精品解析：辽宁省沈阳市第二中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

沈阳二中2024-2025学年度下学期4月阶段测试 高二（26届）数学试题 命题人：高二数学组 审校人：高二数学组 说明：1.测试时间：120分钟总分：150分 2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 第I卷（选择题 58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. 10 C. 19 D. 38 【答案】C 【解析】 【分析】应用等差数列求和公式结合项的性质计算求解. 【详解】因为数列是等差数列， 所以． 故选：C． 2. 已知数列是等差数列，其前n项和为，若，，则数列中最小的项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由得到，由得到，即可求解； 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，取得最小值，即中最小的项是， 故选：C. 3. 已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分和判断的单调性，即可求解. 【详解】， 当时，，单调递减， 此时，； 当时，，单调递减， 此时，， 所以取到最小值时的值是. 故选：B. 4. 在数列中，，对任意，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用累加法求出，然后利用裂项相消法求和即可. 【详解】令，则，即， 故， 累加得：， 故， 故， 故. 故选：B 5. 已知别为等差数列的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用三点共线得，根据等差数列的性质求得可得答案. 【详解】，不妨设， 因为三点共线，所以， 所以 ， 所以， 故选：D. 6. 已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差的绝对值为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知求原数据的样本中心，再确定增加数据后的样本中心，进而得到修正后的回归直线，估计的对应值，最后由残差的定义求解. 【详解】由题设，则， 增加数据后，，，且回归直线为， 所以，则， 所以，有，故残差的绝对值为. 故选：A 7. 李华准备通过某银行贷款8800元，后通过分期付款的方式还款，银行与李华约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月的还款额都相等，贷款的月利率为，则李华每个月的还款额为（ ）（精确到0.01元，参考数据） A. 733.21元 B. 757.37元 C. 760.33元 D. 770.66元 【答案】B 【解析】 【分析】首先可设每一期所还款数为元，然后结合题意列出每期所还款本金，并根据贷款元列出方程，最后借助等比数列前项和公式进行计算即可得出结果. 【详解】设每一期所还款数为元， 因为贷款的月利率为， 所以每期所还款本金依次为， 则， 即， ， ， ， 即李华每个月所要还款约元. 故选：B. 8. 下列命题错误的个数是（ ） ①用数学归纳法证明时，正整数第一个取值是1. ②用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是. ③设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，若成立，则当时，均有成立. ④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时， ， 所以当时，不等式成立. 综上. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据数学归纳法证明的要求和步骤判断各选项即可. 【详解】对于①，时，成立,而时,,不满足题意， 根据数学归纳法证明的要求可知，正整数的第一个取值不是1，故①错误； 对于②，当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： ，故②错误； 对于③，由题意，无法推出时，均有成立，故③错误； 对于④，在时，没有用到的假设结论，故④错误. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 记等比数列的公比为，前项和为，已知，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B ，，成等比数列 C. 若，则数列的前n项和为 D. 若，则存在正整数M，使得当时， 【答案】CD 【解析】 【分析】根据等差中项和等比数列的通项公式求公比，可判断A；当时，，可判断B；先求数列的通项公式，再利用对数运算得数列的通项公式，判断为等差数列，利用前n项公式即可判断C；由指数函数与一次函数增长速度可判断D. 【详解】对于A，由题意，，又，则，解得或，故A错误； 对于B，当时，，则，，成等比数列不成立，故B错误； 对于C，由题意，，则，则， 所以数列是以0为首项，1为公差的等差数列，所以前n项和为，故C正确； 对于D，由题意，，则，， 因为呈指数增长，呈线性增长， 因此当足够大时，必有，故D正确. 故选：CD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若样本数据的样本方差为9，则数据的方差为16 B. 若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 C. 已知随机变量 ，若 ，则 D. 运动员每次射击击中目标的概率为0.7 ，则在11次射击中，最有可能击中的次数是8次． 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用方差的性质计算判断A；利用平均数、中位数的意义判断B；利用正态分布的对称性计算判断C；利用二项分布的概率最大求解判断D. 【详解】对于A，设样本数据为，则，解得， 数据的方差为，A正确； 对于B，一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数，B错误； 对于C，随机变量，由，得，C正确； 对于D，依题意，运动员击中次数，击中次的概率为， 由，解得，因此最有可能击中的次数是8，D正确. 故选：ACD 11. 如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列正三角形，记为，，…，，（为坐标原点）.设的边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ） A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正三角形的性质以及曲线方程找出数列与的递推关系，即可判断AB，然后求得，由平方和公式代入计算，即可判断C，再由时，，由裂项相消法代入计算，即可判断D. 