3.4 复数的三角表示 课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

湘教版数学必修第二册 第3章 复数 3.4复数的三角表示 首页外框字体为:方正呐喊体 另外使用:方正静蕾简体 1 1.复数的几何意义是什么? z=a+bi Z(a,b) OZ=(a,b) 一一对应 一一对应 一一对应 2.什么是复平面?实数在哪?纯虚数在哪? 3.什么是复数的模?如何计算? 4.什么是共轭复数?如何表示?对称关系如何?它们积有什么特点? 5.复数加减法的几何意义是什么? 复习回顾 如图,我们将以x轴的正半轴为始边,以OP为终边的角 ,称为复数z=a+bi的辐角. 思考:已知复数的模为r,辅角为 ,如何表示这个复数? 思考:一个复数的辅角是唯一的吗? 新知探究:复数的三角表示 辐角的主值 规定在 范围内的辐角 的值为辐角的主值.通常记作 , 即 . 0≤ <2 arg z 0≤arg z <2 我们将r(cos +isin )称为复数a+bi的三角形式。 思考:z=0时,辅角 为多少? 思考:两个复数z1=r1(cos 1+isin 1),z2=r2(cos 2+isin 2)相等的充要条件是什么? 分析:复数的三角形式有哪些特点? 如何将复数代数形式化为三角形式?要注意什么? 归纳总结:复数的三角表示 注意:零向量的方向是任意的,所以复数0的辐角也是任意的. 新知探究:复数的三角表示 代数形式与三角形式的互化 复数的代数形式 z = a + b i( a , b ∈R)与复数的三角形式 z = r ( cos +i sin ) 的互化: 或 复数三角形式 z = r ( cos +i sin )的特点 (1) r ≥0; (2)实部为余弦,虚部为正弦; (3) cos 与i sin 之间用“+”相连; (4)角要统一. 例5. 把下列复数化成三角形式: 典例精析 [典例1] (1)下列复数是复数三角形式表示的是( D ) A. ( cos -i sin ) B. -( cos +i sin ) C. ( sin -i cos ) D. cos +i sin [解析] (1)选项A, cos 与i sin 之间用“-”连接,不是用“+”连接; 选项B,- <0不符合 r ≥0要求;选项C,不是 cos +i sin 的形式.故A, B,C均不是复数的三角形式.故选D. D 典例精析 练习巩固 [练习1] (1)复数 z =i sin 10 的三角形式是( C ) A. cos 10 +i sin 10 B. i sin 10 C. sin 10 ( cos 90 +i sin 90 ) D. sin 10 ( cos 0 +i sin 0 ) 解析: z =i sin 10 = sin 10 (0+i) = sin 10 ( cos 90 +i sin 90 ). C (2)复数的三角形式 ( cos +i sin )转化为代数形式. 解: ( cos +i sin )= [ cos ( + )+i sin ( + )] = (- cos -i sin )= ( - i)=1-i. 两个复数z1=r1(cos 1+isin 1),z2=r2(cos 2+isin 2),试计算z1 z2 提示:用运正余弦的和角公式. 新知探究:复数三角形式的乘法运算 两个复数z1=r1(cos 1+isin 1)与z2=r2(cos 2+isin 2)的乘法公式: 上式表明,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,乘积的辐角等于它们的辐角之和。 你能将公式推广到n个复数相乘吗? 旋转、伸缩 思考:如图,z1 z2对应向量OQ是如何由z1、z2对应的向量Z1、Z2变化得到的? 归纳总结:复数三角形式的乘法运算 z 1 z 2= r 1 r 2[ cos ( 1+ 2)+i sin ( 1+ 2)] 模数相乘,辐角相加 棣莫弗公式 归纳总结:复数三角形式的运算 典例精析 [典例] 已知复数 z 1=2( cos +i sin ), z 2= ( cos +i sin ),求 z 1 z 2. [解] z 1 z 2=2( cos +i sin ) ( cos +i sin )=2 [ cos ( + )+i sin ( + )]= ( cos +i sin )=- + i. 练习巩固 [练习] 已知 z 1=4+4i的辐角主值为 1, z 2=-1-i的辐角主值为 2,求 1+ 2的值. 解:∵ z 1=4+4i=4 ( cos +i sin ), z 2=-1-i= ( cos +i sin ), ∴ 1= , 2= , ∴ 1+ 2= . 将复数z对应向量旋转任意角度 ,可以看做乘以哪个复数? 提示:思考是如何对向量进行伸缩和旋转的. 结论:用cos +isin 乘任意复数z,其几何意义是:将复数z对应的平面向量旋转角 . 当 =90 时,得到什么结论? 结论:虚数单位i乘任意复数z的几何意义是:将复数z对应的平面向量旋转90 . 思考:i =-1及(-i) =-1的意义? 思考提升 提示:乘分母的共轭复数分母有理化. 两个复数z1=r1(cos 1+isin 1),z2=r2(cos 2+isin 2),当z2≠0时, 试计算 . z1 z2 新知探究:复数三角形式的除法运算 归纳总结:复数三角形式的除法运算 这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐 角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.简记为“ ”. 模数相除,辐角相 典例精析 [典例] 计算: . [解] = =2( cos +i sin ) =1+ i. 练习巩固 [练习] 计算:2 ( cos -i sin ) [ ( cos +i sin )]. 解:原式=2 [ cos (- )+i sin (- )] [ ( cos +i sin )] =2[ cos (- - )+i sin (- - )] =2[ cos (- )+i sin (- )]=-2i. 练习巩固 1. 复数 z =1+i(i为虚数单位)的三角形式为( B ) A. z=( sin 45 +i cos 45 ) B. z=( cos 45 +i sin 45 ) C. z=[ cos (-45 )-i sin (-45 )] D. z=[ cos (-45 )+i sin (-45 )] 解析:依题意得 r = = ,复数 z =1+i对应的点在第一象限,且 cos = ,因此arg z =45 ,结合选项知B正确.故选B. B 练习巩固 2. 已知i为虚数单位, z 1= ( cos 60 +i sin 60 ), z 2=2 ( sin 30 -i cos 30 ),则 z 1 z 2=( D ) A. 4( cos 90 +i sin 90 ) B. 4( cos 30 +i sin 30 ) C. 4( cos 30 -i sin 30 ) D. 4( cos 0 +i sin 0 ) 解析:∵ z 2=2 ( sin 30 -i cos 30 )=2 ( cos 300 +i sin 300 ),∴ z 1 z 2 = ( cos 60 +i sin 60 ) 2 ( cos 300 +i sin 300 )=4( cos 360 +i sin 360 )=4( cos 0 +i sin 0 ).故选D. D 本节课学到了一些什么? 旋转任意角 复数的三角表示 复数的三角表示 复数三角形式的运算 课堂小结 作业布置 计算: (1)2( cos +i sin ) ( cos +i sin ); 解:(1)原式=2 [ cos ( + )+i sin ( + )]= ( cos +i sin )=- + i. (2)2 ( cos -i sin ) [ ( cos +i sin )]. 解:(2)原式=2 [ cos (- )+i sin (- )] [ ( cos +i sin )]=2[ cos (- - )+i sin (- - )]=2[ cos (- )+i sin (- )]=-2i. $$