2025届上海市长宁区高三二模考试数学试卷

2024学年第二学期高三数学教学质量调研试卷 考生注意： 1.答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码。 2,解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位受或写在试卷、草稿纸上的答案一 律不予评分。 3.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答 题纸的相应位受直接填写结果， 1.已知集合A=（2,1),B=(0,3],则AnB= 2.复数4=2-3i,2=1-2i,则1五2=一 3.已知数列{a}是等差数列，且a1=2,a6=17,则其前7项和S,= 4.某水果店的苹果，60%来自A基地，40%来自B基地，A基地苹果的新鲜率为90%，B基地苹果 的新鲜率为85%，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是· 5.为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设H。: 患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量x2≈3.468，则可推断原假设H,·(填 "拒绝”或“接受”，规定显著性水平a=0.1,Px222.706≈0.1.) 6.已知随机变量X的分布是 则其方差D[x小- 7.已知1og189=a,18=5,用a、b表示10g3645= 8.顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，其底边和腰之比正好为黄金比？，用黄金比口表示 c0836°= 9.一项过关游戏的规则规定：在第n关要投掷骰子n次，如果这n次投掷所得的点数之和大于3n,则 算过关，问一个人连过第一、二关的概率为 10.已知点D、E分别是三角形ABC的边AC、BC的中点，且AE=2,BD=3,则三角形ABC的面 积的取值范围是一 11.现有一块正四面体木料PABC,其边长为3，现需要将木料进行切割，要求切割后底面ABC上任 意一点Q到项点P的距离不大于√7，则切割好后，木料体积的最大值是 (结果保留π) 12.已知函数y=fx)和y=g(x),其中fx)=1og2x,且y=g(x)是定义在R上的函数，其图像关于 高三数学试卷共4页第1页 原点对称，当xe创时，8)=2-x-m+5.若对任意的名e}2], 存在2∈【，，使得 f,)=gx),则m的取值范围是」 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且 只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。 13.已知非零实数a>b,则下列命题中成立的是（). A.a2>b2: B.ab>b2; C.a2+b222ab D.a3>b3. 14.某书店为了分析书籍销量与宜传投入之间的关系，对宣传投入x(千元)和书籍销量y(有本)的 情况进行了调研，并统计得到右表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为 y=1.2x+1.6,则下列说法不正确的是（). A.变量x、y之间呈正相关： 3 5 6 B,预测当宜传投入2千元时，书籍销量约为400本； 6.2 7.4 m C.m=8.8: D.拟合误差2=0.48. 15,如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点（不与C 重合)，将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是C,连接CC,设O为二面角C-DE-C 大小，日(0，元).在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（)· A,存在点D和日，使得DC⊥AC; B.存在点D和0，使得BC1⊥AC: C.存在点D和日，使得BC⊥DE: D.存在点D和B,使得CC⊥DE, 16精圆具有如下光学性质：如图，R(c0小、B0)分别是描圆兰+后=1的左、右焦点，从点R 发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点F2,有以下两个命题： ①喏P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为M6,0,则：-g,C） 高三数学试卷共4页第2页 ②若从R发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到R所经过的略程为8c,则该椭圆的离心率 3 则以下说法正确的是() A.①是真命题，②是真命题： B.①是真命题，②是假命题： 乃MO2 C.①是假命题，②是真命题： D.①是假命题，②是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤， 17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)， 已知向量m=(6inx+cosx,2sinx,n=nx-cosx,V5cosx,fx)=mn. (1)求函数y=fx)的单调递减区间； 2)若函数y=)-a在区间0，习上恰有2个零点，求实数a的取值范围. 18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分). 如图，在直三楼柱ABC-ABC中，AB⊥AC,AC=AB=2,AA=2N2,点D是棱AA'的中 点， (1)求证：平面CDB⊥平面CBB'C; (2)求点C到平面CDB的距离以及三棱锥C-CDB的体积. 19,(本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题第①问满分5分，第②问满分5分)， 为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满 800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）. 方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个 高三数学试卷共4页第3页 球.每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）： 方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个 球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠：若摸出2个红球，则打5折：其余情况无优惠。 (1)顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率： (2)顾客B恰好消费了800元， ①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到0.01）： ②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理。 20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)· 知双曲线：兰-片=1的左、右焦点分别为R,乃，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点 且位于第一象限，若双曲线Γ的离心率e=2,b=2W5. (1)求双曲线Γ的方程： (2)若三角形APF2是等腰三角形，求点P的坐标： (3)直线PF不垂直于x轴，且与双曲线的另一个交点为2，若∠PF2是锐角，求直线PF2的 斜率的取值范围。 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)， 已知函数y=fx)的定义域DcR,对任意实数a,定义集合ga)=/)sa,xeD} (1)已知f-轻，求g) (2)已知fx)=e-ax,若集合gr(a)只有一个元素，求a的值： (3)已知=导+2空2：-加x+3,共中aeR且a>0,求证：集合0，问是-个区间. 高三数学试卷共4页第4页