8.3 2×2列联表-2025-2026学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020选择性必修第二册）

【原卷版】 8.3 2×2列联表 选择性必修第二册 第8章 成对数据的统计分析 初中学习的平面几何，研究的是平面上的一些简单图形及其几何性质；从本章开始，我们将把视野从二维的平面拓展到三维的空间；在三维空间中的图形统称为空间图形或立体图形；立体几何所研究的就是一些简单的空间图形及其几何性质； 从平面几何到立体几何，我们要注意借鉴平面几何中已有的一些概念、方法和结论，更要特别注意立体几何和平面几何之间的区别；以本章学习的空间直线与平面为例，我们不仅要研究平面这类典型的空间图形，而且要对“直线”有更为深刻的认识；我们生活在一个三维世界中，立体几何的学习有助于我们从几何的角度更好地理解现实的世界，并且锻炼我们的几何直观想象能力；因此，在学习中，要着重注意几何的直观和内涵，不要仅仅停留在表面上的严格推导和论证，还要多画一些示意图来帮助理解，这样才能更好地掌握几何的实质，逐步培养自己的立体感和空间想象能力； 　 在必修课程第13章“统计”中，我们主要研究了来自单一变量数据的一些统计特征，如集中趋势、离散程度、分布等．但现实世界中许多事物和现象之间都是有联系的；在本章中，我们将主要学习来自两个变量的成对数据的相关分析和回归分析，掌握它们之间的统计规律；本章将要学习的相关分析、回归分析及 检验都属于推断性统计方法，它们在构建统计模型、预测结果和因果分析等方面有许多应用；在必修课程中学过的散点图是进行成对数据统计分析的基础，通过观察散点图可以大致了解数据的整体形态和偏离情况，发现两组数据之间的变化规律，构建适当的统计模型．统计图表不仅可以直观地表示数据及其规律，也是 建立统计直觉的重要途径； 【本章教材目录】第8章 成对数据的统计分析 8．1 成对数据的相关分析 8．1．1成对数据间的关系；8.1.2相关系数 8．2 一元线性回归分析 8．2.1一元线性回归分析的基本思想；8.2.2一元线性回归分析的应用举例 8．3 2x2列联表 8．3.1 2x2列联表独立性检验；8.3.2 独立性检验的具体应用 【本章内容提要】 相关分析和一元线性回归分析是研究两个变量关系的两个互为补充的方法；相关分析描述了两个变量的相关程度，而回归分析则描述了因变量是怎样受自变量影响的； 1、为了得到两个变量之间是否具有一定关系的直观印象，可以用散点图来描述这些数据； 2、相关系数可以度量两个随机变量之间的线性关系；相关系数的值满足，且越接近１，两个随机变量的线性关系越密切; 3、回归方程代表了两个变量间的关系，回归直线经过散点图中数据点的中心;回归直线的斜率越大，解释变量狓的一个单位变化所引起的反应变量狔的波动就越大; 4、回归方程可以通过最小二乘法得到．回归直线能较好地反映一个变量对另一个变量的依赖情况，具有解释因果关系和预测的功能．利用回归方程可以由解释变量的值来预测反应变量的值，从而给出反应变量真实值的一个估计； 5、２×２列联表描述两个分类变量所有值的组合数据是如何分布的．判断２×２列联表中出现的两个分类变量是否独立可采用 检验； 检验的一般步骤是：（1）提出原假设；（2）确定显著性水平；（3）计算统计量 的值；（4）统计决断：当≥时，拒绝原假设，推断两个变量相关，否则，接受原假设，推断两个变量不相关（即两个变量是独立的）；在实际情况下，是否完全拒绝原假设，还需要考虑样本量的大小； 【要点方法解读】 解读点001 分类变量 1、分类变量 这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如：性别变量，其取值为男和女两种，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量，分类变量的取值可以用实数表示； 2、原假设与零假设 要检验两个随机变量是否有关，统计上一般先假设它们没有关系，即相互独立，再进行统计检验；这种假设称为原假设，也称为零假设；习惯上用H0表示； 例1、下列不是分类变量的是（ ） A．近视 B．成绩 C．血压 D．饮酒 解读点002 两组分类变量的2×2列联表 定义一对分类变量X和Y，我们整理数据如表所示： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 其中a、b、c、d为实际观察值； 题型一、完善2×2列联表 例2、在研究某种药物对“H1N1”病毒的治疗效果时，进行动物试验，得到以下数据：对150只动物服用药物，其中132只动物存活，18只动物死亡，对150只动物进行常规治疗，其中114只动物存活，36只动物死亡．请根据以上数据建立一个2×2列联表； 题型二、2×2列联表分析及应用 例3、 在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的70人，六十岁以下的54人.六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主.请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用与判断二者是否有关系. 解读点003 2×2列联表独立性检验 1、2×2列联表独立性检验 根据 X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 其中a、b、c、d为实际观察值； 由，经过变形可得的一般计算公式： ，其中（注意使用公式时分子的平方不要忽略了） 这种检验方法在统计学中称为2×2列联表独立性检验； 特别提醒： （1）χ2越小，独立性越强，相关性越弱；χ2越大，独立性越弱，相关性越强． （2）当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y独立； 2、2×2列联表独立性检验通常有如下步骤： （1）提出两个随机变量没有关系的原假设； （2）确定显著性水平，本书中规定，也即（）； （3）计算统计量的值． （4）统计决断：比较上述值与的大小，若值≥，则拒绝（或否定）； 若 值，则不能拒绝（或否定），即接受，根据上述推断作出结论； 题型一、的计算 例4、（1）研究两个事件A、B之间的关系时，根据数据信息列出如下的列联表，则以下计算公式中正确的是（     ） B B 总计 A A 总计 n A． B． C． D． （2）下表是甲、乙两个班级进行数学考试，按学生考试及格与不及格统计成绩后的列联表，则的值为 ．（精确到0.001） 不及格（人） 及格（人） 合计（人） 甲班 12 33 45 乙班 9 36 45 合计 21 69 90 题型二、独立性检验的概念及辨析 例5、（1）如果有95%的把握说事件和有关，那么具体算出的数据满足 （2）收集数据，利用列联表，分析学习成绩好与上课注意力集中是否有关时，提出的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中 （填：有关或无关） 题型三、分类变量与列联表的实际应用 例6、在某测试中，卷面满分为100分，60分为及格，为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响，特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如表所示： 分数段 29～40 41～50 51～60 61～70 71～80 81～90 91～100 午休考生人数 23 47 30 21 14 31 14 不午休考生人数 17 51 67 15 30 17 3 （1）根据上述表格完成列联表： 是否午休 成绩 合计 及格 不及格 午休 不午休 合计 （2）根据列联表可以得出什么样的结论？对今后的复习有什么指导意义？ 题型四、独立性检验思想的基本应用 例7、为加强素质教育，提升学生综合素养，立德中学为高一年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课．为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关，调查了高一年级1 500名学生的选择倾向，随机抽取了100人，统计选择两门课程人数如下表： （1）补全2×2列联表； 选书法 选剪纸 共计 男生 40 50 女生 共计 30 （2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关？ 参考附表： α 0.100 0.050 0.025 x0 2.706 3.841 5.024 题型五、真题体验 例8、（2022·全国高考甲卷(节选)）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表： 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：χ2＝， P(χ2≥xα) 0.100 0.050 0.010 xα 2.706 3.841 6.635 例9、（2023·全国甲卷）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g)．试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.8　26.5　27.5　30.1 32.6　34.3　34.8　35.6　35.6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7．8　 9.2　11.4　12.4　13.2　15.5　16.5　18.0　18.8　19.2 19.8　20.2　21.6　22.8　23.6　23.9　25.1　28.2　32.3　36.5 （1）计算试验组的样本平均数； （2）① 求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表； ＜m ≥m 对照组 试验组 ②根据①中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ 附：χ2＝， α 0.100 0.050 0.010 xα 2.706 3.841 6.635 【针对性即时练】 1、某次国际会议为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了50名记者担任对外翻译工作，在如表“性别与会外语”的2×2列联表中，d＝________. 