：的面积为定值； （3）若点在直线的右侧，求直线在轴上的截距的最小值． 19. 若函数的图象上存在三点，且 ，使得直线与的图象在点处的切线平行，则称为在区间上的“中值点”． （1）若函数 在区间上的中值点为，证明： 成等差数列． （2）已知函数 ，存在 ，使得． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）当时，记在区间上所有可能的中值点之和为，证明： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $