3 等比数列 3.2 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　　３􀆰２　等比数列的前n项和 　　　　　第１课时　等比数列的前n项和 [基础达标练] １．已知数列{an}满足an＋１＝３an(n∈N＋),且a１ ＝２,则a１＋a２＋a３＋􀆺＋an＝ (　　) A．３n－１　　　　　　B．３n C．３n－１－１ D．３n－１ ２．已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S３＝ ２,S６－S３＝４,则S９－S６＝ (　　) A．８ B．４ C．２ D．１ ３．设Sn 为等比数列{an}的前n项和,８a２＋a５＝ ０,则 S５ S２ 等于 (　　) A．１１ B．５ C．－８ D．－１１ ４．(２０２２􀅰全国乙卷􀅰(理８))已知等比数列{an} 的前３项和为１６８,a２－a５＝４２,则a６＝ (　　) A．１４ B．１２ C．６ D．３ ５．(多选)在«增减算法统宗»中有这样一则故事: “三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛 减一半,如此六日过其关”．则下列说法正确的 是 (　　) A．此人第六天只走了５里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多 ６里 C．此人第二天走 的 路 程 比 全 程 的１４ 还 多 １􀆰５里 D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之 和的８倍 ６．已知等比数列的公比为２,且前５项和为１,那 么S１０＝　　　　． ７．把一个边长为１的正方形等分成九个全等的 小正方形,将中间的一个正方形挖掉(如图 ①);再将剩余的每个正方形都分成九个全等 的小正方形,并将中间的一个正方形挖掉(如 图②);如此继续下去,则 (１)图③中共挖掉了　　　　个正方形; (２)第n个图形共挖掉了　　　　个正方形, 这些正方形的面积和是　　　　． ８．在等比数列{an}中,a２－a１＝２,且２a２ 为３a１ 和a３ 的等差中项,求数列{an}的首项、公比及 前n项和． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 [能力提升练] ９．古代数学著作«九章算术»有如下问题:“今有 女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?” 意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前 一天的２倍,已知她５天共织布５尺,问这女 子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件, 若要使织布的总尺数不少于３０,该女子所需 的天数至少为 (　　) A．１０　　　　　　　　B．９ C．８ D．７ １０．(多选)已知等比数列{an}公比为q,前n项和 为Sn,且满足a６＝８a３,则下列说法正确的是 (　　) A．{an}为单调递增数列 B． S６ S３ ＝９ C．S３,S６,S９ 成等比数列 D．Sn＝２an－a１ １１．以a１ 为首项、以q为公比的等比数列{an}满 足a１＝ ３ ２ ,q＝－１２ ,设数列{an}的前n项和 为Sn,若t≤Sn≤３t恒成立,则实数t的取值范 围是　　　　． １２．已知{an}是首项为a、公比为q的等比数列, Sn 为它的前n 项和． (１)当S１,S３,S４ 成等差数列时,求q的值; (２)当Sm,Sn,Sl 成等差数列时,求证:对任意 自然数k,am＋k,an＋k,al＋k也成等差数列． [素养培优练] １３．如图给出的是一道典型的数学无字证明问 题:各矩形块中填写的数字构成一个无穷数 列,所有数字之和等于１．按照图示规律,有 同学提出了以下结论,其中正确的是 (　　 ) 􀆺 １ ６４ １ ３２ １ １６ １ ８ １ ４ １ ２ A．由大到小的第八个矩形块中应填写的数 字为 １ ５１２ B．前七个矩形块 中 所 填 写 的 数 字 之 和 等 于１２７ １２８ C．矩形块中所填数字构成的是以１为首项, １ ２ 为公比的等比数列 D．按照这个规律继续下去,第n－１个矩形 块中所填数字是１ ２n １４．对于数列{an},定义数列{an＋１－an}为数列 {an}的“差数列”,若a１＝２,{an}的“差数列” 的通项公式为an＋１－an＝２n,数列{an}的前n 项和 为Sn,则log１２ (Sn ＋２)的 最 大 值 为 　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１􀅰 第一章　数列 世h维评堂 数学(BS)·选择性必修第二册 3.2等比数列的前n项和 8.解：设数列{a.}的公比为q(g≠0). 第1课时等比数列的前〃项和 由已知可得a94=2,。 即4g1)=2.① 1.A[由an1=3a.(n∈N,)可得数列{an}为等比数列，所 14aq=3a,+ad,(d-4g十3-0，② 以a,十a十a,十…十a.-2二=3-1，故选A] 解②得q=3或q=1. 1-3 由于a(g-1)=2,因此g=1不合题意，应舍去. 2.A[(S4-S)2=S(S,-S6),∴S-S.=8.] 故公比g=3,首项a1=1, 3.D[由84+a5=0,得849+41g=0,a1≠0，q≠0， =4(1-(-2)) 所以教列{a,}的前n项和S。=二g》-1X(1-3 1-g 1-3 q=一2，则 a1-(-2-11.] =3-1 4.D[设等比数列{a.}的公比为q,q≠0， 2 若g=1,则a:一a5=0,与题意矛盾， 所以9≠1， 9C[设流女子第一天织布尺，则碧-5：解得 5 则了a+a:+a1一11二9之一168，解学 41=96 1-9 =引，所以前n天织布的尺数为员（2-一1，由员(2 1· （a:-a:=a1g-a1q=42 1)≥30，得2≥187，解得n的最小值为8.] 所以a6=a1g=3.] 10.BD[由a6=8as,可得gaa=8aa,则q=2,当首项ai 5.BCD[根据题意此人每天行走的路程成等比数列，设此 人第n天走4，里路， <0时，可得a,为单消地减数列，故A错花：曲受 则a,是首项为a公比为g=名的等比载列. 二号=9，载B正确：复设5成等比数到，可得 S=S×S,即(1-2)2=(1-2)(1-2)不成立，显 然S,,S。,S,不成等比数列，故C错误：由{a,}公比为q 1-9 1 =378,解得a1 1一2 的等比数列，可得5=9_208=2a,一a1d 1-g 2-1 192. Sn=2a.一41·故D正确：故选：BD.] 选项A:aw=419=192× 5=6,故A错误， 选项B:由41=192，则S6-41=378-192=186, 1山，解析：由题意得S。= (1 又192-186=6，故B正确.选项C:a,=4g=192×号 1+2 =96, ()广可得S≤5≤S,所以是≤S≤所以 而5。=94.5,96-94.5=1.5，故C正确. .3 选项D:a4+a:+a=a1(1+q+g2)=192× (+7+）=386, 1 则后3天走的路程为378一336=42，而且336÷42=8，D 答案[合] 正确.] 12.解：(1)由已知，得an=ag-1,因此S=a,S=a(1十q 6.解析：根据等比数列性质得SS=g…S-2 +g),S=a(1+q+g+q). S. 1 .S。=33. 当S,S,S成等差数列时，S,一S=S一S1,可得ag 答案：33 =ag十ag,化简得父-9-1=0.解得g-15 2 7.解析：设第n个图形共挖掉a。个正方形，则1，a2一a1= 8,a-a=8,…,a,一an-1=8"-,所以an=1+8十82十 (2)证明：若g=1,则{a,}的各项均为a此时am+4: …+8-8,1故调@中共龙排了→-3个 a。+,a1+显然成等差数列. 7 若g≠1，则由S.,S。,S,成等差数列可得Sm+S,=2S, 正方形：(2)第m个图形共龙排了8个正方形.由于原 4写-如，得十日 9-1 9-1 正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1 =2g. ×()+8×（）广+8×（）》 因此aw+4十a+t=ag-1(g”十g)=2ag*1=2an+t,所 以aa+4a+a+。成等差数列. 传广-( 13.B[设每个矩形块中的数字从大到小形成数列{a.