安徽省皖南八校2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

“院南八校”2024一2025学年高一第二学期期中考试 数 学 考生注意: 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟。 2.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范围,人教A版必修第二册第六章至第八章8.3。 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知复数z一(1一2i)(3一2i),则z的共航复数在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.在三校台ABC-A'B'C'中,截去三校锥A-A'B'C',则剩余部分是 A.三校锥 B.三校台 C.四校锥 D.三校柱 3.e,e是平面内不共线的两向量,已知AB-e-he,CB-3e +4e,CD-4e +e,若A,C,D 三点共线,则的值为 7 7 C.一3 D.3 个,则a的值可能为 B.5./2 C.9 A.7 D.10 5.已知a,b是两个单位向量,且向量a十4b在向量a上的投影向量为3a,则向量a,b的夹角6- A B. C. D-一 6.如图,一块三角形铁皮,其一角已破裂,小明为了了解原铁皮的规格,现测得如下数据; A.10.3cm B.15cm C.10./2cm D. 14cm 【“院八”高一期中·数学第1页(共4页)】 7.如图,有两个相同的直三校柱,高为1,底面三角形的三边长分别为3,4,5,用这两个三校柱拼 成一个三校柱,在所有可能组成的三校柱中,表面积不可能为 A.36 B.38 C.40 D.42 8.已知△ABC中,AB-3,ACB-.O是△ABC外接圆的圆心,则OC·BC-OC·BA的最大 值为 B.2 A.1 C.2 D.2/3 二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.已知向量a=(1,3),b一(2,-4),则下列选项正确的是 A.a,b能作为平面内所有向量的一组基底 B.(a十b)Ia C. la+2bl-10 D.a,b的夹角为3 10.已知z,z2为复数,则下列说法正确的是 A.若z-|,则-2} B.若z-z-0,则z=z2 C.若z十z>0,则2>-z1 D. z2-z|lz2l 11.如图,一圆锥的侧面展开图中,AC一3,孤BC长为23x,则下列说法正确的是 A.该圆锥的侧面积为3、③ B.该圆锥的体积为6n C.该圆锥可以整体放入半径为的球内 D.该圆锥可以整体放入边长为2/②的正方体中 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分 12.在复平面内,向量OA对应的复数z1=1十2i,OA绕点O逆时针旋转90{后对应的复数为z,则 l2-2一 13.如图,△A'B'C'为水平放置的△ABC的直观图,其中A'B'-2,A'C'=B'C'=、/5,则△ABC的 面积为 【“院八”高一期中·数学第2页(共4页)】 14.有长度分别为1,2,3,4的线段各1条,首尾依次相连地放在桌面上,可组成周长为10的四边形, 如图,AB-1.BC-3.CD-2.DA-4.则组成的四边形ABCD面积的最大值为 第13题 第14题 四、解答题:本大题共5小题,共77分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(13分) 已知复数:和它的共辄复数三满足3z十三一4十4i (1求z; (2)若:是关于x的方程x*十x十g=0(,g<R)的一个根,求复数q十pi的模长 16.(15分) bcosC十ccos B 记△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知2a= cosA (1)求A; (2)若a-1,sin B+sinC-. ,求△ABC的面积. 【“院八”高一期中·数学 第3页(共4页)】 17.(15分) 如图,已知圆台的轴截面为梯形ABCD,AB一4.CD一2,梯形ABCD的面积为6/② (1)求圆台的体积 (2)在圆台的侧面上,从点A到点C的最短路径长度是多少 18.(17分) 在平行四边形ABCD中,AB-4,AD-6,乙BAD一,F是线段AD的中点,点E在直线DC 上,且DE-xDC(-1<<1). (1)当-时,求A·B的值; (2)当x-时,AE与BF交于点N,AN-xAB+yAD,求x-y的值; (3)求FE·BE的最小值 19.(17分) 在平面直角坐标系xOy中,对于非零向量a=(xi,y),b=(x,y),满足x(a,b)= #·# (1)若X(a,b)=0,证明:a/b (2)已知向量a,b的夹角为θ,向量c,d的夹角为8,且X(a,b)=X(c,d).证明:sin8= sinD2. (3)在△ABC中,线段BM,CN为△ABC的两条内角平分线,点M,N分别在AC,AB边上, A=60*.且3BN·BM=2BC·BM.求X(CA.CB) 【“院八”高一期中·数学第4页(共4页)】 “南八校”2024一2025学年高一第二学期期中考试·数学 1/6 参考答案、解析及评分细则 1.B 因为 =(1-2i)(3-2i)=3-2i-6i+4i=-1-8i,则三--1+8i,在复平面内对应的点为(-1,8),位 于第二象限.