专题11 直线、平面平行的判定与性质七种考法-2024-2025学年高一数学重难点突破（苏教版2019必修第二册）

专题11 直线、平面平行的判定与性质七种考法 一、方法讲解 1.客观题中线线、线面、面面平行的判定 证明直线与平面平行的常用方法： ①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明； ②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段； ③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； 证明面面平行的常用方法： ①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面． 证明线线平行的常用方法： ①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理； 注：排除法：画一个正方体，在正方体内部或表面找线或面进行排除 2.线面平行判定定理中常规构造 （1）利用三角形中位线找线线平行 （2）利用平行四边形找线线平行 3.利用面面平行证明线面平行 已知平面平面，则平面里的任意直线均与平面平行 4.利用线面平行的性质证明线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 5.面面平行的证明 常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面． 证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行． 6.面面平行的性质 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 7.平行关系的综合应用 熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法． 注：线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示． ( 性质 性质 性质 判定 判定 判定 线 ∥ 面 线 ∥ 线 面 ∥ 面 ) 二、重难点例题及变式 类型一、客观题中线线、线面、面面平行的判定 例．（多选）如图，在长方体中，点M，N，E，F分别在棱，，，上，且平面平面，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．平面 （2）已知直线，平面，则下列说法正确的是（ ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【变式训练1】设是三个不同平面，且，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练2】（多选）已知，是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列命题为假命题的是（ ） A．如果，，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么m与所成的角和n与所成的角的大小不相等 类型二、线面平行判定定理中常规构造 例．（1）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），E，F分别是PD，AC的中点. 证明：平面. （2）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，点分别为的中点．求证：直线平面． （3）如图，已知在三棱柱中，，，F是线段BC的中点，点O在线段AF上，.D是侧棱中点，.证明：平面. 【变式训练1】如图所示，为矩形，为梯形，平面平面，. 若点为的中点，证明:平面； 【变式训练2】如图.在四棱锥P-ABCD中.平面.底面ABCD为菱形.E.F分别为AB.PD的中点. 求证：平面； 【变式训练2】在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型,点E在棱PB上，满足, 点F在棱PC上，满足要求同学们按照以下方案进行切割：    试在棱PC上确定一点G，使得 平面，并说明理由； 类型三、利用面面平行证明线面平行 例．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，分别为，的中点. 求证：平面； 【变式训练1】如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，为的中点，为的中点，为的中点，.    求证：平面； 【变式训练2】如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点分别在上. 若点满足，则点满足什么条件时，平面？并证明你的结论. 类型四、利用线面平行的性质证明线线平行 例．如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，，分别为，的中点，点在棱上，，直线与平面相交于点. 证明：； 【变式训练1】已知正方体的棱长为2，点P是正方形的中心，点Q是上一点，且平面，则线段PQ长为 . 【变式训练2】如图，在四棱锥中，，，，、分别是棱，的中点，且平面.证明：.    类型五、面面平行的证明 例．如图，在三棱柱中，侧面为矩形，M，N分别为AC，的中点． 求证：平面平面； 【变式训练1】如图，直棱柱中，底面为梯形，，且分别是棱，的中点.    证明：平面平面； 【变式训练2】在圆柱中，等腰梯形ABCD为底面圆的内接四边形，且，矩形ABFE是该圆柱的轴截面，CG为圆柱的一条母线．求证：平面平面ADE． 类型六、面面平行的性质应用 例．如图，已知四棱锥中，底面是正方形，为侧棱的中点. （1）求证：∥平面； （2）已知为棱上的点，若∥平面，求证：是的中点. 【变式训练1】如图，在六面体中，，四边形是平行四边形，． (1)证明：平面平面． (2)若G是棱的中点，证明：． 【变式训练2】如图所示，平面平面β，，分别在α，β内，线段共点于O，O在平面α和平面β之间，若，则的面积为 . 类型七、平行关系的综合应用 例．如图，在四棱锥中，底面是矩形，点分别在棱上，其中E是的中点，连接．    (1)若M为的中点，求证：平面； (2)若平面，求点M的位置． 【变式训练1】如图1，是边长为3的等边三角形，点分别在线段上，且，沿将翻折到的位置，使得，如图2. 在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式训练2】如图所示，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是_______________ 三、能力测试练 1．如图，在正方体中，作截面如图交，，，分别于，，，，则四边形的形状为（ ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 2．下列四个正方体中，，，为所在棱的中点，，，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（ ） A．   B．    C．   D．   3．如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（ ） A．与互相平行； B．与是异面直线； C．与相交，其交点在直线上； D．与相交，且交点在直线上． 4．在四棱锥中，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5．（多选）如图，正方体 的棱长为1，动点在线段 上，分别是的中点，则下列结论中正确的是（ ） A． B．当为中点时， C．存在点，使得平面平面 D．三棱锥的体积为定值 6.如图所示，已知是平行四边形，点P是平面外一点，M是的中点，在上取一点G，过G和作平面交平面于，则与的位置关系是 ．    7.如图，四棱锥的底面为平行四边形，M，N，Q，S分别为PC，CD，AB，PA的中点． （1）求证：平面平面； （2）求证：平面PBC． 8．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，分别是和的中点，平面平面. 证明：平面； 9．在长方体中，，，E、F、G分别为AB、BC、的中点.    (1)求三棱锥的体积； (2)点P在矩形内，若直线平面，求线段长度的最小值. 10．如图，在正四面体中，，E，F，R分别是，，的中点，取，的中点M，N，Q为平面内一点．      (1)求证：平面平面； (2)若平面，求线段的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 直线、平面平行的判定与性质七种考法 一、方法讲解 1.客观题中线线、线面、面面平行的判定 证明直线与平面平行的常用方法： ①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明； ②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段； ③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； 证明面面平行的常用方法： ①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面． 证明线线平行的常用方法： ①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理； 注：排除法：画一个正方体，在正方体内部或表面找线或面进行排除 2.线面平行判定定理中常规构造 （1）利用三角形中位线找线线平行 （2）利用平行四边形找线线平行 3.利用面面平行证明线面平行 已知平面平面，则平面里的任意直线均与平面平行 4.利用线面平行的性质证明线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 5.面面平行的证明 常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面． 证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行． 6.面面平行的性质 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 7.平行关系的综合应用 熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法． 注：线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示． ( 性质 性质 性质 判定 判定 判定 线 ∥ 面 线 ∥ 线 面 ∥ 面 ) 二、重难点例题及变式 类型一、客观题中线线、线面、面面平行的判定 例．（多选）如图，在长方体中，点M，N，E，F分别在棱，，，上，且平面平面，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．平面 【答案】ABD 【解析】因为平面平面， 平面与平面和平面的都相交，是交线， 所以，故A正确； 因为长方体， 所以平面平面，而平面与这两个平行平面的都相交， 是交线，所以，故B正确， 如图，连接，此时平面与平面和平面的都相交， 是交线，所以， 而， 所以， 又因为， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为， 所以与不平行， 故C错误； 如图，连接，由长方体性质得面面， 此时平面与这两个平面的都相交，是交线， 所以， 又因为面，面， 所以平面， 故D正确. 