数学（江苏淮安卷）-学易金卷：2025年中考第三次模拟考试

1 2025 年中考第三次模拟考试（江苏淮安卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9．_________________ 10．___________________ 11．__________________ 12．__________________ 13．___________________ 14．__________________ 15．__________________ 16．__________________ 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 三、（本大题共 11 个小题，共 102 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10 分） 18. （8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19. （8 分） 20.（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 21.（8 分） 22.（8 分） （1） ； ； ； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 24. （8 分） 23. （8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （10 分） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26. （12 分） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27. （14 分） （1） ； ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第三次模拟考试（江苏淮安卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列四个实数中，最小的数是（　　） A．﹣2 B． C．1 D．π 2．下列运算正确的是（　　） A．x2+x3＝x6 B．x2•x3＝x6 C．（3x）3÷3x＝9x2 D．（﹣xy2）2＝﹣x2y4 3．下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．一把直尺和一块直角三角尺（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺的一边与三角尺的两直角边BC、AC分别交于点D、点E，直尺的另一边过A点且与三角尺的直角边BC交于点F，若∠CAF＝42°，则∠CDE度数为（　　） A．62° B．48° C．58° D．72° 5．将周长为12cm的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知关于x的方程x（x﹣2）+3m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m且m≠0 D．m且m≠0 7．如图，四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，且EF：FG＝3：1，AB：BC＝2：1，则tan∠AHE的值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，▱ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，P是BC边上的点（且满足BP＞1）．将△ABP沿AP折叠，使点B落在平面上B处，射线PB′与射线AD交于点E． 甲：当AB′⊥AB时，AB'＝EB'； 乙：当点B落在射线AD上时，四边形ABPB′是菱形； 丙：随点P位置的变化，线段AE的最小值为2． 针对三人的说法，下列判断正确的是（　　） A．只有乙对 B．甲和丙都对 C．甲、乙对，丙错 D．三人的说法都对 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9．计算 　 　 ． 10．因式分解：﹣16x2+81y2＝　 　 ． 11．2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约2kg的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为 　 　 ． 12．在一个不透明的袋子中装有a个红球和3个白球（它们除了颜色外均相同），若从袋中任意摸出一个球，记录下颜色后放回，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在15%，那么可以推算a大约是 　 　 ． 13．已知等腰△ABC的外心为点O，AO＝1，若其底边长是腰长的倍，则⊙O中劣弧的长为 　 　 ． 14．某风景区集体门票的收费标准是25人以内（含25人），每人10元，超过25人的，超过的部分每人5元．当人数超过25人时，请写出此时应收门票费用y（元）与人数x（人）之间的函数关系式 　 　 ． 15．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，称为平面图形的镶嵌．某工人师傅在铺地板时把四块完全相同的图案（图1）拼成一个如图所示的大图案（图2），经过测量，AB＝60cm，BC＝100cm，A，C两点间的距离为80cm，阴影部分的面积为 　 cm2． 16．如图，正九边形ABCDEFGHI，点M是EF的中点，连接AM、CG相交于点O．则∠AOG＝　 　 ． 三．解答题（本大题共有11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）（1）计算：； （2）解不等式：． 18．（8分）先化简，再求值：，其中m＝2． 19．（8分）如图，矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N，证明：△ABN≌△MAD． 20．（8分）如图，为了制作宣传海报，某设计师将长方形卡纸ABCD分割成大小相等的左、中、右三个小长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等；又在每个栏目中划出8个小正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为1：2．已知卡纸的长AB＝320cm，宽AD＝200cm，求每个栏目之间的中缝间距． 21．（8分）甲，乙两人各有两张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，乙的卡片分别标有数字2，4．两人进行两轮抽卡片比赛，在第一轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机抽一张，并比较所选卡片的数字的大小；在第二轮比赛中，第一轮选出的卡片不再使用，比较各自剩下的卡片的数字的大小．规定每一轮比赛数字大的人得1分，数字小的人得0分． （1）求“第一轮比赛后，甲得1分”的概率． （2）求“两轮比赛结束后，乙得2分”的概率． 22．（8分）从甲、乙两名射击选手中选出一名选手参加省级比赛，现对他们分别进行5次射击测试，成绩分别为（单位：环）甲：5、6、7、9、8；乙：8、4、8、6、9， （1）甲运动员5次射击成绩的中位数为　 　 环，极差是　 　 环；乙运动员射击成绩的众数为　 　 环； （2）已知甲的5次成绩的方差为2，通过计算，判断甲、乙两名运动员谁的成绩更稳定． 23．