第七章 随机变量及其分布（知识清单）-【百汇大课堂·高中学习测试卷】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第七章 随机变量及其分布 [知识结构] 条件概率公式 概率的乘法公式 条件概率与仝概率 全概率公式 贝叶斯公式 二项分布 分布列 离散型随机变量 超儿何分布 均值和方差 随机变量 正态分布密度山线 连续型随机变其 正态分们 3w原则 [知识梳理] 一、条件概率 1.定义 设A、B为两个事件，且P(A)>0,在已知事件A发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率.用符号P(B|A)表示.P(B|A)读作：A发生 的条件下B发生的概率. 注意：P(AB)、P(AB)、P(B)的区别 P(AB)是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率. P(AB)是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件. P(B)是事件B发生的概率，无附加条件. 它们的联系是：P(AB)P P(AB) 2.条件概率的计算 (1)计算事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，常有以下两种 方式： D定义法：先求P(A)和P(AB),再由P(BA)PAB求P(BA) ·9· ②样本点法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点数n(A), 再求事件AB所包含的样本点数n(AB),得P(BA)= n(AB) n(A)' ③缩小样本空间法：缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况， 只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简， (2)条件概率公式的变形： 公式P(AB) PCAB)揭示了P(B)、P(AB),P(AB)的关系，常常用 P(B) 于知二求一，即要熟练应用它的变形公式.如：若P(B)>0,则P(AB)= P(B)·P(AB),该式称为概率的乘法公式. [例1]在10道题中有6道选择题和4道填空题，如果不放回地依次抽取2 道题，求： (1)第1次抽到选择题的概率； (2)第1次和第2次都抽到选择题的概率； (3)在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题的概率. 解设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次都抽到选择题”， 则第1次和第2次都抽到选择题为事件AB. (1)从10道题中不放回地依次抽取2道题的样本点数为n(2)=A。=90. 由分步乘法计数原理，知事件A包含的样本点数n(A)=AA。=6×9 54.因此P(A)=n(A)_543 n(2)905 (2)由分步乘法计数原理，知n(AB)=A=6X5=30,故P(AB)= n(AB)301 n(2)903 (3)方法1：由1)(2)，知P(A)=号P(AB)=3,放P(B1A) 1 P(AB) 35 P(A) 39 5 方法2：因为n(AB)=30,n(A)=54,所以P(B1A)=nAB）_30-5 n(A)549 ·10· 方法3：因为第1次抽到了1道选择题，故还剩9道题，其中有5道选择 题，所以在第1次抽到选择题的条件下，第2次再抽到选择题的概率为 P(BA)= 5 9 解后反思：利用剔除法求解条件概率，是把复杂问题简单化的转化策略， 有利于问题的解决， 二、全概率公式 1.全概率公式的定义 一般地，设A1,A2…,A。是一组两两互斥的事件，A,UA2U…UA。= 2,且P(A,)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B二2，有P(B)= P (A)P(BIA). 我们称上面的公式为全概率公式.全概率公式是概率论中最基本的公式 之一 2.贝叶斯公式 贝叶斯公式：设A1,A2,…,A。是一组两两互斥的事件，A1UA2U…U A.=2,且P(A,)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B二2，P(B)>0, P(A B)P(A)P(BA)P(A )P(BIA) 有P(A,B)= P(B) ,i=1, P(B) P(AP(BIA) 2,…,n. 贝叶斯公式的内含： P(A B)P(A)P(BA)P(A)P(BIA) (1)公式P(A,B)= P(B) P(B) EP(A)P(BA) 反映了P(A,B),P(A),P(B),P(A:|B),P(BA,)之间的互化关系. (2)P(A,)称为先验概率，P(A,B)称为后验概率，其反映了事情A,发生 的可能在各种可能原因中的比重 [例2](1)甲、乙为完全相同的两个不透明袋子，袋内均装有除颜色外完全 相同的球.甲袋中装有5个白球，7个红球，乙袋中装有4个白球，2个红 球.