5 数学归纳法-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

世h维那萝 数学(BS)·选择性必修第二册 空 数 课时 间 §5数学归纳法 纠错空间 学 作业 [基础达标练] 8.用数学归纳法证明： 1.用数学归纳法证明等式，1十2十3十…十2m=n 12-22+32-42+…+(-1)*-1m2=(-1)- (2n+1)时，由n=k到n=k+1时，等式左边 ,u(n十D(m∈N). 应添加的项是 2 A.2k+1 B.2k+2 C.(2k+1)+(2k+2) 44044+444444 D.(k+1)+(k+2)+…+2k 2.用数学归纳法证明3“≥n(n≥3，n∈N,),第 一步验证 () A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 3.设5。= 十中2十中十…十则 1 1 1 S+1为 ) A.5,十2k+2 1 1 方法总结 BS,+2k+十2k+2 1 1 1 1 C.S+2h+12k+2 D.S+2k+22k+ 4.平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两 点，且每三个圆都无公共点，用∫(n)表示这n 个圆把平面分割的区域数，那么∫（十1）与 444444444 f(n)之间的关系为 () A.f(n+1)=f(n)+n B.f(n+1)=f(n)+2m C.f(n+1)=f(n)+n+1 D.f(n+1)=f(n)+n-1 5.(多选)用数学归绵法证明写青。对任意 4044+44+444444 ≥k(n,k∈N)的自然数都成立，则以下满足 条件的k的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 6.用数学归纳法证明(1十1)(2+2)(3十3)…(n 十n)=21·(n2+n)时，从n=k到n=k+1 左边需要添加的因式是 7.数列{a,1中，已知a=2,“,+-3a十n∈ 中中年年中中中年中卡卡年年中卡#4中中 N+),依次计算出4a,a:后，归纳、猜测得出 4。的表达式为 ·20· 第一章数列 课何作业 [能力提升练] [素养培优练] 9用数学归纳法证明：fm)=1+号+号十…叶 13.(多选)数列{an}满足a+1=一d十an(n∈ 间 会(n∈N,)的过程中.从n=k到m=十1时 N)a,∈(0，号)，则以下说法正确的为 纠错空间 f(k十1)比f(k)共增加了 ( A.0<d.+1<a A.1项 B.2-1项 B.ai+a+a+…十a<a C.2+1项 D.2项 10利用数学归纳法证明十，十，2十… C对任意正数6：都存在正整数m使剁己。 +<1a∈N,且≥2)时，第二步由天到 ，1>b成立 k十1时不等式左端的变化是 D4,< A增加了十有这一项 14.用数学归纳法证明对一切n∈N,1+ A增加了中和2两项 +…+≥20 C增加了2和2十2两项，同时减少了专 这一项 D.以上都不对 11.用数学归纳法证明n3+5n能被6整除的过 程中，当n=十1时，式子（十1）3十5(k十1) 方法总结 应变形为 12.设数列(a的前n项和为S.·且对任意的正 整数n都满足(S。一1)2=anS.: (1)求S,S,S,的值，猜想S。的表达式： (2)用数学归纳法证明(1)中猜想的S.的表 达式的正确性. 4444444444.444 ·21·五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 14.解:(1)由题意,从今年起每年生活垃圾的总量(单位: 万吨)构成数列{a。),每年以环保方式处理的垃圾量(单 时,有^{}十#一 位:万吨)构成数列。), 'a)是以20(1十5%)为首项,1十5%为公比的等比 8 数列;(b.)是以6+1.5-7.5为首项,1.5为公差的等 t十3 差数列..a.-20(1+5%)”,b.-6+1.5n. (2)设今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量 -4十1 43 为S., *S=(a-b)+.+(a-b.)=(a+a:十.+a.)- (b十b+..十b.) 十十 =(20×1.05+20×1.05+..+20×1.05°)-[7.5+9 +..+(6+1.5n)] 所以当n一k一1时,不等式也成立, 由数学归纳法可知,2“1对任意的n→3都成 1-1.05 2+1n十1 420×1.05~-3-27-420 立.故选:CD.] 6.解析:当n=h时,左端为:(1+1)(2+2)..