1 平均变化率与瞬时变化率 1.1 平均变化率&1.2 瞬时变化率-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

１１．解析:(k＋１)３＋５(k＋１)＝k３＋１＋３k２＋３k＋５k＋５ ＝(k３＋５k)＋３k２＋３k＋６ ＝(k３＋５k)＋３k(k＋１)＋６． ∵k(k＋１)为偶数,∴３k(k＋１)能被６整除, ∴(k＋１)３＋５(k＋１)应 变 形 为(k３＋５k)＋３k(k＋１) ＋６． 答案:(k３＋５k)＋３k(k＋１)＋６ １２．解:(１)当n＝１时,(S１－１)２＝S２１,∴S１＝ １ ２ ,当n≥２ 时,(Sn－１)２＝(Sn－Sn－１)Sn,∴Sn＝ １ ２－Sn－１ , ∴S２＝ ２ ３ ,S３＝ ３ ４ , 猜想Sn＝ n n＋１ ,n∈N＋ ; (２)下面用数学归纳法证明: ①当n＝１时,S１＝ １ ２ ,n n＋１＝ １ ２ ,猜想正确; ②假设n＝k时,猜想正确,即Sk＝ k k＋１ , 那么当n＝k＋１时, 可得Sk＋１＝ １ ２－Sk ＝ １ ２－ kk＋１ ＝ k＋１(k＋１)＋１ , 即n＝k＋１时,猜想也成立． 综上可知,对任意的正整数n,Sn＝ n n＋１ 都成立． １３．ABCD　[an＋１＝－a２n＋an＝－ an－ １ ２( ) ２ ＋１４ ,若an∈ ０,１２( ) ,则an＋１ ∈ ０, １ ４( ) ,∴an＋１ －an ＝ －a ２ n ＜０, ∴０＜an＋１＜an,A正确;由已知a２n＝an－an＋１, ∴a２１＋a２２＋􀆺＋a２n＝(a１－a２)＋(a２－a３)＋􀆺＋(an－ an＋１)＝a１－an＋１＜a１,B正确;由a１∈ ０, １ ２( ) 及选项 A 得１ ２＜１－an＜１ ,１＜ １１－an ＜２, ∴ １１－a１ ＋ １１－a２ ＋􀆺＋ １１－am ＞m,显然对任意的正数 b存在 正 整 数 m,使 得 m＞b,此 时 １１－a１ ＋ １１－a２ ＋ １ １－a３ ＋􀆺＋ １１－am ＞b成立,C正确; (i)已知a１＜ １ ２ 成立,(ⅱ)假设an＜ １ n＋１ ,则an＋１＝－ a２n＋an＝－ an－ １ ２( ) ２ ＋１４＜－ １ n＋１( ) ２ ＋ １n＋１ ,又－ １ (n＋１)２ ＋ １n＋１－ １ n＋２＝ － １ (n＋２)(n＋１)＜０ ,即 － １ (n＋１)２ ＋ １n＋１＜ １ n＋２ ,∴an＋１＜ １ n＋２ ,由数学归纳法 思想得 D正确．] １４．证明:①当n＝１时,左边＝１,右边＝ ３×１２×１＋１＝１ ,不等 式成立． ②假设当n＝k时,不等式成立,即１＋１ ２２ ＋１ ３２ ＋􀆺＋ １ k２ ≥ ３k２k＋１ , 则当 n＝k＋１ 时,要 证 １＋ １ ２２ ＋ １ ３２ ＋ 􀆺 ＋ １ k２ ＋ １ (k＋１)２ ≥ ３ (k＋１) ２(k＋１)＋１ , 只需证 ３k ２k＋１＋ １ (k＋１)２ ≥３ (k＋１) ２k＋３ ． 因 为３(k＋１) ２k＋３ － ３k ２k＋１＋ １ (k＋１)２[ ] ＝ ３ ４(k＋１)２－１ － １ (k＋１)２ ＝ １－ (k＋１)２ (k＋１)２[４(k＋１)２－１] ＝ －k(k＋２) (k＋１)２(４k２＋８k＋３) ≤０, 所以 ３k ２k＋１＋ １ (k＋１)２ ≥３ (k＋１) ２k＋３ , 即１＋１ ２２ ＋１ ３２ ＋􀆺＋１ k２ ＋ １(k＋１)２ ≥ ３ (k＋１) ２(k＋１)＋１ , 所以当n＝k＋１时不等式成立． 由①②知,不等式对一切n∈N＋ 都成立． 第二章　导数及其应用 §１　平均变化率与瞬时变化率 １．