单元提升卷1 计数原理-【百汇大课堂·高中学习测试卷】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

单元提升卷一计数原理 二，远释题：衣抛并3小直，每个宽后分，共18分，在每小则危出的进项中，有多项符合息日要求，企可 (时屏：12如块钟满分，150分) 造对的得5分，那分去对的得第分分，有这帽的得0分， 一，进舞题：本想共8小形，每小题5分，共40分，在每小题始出岭四个选项中，开有一项是势合抛日 9,下列等式中，正确的是 要承的 1.在2,35,7,11这五个数字中，任取两个数字细战分数，其中分子大于分的假分散的个数为() 人n-Da-2刘 A->m) A.20 且10 C5 D.24 C,(m+1)A=A nG-智 2.(创新随)我们把各攸数字之和为4的四位数称为“六限数”（如123的，2022），期首位为8的“六顺 数“共有 1Q.税有4个小球和4个盒子，下面说边正确的是 ( A.18个 R12个 C.10个 D.7个 A.将4个小球故入编号为1,2,3,4的盒子中，期共有24种放法 B将4个小球成人编号为12,3,4的盒子中，且怡有两个空盒的放法共有]8种 8.年果(x2- 的展开式中只有第《项的二原式系数最大，那么暖开式中的所有项的系数和是 C,将4个小城或入细号为1,2,3,4的盒子中，且恰有-一个空金的放法共有144种 D将编号为1,2,3,4的小球放人偏号为1,2,3,4的盒子中，授有一个空意，但小球的编号和盒千 A.0 B256 C64 A品 的编号全不相同的戴法共有9种 4,校运会期同，要安排4名志层者参加酰高，就运，接力赛3个项日的禄障工作，要求每个可日至夕安 11定久周排列：从带个不同元素中选两个觉素围成一个圆越，称为周排列，斯有图蜂列的方达数 初 排】名志题者，梯名志愿者只参如1个项日，则所有不司的查排方案共有 计为化.圆招列是指列的一种，区别于道意的直线捧到“，慨无头~血无尾“，南以比一二观 A,18种 且24 C36种 D.48种 怎与(：+-八的展开式中含：项的系致为 有2个女生4个男生兵日名可学丽坐成一酒，做击鼓传花的游戏，则 A,共有H出种排法 A,12 B-12 C.24 D-24 且.若两名女坐相邻，则有2日种锋法 五，现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区斯静，由于是第的任季，勉们在景民尉近订南 C若两名女生不相包，共有4H种排法 了一案酒店的5间风格不同的园，并约定每个房间都要任人，但最多住2人，男女不同任一个房 D若男生甲位盟器定，则有5H代种振 同，则女生甲和女生乙恰好住在同一可房的短毕是 三，填空题：本规先3小巍，每小鹰5分，共15分， c 12,已知（近-）'的陵开式中常数项为12，期实数。的值为 了，我国南宋数学家杨舞所吾的（详解九章算术）一书中，用如 图的数表列出了一能正整数在三角形中的一种几何排列， 13,〔创制题)对于数学1,2,3,4,56，现组成一个四位数，该四位数湖足四个位置的数学均不相可，且 皆释杨挥三角形“，若将这些数字依次指列肉成数列1,1， 清足奇数国数相并分布（甲假设千位上的数是奇数，则百位上的数是锅数，十位上的数是奇数，个 11,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,…,则此数列的第2020项为 位上的数是偶数，同理，千位上的数晶属数，期百位上的数是奇数，以此类推》，则德图成上述要求 的四位数的个数为 A,C喝 & 14,四根绳子上具挂有10只气球，绳子上的气球数依次为1,2,3.4，每枪只能打破一只气球，有且观 C.Ch D.Ch 国)(（ 定只有打破下面的气球才能打上面的气球，别将这些气球辄打陵的不同打法种数是 &,为配合国家精准扶黄”战略，某省农业厅聚出6名农业技 术专家(4男2女)分成两组，到该省两个赘困县参加找能工 ●●● 作，著要求女专家不单孩成组，且解组至多4人，则不同的 选餐方案共有 ● A,48种 且68静 C38种 D,34静 57 58 四、解答题：木圆共5小简，共了了分，解花宁尊出文字礼明，证明过极减流算参豫 15.(13分)某文艺小组有20人，其中台码歌的有14人，会跳辉的有10人，从中选出会用歌与合铺具 1级？分尼知2红十之厂的凝开大中第3项的二项式系意与第金项的二列系数的比为5：之 的各1人参加就出，且：会码歌又会院舞的至多蓬1人，有多少种不同的选法？ 1》求n的值： (2》求展开式中含x的项的裂数。 《3》投a=3”十C3十C+…十G'3,则当=2024时，求a殿以15街得含数. 16.(15分)（斜新题》如图，已如图形A1CDEF的内军连有线段. (1)由点A沿看图中的线段到达点E的最置路线有多少条？ 《2)山点A沿看图中的线段到达点C的最近路线有多少条？ 19.《17分)我有4名男生和3名女生， (3》图中总共有多少个矩形？ 《1》若萱撸这7名学生站或一排凰相，要果3名女生豆不相部，这样的排法有多少种？ (2)若意请这了名学生中的4名参相一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求意请的方法 种数： (3》若将这？名学生全部安排到5个备进工厂中的4个工厂参加粉期社会实慢活动，要求多名女 生必溪安推在同一个工厂，求这样安排的方法其有多少种子 17.(15分)5个男阿学和4个女同学站成一排， 1)4个女到学必溪站在一配，有多少种不同的排法？ (2)任何两个女可学技此不相第，有多少种不同的排法？ (3)其中甲，乙两同学之间色溪有3人，有多少种不同的排法中 (4》男生和女生相闻带列方法有多少种？ 910.ABC解析：只有X≥6.635时才能在犯错误的概 所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在 率不超过0.01的前提下认为该电视栏目是否优秀 地区有关系， 与改革有关系，而即使X≥6.635也只是对“该电 (3)从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程 视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可 度为“非常喜欢”的概率为 能性大小的推论，与是否有99%的人等无关.故A, 碧号，从A治区随机抽 B,C不正确.由于X2=0.99<2.706,故D正确. 取3人，则X~B3,号)，X的所有可能取值为0， 11.0.001解析：由题意，X=70×(5×10-15×40)2 20×50×45×25 1,2,3, 18.822>10.828,由P(X2≥10.828)≈0.001，则在 则Px=0)=()'=7P(X=1)=G(号) 犯错误的概率不超过0.001的前提下认为x与y 之间有关系 ()》°-号，P(x=2)=c()'()=÷P(x 12.45,50,55,60,65解析：设男生有x人，由题意可 得2×2列联表如下： 3-(》-品 喜欢 不喜欢 合计 所以X的分布列为 X 0 1 3 男生 1 2 5 5 2 8 3 女生 2 27 9 2 2 8 7 方法1：E(X)=0 +2× +3× 合计 3 2x 27+1X 9 27 52 5 =2. 若有95%的把握但没有99%的把握认为是否喜欢 网络游戏和性别有关，则3.841≤X2<6.635,X2= 方法2：E(X)=np=3X 32. 2(… 1318 5x》 单元提升卷一计数原理 73 27t, 5x5x·x·x 1.B解析：分子大于分母的假分数，以2为分母的有4 个；以3为分母的有3个；以5为分母的有2个；以7 3.841≤元<6.635，解得40.3≤x<69.7,又7 为分母的只有1个.由分类加法计数原理知，共有4 为5的整数倍，所以被调查的学生中男生可能人数 +3+2+1=10(个). 为45,50,55,60,65. 2.C解析：首位为3，其余3个数字的和为3，有111， 13.