会外语 不会外语 合计 男 a b 20 女 6 d 合计 18 50 2、下表是不完整的2×2列联表，其中3a＝c，b＝2d，则a＝ y1 y2 总计 x1 a b 55 x2 c d 总计120 3、如果由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝4.073，那么有 %的把握认为两变量有关系，已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025. 4、为了解某大学的学生是否爱好体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表： 男 女 合计 爱好 a b 73 不爱好 c 25 合计 74 则a－b－c＝ 5、根据下表计算： 不看电视 看电视 男 37 85 女 35 143 （结果保留3位小数） 6、某校为了检验高中数学新课程改革的成果，在两个班进行教学方式的对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如2×2列联表所示(单位：人)，则其中m＝________，n＝________. 班级 成绩 合计 80分及80分以上 80分以下 试验班 32 18 50 对照班 24 m 50 合计 56 44 n 7、高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表： 优秀 及格 合计 甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 合计 19 71 90 则χ2约为(　　) A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004 8、对于分类变量X与Y的随机变量χ2，下列说法正确的是(　　) A．χ2越大，认为“X与Y有关系”的犯错误的概率越大 B．χ2越小，认为“X与Y有关系”的犯错误的概率越大 C．χ2越接近于0，认为“X与Y没有关系”的犯错误的概率越大 D．χ2越大，认为“X与Y没有关系”的犯错误的概率越小 9、某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （2）依据小概率值的独立性检验，能否推断男、女顾客对商场服务的评价有差异． 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 10、近期世界地震、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险知识越来越引起人们的重视．某校为考察学生对紧急避险知识的掌握情况，从全校学生中选取200名学生进行紧急避险知识测试，其中男生110名，女生90名．所有学生的测试成绩都在区间[50,100]范围内，由测试成绩数据作出如图所示的频率分布直方图． （1）若从频率分布直方图中估计出样本的平均数与中位数相等，求图中m的值； （2）规定测试成绩不低于80分为优秀，已知共有45名男生成绩优秀，完成下面的列联表，并根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否推断男生和女生的测试成绩优秀率有差异？ 性别 测试成绩 优秀 不优秀 合计 男生 45 女生 合计 参考公式与数据：χ2＝ α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 6 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【解析版】 8.3 2×2列联表 选择性必修第二册 第8章 成对数据的统计分析 初中学习的平面几何，研究的是平面上的一些简单图形及其几何性质；从本章开始，我们将把视野从二维的平面拓展到三维的空间；在三维空间中的图形统称为空间图形或立体图形；立体几何所研究的就是一些简单的空间图形及其几何性质； 从平面几何到立体几何，我们要注意借鉴平面几何中已有的一些概念、方法和结论，更要特别注意立体几何和平面几何之间的区别；以本章学习的空间直线与平面为例，我们不仅要研究平面这类典型的空间图形，而且要对“直线”有更为深刻的认识；我们生活在一个三维世界中，立体几何的学习有助于我们从几何的角度更好地理解现实的世界，并且锻炼我们的几何直观想象能力；因此，在学习中，要着重注意几何的直观和内涵，不要仅仅停留在表面上的严格推导和论证，还要多画一些示意图来帮助理解，这样才能更好地掌握几何的实质，逐步培养自己的立体感和空间想象能力； 　 在必修课程第13章“统计”中，我们主要研究了来自单一变量数据的一些统计特征，如集中趋势、离散程度、分布等．但现实世界中许多事物和现象之间都是有联系的；在本章中，我们将主要学习来自两个变量的成对数据的相关分析和回归分析，掌握它们之间的统计规律；本章将要学习的相关分析、回归分析及 检验都属于推断性统计方法，它们在构建统计模型、预测结果和因果分析等方面有许多应用；在必修课程中学过的散点图是进行成对数据统计分析的基础，通过观察散点图可以大致了解数据的整体形态和偏离情况，发现两组数据之间的变化规律，构建适当的统计模型．统计图表不仅可以直观地表示数据及其规律，也是 建立统计直觉的重要途径； 【本章教材目录】第8章 成对数据的统计分析 8．1 成对数据的相关分析 8．1．1成对数据间的关系；8.1.2相关系数 8．2 一元线性回归分析 8．2.1一元线性回归分析的基本思想；8.2.2一元线性回归分析的应用举例 8．3 2x2列联表 8．3.1 2x2列联表独立性检验；8.3.2 独立性检验的具体应用 【本章内容提要】 相关分析和一元线性回归分析是研究两个变量关系的两个互为补充的方法；相关分析描述了两个变量的相关程度，而回归分析则描述了因变量是怎样受自变量影响的； 1、为了得到两个变量之间是否具有一定关系的直观印象，可以用散点图来描述这些数据； 2、相关系数可以度量两个随机变量之间的线性关系；相关系数的值满足，且越接近１，两个随机变量的线性关系越密切; 3、回归方程代表了两个变量间的关系，回归直线经过散点图中数据点的中心;回归直线的斜率越大，解释变量狓的一个单位变化所引起的反应变量狔的波动就越大; 4、回归方程可以通过最小二乘法得到．回归直线能较好地反映一个变量对另一个变量的依赖情况，具有解释因果关系和预测的功能．利用回归方程可以由解释变量的值来预测反应变量的值，从而给出反应变量真实值的一个估计； 5、２×２列联表描述两个分类变量所有值的组合数据是如何分布的．判断２×２列联表中出现的两个分类变量是否独立可采用 检验； 检验的一般步骤是：（1）提出原假设；（2）确定显著性水平；（3）计算统计量 的值；（4）统计决断：当≥时，拒绝原假设，推断两个变量相关，否则，接受原假设，推断两个变量不相关（即两个变量是独立的）；在实际情况下，是否完全拒绝原假设，还需要考虑样本量的大小； 【要点方法解读】 解读点001 分类变量 1、分类变量 这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如：性别变量，其取值为男和女两种，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量，分类变量的取值可以用实数表示； 2、原假设与零假设 要检验两个随机变量是否有关，统计上一般先假设它们没有关系，即相互独立，再进行统计检验；这种假设称为原假设，也称为零假设；习惯上用H0表示； 例1、下列不是分类变量的是（ ） A．近视 B．成绩 C．血压 D．饮酒 【提示】理解教材中分类变量的概念 【答案】B 【解析】近视变量有近视与不近视两种类别； 血压变量有异常、正常两种类别； 饮酒变量有饮酒与不饮酒两种类别； 成绩不是分类变量，它的取值不一定有两种； 【说明】1、数值变量的取值为实数，其大小和运算都有实际含义；2、分类变量是用随机变量区别不同的现象或性质，分类变量的取值可以用实数表示，变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，没有大小和运算意义； 解读点002 两组分类变量的2×2列联表 定义一对分类变量X和Y，我们整理数据如表所示： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 其中a、b、c、d为实际观察值； 题型一、完善2×2列联表 例2、在研究某种药物对“H1N1”病毒的治疗效果时，进行动物试验，得到以下数据：对150只动物服用药物，其中132只动物存活，18只动物死亡，对150只动物进行常规治疗，其中114只动物存活，36只动物死亡．请根据以上数据建立一个2×2列联表； 【解析】2×2列联表如表所示： 类别 治疗效果 合计 存活 死亡 药物治疗 132 18 150 常规治疗 114 36 150 合计 246 54 300 【说明】2×2列联表用于研究两类变量之间是否相互独立，它适用于分析两类变量之间的关系，是对两类变量进行独立性检验的基础；作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别．计算时要准确无误； 题型二、2×2列联表分析及应用 例3、 在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的70人，六十岁以下的54人.六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主.请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用与判断二者是否有关系. 【解析】2×2列联表如下： 饮食习惯 年龄 合计 六十岁以上 六十岁以下 以蔬菜为主 43 21 64 以肉类为主 27 33 60 合计 70 54 124 将表中数据代入公式得 (a,a＋b)＝≈0.67，＝＝0.45. 显然二者数据具有较为明显的差距，据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系； 【说明】1、作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别.