（8分）去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）． 24．（8分）如图，点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB，AB＝2． （1）求反比例函数的解析式； （2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°，求点C的坐标． 25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是BC边的中点，⊙O与AB相切于点D，交BC于点E，连接AO． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）连接DE，交AO于点F，并延长DE交AC的延长线于点G，若，求的值． 26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a与x轴负半轴交于点A，与y轴负半轴交于点B，OB＝2OA． （1）求a的值； （2）过点B作BC∥x轴交抛物线对称轴于点C，经过C任作一条直线交抛物线于D，E两点，F为线段DE中点，当点F到y轴的距离为时，求直线DE的表达式； （3）若点M（t﹣1，m），N（1﹣t，n）在抛物线上，且分别位于x轴的两侧，求t的取值范围． 27．（14分）综合与实践 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． （1）把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．用含a、b、c的式子分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为 　 　 ，经化简，可得到勾股定理a2+b2＝c2． 知识运用： （2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝24千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为 　 　 千米（直接填空）； （3）在（2）的条件下，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，求出AP的距离； （4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（0＜x＜16）． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（江苏淮安卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列四个实数中，最小的数是（　　） A．﹣2 B． C．1 D．π 2．下列运算正确的是（　　） A．x2+x3＝x6 B．x2•x3＝x6 C．（3x）3÷3x＝9x2 D．（﹣xy2）2＝﹣x2y4 3．下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．一把直尺和一块直角三角尺（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺的一边与三角尺的两直角边BC、AC分别交于点D、点E，直尺的另一边过A点且与三角尺的直角边BC交于点F，若∠CAF＝42°，则∠CDE度数为（　　） A．62° B．48° C．58° D．72° 5．将周长为12cm的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知关于x的方程x（x﹣2）+3m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m且m≠0 D．m且m≠0 7．如图，四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，且EF：FG＝3：1，AB：BC＝2：1，则tan∠AHE的值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，▱ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，P是BC边上的点（且满足BP＞1）．将△ABP沿AP折叠，使点B落在平面上B处，射线PB′与射线AD交于点E． 甲：当AB′⊥AB时，AB'＝EB'； 乙：当点B落在射线AD上时，四边形ABPB′是菱形； 丙：随点P位置的变化，线段AE的最小值为2． 针对三人的说法，下列判断正确的是（　　） A．只有乙对 B．甲和丙都对 C．甲、乙对，丙错 D．三人的说法都对 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9．计算 　 　 ． 10．因式分解：﹣16x2+81y2＝　 　 ． 11．2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约2kg的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为 　 　 ． 12．在一个不透明的袋子中装有a个红球和3个白球（它们除了颜色外均相同），若从袋中任意摸出一个球，记录下颜色后放回，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在15%，那么可以推算a大约是 　 　 ． 13．已知等腰△ABC的外心为点O，AO＝1，若其底边长是腰长的倍，则⊙O中劣弧的长为 　 　 ． 14．某风景区集体门票的收费标准是25人以内（含25人），每人10元，超过25人的，超过的部分每人5元．当人数超过25人时，请写出此时应收门票费用y（元）与人数x（人）之间的函数关系式 　 　 ． 15．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，称为平面图形的镶嵌．某工人师傅在铺地板时把四块完全相同的图案（图1）拼成一个如图所示的大图案（图2），经过测量，AB＝60cm，BC＝100cm，A，C两点间的距离为80cm，阴影部分的面积为 　 　 cm2． 16．如图，正九边形ABCDEFGHI，点M是EF的中点，连接AM、CG相交于点O．则∠AOG＝　 　 ． 三．解答题（本大题共有11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）（1）计算：； （2）解不等式：． 18．（8分）先化简，再求值：，其中m＝2． 19．（8分）如图，矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N，证明：△ABN≌△MAD． 20．（8分）如图，为了制作宣传海报，某设计师将长方形卡纸ABCD分割成大小相等的左、中、右三个小长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等；又在每个栏目中划出8个小正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为1：2．已知卡纸的长AB＝320cm，宽AD＝200cm，求每个栏目之间的中缝间距． 21．（8分）甲，乙两人各有两张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，乙的卡片分别标有数字2，4．两人进行两轮抽卡片比赛，在第一轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机抽一张，并比较所选卡片的数字的大小；在第二轮比赛中，第一轮选出的卡片不再使用，比较各自剩下的卡片的数字的大小．