(十),当n 当n-5时,S~63.5. 一 +1时,左端为:(1+1)(2+2).(十k)(+1+ 十 '.今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为 1),由人到人十1需添加的因式为:(2十2) 63.5万吨. 答案:2h+2 85 数学归纳法 2 1.C [因为要证明等式的左边是连续正整数,所以当由n 一 到n- +1时,等式左边增加了[1+2+3+..+2k +(2+1)+2(+1)]-(1+2+3+..+2)-(2+1) 8.证明:(1)①当n-1时,左边-1*-1, +(2+2).] 右边=(-1)*×1×(1+1)-1,左边=右边,等式成立。 2.C [由题意知,n的最小值为3,所以第一步验证n-3 20 是否成立,] ②假设n一(N)时,等式成立,即 3.C [因式子右边各分数的分母是连续正整数,则由S= 1*-2+3-4+..+(-1)-1-(-1)*1 .(+D ##1.,① 1② 1 则当n-十1时, 得S二 1十26-3 1-2+3-4+.+(-1) +(-1) (+1) 由②-①,得S-s=212(+1)1= (-1)-.(1)(-1)(+1): 1。 1 1 2 1 =(-1)*(+1). [+1)-】 4.B [依题意得,由n个圆增加到n+1个圆,增加了2n个 -(-1).(+1)[(+1)+1] 交点,这2n个交点将新增的圈分成2n段{,而每一段引 2 当n一k十1时,等式也成立, 都将原来的一块区域分成了2块,故增加了2n块区域。 根据①②可知,对于任何nN.等式成立。 因此f(n+1)=f(n)+2n.] 1.2”-1_ # 不成立; 2,不 所以由n一变到n一h十1时,左边增加的为1 -1-71-31 __- +2,增加了2项。] 10.C[不等式左端共有n十1项,且分母是首项为n,公差 为1,末项为2n的等差数列,当n一 时,左端为卞 +1十2 士__ -31# 结论。] ·54. 参考答案 课时作业 11.解析:(k+1)+5(k+1)-+1+3^ }+3+5^+$ -(b+5)+3^}+3{+6 =( +5)+3(+1)+6. 1 +1#23(1)1 3(+1) ·(+1)为偶数,.,3(^-1)能被6整除, #&3)。 &.(+1)+5(+1)应变形为(}+5k)+3k( +1) +6. 2-3。 ) [ 答案:(+5)+3(+1)+6 因为3(+1) -40+1-1 23 _ 12.解:(1)当n-1时(S-1)-s .5-.当n2 1 1-(十1) 时,($-1):(S-$.)S.i.S2-$.· (1)-(+1)[4(+)-1]= 1 一(十2) .--# -<0. (+1)(4+8+3) 猜想S.-EN; 所以3 2+1+(+1){ 2+3 (2)下面用数学归纳法证明: ①当n-1时,S= 所以当n一h十1时不等式成立. 由①②知,不等式对一切n后N.都成立. 第二章 导数及其应用 那么当n一十1时, 81 可得$-2-S= +1 平均变化率与瞬时变化率 1.1 平均变化率 即n一尺十1时,猜想也成立。 1.2 瞬时变化率 [[5-3(1+△)|]-(5-3×1)-6-3A.] 1.D #(2-)#}#,##6# 13.ABCD [=-a{十a.=- 2.A [△y-/(3)-/(1)-3”-3-24,则24 (o),则a (o.-)a1-a.--a<o, 故选:A.] 'oaa,A正确;由已知a}-a.-a1 3.B [由已知得”-1-(1-1)-3..+1-3, '+a+.+a-(a-a。)十(a-a。)+.+(a- n-1 #_)_a-a<aB正确;由a (o.)及选项 A 'm-2.] 得1-a.<1,1<<2, 4.B[△y=/(2+△x)-f(2)-3(2+△)+1-(3X2+1) 1-a. -3△r,则y-3△-3..当△r趋于0时,趋于3. 。 △△r __m,显然对任意的正数 △r 1-a 故选B.] 5.BD[设产量与时间的关系为y=f(x),由题图可知 1成立,C正确; f(3)一f(2)/(2)一f(1),则前三年该产品产量增长速 1-à 1-a 度越来越慢,故A错误,B正确,由题图可知从第四年开 始产品产量不发生变化,且f(4)关0,故C错误,D正确, 故说法正确的有BD.] t =-(a-)+<-()}, 6.解析:如图,设S为路灯,人的 高度AB,则AB-1.6m,84 10 (n+2)(n+1<0,即- m/min-- -3m/s,ts时人的影 7 1.6 1 子长AC一h,由直角三角形相 0 84t A 思想得D正确.] 似得1.6_,- ## 式成立。 # ·5·