第六章 计数原理（知识清单）-【百汇大课堂·高中学习测试卷】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第六章 计数原理 [知识结构] 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 利用两个计数原理解决应用问题的·般思路 两个 ①弄清完成·件事是做什么 计数 ②确定是先分类后分步，还是先分步后分类， 原理 ③弄清分步、分类的标淮是什么 ④分类要做到不重不漏 排列组合 排列与组合区分的标志是有无顺序，与顺序有关的是 的辨析 排列.与顺序无关的是纽合 特殊优光 计数 排列 邻捆绑 原理 织合 常见方法 不和邻插空 定序倍缩或定序排他 以杂间接 指定项系数 通项法T=C%a(=0.1,2,…,n） 组合法 一项式（系数）和赋值法 二项式 系数最值 定哩 小数近似伯 运用 余数 [知识梳理] 一、分类加法计数原理 1.完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方 案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m十n种不同的方法。 2.推广：完成一件事有”类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法， 在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m。种不同 的方法，那么完成这件事共有N=m1十m2十…十m种不同的方法. 。1 二、分步乘法计数原理 1.完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有种 不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法， 2.推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m,种不同的方法，做第2步 有m2种不同的方法，…，做第n步有mm种不同的方法，那么完成这件 事共有N=m1×m2×…×m。种不同的方法. 三、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较与选择 1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 不同点 每步依次完成才算完成这 每类方案中的每一种方法 件事（每步中的每一种方法 都能独立完成这件事 都不能独立完成这件事) 两个计数原理都可以用来计算完成某件事的方法种数，最 相同点 终的目的都是完成某件事 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 2.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择 分类 分步 将向题分为互相排下 将问题分为几个相互关 的几类，逐类解决 联的步聚，逐步解决 分类加法 分步乘法 计数原理 计数原理 在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举 法、模型法、间接法和转换法的应用。 四、两个计数原理的选择与应用 1.两个计数原理在解决计数问题中的应用 要做到 分类后再分别对每·类进行计数，最 分类 “不重 后用分类加法计数原理求和，得创总数 不漏” 要做到 分步后再计算每一步的方法数最后根 份步 “步骤 据分步乘法计数原理，把完成每步 完整” 的方法数相乘.得到总数 2 2.类中有步，步中有类 ms D 4 从A→D共有m1×(m2十m2十m4)Xm5种方法. 从A→B共有(m,×m2×m3十m4×m5)种方法. “类”用“十”连接，“步”用“×”连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事 的完成，“步”则缺一不可 3.两个计数原理的应用原则及方法 (1)当涉及元素数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或图 表法。 (2)当涉及元素数目很大时，一般有如下两种方法： ①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理求解. ②间接法：先去掉限制条件，计算方法总数，然后减去所有不符合条件的 方法数即可. [例1](1)如图所示，用不同的五种颜色分别为A,B,C,D,E五部分着 色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，也可不使 用，则符合这些要求的不同着色的方法共有 () B A D C E A.500种 B.520种 C.540种 D.560种 (2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ (1)C解析先涂A,则A有5种涂法，再涂B,因为B与A相邻，所以 B的颜色只要与A不同即可，有4种涂法；同理C有3种涂法，D有3种 涂法，E有3种涂法；由分步乘法计数原理可知，符合这些要求的不同着 色的方法共有5×4×3×3×3=540（种）. ·3· (2)解分析个位数，可分以下几类： 个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故有8个； 个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故有7个： 同理，个位是7的有6个：个位是6的有5个：：个位是2的只有1个. 由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有 1+2+3+4+5+6+7+8=36(个). 五、排列 1.排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素（这里被取元素各 不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素 的一个排列. 说明：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素， ②按一定的顺序排列； (2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同. 2.排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的 个数叫做从n个元素中取出m个元素的排列数，用符号A:表示。 排列数公式：A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(m,n∈N”,且m≤n). 特别地，n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排 列，全排列数记作A,=n(n一1)(n一2)…3·2·1=n!(n的阶乘). (1)规定：0！=1. (2)Am= n! (n,m∈N',且m≤n). (n-m)! [例2]7名同学，其中4名男同学，3名女同学： (1)站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (2)站成一排，甲、乙两名同学必须相邻的排法共有多少种？ (3)站成一排，甲、乙两名同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排 法有多少种？ (4)站成一排，甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？ (5)站成一排，甲必须站在乙的前面（可以相邻也可以不相邻）的排法共有 多少种？ 解(1)根据分步乘法计数原理：第一步甲、乙站在两端有A种，第二步 余下的5名同学进行全排列有A种，∴.共有A·A=240种排列方法. ·4· (2)先将甲、乙两名同学“捆绑”在一起看成一个元素，再与其余的5个元素 (同学)一起进行全排列有A。种方法，最后将甲、乙两名同学“松绑”进行 排列有A三种方法， ∴.这样的排法一共有A·A=1440种方法. (3)将甲、乙“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素， ,·丙不能站在排头和排尾，.可以先从其余的四个位置选择共有A种 方法， 再将其余的5个元素进行全排列共有A种方法，最后将甲、乙“松绑”进 行排列有A种方法， .这样的排法一共有A·A·A=960种方法. (4)先将其余四个同学排好有A种方法，此时他们留下五个“空”， 再将甲、乙和丙三名同学分别插入这五个“空”有A种方法， .一共有A·A=1440种方法. (5)法一：先将7名同学全排有A种方法，再将甲、乙两名同学全排有A 种方法， :甲必须站在乙的前面心只需要总数的种方法一一共有A·怎 A A好 =2520种方法. 法二：先将除甲、乙之外的5名同学排好有A种排法，再将甲、乙排在留 出的空位上，∴.一共有A=2520种方法. 六、组合与组合数 1.一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个 不同元素中取出个元素的一个组合. 2.从n个不同元素中取出n(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n个不同元素中取出n个元素的组合数，用符号C表示. 七、组合数公式与组合数性质 1.组合数公式：CW= A n(n-1)(n-2)…(n-m+1) n! A (n,m∈ m! m!(n-m)! N°，且mn). 2.规定：C%=1. 3.组合数的性质：CW=C";C+1=CW十CW1. ·5· 八、应用组合知识解决实际问题的四个步骤 1.判断：判断实际问题是不是组合问题 2.方法：选择用直接法还是间接法解题， 3.计算：利用组合数公式并结合两个计数原理计算. 4.结论：根据计算结果写出方案个数. 九、组合数的运算与性质 1.组合数的运算 形式 主要适用范围 乘积式C"- n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 含具体数字的组合数的 m(m-1)×…X2×1 求值 n！ 含字母的组合数的有关变 阶乘式C= m!(n-m)! 形及证明 [例3]有5人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在a、b、c三家 酒店选择，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有 () A.96种 B.124种 C.150种 D.130种 C解析根据题意：分2步进行： ①5人在a、b、c三家酒店选择，且每家酒店至少有一个参会人入住， 可以把5人分成三组，一种是按照1,1,3；另一种是按照1,2,2： 当按照1,1,3来分时共有C=10种分组方法： CC 当按照1,2,2来分时共有 A =15种分组方法： 则一共有10十15=25种分组方法； ②将分好的三组对应三家酒店，有A=6种对应方法： 则安排方法共有25×6=150种. [例4幻一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加 过比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问： (1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？ (2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有 多少种方式做这件事情？ ·6· 解(1)由于上场学员没有角色差异，.可以形成的学员上场方案有 C=12376(种). (2)教练员可以分两步完成这件事情： 第一步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C种选法， 第二步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C,种选法， .教练员做这件事情的方法数有CXC= 136136(种). 十、二项式定理 1.二项式定理：(a十b)"=Cg·a"+C·a"-1·b十…十C·a"-t·b+ …+C·b"(n∈N'). 这个公式表示的定理叫做二项式定理，它的右边的多项式叫做(a十b)”的 二项展开式，其中的系数C(k=0、1、…、n)叫做二项式系数，式中的C· a”-·b叫做二项展开式的通项，用T+1表示，即通项为展开式的第 k十1项：T+1=C·a"-t·b. 2.二项展开式形式上的特点 (1)项数为n十1； (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n; (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n; (4)二项式系数从C、C…一直到C、C 3.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C=C””: (2)增减性与最大值：二项式系数C: ①当<”时，二项式系数是递增的.当>1 2时，二项式系数是递减 的； ②当n是偶数时，中间的一项C取得最大值， 当n是奇数时，中间两项C,和C。相等，且同时取得最大值. (3)各二项式系数的和： ①(a十b)”的展开式的各个二项式系数的和等于2"，即C”+C十…十 C+…十C”=2”. ·7 ②二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的 和，即：C+C+C+…=C+C++C+…=2- [例5](1)已知m.x- 的展开式中x3的系数为15，则m的值为 A.-1或1 B.1或2 C.3 D.5 (2)1+x+x)·(x-】 的展开式中的常数项为 ( A.-5 B.10 C.15 D.20 (1)A (2)A解析 (1)T+1=C·(mx).(-x)=(-1) m4x6=0126.由6-3k=3得及=2 ∴.(-1)·mt·C=m·C号=15→m=±1. 2e-) 的通项公式为T4+1=C哈·(-1)·x5-张，k=0,1,2,…,6, 常数项为6一2k=0或6一2k=一1（舍）或6一2k=一2， 当k=3时，T,=-C=-20,当k=4时，T5=C=15, 因此常数项为一20十15=-5. [例6]已知(1-2x)7=a。十a1·x十a2·x2+…十a,·x,求： (1)a1十a2十…十a:: (2)a1十ag十as十ax； (3)a。+a2十a4十a6； (4)lao|+a1|+|a2|+…+la,l. 解令x=0则a。=1①： 令x=1则a。十a1十a2十a3十a4十as十a6十a,=-1②： 令x=-1则an-a1十a,-a,十a,-a5十a6-a,=3③： (1)②-①得：a1十a2+…十a,=-2. (2)(@-③)÷2得：a,十a,+a,+a,=-1-3 =-1094. 2 (3)(②十③)÷2得：a。十a2十a,十a6= -1+3 =1093. 2 (4)|ao|+a1|+la2+…+|a,|=(a。+a2十a,十a6)-(a1+a3十as+ a,)=2187. ·8·