规定每一轮比赛数字大的人得1分，数字小的人得0分． （1）求“第一轮比赛后，甲得1分”的概率． （2）求“两轮比赛结束后，乙得2分”的概率． 22．（8分）从甲、乙两名射击选手中选出一名选手参加省级比赛，现对他们分别进行5次射击测试，成绩分别为（单位：环）甲：5、6、7、9、8；乙：8、4、8、6、9， （1）甲运动员5次射击成绩的中位数为　 　 环，极差是　 　 环；乙运动员射击成绩的众数为　 　 环； （2）已知甲的5次成绩的方差为2，通过计算，判断甲、乙两名运动员谁的成绩更稳定． 23．（8分）去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）． 24．（8分）如图，点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB，AB＝2． （1）求反比例函数的解析式； （2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°，求点C的坐标． 25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是BC边的中点，⊙O与AB相切于点D，交BC于点E，连接AO． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）连接DE，交AO于点F，并延长DE交AC的延长线于点G，若，求的值． 26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a与x轴负半轴交于点A，与y轴负半轴交于点B，OB＝2OA． （1）求a的值； （2）过点B作BC∥x轴交抛物线对称轴于点C，经过C任作一条直线交抛物线于D，E两点，F为线段DE中点，当点F到y轴的距离为时，求直线DE的表达式； （3）若点M（t﹣1，m），N（1﹣t，n）在抛物线上，且分别位于x轴的两侧，求t的取值范围． 27．（14分）综合与实践 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． （1）把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．用含a、b、c的式子分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为 　 　 ，经化简，可得到勾股定理a2+b2＝c2． 知识运用： （2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝24千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为 　 　 千米（直接填空）； （3）在（2）的条件下，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，求出AP的距离； （4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（0＜x＜16）． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（江苏淮安卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C B D A A C 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9． 10．（9y+4x）（9y﹣4x） 11．3.84×105 12．17 13．或 14．y＝5x+125（x＞25） 15．1200 16．110° 三．解答题（本大题共有11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分） 解：（1） ＝1﹣21+2 ＝2；·················································································5分 （2）， 去分母，得：2（x﹣1）≥3x﹣12， 去括号，得：2x﹣2≥3x﹣12， 移项及合并同类项，得：﹣x≥﹣10， 系数化为1，得：x≤10．····························································10分 18．（8分） 解：原式＝（） • ，···········································································5分 当m＝2时， 原式 ．················································································8分 19．（8分） 证明：在矩形ABCD中， ∵DC∥AB，∠D＝90°， ∴∠DMA＝∠MAB， ∵BN⊥AM， ∴∠D＝∠ANB＝90°， 在△ABN和△MAD中， ， ∴△ABN≌△MAD（AAS）．····························································8分 20．（8分） 解：设小正方形的边长为b， 由图知2a+4b＝200， 即a+2b＝100， ∴每个栏目的宽为100cm． 则， 故中缝的宽度为10cm．···························································8分 21．（8分） 解：（1）列树状图如图： 有4种等可能的结果，其中第一轮比赛后，甲得1分的结果为1种， ∴“第一轮比赛后，甲得1分”的概率为；·········································4分 （2）列树状图如图： 有4种等可能的结果，其中“两轮比赛结束后，乙得2分”的结果为2种， ∴“两轮比赛结束后，乙得2分”的概率为． ·········································8分 22．（8分） 解：（1）甲运动员5次射击成绩的中位数为7环，极差是4环；乙运动员射击成绩的众数为8环， 故答案为：7、4、8；·······························································6分 （2）7（环）， ∴乙的方差为[（4﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2]，··········7分 ∵2， ∴甲的成绩更稳定．································································8分 23．（8分） 解：由已知可得， BD∥EF，AB＝16米，∠E＝30°，∠BDA＝∠BDC＝90°， ∴∠E＝∠DBA＝30°， ∴AD＝8米， ∴BD8（米）， ∵∠CBD＝45°，∠CDB＝90°， ∴∠C＝∠CBD＝45°， ∴CD＝BD＝8米， ∴BC8（米）， ∴AC+CB＝AD+CD+CB＝（8+88）米， 答：压折前该输电铁塔的高度是（8+88）米．········································8分 24．（8分） 解：（1）∵AB⊥y轴于点B， ∴∠OBA＝90°， 在Rt△OBA中，AB＝2，tan∠AOB， ∴OB＝4， ∴A（2，4）， ∵点A在反比例函数y（x＞0）的图象上， ∴k＝4×2＝8； ∴反比例函数的解析式为y；······················································3分 （2）如图，过A作AF⊥x轴于F， ∴∠AFD＝90°， ∵∠ADO＝45°， ∴∠FAD＝90°﹣∠CDE＝45°， ∴AF＝DF＝OB＝4， ∵OF＝AB＝2， ∴OD＝6， ∴D（6，0）， 设直线AC的解析式为y＝ax+b， ∵点A（2，4），D（6，0）在直线AC上， ∴， ∴， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6①， 由（1）知，反比例函数的解析式为y②， 联立①②解得，或， ∴C（4，2）．