计算时要准确无误； 2、利用2×2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，即将与的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但方法较粗劣； 解读点003 2×2列联表独立性检验 1、2×2列联表独立性检验 根据 X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 其中a、b、c、d为实际观察值； 由，经过变形可得的一般计算公式： ，其中（注意使用公式时分子的平方不要忽略了） 这种检验方法在统计学中称为2×2列联表独立性检验； 特别提醒： （1）χ2越小，独立性越强，相关性越弱；χ2越大，独立性越弱，相关性越强． （2）当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y独立； 2、2×2列联表独立性检验通常有如下步骤： （1）提出两个随机变量没有关系的原假设； （2）确定显著性水平，本书中规定，也即（）； （3）计算统计量的值． （4）统计决断：比较上述值与的大小，若值≥，则拒绝（或否定）； 若 值，则不能拒绝（或否定），即接受，根据上述推断作出结论； 题型一、的计算 例4、（1）研究两个事件A、B之间的关系时，根据数据信息列出如下的列联表，则以下计算公式中正确的是（     ） B B 总计 A A 总计 n A． B． C． D． 【提示】根据独立性检验计算公式代入即可得到答案； 【答案】A； 【解析】根据独立性检验计算，故选：A； （2）下表是甲、乙两个班级进行数学考试，按学生考试及格与不及格统计成绩后的列联表，则的值为 ．（精确到0.001） 不及格（人） 及格（人） 合计（人） 甲班 12 33 45 乙班 9 36 45 合计 21 69 90 【提示】利用卡方的计算公式计算即可得到答案. 【答案】0.559 【解析】，故答案为：； 题型二、独立性检验的概念及辨析 例5、（1）如果有95%的把握说事件和有关，那么具体算出的数据满足 【提示】根据给定条件，借助独立性检验的临界值表即可得出结果. 【答案】 【详解】依题意，算出的数据满足，故答案为： （2）收集数据，利用列联表，分析学习成绩好与上课注意力集中是否有关时，提出的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中 （填：有关或无关） 【提示】根据题意，由零假设的定义，即可得到结果. 【答案】无关 【解析】零假设等价于两个变量相互独立，所以此题中的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中无关. 故答案为：无关 题型三、分类变量与列联表的实际应用 例6、在某测试中，卷面满分为100分，60分为及格，为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响，特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如表所示： 分数段 29～40 41～50 51～60 61～70 71～80 81～90 91～100 午休考生人数 23 47 30 21 14 31 14 不午休考生人数 17 51 67 15 30 17 3 （1）根据上述表格完成列联表： 是否午休 成绩 合计 及格 不及格 午休 不午休 合计 （2）根据列联表可以得出什么样的结论？对今后的复习有什么指导意义？ 【解析】（1）根据题表中数据可以得到2×2列联表如下： 是否午休 成绩 合计 及格 不及格 午休 80 100 180 不午休 65 135 200 合计 145 235 380 （2）计算可知，午休的考生及格率为P1＝＝，不午休的考生的及格率为P2＝＝，则P1>P2，因此，可以粗略判断午休与考生考试及格有关系，并且午休的及格率高，所以在以后的复习中考生应尽量适当午休，以保持最佳的学习状态． 【说明】利用2×2列联表分析两变量间关系的步骤 ①根据题中数据获得2×2列联表； ②根据频率特征，即将与的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响． 题型四、独立性检验思想的基本应用 例7、为加强素质教育，提升学生综合素养，立德中学为高一年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课．为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关，调查了高一年级1 500名学生的选择倾向，随机抽取了100人，统计选择两门课程人数如下表： （1）补全2×2列联表； 选书法 选剪纸 共计 男生 40 50 女生 共计 30 （2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关？ 参考附表： α 0.100 0.050 0.025 x0 2.706 3.841 5.024 【解析】（1）根据题意补全2×2列联表，如下： 选书法 选剪纸 共计 男生 40 10 50 女生 30 20 50 共计 70 30 100 （2）先假设H0：选择“书法”或“剪纸”与性别无关． 