故选：ABD （2）已知直线，平面，则下列说法正确的是（ ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】D 【解析】选项A中，可能在内，也可能与平行，故A错误； 选项B中，与也可能相交，故B错误； 选项C中，与也可能相交，故C错误； 选项D中，依据面面平行的判定定理可知，故D正确． 故选：D． 【变式训练1】设是三个不同平面，且，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，，则由平面平行的性质定理：得； 但当，时，可能有，也可能有相交， 如是三棱柱的两条侧棱所在直线，是确定的平面， 另两个侧面所在平面分别为，此时符合条件，而相交， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式训练2】（多选）已知，是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列命题为假命题的是（ ） A．如果，，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么m与所成的角和n与所成的角的大小不相等 【答案】AD 【解析】对于A，可运用长方体，举反例说明其错误，如图， 不妨设为直线m，为直线n，平面为，平面为， 显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立，故A为假命题； 对于B，设过直线n的某一个平面与平面相交于直线l，则， 由知，从而，故B为真命题； 对于C，如果，，则，故C为真命题； 对于D，如果，，那么m与所成的角和n与所成的角相等，故D为假命题． 故选：AD． 类型二、线面平行判定定理中常规构造 例．（1）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），E，F分别是PD，AC的中点. 证明：平面. 【答案】证明见解析 【解析】连接, 因为底面是正方形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以是的中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面 （2）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，点分别为的中点．求证：直线平面． 【答案】证明见解析 【解析】证明：取的中点，连接， 在中，∵分别为的中点，可得且， 又∵为的中点，∴且， ∴且，∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面． （3）如图，已知在三棱柱中，，，F是线段BC的中点，点O在线段AF上，.D是侧棱中点，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【解析】连接，并延长交于G，连接， ∵，，F是线段BC的中点，∴， 又，∴O是的重心，∴， 又D是侧棱中点，∴，∴， 又平面，平面，∴平面. 【变式训练1】如图所示，为矩形，为梯形，平面平面，. 若点为的中点，证明:平面； 【答案】证明见解析 【解析】连接PC，交DE于，连接MN 为矩形为的中点 在中，M，N分别为PA，PC的中点 , 因为平面平面, 所以平面. 【变式训练2】如图.在四棱锥P-ABCD中.平面.底面ABCD为菱形.E.F分别为AB.PD的中点. 求证：平面； 【答案】证明见解析 【解析】（1）取PC中点M，连接FM，BM. 在中，因为M，F分别为PC，PD的中点， 所以，. 在菱形ABCD中，因为，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 因此. 又因为， 所以. 【变式训练2】在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型,点E在棱PB上，满足, 点F在棱PC上，满足要求同学们按照以下方案进行切割：    试在棱PC上确定一点G，使得 平面，并说明理由； 【答案】G为PC上靠近C的四等分点，理由见解析 【解析】    由已知得，点E在棱PB上，满足,点F在棱PC上，满足， 如图，取PC上靠近C的四等分点为G，则必有, 则根据三角形相似，必有， 因平面, 平面, 易得EF∥平面 . 类型三、利用面面平行证明线面平行 例．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，分别为，的中点. 求证：平面； 【答案】证明见解析 【解析】取的中点为，连接，， 由三棱柱可得四边形为平行四边形， 而，，则， 而平面，平面，故平面， 而，，则，同理可得平面， 而，，平面，故平面平面， 而平面，故平面； . 【变式训练1】如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，为的中点，为的中点，为的中点，.    求证：平面； 【答案】证明见解析 【解析】连接、、. 因为、分别为、的中点，所以，，， 因为，，所以，，， 所以，四边形是平行四边形，所以，， 因为平面，平面，则平面， 又因为、分别为、的中点，则， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，故平面. 【变式训练2】如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点分别在上. 若点满足，则点满足什么条件时，平面？并证明你的结论. 【答案】为中点，证明见解析 【解析】当为中点时，平面， 证明如下：设，取中点，连接， 四边形为平行四边形，为中点， 为中点，，为中点，， 平面，平面，平面； 分别为中点，， 平面，平面，平面， ，平面，平面平面， 平面，平面. 类型四、利用线面平行的性质证明线线平行 例．