【详解】依题意，，设，由为正三角形，直线的方程为， 由，得，则， 由，则的横坐标为，纵坐标为， 且在曲线上，则， 又，即，得，则， 当时，，两式相减得，， 因此，数列是以为首项，以为公差的等差数列， 对于A，，A正确； 对于B，由，得 ，B错误； 对于C，正面积， 则，C正确； 对于D，由，得，， 当时，， 则 ，D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列满足，，，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由得，构造等比数列即可求解. 【详解】由，，，可得， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以， 则，； 故答案为：. 13. 已知，求数列__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件时，求出，时通过前项和与前项和作差得，可得通项公式. 【详解】时，， 时，由， 有， 两式相减，得，则有， 时，不符合， 所以. 故答案为： 14. 已知数列前项和为，且，设函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】当时，求出的值，当且时，由可得，两式作差可得出的表达式，进而由与的关系可求出数列的通项公式，求出的值，再利用倒序相加法可求得所求代数式的值. 【详解】因为数列的前项和为，且， 当时，则，所以， 当且时，由可得， 上述两个等式作差得， 所以，满足， 故对任意的，， 当且时，，也满足， 故对任意的，， 因为， 记， 则， 所以， ， 故. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列和等比数列都是递增数列，且，，. （1）求，的通项公式： （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题中条件求出公差公比，即可求，通项公式 （2）分别利用等差等比数列前项和公式求和即可. 【小问1详解】 设数列和数列的公差公比分别为d，q， ， 等比数列是递增数列， . ， ， ， ， 所以等差数列的通项公式为：， 等比数列的通项公式为：. 【小问2详解】 为等比数列， 数列也是等比数列，公比为 数列的前项和 . 16. 已知正项数列，满足，，为等比数列，的前项和为，若； （1）求的通项公式； （2），的共同项（即既属于也属于的项）从小到大组成数列，若，使，求； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系，得到，再利用累加法，求出. （2）根据题意，得到，进而可变，计算可得答案. 【小问1详解】 时，，得， 时，，故， ，整理得，， 故，（）利用累加法，得到 ，，，； 检验，当时，，当时，，满足， 【小问2详解】 ，，为等比数列，由（1）得，， ，，且，则，， ，的共同项（即既属于也属于的项）从小到大组成数列， ：，， 若，使，列式可得， ，解得. 17. 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）.为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示： DeepSeek的应用情况 相关从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 72 没有应用 42 合计 90 150 （1）根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？ （2）某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. （ⅰ）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率. （ⅱ）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：其中，） 【答案】（1）表格见解析，有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关 （2）（i）；（ii）人 【解析】 【分析】（1）分析数据关系，完善列联表，提出零假设，计算，比较其与临界值大小，判断结论； （2）（i）设“员工第轮获得优秀”， “员工经过培训能应用”，则，结合互斥事件概率加法公式，独立事件概率乘法公式求结论； （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数，则，由条件列不等式可求结论. 【小问1详解】 依题意，列联表如下： DeepSeek的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 没有应用 合计 零假设为：的应用与视频从业人员的减少独立，的应用前后视频从业人员无差异， 由列联表中数据得，. 根据小概率值的的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关. 【小问2详解】 （i）设“员工第轮获得优秀”，且相互独立. 设“员工经过培训能应用”，则 ， 所以员工经过培训能应用的概率是. （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数， 则，因此， 调整后视频部的年利润为 （万元）， 令，解得，又，所以. 所以视频部最多可以调人到其他部门. 18. 已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，， （1）求和的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列公式，结合列出的方程组即可求解； （2）利用分组求和，奇数项的和用错位相减法，偶数项的和用裂项相消法即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 由题意可得，则 因为数列是递减的等比数列，解得， 所以，， 因为，所以，， 因为，则，所以，， 故. 【小问2详解】 当为奇数时，，令， 则，所以，， 两个等式作差可得 ，化简得； 当为偶数时， 令， 故. 19. 今年立秋以后，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川东北某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一到周六销售优惠券情况. 星期t 1 2 3 4 5 6 销售量y（张） 218 224 230 232 236 90 经计算可得：，，. （1）因为优惠券销售火爆，App平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求y关于t的经验回归方程； （2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求； （3）记（2）中所得概率的值构成数列.求的最值. 参考公式：，. 