根据列联表中数据，得， 根据小概率α＝0.050的独立性检验，推断H0不成立，即有95%的把握认为选“书法”或“剪纸”与性别有关； 【说明】解独立性检验的应用问题的关注点 1、两个明确：（1）明确两类主体；（2）明确研究的两个问题； 2．两个关键：（1）准确列出2×2列联表；（2）准确理解χ2； 利用独立性检验思想解题的一般步骤 题型五、真题体验 例8、（2022·全国高考甲卷(节选)）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表： 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：χ2＝， P(χ2≥xα) 0.100 0.050 0.010 xα 2.706 3.841 6.635 【解析】根据已知数据得到列联表如下： 公司 准点班次数 未准点班次数 合计 A 240 20 260 B 210 30 240 合计 450 50 500 χ2＝ ＝eq \f(500×240×30－210×202,260×240×450×50)≈3.205>2.706. 所以有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关． 例9、（2023·全国甲卷）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g)．试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.8　26.5　27.5　30.1 32.6　34.3　34.8　35.6　35.6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7．8　 9.2　11.4　12.4　13.2　15.5　16.5　18.0　18.8　19.2 19.8　20.2　21.6　22.8　23.6　23.9　25.1　28.2　32.3　36.5 （1）计算试验组的样本平均数； （2）① 求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表； ＜m ≥m 对照组 试验组 ②根据①中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ 附：χ2＝， α 0.100 0.050 0.010 xα 2.706 3.841 6.635 【解析】（1）试验组的样本平均数为 (1,20)×(7.8＋9.2＋11.4＋12.4＋13.2＋15.5＋16.5＋18.0＋18.8＋19.2＋19.8＋20.2＋21.6＋22.8＋23.6＋23.9＋25.1＋28.2＋32.3＋36.5)＝＝19.8. （2）①依题意，可知这40只小白鼠体重的增加量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排序后第20位与第21位数据的平均数，第20位数据为23.2，第21位数据为23.6， 所以m＝＝23.4， 故列联表为 ＜m ≥m 对照组 6 14 试验组 14 6 ②由①可得，χ2＝＝6.4＞3.841， 所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异． 【针对性即时练】 1、某次国际会议为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了50名记者担任对外翻译工作，在如表“性别与会外语”的2×2列联表中，d＝________. 会外语 不会外语 合计 男 a b 20 女 6 d 合计 18 50 【答案】24 【解析】由题意得所以a＝12，b＝8，d＝24. 2、下表是不完整的2×2列联表，其中3a＝c，b＝2d，则a＝ y1 y2 总计 x1 a b 55 x2 c d 总计120 【答案】15； 【解析】由题意得又3a＝c，b＝2d，所以解得a＝15； 3、如果由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝4.073，那么有 %的把握认为两变量有关系，已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025. 【答案】95； 【解析】因为，由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝4.073>3.841，所以，有95%的把握说这两个变量有关系． 4、为了解某大学的学生是否爱好体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表： 男 女 合计 爱好 a b 73 不爱好 c 25 合计 74 则a－b－c＝ 【答案】9； 【解析】根据题意，可得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21， 所以，a－b－c＝52－21－22＝9. 