１　平均变化率 １．２　瞬时变化率 １．D　[􀭵v＝ [５－３(１＋Δt)２]－(５－３×１２) Δt ＝－６－３Δt． ] ２．A　[Δy＝f(３)－f(１)＝３３－３１＝２４,则ΔyΔx＝ ２４ ３－１＝１２． 故选:A．] ３．B　 [由 已 知 得 m ２－１－(１２－１) m－１ ＝３ ,∴m ＋１＝３, ∴m＝２．] ４．B　[Δy＝f(２＋Δx)－f(２)＝３(２＋Δx)＋１－(３×２＋１) ＝３Δx,则ΔyΔx＝ ３Δx Δx ＝３ ,∴当 Δx 趋于０时,ΔyΔx 趋于３． 故选B．] ５．BD　[设 产 量 与 时 间 的 关 系 为y＝f(x),由 题 图 可 知 f(３)－f(２)＜f(２)－f(１),则前三年该产品产量增长速 度越来越慢,故 A错误,B正确,由题图可知从第四年开 始产品产量不发生变化,且f(４)≠０,故 C错误,D正确, 故说法正确的有BD．] ６．解析:如图,设S 为路灯,人的 高度 AB,则 AB＝１􀆰６ m,８４ m/min＝７５ m /s,ts时人的影 子长AC＝h,由直角三角形相 似得１．６ ８ ＝ h h＋７５t ,h＝７２０tm． 则人影长度的变化速率为 Δh Δt＝ ７ ２０Δt Δt ＝ ７ ２０． 答案:７ ２０ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５５􀅰 参考答案 ７．解析:∵Δs＝s(２＋Δt)－s(２)＝a(２＋Δt)２＋１－a􀅰２２－１＝ ４aΔt＋a(Δt)２, ∴ΔsΔt＝４a＋aΔt ,当 Δt趋于０时,ΔsΔt 趋于４a,即４a＝８, 解得a＝２． 答案:２ ８．解:从出 生 到 第 ３ 个 月,该 婴 儿 体 重 的 平 均 变 化 率 为 ６．５－３．５ ３－０ ＝ ３ ３ ＝１ (千克/月)． 从第６个月到第１２个月,该婴儿体重的平均变化率为 １１－８．６ １２－６ ＝ ２．４ ６ ＝０􀆰４ (千克/月)．因为１＞０􀆰４,所以该婴 儿在从出 生 到 第 ３ 个 月 这 段 时 间 内 体 重 的 平 均 变 化 较快． ９．B　[当 Δx＝０􀆰３时,①y＝x在x＝１附近的平均变化率 k１＝１;②y＝x２ 在x＝１附近的平均变化率k２＝２＋Δx ＝２􀆰３;③y＝x３ 在x＝１附近的平均变化率k３＝３＋３Δx ＋(Δx)２＝３􀆰９９;④y＝１x 在x＝１附近的平均变化率k４ ＝－ １１＋Δx ＝－ １０ １３ ．∴k３＞k２＞k１＞k４．∴ 平均变化率 最大的是③．故选B．] １０．解析:由平均变化率的定义可知,函数y＝f(x)在区间 [x１,x２],[x２,x３],[x３,x４]上 的 平 均 变 化 率 分 别 为 f(x２)－f(x１) x２－x１ ,f(x３)－f(x２) x３－x２ ,f(x４)－f(x３) x４－x３ ,结合图像可 以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x３, x４]． 答案:[x３,x４] １１．解析:在(１,＋∞)上取(a,a＋１),Δy１Δx＝ f(a＋１)－f(a) a＋１－a ＝２a＋１,Δy２Δx ＝ g(a＋１)－g(a) a＋１－a ＝ln １＋ １ a( ) ,因为a ≥１,所以２a＋１≥３,ln １＋１a( ) ≤ln １＋ １ １( ) ＝ln２＜ １,所以 Δy１ Δx＞ Δy２ Δx ,所以函数g(x)＝lnx 在区间(１,＋ ∞)上的增长速度慢于函数f(x)＝x２ 的增长速度,故 增长较快的为f(x)＝x２． 答案:f(x)＝x２ １２．