········································································8分 25．（10分） （1）证明：如图，连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为H， ∵AB与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AB，即∠ODA＝90°， ∵OH⊥AC， ∴∠ODA＝∠OHA＝90°， ∵AB＝AC，点O是BC的中点， ∴∠OAD＝∠OAH， ∵OA＝OA， ∴△AOD≌△AOH（AAS）， ∴OH＝OD，即圆心O到直线AC的距离等于半径， ∴AC是⊙O的切线；·······························································4分 （2）解：如图，过点D作DM∥AC，交BC于点M， ∴， 由于AO⊥BC，sin∠OAB，可设OB＝3a，则AB＝5a＝AC， ∴OA4a， 又∵sin∠OAB，OA＝4a， ∴ODa，ADa，EC＝3aaa， ∵DM∥AC， ∵△BDM∽△BAC， ∴， ∴BMa， ∴ME＝BC﹣BM﹣ECa， ∴．··························································10分 26．（12分） 解：（1）令y＝ax2﹣ax﹣2a＝0，则x＝﹣2或1， 即点A（﹣1，0）， 则OB＝2OA＝2，则点B（0，﹣2）， 则﹣2a＝﹣2， 则a＝1；·············································································3分 （2）由（1）知y＝x2﹣x﹣2， 则抛物线的对称轴为直线x，则点C（，﹣2）， 设直线DE的表达式为：y＝k（x）﹣2， 联立上式和抛物线的表达式并整理得：x2﹣（k+1）xk＝0， 则x1+x2＝k+1， ∵当点F到y轴的距离为，即xF＝±（x1+x2）（k+1）， 解得：k＝2或﹣4， 则直线DE的表达式为：y＝2（x）﹣2＝2x﹣3或y＝﹣4（x）+2＝﹣4x+2；···············7分 （3）将点M、N的坐标代入抛物线的表达式得：m＝（t﹣1）2﹣（t﹣1）﹣2＝t2﹣3t，n＝t2﹣t﹣2， 当点M在x轴下方时，则点N在x轴的上方， 即m＝t2﹣3t＜0且n＝t2﹣t﹣2＞0， 解得：2＜t＜3； 当点N在x轴下方时，则点M在x轴的上方， 即m＝t2﹣3t＞0且n＝t2﹣t﹣2＜0， 解得：﹣1＜t＜0， 综上，2＜t＜3或﹣1＜t＜0．····························································12分 27．（14分） 解：（1）依题意得：AD＝AB＝a，AE＝BC＝b，AC＝DE＝c，∠ADE＝∠BAC， ∵∠DAB＝∠B＝90°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD为直角梯形， S梯形ABCD（AD+BC）•AB（a+b）•a（a2+ab）， ∵AB＝a，AE＝b， ∴BE＝AB﹣AE＝a﹣b， ∴S△EBC＝BC•BEb（a﹣b）（ab﹣b2）， ∵AC⊥DE， ∴S△ADEDE•AF，S△CDEDE•CF， ∴S△ADE+S△CDEDE（AF+CF）DE•ACc2， ∴S四边形AECD＝S△ADE+S△CDEc2， ∵S梯形ABCD＝S△EBC+S四边形AECD， ∴（a2+ab）（ab﹣b2）c2， 整理得：a2+b2＝c2； 故答案为：（a2+ab）（ab﹣b2）c2；··············································3分 （2）如图2，连接CD，作CE⊥AD于点E， ∵AD⊥AB，BC⊥AB， ∴四边形ABCE是矩形， ∴BC＝AE＝16千米，CE＝AB＝40千米， ∴DE＝AD﹣AE＝24﹣16＝8千米， ∴CD8（千米）， ∴两个村庄的距离为8千米． 故答案为：8；······································································6分 （3）如图3所示： 设AP＝x千米，则BP＝（40﹣x）千米， 在Rt△ADP中，DP2＝AP2+AD2＝x2+242， 在Rt△BPC中，CP2＝BP2+BC2＝（40﹣x）2+162， ∵PC＝PD， ∴x2+242＝（40﹣x）2+162， 解得x＝16， 即AP＝16千米；······································································9分 （4）如图4， 先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，过点F作EF⊥AD与E，即：DF就是代数式的最小值． 代数式的几何意义是线段AB上一点到点D，C的距离之和， 而它的最小值就是点C的对称点F和点D的连线与线段AB的交点就是它取最小值时的点， 从而构造出了以AB为一条直角边，AD和BC的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是最小的值， ∴代数式的最小值为：20．····························································14分 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（江苏淮安卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列四个实数中，最小的数是（　　） A．﹣2 B． C．1 D．π 【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵2＜1＜π， ∴最小的数是：． 故选：B． 【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 2．下列运算正确的是（　　） A．x2+x3＝x6 B．x2•x3＝x6 C．（3x）3÷3x＝9x2 D．（﹣xy2）2＝﹣x2y4 【分析】分别运用同底数幂相乘除、合并同类项、幂的乘方与积的乘方对各选项进行逐一计算即可求解． 【解答】解：∵x2与x3不是同类项不能合并， ∴选项A不符合题意； ∵x2•x3＝x5， ∴选项B不符合题意； ∵（3x）3÷3x＝9x2， ∴选项C符合题意； ∵（﹣xy2）2＝x2y4， ∴选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查了同底数幂相乘除、合并同类项、幂的乘方与积的乘方的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算． 3．下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出． 