如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，，分别为，的中点，点在棱上，，直线与平面相交于点. 证明：； 【答案】证明见解析 【解析】【解析】（1）因为、分别为、的中点，所以， 又平面，平面，则平面， 又平面，平面平面，所以. 【变式训练1】已知正方体的棱长为2，点P是正方形的中心，点Q是上一点，且平面，则线段PQ长为 . 【答案】 【解析】提示：如图，连接､， 由正方体的性质，得，则P是的中点. 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以. 故答案为： 【变式训练2】如图，在四棱锥中，，，，、分别是棱，的中点，且平面.证明：.    【答案】证明见解析 【解析】连接，如图， ∵、分别是、中点， ∴为中位线，. 平面，平面，∴平面. 又∵平面，，，平面， ∴平面平面. 又∵平面平面，平面平面，∴. 类型五、面面平行的证明 例．如图，在三棱柱中，侧面为矩形，M，N分别为AC，的中点． 求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【解析】因为M，N分别为侧面为矩形的边AC，的中点， 所以，即四边形是平行四边形， 所以, 因为， 所以，即四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为M，N分别为侧面为矩形的边AC，的中点， 所以，即四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，且，平面，平面， 所以平面平面； 【变式训练1】如图，直棱柱中，底面为梯形，，且分别是棱，的中点.    证明：平面平面； 【答案】证明见解析 【解析】在中，分别为的中点，则， 而平面平面，因此平面， 又，而， 于是且，四边形为平行四边形，则， 又平面平面，因此平面. 而为平面中两相交直线，所以平面平面. 【变式训练2】在圆柱中，等腰梯形ABCD为底面圆的内接四边形，且，矩形ABFE是该圆柱的轴截面，CG为圆柱的一条母线．求证：平面平面ADE． 【答案】证明见解析 【解析】在圆柱中，，平面，平面， 故平面； 连接，因为等腰梯形为底面圆的内接四边形，， 故， 则为正三角形，故，则， 平面，平面，故平面； 又平面， 故平面平面． 类型六、面面平行的性质应用 例．如图，已知四棱锥中，底面是正方形，为侧棱的中点. （1）求证：∥平面； （2）已知为棱上的点，若∥平面，求证：是的中点. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）设，连接， 因为是平行四边形，可知为的中点， 又因为为侧棱的中点，则∥， 且平面，平面，故∥平面. （2）由（1）可知：∥，且平面，平面， 所以∥平面， 又因为∥平面，且，平面， 所以平面∥平面， 且平面平面，平面平面，可得∥， 又因为为的中点，所以为的中点. 【变式训练1】如图，在六面体中，，四边形是平行四边形，． (1)证明：平面平面． (2)若G是棱的中点，证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）由，得，而平面，平面平面，则平面， 由，平面，平面，得平面， 又平面，所以平面平面. （2）延长与的延长线分别交于点， 由，，得，由，G是棱的中点，得， 因此点重合，记为，显然平面平面，平面平面， 由（1）知，平面平面，所以. 【变式训练2】如图所示，平面平面β，，分别在α，β内，线段共点于O，O在平面α和平面β之间，若，则的面积为 . 【答案】 【解析】相交于点O，所以确定的平面与平面α，平面β的交线分别为， 有，且，同理可得，， ，,所以与相似，， 又，所以. 故答案为: 类型七、平行关系的综合应用 例．如图，在四棱锥中，底面是矩形，点分别在棱上，其中E是的中点，连接．    (1)若M为的中点，求证：平面； (2)若平面，求点M的位置． 【答案】（1）证明见解析；（2）M为的中点 【解析】（1）证明：如图，取的中点N，连接， 因为分别为的中点，所以，且CD， 又底面是矩形，且E是的中点， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面． （2）设过三点的平面与交于点N，连接， 因为平面平面，平面平面， 所以， 因为底面是矩形，所以， 又平面平面，所以平面， 同理得，所以四边形为平行四边形， 所以， 又，且，所以， 且，所以点M为的中点． 【变式训练1】如图1，是边长为3的等边三角形，点分别在线段上，且，沿将翻折到的位置，使得，如图2. 在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】 【解析】在平面中，过点E作，交于， 在平面中，过点作，交于，连接，如图所示， 因为，平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 又因为，平面，所以平面平面， 平面，所以平面，即为所求的点， 在中，，即，如图所示， 所以， 在中，，所以，即此时. 【变式训练2】如图所示，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是_______________ 【答案】 【解析】如图，取的中点，的中点，连接，显然，且， 所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面,所以平面，因为，平面， 平面,所以平面，又因为，所以平面平面， 因为平面，所以平面，点在侧面上，所以点位于线段上， 因为， ，所以当点位于点时，最大， 当点位于的中点时，最小， 此时， 所以，所以线段长度的取值范围是. 故答案为： 三、能力测试练 1．