5、根据下表计算： 不看电视 看电视 男 37 85 女 35 143 （结果保留3位小数） 【提示】完善列联表，直接根据卡方计算公式计算卡方即可得解. 【答案】4.514 【解析】由题意 性别 是否看电视 合计 不看电视 看电视 男 37 85 122 女 35 143 178 合计 72 228 300 故答案为：4.514. 6、某校为了检验高中数学新课程改革的成果，在两个班进行教学方式的对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如2×2列联表所示(单位：人)，则其中m＝________，n＝________. 班级 成绩 合计 80分及80分以上 80分以下 试验班 32 18 50 对照班 24 m 50 合计 56 44 n 【答案】26；100； 【解析】由题意得解得 7、高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表： 优秀 及格 合计 甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 合计 19 71 90 则χ2约为(　　) A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004 【答案】A 【解析】根据列联表中的数据，可得χ2＝≈0.600. 8、对于分类变量X与Y的随机变量χ2，下列说法正确的是(　　) A．χ2越大，认为“X与Y有关系”的犯错误的概率越大 B．χ2越小，认为“X与Y有关系”的犯错误的概率越大 C．χ2越接近于0，认为“X与Y没有关系”的犯错误的概率越大 D．χ2越大，认为“X与Y没有关系”的犯错误的概率越小 【答案】B 【解析】χ2越大，认为“X与Y没有关系”的犯错误的概率越大，则“X与Y有关系”的犯错误的概率越小．即χ2越小，“X与Y有关系”的犯错误的概率越大． 9、某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （2）依据小概率值的独立性检验，能否推断男、女顾客对商场服务的评价有差异． 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【提示】（1）由频率计算公式求解即可；（2）求得卡方值，比对临界值即可判断； 【答案】（1）0.8，0.6；（2）可以推断男、女顾客对该商场服务的评价有差异； 【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的频率为，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8． 女顾客中对该商场服务满意的频率为，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6． （2）． 由于，所以可以推断男、女顾客对该商场服务的评价有差异． 10、近期世界地震、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险知识越来越引起人们的重视．某校为考察学生对紧急避险知识的掌握情况，从全校学生中选取200名学生进行紧急避险知识测试，其中男生110名，女生90名．所有学生的测试成绩都在区间[50,100]范围内，由测试成绩数据作出如图所示的频率分布直方图． （1）若从频率分布直方图中估计出样本的平均数与中位数相等，求图中m的值； （2）规定测试成绩不低于80分为优秀，已知共有45名男生成绩优秀，完成下面的列联表，并根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否推断男生和女生的测试成绩优秀率有差异？ 性别 测试成绩 优秀 不优秀 合计 男生 45 女生 合计 参考公式与数据：χ2＝ α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 【解析】（1）依题意，频率分布直方图中左起第一个小矩形的高为： 0．1－m－0.04－0.025－0.01＝0.025－m， 样本平均数的估计值为： 10×[(0.025－m)×55＋m×65＋0.04×75＋0.025×85＋0.01×95]＝74.5＋100m，显然数据落在区间[80,100]的频率为0.25＋0.1＝0.35，落在[70,100]的频率为0.4＋0.35＝0.75， 因此样本中位数在区间(70,80)内，其估计值为；70＋10×＝76.25， 则74.5＋100m＝76.25，解得m＝0.017 5， 所以m＝0.017 5. （2）总的成绩优秀人数为：200×10×(0.025＋0.01)＝70， 得到列联表为： 性别 测试成绩 合计 优秀 不优秀 男生 45 65 110 女生 25 65 90 合计 70 130 200 于是χ2的观测值为 χ2＝＝≈3.752<3.841， 所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为男生和女生的测试成绩优秀率没有差异； 6 / 学科网（北京）股份有限公司 $$