【解答】解：A、此图形旋转180°后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、此图形旋转180°后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、此图形旋转180°后能与原图形重合，所以此图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D、此图形旋转180°后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键． 4．一把直尺和一块直角三角尺（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺的一边与三角尺的两直角边BC、AC分别交于点D、点E，直尺的另一边过A点且与三角尺的直角边BC交于点F，若∠CAF＝42°，则∠CDE度数为（　　） A．62° B．48° C．58° D．72° 【分析】先根据平行线的性质求出∠CED，再根据三角形的内角和等于180°即可求出∠CDE． 【解答】解：∵DE∥AF，∠CAF＝42°， ∴∠CED＝∠CAF＝42°， ∵∠DCE＝90°，∠CDE+∠CED+∠DCE＝180°， ∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠DCE＝180°﹣42°﹣90°＝48°， 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和等于180°，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等是解决问题的关键． 5．将周长为12cm的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】对于每一个选项，分别求出该三角形的三边，然后利用三角形三边之间的关系进行判断即可得出答案． 【解答】解：对于选项A， 依题意得：该三角形的三边分别为：6cm，4cm，2cm， ∵4+2＝6，不符合构成三角形的条件， ∴该选项中所标的数据不正确； 故选项A不符合题意； 对于选项B， 依题意得：该三角形的三边分别为：6cm，3cm，3cm， ∵3+3＝6，不符合构成三角形的条件， ∴该选项中所标的数据不正确； 故选项B不符合题意； 对于选项C， 依题意得：该三角形的三边分别为：7cm，3cm，2cm， ∵3+2＜7，不符合构成三角形的条件， ∴该选项中所标的数据不正确； 故选项C不符合题意； 对于选项D， 依题意得：该三角形的三边分别为：5cm，5cm，2cm， ∵5+2＞5，符合构成三角形的条件， ∴该选项中所标的数据正确； 故选项D符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了三角形三边之间的关系，熟练掌握三角形三边之间的关系是解决问题的关键． 6．已知关于x的方程x（x﹣2）+3m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m且m≠0 D．m且m≠0 【分析】将方程整理为一般式，再由有两个不相等的实数根得出Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3m＞0，解之可得． 【解答】解：将方程整理为一般式得x2﹣2x+3m＝0， 根据题意知Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3m＞0， 解得m， 故选：A． 【点评】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 7．如图，四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，且EF：FG＝3：1，AB：BC＝2：1，则tan∠AHE的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出△AEH与△BFE相似，再根据其相似比EF：FG＝3：1设出AE、BF的长及AB、BC的长，求出的值即可． 【解答】解：∵四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，EF：FG＝3：1，AB：BC＝2：1， ∴∠HEA+∠FEB＝90°， ∵∠FEB+∠EFB＝90°， ∴∠HEA＝∠EFB， ∵∠HAE＝∠B， ∴Rt△HAE∽△EBF， ∴， 同理可得，∠GHD＝∠EFB，HG＝EF， ∴△GDH≌△EBF，DH＝BF，DG＝EB， 设AB＝2x，BC＝x，AE＝a，BF＝3a， 则AH＝x﹣3a，AE＝a， ∴tan∠AHE＝tan∠BEF， 即，解得：x＝8a， ∴tan∠AHE． 故选：A． 【点评】此题比较复杂，解答此题的关键是根据题意求出相似三角形的相似比，根据各边之间的关系列出方程解答． 8．如图，▱ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，P是BC边上的点（且满足BP＞1）．将△ABP沿AP折叠，使点B落在平面上B处，射线PB′与射线AD交于点E． 甲：当AB′⊥AB时，AB'＝EB'； 乙：当点B落在射线AD上时，四边形ABPB′是菱形； 丙：随点P位置的变化，线段AE的最小值为2． 针对三人的说法，下列判断正确的是（　　） A．只有乙对 B．甲和丙都对 C．甲、乙对，丙错 D．三人的说法都对 【分析】甲：如图所示，当AB′⊥AB时，证明∠B'AD＝∠AEB'＝30°可得结论； 乙：如图所示，当B'落在AD上时，点E和B'重合，证明四边相等即可； 丙：当点P靠近点C时，B'在四边形外部，此时∠AEB'＞90°，推出AE＜AB′＝2，即可判断． 【解答】解：甲：如图所示，当AB′⊥AB时， ∵AB'⊥AB， ∴∠BAB'＝90°， ∵将△ABP沿AP翻折得△AB′P， ∴∠BAP＝∠B'AP＝45°，∠B＝∠AB'P＝60°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠BAD＝120°， ∴∠B'AD＝∠BAD﹣∠BAB'＝120°﹣90°＝30°， ∴∠AEB'＝∠AB'P﹣∠B'AD＝60°﹣30°＝30°， ∴∠B'AD＝∠AEB'， ∴B'A＝B'E， 故甲正确； 乙：如图所示，当B'落在AD上时，点E和B'重合， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠BAD＝120°， ∵将△ABP沿AP翻折得△AB′P， ∴∠BAP＝∠B'AP＝60°，AB＝AB'，PB＝P'B， ∴△ABP是等边三角形， ∴AB＝BP＝B'P＝AB'， ∴四边形ABPB′是菱形， 故乙正确； 丙：如图所示， 当点P靠近点C时，B'在四边形外部，此时∠AEB'＞90°， ∴AE＜AB′＝2， 故丙错误； 故选：C． 【点评】本题考查翻折变换，解答中涉及轴对称的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，举反例，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9．计算 　　 ． 【分析】直接根据二次根式的乘法法则计算即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的乘法，关键是熟练掌握二次根式的乘法法则． 10．因式分解：﹣16x2+81y2＝　（9y+4x）（9y﹣4x）　 ． 【分析】用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：﹣16x2+81y2 ＝81y2﹣16x2 ＝（9y+4x）（9y﹣4x）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 11．