解:在x＝１附近的平均变化率为k１＝ (１＋Δx)２－１ Δx ＝ ２＋ Δx,在 x ＝２ 附 近 的 平 均 变 化 率 为 k２ ＝ (２＋Δx)２－２２ Δx ＝４＋Δx ,在x＝３附近的平均变化率为 k３＝ (３＋Δx)２－３２ Δx ＝６＋Δx． 若 Δx＝ １３ ,则k１＝２＋ １ ３ ＝ ７ ３ ,k２＝４＋ １ ３ ＝ １３ ３ ,k３＝６＋ １ ３ ＝ １９ ３ ． 由于k１ ＜k２＜k３,所以在x＝３附近的平均变化率最大． １３．ACD　[A．在t１ 时刻,为两图像的交点,即此时甲、乙 两人血管中的药物浓度相同,故 A 正确;B．甲、乙两人 在t２ 时刻的切线的斜率不相等,即两人的瞬时变化率 不相同,所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率 不相同,故B不正确;C．根据平均变换率公式可知,甲、 乙两人的平均变化率都是f (t３)－f(t２) t３－t２ ,故 C正确;D． 在[t１,t２]时间段,甲的平均变化率是 f(t２)－f(t１) t２－t１ ,在[t２, t３]时间段,甲的平均变化率是 f(t３)－f(t２) t３－t２ ,显然不相 等,故 D正确．] １４．解析:ΔyΔx＝ f(a＋１)－f(a) a＋１－a ＝ln (a＋１)－lna＝lna＋１a ＝ln １＋１a( ) ,因为a＞１,所以ln １＋ １ a( ) ＜ln(１＋１) ＝ln２＜１,所以①错误,②正确．又当a＞１时,１＋１a 随 着a 的增大而减小,ln １＋１a( ) 随着１＋ １ a 的减小而减 小, 所以Δy Δx 随着a 的增大而减小,所以③错误,④正确． 答案:②④ §２　导数的概念及其几何意义 ２．１　导数的概念 ２．２　导数的几何意义 １．A　[因为p′(１０)＝０􀆰０８(元/年),由导数的实际意义可 知在第１０个年头,物价以０􀆰０８元/年的速度上涨．] ２．D　[由题意,根据导数的概念可得, lim Δx→０ f(x０＋mΔx)－f(x０) Δx ＝m 􀅰lim Δx→０ f(x０＋mΔx)－f(x０) mΔx ＝ mf′(x０)＝１,所以f′(x０)＝ １ m． ] ３．A　[设切点为(x０,y０),∵ Δy Δx＝ (x０＋Δx)２－x２０ Δx ＝ (２x０ ＋Δx) 当 Δx趋于０时,ΔyΔx 趋于２x０． 由题意可知,切线斜率k＝４,即f′(x０)＝２x０＝４,∴x０ ＝２, ∴切点坐标为(２,４),∴切线方程为y－４＝４(x－２),即 ４x－y－４＝０,故选:A．] ４．D　[∵ lim Δx→０ f(１)－f(１－Δx) ２Δx ＝ １ ２ limΔx→０ f(１－Δx)－f(１) －Δx ＝－１, ∴ lim Δx→０ f(１－x)－f(１) －Δx ＝－２ ,即f′(１)＝－２． 由导数的几何意义知,曲线在点(１,f(１))处的切线斜率 k＝f′(１)＝－２．] ５．BD　[若f′(x０)＝０,则函数f(x)在x０ 处的切线斜率为 ０,故选项 A错误;函数y＝f(x)的切线与函数的图像可 以有两个公共点,例如函数f(x)＝x３－３x,在x＝１处的 切线为y＝－２,与函数的图像还有一个公共点(－２,－２) 点,故选项B正确;因为曲线y＝f(x)在x＝１处的切线方程 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６５􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 　　　§１　平均变化率与瞬时变化率 　　　　　　　　１．１　平均变化率 　　　　　　　　　　　　１．２　瞬时变化率 [基础达标练] １．