}, 1- 则可得@，是首项为号，公比为的等比数列…4， 答案：1732)1-() ×（合）广= ·50· 参考答案 课时作亚马 所以由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为“= 7.解析：a。-2十(-1)'a.=3n-1,当n为奇数时，am+:=a 2云-256，故A错误： 11 十3n-1:当n为偶数时，a。+2十an=3n-1.设数列{a.》 的前n项和为Sn,S6=a1十a:十a十a1十…十a16=a1十 前七个矩形块中所填写的数字之和等于 a十as+…+as+(a2十a,)+…+(a4+a6)-a+(a -位】]器故B +2)+(a1+10)+(a1+24)+(a1+44)+(a1+70)+ 1- 128 (a+102)+(a1+140)+(5+17+29+41)=8a1+392 +92=8a1+484=540,∴.41=7. 矩形块中所填教字构成的是以受为首项，号为公比的 答案：7 等比数列，故C错误： 8.解：(1)设等差数列{an}的公差为d. 按照这个规律继续下去，第n一1个矩形块中所填数字 是2品，故D错误. 由已知得a十d=4, 1(a1+3d)+(a1+6d)=15, 14.解析：由题意得a+1一a,=2,则a。一a。1=2-,a。 解得∫4=3， 所以a,=a十(n-1)d=m十2. -a,±=22a,-2一a-4=23,…a2-a1=2,将以上 ld=1. 各式相加，得，4.一41=2”1十22+23+…+2= (2)由(1)可得b.=2+n, 2X1-2)=2-2,4,=2”,a1也造合，5，=2+2 所以6，+b+b+…+b。=(2+1)+(2+2)+(2+3) 1-2 +…+(20+10) +2+…+2=2×12)=21-2,3.+2=2 =(2+22+22+…+20)+(1+2+3+…+10) 1-2 ≥4. -21-2)+1+10)×10=(2-2)+55=2"+53 1-2 2 则1og4(S,十2)的最大值为log号4=-2. 2101. 答案：一2 第2课时数列求和 9.C[数到a,满足a,=名，对任意的nEN,率有m, 1.A[S1,=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+ (n+2)a。+1,则有n(n十1)a,=(n+1)(n+2)a+1,可得数 (-2+3)+(-4+5)+(-6十7)+*十(-14+15)+ (-16+17)=1+1+1+…+1=9.] 列{n(n十1)a,}为常数列，有n(n十1)a,=2a1,得n(n十1)a, 2.C[a,-m+n+ 1 =m+I-m,.S=(W2-1)+ =1,将a,中汉由a,=所 (5-2)+…+(m+1-m)=√n+I-1=10,∴.n+ 以S,1=1一 +-+“20a2=1 1=121,故n=120.] 1_2021.故选：C.] 3.A [由已知可得 S+S:+S+S 20222022 4 1+1+2)+(1+2+4)+1+2+4+@2=6. 10,解析：由题意知所家数对的通项为二 ,=2”一1，故由 4 a=6,故选：A.] 分组求和法及等比教列的求和公式可得和为2 4.B[由递推关系式可得a1+ag=一(a:十a),au十a= 一n=2+1-n-2. 一(a1十a1),所以a十a:=a1十a=4,同理可得a十a =a,十4g=…=a2a1o十aen=a:21十agr=4,所以 答案：21一n一2 S2=4×1011=4044.故选：B.] 1解折：列a满足=产。整理得：。一1 1 5.B[数列{4，}的前n项和为2十2X十…十 =1-+-++=1 小 所以数列（上-1是以上一1=1为首项，2为公比的等 n十n中-0，所以n=9.于是直线(n十1)x十y十n 1-n9 an 1 =0为10x十y十9=0.所以其在y轴上的戴距为-9.] 比数列：所以a,一2+ 6,解析：a.=(a。一aw-1)+(a,-1-a,-2)+…十(a2-a1)十 a,=n+(n-1）+(m-2)+…+2+1=0n+卫，所以1 故数列{b.}满足b=21a4+1=21· 21+1 2 1 1 1 nn+1)=2(1、1 2 (7n入.所以{}的前10项和1 2+12+12+1 a。 1 1 1 ++1+…+1 所以S。=2中12中市+2中有12中+…+ -++号++)= 11111023 2”+120+1220+12050 答案 20 答案0 ·51·