2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约2kg的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为 　3.84×105　 ． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：384000＝3.84×105． 故答案为：3.84×105． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12．在一个不透明的袋子中装有a个红球和3个白球（它们除了颜色外均相同），若从袋中任意摸出一个球，记录下颜色后放回，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在15%，那么可以推算a大约是 　17　 ． 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【解答】解：由题意可得，15%， 解得，a＝17， 经检验a＝17是原方程的解． 故答案为：17． 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系． 13．已知等腰△ABC的外心为点O，AO＝1，若其底边长是腰长的倍，则⊙O中劣弧的长为 　或　 ． 【分析】先根据三角形的三边关系判断出该三角形是钝角等腰三角形，再对边AB分类讨论：（1）当边AB为腰时，由于O是等腰△ABC的外心，所以可得∠AEB＝90°，BE长，进而可用三角函数得出∠BAE的度数，进而可得∠AOB的度数，利用弧长公式计算即可得出答案；（2）当边AB为底边长时，利用圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得∠AOB得度数，进而利用弧长公式计算即可得出答案；最后综上作答． 【解答】解：设等腰三角形的腰长为x，则底边长为， ∵， ∴该三角形是钝角等腰三角形， 当AB为腰时，此时AB＝AC＝x，BC，如图， ∵O为等腰△ABC的外心， ∴OA⊥BC， ∴∠AEB＝90°，BE， 在Rt△ABE中，sin∠BAE， ∴∠BAE＝60°， ∵OA＝OB， ∴△OAB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴⊙O中劣弧的长为：； 当AB为底边长时，如图，由上面可得：∠ACO＝60°，∠ACB＝2∠ACO＝120°， 在⊙O取一点P，连接AP、BP，则∠APB＝180°﹣∠ACB＝180°﹣120°＝60°， ∴∠AOB＝2∠APB＝2×60°＝120°， ∴⊙O中劣弧的长为：． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查圆的有关性质、弧长公式计算、等腰三角形的分类讨论等，解题关键是对AB进行分类讨论． 14．某风景区集体门票的收费标准是25人以内（含25人），每人10元，超过25人的，超过的部分每人5元．当人数超过25人时，请写出此时应收门票费用y（元）与人数x（人）之间的函数关系式 　y＝5x+125（x＞25）　 ． 【分析】当x＞25时，根据“应收门票费用＝10×25+5×（购票人数﹣25）”解答即可． 【解答】解：当x＞25时，得y＝10×25+5×（x﹣25）＝5x+125． 故答案为：y＝5x+125（x＞25）． 【点评】本题考查一次函数的应用，理解题意并写出函数关系式是解题的关键． 15．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，称为平面图形的镶嵌．某工人师傅在铺地板时把四块完全相同的图案（图1）拼成一个如图所示的大图案（图2），经过测量，AB＝60cm，BC＝100cm，A，C两点间的距离为80cm，阴影部分的面积为 　1200　 cm2． 【分析】连接AC，根据勾股定理的逆定理证出∠BAC＝90°，根据阴影部分的面积▱ABCD的面积，即可得出答案 【解答】解：如图，连接AC，这四个平面图形都可以拼成平行四边形， ∵AB2+AC2＝602+802＝10000 BC2＝1002＝10000， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴∠BAC＝90°， ∴阴影部分的面积 ▱ABCD的面积 60×80 ＝1200（cm2）， 故答案为：1200． 【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），两点间的距离，掌握这四个平面图形都可以拼成平行四边形是解题的关键． 16．如图，正九边形ABCDEFGHI，点M是EF的中点，连接AM、CG相交于点O．则∠AOG＝　110°　 ． 【分析】根据正多边形与圆的相关计算的方法计算∠CAM，∠ACG，再根据三角形的内角和定理进行计算即可． 【解答】解：如图，设这个正九边形的外接圆为⊙O′，连接AC， 由正多边形的中心角的计算方法可得，这个这个九边形的中心角为40°， 由圆周角定理可得∠ACG（40°×3）＝60°， ∠CAM（40°×2.5）＝50°， ∴∠AOG＝∠CAM+∠ACG＝110°， 故答案为：110°． 【点评】本题考查了正多边形与圆，掌握正多边形与圆的相关计算的方法是正确解答的前提． 三．解答题（共11小题，满分102分） 17．（10分）（1）计算：； （2）解不等式：． 【分析】（1）先化简，然后计算加减法即可； （2）根据解一元一次不等式的方法解答即可． 【解答】解：（1） ＝1﹣21+2 ＝2； （2）， 去分母，得：2（x﹣1）≥3x﹣12， 去括号，得：2x﹣2≥3x﹣12， 移项及合并同类项，得：﹣x≥﹣10， 系数化为1，得：x≤10． 【点评】本题考查实数的运算、解一元一次不等式，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键． 18．（8分）先化简，再求值：，其中m＝2． 【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将m的值代入原式即可求出答案． 【解答】解：原式＝（） • ， 当m＝2时， 原式 ． 【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型． 19．（8分）如图，矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N，证明：△ABN≌△MAD． 【分析】根据矩形的性质利用AAS即可解决问题． 【解答】证明：在矩形ABCD中， ∵DC∥AB，∠D＝90°， ∴∠DMA＝∠MAB， ∵BN⊥AM， ∴∠D＝∠ANB＝90°， 在△ABN和△MAD中， ， ∴△ABN≌△MAD（AAS）． 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 20．（8分）如图，为了制作宣传海报，某设计师将长方形卡纸ABCD分割成大小相等的左、中、右三个小长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等；又在每个栏目中划出8个小正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为1：2．已知卡纸的长AB＝320cm，宽AD＝200cm，求每个栏目之间的中缝间距． 【分析】设小正方形的边长为b，根据题意可得2a+4b＝200，求得a+2b＝100，即每个栏目宽为100cm，即可求解． 【解答】解：设小正方形的边长为b， 由图知2a+4b＝200， 即a+2b＝100， ∴每个栏目的宽为100cm． 则， 故中缝的宽度为10cm． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程，求出每个栏目宽是解题的关键． 21．（8分）甲，乙两人各有两张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，乙的卡片分别标有数字2，4．两人进行两轮抽卡片比赛，在第一轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机抽一张，并比较所选卡片的数字的大小；在第二轮比赛中，第一轮选出的卡片不再使用，比较各自剩下的卡片的数字的大小．规定每一轮比赛数字大的人得1分，数字小的人得0分． （1）求“第一轮比赛后，甲得1分”的概率． （2）求“两轮比赛结束后，乙得2分”的概率． 【分析】（1）列树状图得出所有等可能的结果，并得出“第一轮比赛后，甲得1分”的结果，运用概率公式计算即可； （2）列树状图得出所有等可能的结果和符合条件的结果，运用概率公式计算即可． 【解答】解：（1）列树状图如图： 有4种等可能的结果，其中第一轮比赛后，甲得1分的结果为1种， ∴“第一轮比赛后，甲得1分”的概率为； （2）列树状图如图： 有4种等可能的结果，其中“两轮比赛结束后，乙得2分”的结果为2种， ∴“两轮比赛结束后，乙得2分”的概率为． 【点评】本题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 22．（8分）从甲、乙两名射击选手中选出一名选手参加省级比赛，现对他们分别进行5次射击测试，成绩分别为（单位：环）甲：5、6、7、9、8；乙：8、4、8、6、9， （1）甲运动员5次射击成绩的中位数为　7　 环，极差是　4　 环；乙运动员射击成绩的众数为　8　 环； （2）已知甲的5次成绩的方差为2，通过计算，判断甲、乙两名运动员谁的成绩更稳定． 【分析】（1）根据中位数、极差和众数的定义求解可得； （2）计算出乙成绩的方差，再根据方差的定义求解可得． 【解答】解：（1）甲运动员5次射击成绩的中位数为7环，极差是4环；乙运动员射击成绩的众数为8环， 故答案为：7、4、8； （2）7（环）， ∴乙的方差为[（4﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2]， ∵2， ∴甲的成绩更稳定． 【点评】本题考查了平均数和方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 23．（8分）去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）． 【分析】根据锐角三角函数和勾股定理，可以分别求得AD、CD和BC长，然后将它们相加，即可得到压折前该输电铁塔的高度． 【解答】解：由已知可得， BD∥EF，AB＝16米，∠E＝30°，∠BDA＝∠BDC＝90°， ∴∠E＝∠DBA＝30°， ∴AD＝8米， ∴BD8（米）， ∵∠CBD＝45°，∠CDB＝90°， ∴∠C＝∠CBD＝45°， ∴CD＝BD＝8米， ∴BC8（米）， ∴AC+CB＝AD+CD+CB＝（8+88）米， 答：压折前该输电铁塔的高度是（8+88）米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，求出AD、CD和BC长． 24．（8分）如图，点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB，AB＝2． （1）求反比例函数的解析式； （2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°，求点C的坐标． 【分析】（1）根据锐角三角函数求出OB，进而求出点A坐标，最后用待定系数法即可求出k； （2）过A作AF⊥x轴于F，求出点D坐标，进而求出直线AC的解析式，最后联立双曲线解析式求解，求出点C的坐标，即可求出点C的坐标． 【解答】解：（1）∵AB⊥y轴于点B， ∴∠OBA＝90°， 在Rt△OBA中，AB＝2，tan∠AOB， ∴OB＝4， ∴A（2，4）， ∵点A在反比例函数y（x＞0）的图象上， ∴k＝4×2＝8； ∴反比例函数的解析式为y； （2）如图，过A作AF⊥x轴于F， ∴∠AFD＝90°， ∵∠ADO＝45°， ∴∠FAD＝90°﹣∠CDE＝45°， ∴AF＝DF＝OB＝4， ∵OF＝AB＝2， ∴OD＝6， ∴D（6，0）， 设直线AC的解析式为y＝ax+b， ∵点A（2，4），D（6，0）在直线AC上， ∴， ∴， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6①， 由（1）知，反比例函数的解析式为y②， 联立①②解得，或， ∴C（4，2）． 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形的性质，解方程组，作出辅助线求出直线AC的解析式是解（2）的关键． 25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是BC边的中点，⊙O与AB相切于点D，交BC于点E，连接AO． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）连接DE，交AO于点F，并延长DE交AC的延长线于点G，若，求的值． 【分析】（1）根据切线的性质，得出OD⊥AB，过点O作AC的垂线，利用等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质得出OH＝OD，即圆心O到直线AC的距离等于半径，进而判断AC是⊙O的切线； （2）根据等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义可设OB＝a，进而得到AB＝5a＝AC，再求出AD、OD、BD，利用平行线分线段成比例定理求出BM，ME即可． 【解答】（1）证明：如图，连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为H， ∵AB与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AB，即∠ODA＝90°， ∵OH⊥AC， ∴∠ODA＝∠OHA＝90°， ∵AB＝AC，点O是BC的中点， ∴∠OAD＝∠OAH， ∵OA＝OA， ∴△AOD≌△AOH（AAS）， ∴OH＝OD，即圆心O到直线AC的距离等于半径， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：如图，过点D作DM∥AC，交BC于点M， ∴， 由于AO⊥BC，sin∠OAB，可设OB＝3a，则AB＝5a＝AC， ∴OA4a， 又∵sin∠OAB，OA＝4a， ∴ODa，ADa，EC＝3aaa， ∵DM∥AC， ∵△BDM∽△BAC， ∴， ∴BMa， ∴ME＝BC﹣BM﹣ECa， ∴． 【点评】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理以及解直角三角形，掌握切线的判定方法，圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提，理解平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a与x轴负半轴交于点A，与y轴负半轴交于点B，OB＝2OA． （1）求a的值； （2）过点B作BC∥x轴交抛物线对称轴于点C，经过C任作一条直线交抛物线于D，E两点，F为线段DE中点，当点F到y轴的距离为时，求直线DE的表达式； （3）若点M（t﹣1，m），N（1﹣t，n）在抛物线上，且分别位于x轴的两侧，求t的取值范围． 