一质点的运动方程是s＝５－３t２,则在时间[１, １＋Δt]内相应的平均速度为 (　　) A．３Δt＋６　　　　　　B．－３Δt＋６ C．３Δt－６ D．－３Δt－６ ２．函数y＝f(x)＝３x 在x 从１变到３时的平均 变化率等于 (　　) A．１２ B．２４ C．２ D．－１２ ３．函数f(x)＝x２－１在区间[１,m]上的平均变 化率为３,则实数m 的值为 (　　) A．３ B．２ C．１ D．４ ４．函数y＝f(x)＝３x＋１在点x＝２处的瞬时变 化率估计是 (　　) A．２ B．３ C．４ D．５ ５．(多选)甲工厂八年来某种产品年产量与时间 (单位:年)的函数关系如图所示．现有下列四 种说法正确的有 (　　) A．前四年该产品产量增长速度越来越快 B．前四年该产品产量增长速度越来越慢 C．第四年后该产品停止生产 D．第四年后该产品年产量保持不变． ６．路灯距离地面８m,一个身高为１􀆰６m的人以 ８４m/min的速度从路灯在地面上的射影点O 沿某直线离开路灯,那么人影长度的变化速率 为　　　　 m/s． ７．一质点M 按运动方程s(t)＝at２＋１做直线运 动(位移单位:m,时间单位:s)．若质点 M 在t ＝２s时的瞬时速度为８m/s,则常数a的值为 　　　　． ８．某婴儿从出生到第１２个月的体重变化如图所 示,试分别计算从出生到第３个月与第６个月 到第１２个月该婴儿体重的平均变化率,并说 明哪一阶段体重的平均变化较快． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 [能力提升练] ９．在x＝１附近,取Δx＝０􀆰３,在四个函数①y＝ x、②y＝x２、③y＝x３、④y＝１x 中,平均变化率 最大的是 (　　) A．④ B．③ C．② D．① １０．如图所示,函数y＝f(x)在[x１,x２],[x２, x３],[x３,x４]这几个区间内,平均变化率最大 的一个区间是　　　　． １１．函数f(x)＝x２ 与g(x)＝lnx 在区间(１, ＋∞)上增长较快的是　　　　． １２．求函数y＝x２ 在x＝１,２,３附近的平均变化 率,取Δx都为１３ ,哪一点附近的平均变化率 最大? [素养培优练] １３．(多选)为了评估某种治疗肺炎药物的疗效, 现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓 度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓 度c与时间t的关系为c＝f(t),甲、乙两人 服用该药物后,血管中药物浓度c随时间t变 化的关系如图所示． 给出下列四个结论正确的是 (　　) A．在t１ 时刻,甲、乙两人血管中的药物浓度 相同 B．在t２ 时刻,甲、乙两人血管中药物浓度的 瞬时变化率相同 C．在[t２,t３]这个时间段内,甲、乙两人血管 中药物浓度的平均变化率相同 D．在[t１,t２],[t２,t３]两个时间段内,甲血管 中药物浓度的平均变化率不相同 １４．已知a＞１,函数f(x)＝lnx,则下面结论中 正确的有　　　　　．(填上所有正确结论的 序号) ①函数f(x)在区间[a,a＋１]上的平均变化 率总是大于１; ②函数f(x)在区间[a,a＋１]上的平均变化 率总是小于１; ③函数f(x)在区间[a,a＋１]上的平均变化 率随着a的增大而增大; ④函数f(x)在区间[a,a＋１]上的平均变化 率随着a的增大而减小． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３２􀅰 第二章　导数及其应用