【答案】（1） （2） （3）最大值为，最小值为，证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出的值，进而得到y关于t的经验回归方程. （2）由题意得，其中，，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解. （3）分n为偶数和奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解，准确推理，运算，即可得证. 【小问1详解】 由题意，，， 则， ， 所以y关于t的经验回归方程为. 【小问2详解】 由题意，可知，， 当时，，即， 又， 所以当时，数列为各项都为1的常数列， 即， 所以，，又， 所以数列为首项为公比为的等比数列， 所以，即. 【小问3详解】 由（2）知，， 当为偶数时，，且随的增大而减小， 因此的最大值为； 当为奇数时，，且随增大而增大， 因此的最小值为， 综上所述，的最大值为，最小值为. 【点睛】知识方法点睛：与新定义有关问题的求解策略： 通过给出一个新定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的. 遇到新定义的问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沈阳二中2024-2025学年度下学期4月阶段测试 高二（26届）数学试题 命题人：高二数学组 审校人：高二数学组 说明：1.测试时间：120分钟总分：150分 2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 第I卷（选择题 58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. 10 C. 19 D. 38 2. 已知数列是等差数列，其前n项和为，若，，则数列中最小的项是（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是（ ） A. B. C. D. 4. 数列中，，对任意，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知别为等差数列的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差的绝对值为（ ） A 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 7. 李华准备通过某银行贷款8800元，后通过分期付款的方式还款，银行与李华约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月的还款额都相等，贷款的月利率为，则李华每个月的还款额为（ ）（精确到0.01元，参考数据） A. 733.21元 B. 757.37元 C. 760.33元 D. 770.66元 8. 下列命题错误的个数是（ ） ①用数学归纳法证明时，正整数的第一个取值是1. ②用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是. ③设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，若成立，则当时，均有成立. ④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时， ， 所以当时，不等式成立. 综上. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 记等比数列的公比为，前项和为，已知，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. ，，成等比数列 C. 若，则数列的前n项和为 D. 若，则存在正整数M，使得当时， 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若样本数据的样本方差为9，则数据的方差为16 B. 若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 C 已知随机变量 ，若 ，则 D. 运动员每次射击击中目标的概率为0.7 ，则在11次射击中，最有可能击中的次数是8次． 11. 如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列正三角形，记为，，…，，（为坐标原点）.设的边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ） A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列满足，，，则数列通项公式为__________． 13. 已知，求数列__________. 14. 已知数列的前项和为，且，设函数，则________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列和等比数列都是递增数列，且，，. （1）求，的通项公式： （2）求数列的前项和. 16. 已知正项数列，满足，，为等比数列，的前项和为，若； （1）求的通项公式； （2），的共同项（即既属于也属于的项）从小到大组成数列，若，使，求； 17. 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）.为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示： DeepSeek的应用情况 相关从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 72 没有应用 42 合计 90 150 （1）根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？ （2）某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. （ⅰ）求员工经过培训能应用DeepSeek概率. （ⅱ）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：其中，） 18. 已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，， （1）求和的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 19. 今年立秋以后，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川东北某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一到周六销售优惠券情况. 星期t 1 2 3 4 5 6 销售量y（张） 218 224 230 232 236 90 经计算可得：，，. （1）因为优惠券销售火爆，App平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求y关于t的经验回归方程； （2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求； （3）记（2）中所得概率的值构成数列.求的最值. 参考公式：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$