从两个袋中随机抽取一袋，然后从所抽取的袋中随机摸出1球，则摸出 的球是红球的概率为 ·11· A号 11 6.24 c品 0.3 B解析设事件A为“取出的是甲袋”，事件B为“取出红球”，分两种 情况进行讨论 若取出的是甲袋，则P,=P(A)·P(BA),依题意可得P(A)= 2, P(BA)= 12 所以P,=P(A)·P(BA)=)X3=7 2×1224 若取出的是乙袋，则P,=P(A)·P(BA),依题意可得P(A)= 2 P(B1A)= 3, 所以P:=P(A)·P(BA)=X3日 综上所迷，摸出的球是红球的概率为P=P,+P,一2 11 (2)某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概 率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个 人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为 () A.0.16 B.0.32 C.0.42 D.0.84 A解析此人是癌症患者的概率为 0.004×0.95 0.004×0.95+0.996×0.02 ≈0.16. 三、离散型随机变量的分布列 1.分布列定义： 设离散型随机变量所有可能取得的值为x1,x2,…,x,…,x。,若ξ取每 一个值x,(i=1,2,…,n)的概率为P(=x,）=p,则称下表为随机变量 的概率分布，简称的分布列. 工 P P: P. ·12· 2.分布列的性质 离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： (1)p,≥0，i=1,2,…,n: (2)p1+p2+…+pm=1. 3.离散型随机变量函数及其分布列 一般地，若是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则f()也是随机 变量，也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量 已知离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量函数？=f()的分 布列： ①与？一一对应时，专的每个取值的概率就对应着？的每个取值的概率； ②如果有多个取值对应一个？的值，那么这个？值的概率就是这多个 值的概率的和。 4.离散型随机变量的分布列的求法 (1)求随机变量的概率分布有以下几步： ①要确定随机变量：的可能取值有哪些，明确取每个值所表示的意义； ②分清概率类型，计算：取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还 要注意是放回抽样还是不放回抽样)： ③列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证： [例3]现在甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为号，命中 得1分，没有命中得0分：向乙粑射击两次，每次命中的概率为二，每命中 一次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射 手完成以上三次射击. (1)求该射手恰好命中一次的概率： (2)求该射手的总得分X的分布列. 分析：(1)利用互斥事件有一个发生的概率和相互独立事件同时发生的概 率的求法求解： (2)先明确X的所有可能取值，再求得与X取值相对应的概率，最后写出 分布列. ·13· 解(1)设“该射手恰好命中一次”为事件A,“该射手射击甲靶命中”为事 件B,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C,“该射手第二次射击乙靶命 中”为事件D. 由题意，知P(B)=是P(C)=P(D)=号， 3 A=BCD+BCD+BCD」 根据事件的独立性和互斥性，得 P(A)=P(BCD+BCD+BCD) =P(BCD)+P(BCD)+P(BCD) =P(B)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D) -×1-)×1-)+(1-)×号×1-)+1-)×-)×号 7 一36 (2)根据题意，知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5. 根据事件的独立性和互斥性，得 P(X=0)=P(BCD)=P(B)P(C)P(D)=(1-)×1-)×(1-号） 、1 36 P(X-D-P(ED)-P(B)PC)P)-x(1-)x(1)- P(X=2)=P(BCD+BCD)=P(BCD)+P(BCD)-(1-)X号× 0-》+-）)×-)×号-日 P(X-3)-P (BCD+BCD)-P(BCD)+P(BCD)xx -)+×-)×号-号 ·14· P(X=4)=PBCD)-(I-）×号×号-号 P(X=5)=P(BCD)=- ×号 2 3 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 1 1 P 1 1 1 1 36 12 9 3 9 3 四、离散型随机变量的均值和方差 1.定义： 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为 X x T2 p P: 则称E(X)=x1p1十x2p2十…十x:p:十…十xnp。为X的均值或数学期 望，简称期望。 D(X)=(x1-E(X)2·p,+(x2-E(X)2·p2十…+(xm-E(X)2· p.称为随机变量X的方差，D(X)的算术平方根√D(X)叫做随机变量 X的标准差， 2.性质： ①E(X+n)=E(X)+E(7),D(X)=E(X)-(E(X)2: ②若？