【分析】（1）令y＝ax2﹣ax﹣2a＝0，则x＝﹣2或1，即点A（﹣1，0），则OB＝2OA＝2，则点B（0，﹣2），进而求解； （2）联立上式和抛物线的表达式并整理得：x2﹣（k+1）xk＝0，则x1+x2＝k+1，当点F到y轴的距离为，即xF（x1+x2）（k+1），即可求解； （3）当点M在x轴下方时，则点N在x轴的上方，即m＝t2﹣3t＜0且n＝t2﹣t﹣2＞0，即可求解；当点N在x轴下方时，则点M在x轴的上方，同理可解． 【解答】解：（1）令y＝ax2﹣ax﹣2a＝0，则x＝﹣2或1， 即点A（﹣1，0）， 则OB＝2OA＝2，则点B（0，﹣2）， 则﹣2a＝﹣2， 则a＝1； （2）由（1）知y＝x2﹣x﹣2， 则抛物线的对称轴为直线x，则点C（，﹣2）， 设直线DE的表达式为：y＝k（x）﹣2， 联立上式和抛物线的表达式并整理得：x2﹣（k+1）xk＝0， 则x1+x2＝k+1， ∵当点F到y轴的距离为，即xF＝±（x1+x2）（k+1）， 解得：k＝2或﹣4， 则直线DE的表达式为：y＝2（x）﹣2＝2x﹣3或y＝﹣4（x）+2＝﹣4x+2； （3）将点M、N的坐标代入抛物线的表达式得：m＝（t﹣1）2﹣（t﹣1）﹣2＝t2﹣3t，n＝t2﹣t﹣2， 当点M在x轴下方时，则点N在x轴的上方， 即m＝t2﹣3t＜0且n＝t2﹣t﹣2＞0， 解得：2＜t＜3； 当点N在x轴下方时，则点M在x轴的上方， 即m＝t2﹣3t＞0且n＝t2﹣t﹣2＜0， 解得：﹣1＜t＜0， 综上，2＜t＜3或﹣1＜t＜0． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质、解不等式、根和系数关系的运用等，分类求解是解题的关键． 27．（14分）综合与实践 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． （1）把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．用含a、b、c的式子分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为 　（a2+ab）（ab﹣b2）c2　 ，经化简，可得到勾股定理a2+b2＝c2． 知识运用： （2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝24千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为 　8　 千米（直接填空）； （3）在（2）的条件下，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，求出AP的距离； （4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（0＜x＜16）． 【分析】（1）根据∠DAB＝∠B＝90°得四边形ABCD为直角梯形，则S梯形ABCD（AD+BC）•AB（a+b）•a（a2+ab），根据AB＝a，AE＝b得BE＝AB﹣AE＝a﹣b，则S△EBCBC•BE（ab﹣b2），由AC⊥DE，则S△ADEDE•AF，S△CDEDE•CF，进而得S四边形AECD＝S△ADE+S△CDEDE•ACc2，再根据S梯形ABCD＝S△EBC+S四边形AECD得（a2+ab）（ab﹣b2）c2，据此可得出答案； （2）连接CD，作CE⊥AD于点E，根据AD⊥AB，BC⊥AB得到BC＝AE，CE＝AB，从而得到DE＝AD﹣AE＝24﹣16＝8千米，利用勾股定理求得CD两地之间的距离； （3）连接CD，作CD的垂直平分线角AB于P，P即为所求；设AP＝x千米，则BP＝（40﹣x）千米，分别在Rt△APD和Rt△BPC中，利用勾股定理表示出CP和PD，然后通过PC＝PD建立方程，解方程即可； （4）根据轴对称﹣最短路线的求法即可求出 【解答】解：（1）依题意得：AD＝AB＝a，AE＝BC＝b，AC＝DE＝c，∠ADE＝∠BAC， ∵∠DAB＝∠B＝90°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD为直角梯形， S梯形ABCD（AD+BC）•AB（a+b）•a（a2+ab）， ∵AB＝a，AE＝b， ∴BE＝AB﹣AE＝a﹣b， ∴S△EBC＝BC•BEb（a﹣b）（ab﹣b2）， ∵AC⊥DE， ∴S△ADEDE•AF，S△CDEDE•CF， ∴S△ADE+S△CDEDE（AF+CF）DE•ACc2， ∴S四边形AECD＝S△ADE+S△CDEc2， ∵S梯形ABCD＝S△EBC+S四边形AECD， ∴（a2+ab）（ab﹣b2）c2， 整理得：a2+b2＝c2； 故答案为：（a2+ab）（ab﹣b2）c2； （2）如图2，连接CD，作CE⊥AD于点E， ∵AD⊥AB，BC⊥AB， ∴四边形ABCE是矩形， ∴BC＝AE＝16千米，CE＝AB＝40千米， ∴DE＝AD﹣AE＝24﹣16＝8千米， ∴CD8（千米）， ∴两个村庄的距离为8千米． 故答案为：8； （3）如图3所示： 设AP＝x千米，则BP＝（40﹣x）千米， 在Rt△ADP中，DP2＝AP2+AD2＝x2+242， 在Rt△BPC中，CP2＝BP2+BC2＝（40﹣x）2+162， ∵PC＝PD， ∴x2+242＝（40﹣x）2+162， 解得x＝16， 即AP＝16千米； （4）如图4， 先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，过点F作EF⊥AD与E，即：DF就是代数式的最小值． 代数式的几何意义是线段AB上一点到点D，C的距离之和， 而它的最小值就是点C的对称点F和点D的连线与线段AB的交点就是它取最小值时的点， 从而构造出了以AB为一条直角边，AD和BC的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是最小的值， ∴代数式的最小值为：20． 【点评】此题是四边形是三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称﹣最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形DEF是解本题的难点． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第三次模拟考试（江苏淮安卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷2、 填空题（每小题3分，共24分） 9．_________________ 10．___________________ 11．__________________ 12．__________________ 13．___________________ 14．__________________ 15．__________________ 16．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共11个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分） 18. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（8分） 22.（8分） （1） ； ； ； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （8分） 23. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27. （14分） （1） ； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$