故选B 2.C 如图,在三校台ABC-A'B'C'中,截去三校锥A-A'B'C'后得到的是四梭锥 A-BCC'B'.故选C. 3.A 由AB=e-be,CB=3e +4e:得AC=AB-CB=-2e.-(+4)e,由A.C.D三点 4.C -,因满足条件的三角形有两 5.A 向量a+4b在向量a上的投影向量为(a+4b)·a=3a,:(a+4b).a-3.:(a+4b)a la2 la2 la2 a&+4ab1+4a.b-3.解得a·b-,所以coso-,解得o-.故选A. la12 sinBsinA AB 2}{ 20-14=6(cm).C- CD+CE-2CD·CEcosC=136+60=196=14(cm),故D.E两点之间的距离为14cm.故选D. 7.B 当拼成三校柱时有三种情况,如图①②③,表面积分别为S.=2×6+2×(5+4+3)-36,S.=4×6+2x (5+4)-42,S.-4×6+2×(5+3)-40.故选B {# 图② 图① 图③ 8.C 过点O作OD1AC,OE1BC,垂足分别为D,E,如图,因为O是△ABC外接圆的 圆心,则D为AC的中点,OC·BC-OC·BA-C·C-|COlICAlcos OCA= lCD|·C-1C|,由正弦定理得|CX-A|sinABCsinABC sin_ACB in 2sin ABC<2,当且仅当乙ABC=-时取“-”,所以OC·BC-OC·BA的最大值为2 故选C. 【“院八”高一期中·数学试卷参考答案 第1页(共6页)】 9.ABD a,b不共线,所以a,b能作为平面内所有向量的一组基底,A正确;(a十b)·a三(3,一1)·(1,3)=0. a.b的夹角为3D正确.故选ABD. $0.BD对于A,令z.=1+i,=1-i,则l=z|=②,=2i,=-2i,不满足=,A错误;对于B$$ 设=a+bi,z:=c+di,若lz.-z:l=0,则 (a-c)+(b-d)=0,所以a=c,b=d,即z,=z,B正确;对 于C,令z.=1十i,z。=-i.则z.十z。=1>0,z,-z:不是实数,不能比较大小,C错误;对于D,设= a+bi,z=c+di,易知lzz:l=I(a+bi)(c+di)I=lac-bd+(ad+bc)il=(ac-bd)+(ad+bc )= +bd-2abcd+ad+cb+2abcd-a^+ad+eb+bd,又lsllsI=a+b+d= c+ad+c+bd,所以zz =z|,D正确.故选BD 11.ABD 因为圆锥的侧面展开图中,AC-3,张BC长为2V3x,所以圆锥的侧面积为×3X2V3x-3V3x,故A正确; 设圆锥底面半径为r,则2r=2\3x,解得r-3,圆锥的高h-6,母线长i=3.圆锥体积V-×x(v3)”×6= 6x.故B正确;对于C,因为圆锥的底面半径为3,高为V6,所以圆锥的外接球球心在圆锥内部,设圆锥外接球的 对于D,过正方体一边的中点作与体对角线垂直的平面,如图2,此平面到顶点A的距离为体对角线的一半,即 为(22)^+(2、2)+(22)-,平面截正方体得到边长为2的正六边形,该正六边形的内切圆的半径 为3,以该圆作为圆锥的底面,点A为顶点即可得到圆锥.故D正确.故选ABD 0 图1 图2 12.10 由题意可设z。=a十bi(a<0,b>0),z:对应的向量为(a,b),z:对应的向量为(1,2),由旋转性质得。 (a十b-5. (a--2. 和z:模相等,且它们对应的向量垂直,则 解得 a十26-0. 一1. '=-2+i..-.=(1+2i)-(-2+i)-3+i...-:I=10. 【“院八”高一期中·数学试卷参考答案 第2页(共6页)】 13.4v2 在直观图△A'B'C'中,A'B'=2,A'C'=BC'-,取A'B的中点D,连接CD',则CD'1AB',而 B$O'C'=45^于是OD'=CD'=(5)-=2.则OA'=1.OC'=$2+2=2.BO’'=3.由斜二测画法规 ## 14.26 2CB·CD 2AB·AD 8 12 '.BD=17-8cos A,BD=13-12cosC,:.17-8cos A=13-12cos C. sin C=2sin A+3sin C..'.(2sin A+3sin C)?-4 sin}A+9 sin:C+12sin Asin C. 又2cosA-3cosC=1..'(2cosA-3cosC)*=1..:4cos*A+9 cos^*C- 12cos AcosC=1.故 Sja"Acp=4(1-cos{A)+9(1-cos*C)+12sinAsinC= 13-(4 cos*A+9 cosC)+12sin AsinC-13-1-12cosAcosC+12sin AsinC= 12-12cos(A+C)<24,当且仅当A+C=x时等号成立,故四边形ABCD面积的最大值为2V6. 15.解:(1)设:=a+bi(a,bER). 则=-a-bi,3z+=-3(a+bi)+(a-bi)-4a+2bi-4+4i. [4a-4. 所以 解得a=1,b-2, l2-4. (2).:是关于x的方程x?十x十q=0(,ER)的一个根, 是.于..-..方......