=aX+b(a、b是常数)，X是随机变量，则n也是随机变量，有 E(aX+b)=aE(X)+b. E(aX十b)=aE(X)十b的推导过程如下： 7的分布列为 X x T2 x ax:+b ax:+b ax+b P p P2 p 于是E(n)=(ax1+b)p1十(a.x2十b)p2十…+(a.x:+b)p,+… ·15· =a(x1p1十x2p2十…十x:p,十…)十b(p,十p2十…十p:十…) =aE(X)+b ∴.E(aX+b)=aE(X)+b. 同理，由公式可得，D(n)=D(aX+b)=a2D(X). [例4幻为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖 励.规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额」 (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10 元，求：①顾客所获的奖励额为60的概率：②顾客所获的奖励额的分布列 及数学期望： (2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有 面值为10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组 成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获 得的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并 说明理由。 分析：(1)①利用排列组合及古典概型求解：②顾客所获的奖励额可取20 和60：利用概率知识求出相应的概率，从而得到分布列，利用公式求数学 期望：(2)通过比较方差来确定方案 解(1)设顾客获得的奖励额为X. D散宽意，得P(X=0)=CS一子甲质客所获的来册新为的无的能 案型 ②依题意，随机变量X的可能取值为20,60. P(X=60)=2,P(X=20)= =2 得X的分布列如下： X 20 60 公 1 2 ·16· 所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=20×号十60×2-40， (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60000÷1000=60元.所 以先寻找期望为60元的可能方案：对于面值由10元和50元组成的情况， 如果选择(10,10,10,50)方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望 不可能为60：若选择(50,50,50,10)方案，因为60元是面值之和的最小 值，所以期望也不可能是60.因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为 方案1. 当球的面值为20元和40元时，同理可排除(20,20,20,40)、(40,40,40， 20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析： 对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1,则X,的 分布列为 X 20 60 100 P 1 1 6 3 X,的数学期望为E(X,)=20×日+60×号+100×行-60， X,的方老为DX,)=(20-60)P×6+(60-60)P×号+10-60)× 11600 63· 对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获得的奖励额为X2,则X2 的分布列为 X2 40 60 80 P 1 2 1 6 6 X:的期望为E(X,)=40×行+60×号+80× =60. ·17· X,的方差为D(X,)=(40-60)×日+(60-60)×名+(80-60)X 1_400 63 因为两种方案奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差要比方案 1的小， 所以应该选择方案2.即标有面值20元和面值40元的球各两个. 解后反思：求离散型随机变量X的均值及方差的步骤： (1)求出X的分布列： (2)利用均值公式E(X)=x1p1十x2p2十…十x.pn,求出均值； (3)利用方差公式D(X)=(x1一E(X)2·p1十(x2-E(X)2·p2十 …十(xn-E(X)2·Pn求出方差. 五、二项分布 1.独立重复试验：每次试验只考虑两种可能结果A与A,并且事件A发生 的概率相同.在相同的条件下重复地做次试验，各次试验的结果相互独 立，称为n次独立重复试验或n重伯努利试验 总之，独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进 行的一种试验，在这种试验中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要 么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的. 2.二项分布 (1)在一次随机试验中，事件A可能发生也可能不发生，在次独立重复 试验中事件A发生的次数X是一个离散型随机变量.如果在一次试验中 事件A发生的概率是p,则此事件不发生的概率为q=1一p,那么在n次 独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是P,(X=k)=P,(k)= Cpg"*(k=0,1,2,…,n). 于是得到离散型随机变量：的概率分布如下： X 0 1 … P Cpq" Cip'g Cp'g" Cp"q ·18·