如图，在正方体中，作截面如图交，，，分别于，，，，则四边形的形状为（ ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【答案】A 【解析】在正方体中，可得平面平面， 且平面平面，平面平面， 所以，同理可证：， 所以四边形的形状一定为平行四边形. 故选：A. 2．下列四个正方体中，，，为所在棱的中点，，，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（ ） A．   B．     C．   D．   【答案】B 【解析】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如下图所示，连接， 因为、分别为、的中点，则， 在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，，， 平面，平面，平面， 同理可证平面，，因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如下图所示： 在正方体中，若平面平面，且平面平面， 则平面平面，但这与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如下图所示： 因为且，则四边形为平行四边形，则， 平面，平面，所以，平面， 同理可证平面，，所以，平面平面， 若平面平面，则平面平面， 这与平面与平面相交矛盾，故平面与平面不平行，D不满足条件. 故选：B. 3．如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（ ） A．与互相平行； B．与是异面直线； C．与相交，其交点在直线上； D．与相交，且交点在直线上． 【答案】D 【解析】因为，， 所以四边形是梯形， 所以与共面，且不平行，AB错误； 则与相交， 对于C，因为平面，平面， 平面，平面， 所以平面，平面， 又平面平面， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，故C错； 对于D，若与平行，平面，平面， 则，又平面，且平面平面， 则，所以，与四边形是梯形矛盾， 所以与不平行， 又平面， 所以与相交，与不平行，平面， 所以与相交， 综上，与平面相交，且只有一个交点， 所以与相交，且交点在直线上，D正确. 故选：D 4．在四棱锥中，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 如图，连接交于点，连接 因平面平面，平面平面所以， 所以，因为为的三等分点， 则即. 故选：D. 5．（多选）如图，正方体 的棱长为1，动点在线段 上，分别是的中点，则下列结论中正确的是（ ） A． B．当为中点时， C．存在点，使得平面平面 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】对于A，由于分别是的中点，故. 而，所以，故A正确； 对于B，当是的中点时，由于，故，而，所以，故B正确； 对于C，假设平面平面，则两平面没有公共点，从而两直线没有公共点，又由于两直线都在下底面内，故. 而，这意味着和重合，矛盾，故C错误； 对于D，设到平面的距离和到直线的距离分别为和，则，从而三棱锥的体积，故D正确. 故选：ABD. 6.如图所示，已知是平行四边形，点P是平面外一点，M是的中点，在上取一点G，过G和作平面交平面于，则与的位置关系是 ．    【答案】平行 【解析】连接交于，连结， 因为是平行四边形，所以为中点. 因为是的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； 因为平面， 又过和作平面交平面于，即平面平面，且平面， 所以. 故答案为：平行.    7.如图，四棱锥的底面为平行四边形，M，N，Q，S分别为PC，CD，AB，PA的中点． （1）求证：平面平面； （2）求证：平面PBC． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）证明：在中，由分别为的中点，可得， 在平行四边形中，由分别为的中点，可得， 因为平面，平面，且平面，平面， 所以平面，平面， 又因为且平面，所以平面平面. （2）证明：取的中点，连接， 在中，因为分别为的中点，所以且， 又因为为的中点，可得且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 8．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，分别是和的中点，平面平面. 证明：平面； 【答案】证明见解析 【解析】如图，取的中点，连接， 因为是的中位线，所以，且， 又因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面； 9．在长方体中，，，E、F、G分别为AB、BC、的中点.    (1)求三棱锥的体积； (2)点P在矩形内，若直线平面，求线段长度的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）依题意有， 所以三棱锥的体积； （2）如图， 连结， ∵分别为的中点， ∴平面，平面， ∴平面 ∵平面，平面， ∴平面， ∵，∴平面平面， ∵平面， ∴点在直线上，在中，， ， ∴当时，线段的长度最小，最小值为＝ 10．如图，在正四面体中，，E，F，R分别是，，的中点，取，的中点M，N，Q为平面内一点．      (1)求证：平面平面； (2)若平面，求线段的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证明：因为，，分别是，，的中点， 所以，平面，平面， 所以平面． 同理，平面，又因为， 所以平面平面． （2）由（1）可得平面平面，若平面，则点Q在线段上移动， 在中，，，，的最小值为R到线段的距离， 因为是等腰三角形，故的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$