一.............................8分 解得=-2,q-5, ......................................................................... 11分 1(1+2i)(1-2i)-q. '.lq+pil-5-2il=v29. 16.解:(1)因为2acosA-bcosC+ccosB. 所以由正弦定理得2sinAcos A=sinBcosC+sinCcosB. 化简得... ...................................分... 因为A+B+C=x,即B+C=x-A,所以2sinAcosA=sin(x-A) 得2sinAcosA=sinA,因为sinA>0 【“院八”高一期中·数学试卷参考答案 第3页(共6页)】 (2)由正弦定理得 sin B--sin A,sin C-fsin A, a 2. 所以b+c-2. 由余弦定理可得a?=b?+c{-2bccosA. 即a?=b+c-b,a^}=(b+c)*-3b$; 所以be-. ............................................................... 13分 .......................................................................... 15分 17.解;(1)由AB=4,CD-2,得圆台的下底面的半径为R-2,上底面的半径为,=1 设圆台的高为h,则x(2+4)·h-6V2,所以h-2v2. ....................分 (2)在梯形ABCD中,BC=(2-1)+(22)=3,即母线长为3. ............................分 如图,由圆台性质,延长AD,BC,OO.交于点P. PC .................................... 10分 设该圆台的侧面展开图的圆心角为a: 12分 在侧面展开图中,连接AC,PC,则从点A到C的最短路径为线段AC 所以AC-6+3--2x6×3x2-33. ........................................................................ 14分 验证知,由PC=3,PA=6.AC=3③,得PA?=AC*+PC. ................................................ 此时AC1PC,恰与扇形孤CC所在圆相切于点C,满足题意 15分 【“院八”高一期中·数学试卷参考答案 第4页(共6页)】 18.解:(DAE·B=(AD+DE)·(AF-AB)-(AD+AB)·(AD-AB -4-- AD-18-1-0×12-8. .........................................分 (2)当a-时,DE-DC,即E为DC的中点, 因为F,N,B三点共线. 设FN= FB$,则AN=AF$+FN=AF+ FB=AF+ (AB-A$ =(1-)AF+:AB-1AD+AB. 因为A.N,E三点共线. 设AN=AE,则AN-AE=(AD+DE)=AD+AB)=AD+AB$ .....................分 又AD.AB不共线. 解得 根据平面向量基本定理得 ........................................分 所以AN-AB+2AD,又AN--AB+yAD,则 ....................................... 10分 (3因B=BA+AD+DF=-AB+AD+aDC=-DAB+A F-FD+DE-AD+DC-AB+AD. ................................................................ 12分 所以BE·FE-[(-1)AB+AD]·(aAB+AD) =-AB*+AD+(3-。)AB·AD =-)$4+x6+(3-)#x4x6×2 =16(?-2)十18十18-6-16?+2十12......................................................................... 15分 因为&E[-1,1],所以当a-- 1xy:-x:yl-0. 19.(1)证明:因为X(a,b)一0,由题意得一 g+y·r+ 所以lx.y-x:y1-0,即xy-r:y,-0. 因为....为.....所以../...........................................................4分. 【“院八”高一期中·数学试卷参考答案 第5页(共6页)】 .x+yy,[o,]. (2)因为cos8. #a+·#+ lry-xyl =x(a.b). #i+·a+ #ai+d·+ 同理sin0.=X(c.d). 因为x(a,b)=X(c.d). 所以sin6=sin0. 10分 (3)因为3BN·BM-2BC·BM 所以3IBNI·BM|·cos MBN=2IBCI.|BM ·cos MBC. 所以3|BN|-2|BC|, 设 BCN=a,则 BNC-60{+a. 3 在△CBN中,由正弦定理,得 1BCI=sin(60{+a)= 15分 所以x(CA.CB)-sinACB-43. 17分 【“院八”高一期中·数学试卷参考答案 第6页(共6页)】