解：1)由题意得0=0.35，解得x=35, 012,003三种，分别计算可得“六顺数”个数为1十A +A-10. 所以应从A地抽取30× 20 100 一6（人），从B地抽取 3.D解析：因为展开式中只有第4项的二项式系数最 大，所以n=6.令x=1,则展开式中所有项的系数和 35×10 0 7(人). -》-4 (2)完成表格如下： 4.C解析：将4名志愿者分为3组，各组人数分别为 非常喜欢 喜欢 合计 2、1、1,则有C种方法，再将这3组志愿者分配给3 A 30 15 45 个项目，共有A种方法，由分步乘法计数原理可知， 共有CA?=36种不同的安排方案. B 35 20 55 合计 65 35 100 5.B解折：(x+士-2)°-（一2+ 零假设为H。:观众的喜爱程度与所在地区无关. =（x-1)2 X2= 100(30×20-35×15)2 100 65×35×45×55 =1001 ≈0.1< 则二项式(x一1)2的展开式的通项公式为T,+1= 3.841, C2x2-r(-1)'-(-1)·C12x12- ·26· 当r=1,此时T2=(-1)×C2x1=-12x”, 小球，共有C·(A+1)=18种放法，故B正确；对 比时可得么》展开式中舍x项的系数为-12， 于C,若将4个小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，且 恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒 6.C解析：3名女生需要住2个房间或3个房间. 若3名女生住2个房间，则不同的方法种数 子中放2个小家，共有C.C,G:C·八=14种 A号 为CCA; 放法，故C正确；对于D,若将编号为1,2,3,4的小 若3名女生住3个房间，则不同的方法种数为 球放入编号为1,2,3,4的盒子中，没有一个空盒， CIAL. 但小球的编号和盒子的编号全不相同，用(2,1,4， 其中，女生甲和女生乙恰好住在同一间房的方法种 3)代表编号为1,2,3,4的盒子中放入的小球编号 数为CA, 分别为2,1,4,3，列出所有符合要求的情况：(2,1， 所以女生甲和女生乙恰好住在同一间房的概率是 4,3),(4,1,2,3),(3,1,4,2),(2,4,1,3),(3,4,1, CiAS 2 2),(4,3,1,2),(2,3,4,1),(3,4,2,1),(4,3,2,1), CCHA+CA: 7 共有9种放法，故D正确. 7.A解析：由“杨辉三角形”可知：第一行1个数，第二 11.ABD解析：对于A:现有2个女生4个男生共6名 行2个数，…，第n行n个数， 同学围坐成一圈，共有6 =H种排法，A选项 所以前n行共有：nm,十1卫，当=63时，63(63+1) 2 2 正确； =2016,所以第2020项是第64行的第4个数字， 对于B:若两名女生相邻，则 即为C8: AA=2H种排法， 8.A解析：根据题意，分2种情况讨论：①分为3,3的 B选项正确； 丙组时，不会出现雨名女专家单独成组情况，有心 A 对于C:若两名女生不相邻，共有4 =12H种排 种分组方法，再对应到两个贫困县参加扶贫工作，有 法，C选项错误； A矜情况，此时共有2C=20种安排方式.②分 对于D:若男生甲位置固定，考虑以甲为基准的顺 逆时针排列，则有A=5H种排法，D选项正确. 为2,4的两组时，有C%C号=15种分组方法，其中有1 种两名女专家单独成组情况，则有14种符合条件的 12.±1 解析：由于（沉-2织）”晨开式的通项公式为 分组方法，再对应到两个贫困县参加扶贫工作，有 A种情况，此时共有14×A=28种安排方式.综 T=Gda)(-)-G(-2ay. 上，共有20十28=48种安排方法. 9.AC解析：对于A,7nnn-1D0a-2》…X1=a 令8,1-r=0,求得r=2, 3 'n(n-1) n(n-1) 可得它的展开式的常数项是C(一2a)2,再根据展 一2)！，故A正确； 开式中的常数项是112， 对于BA”片>m改B维溪： 可得C号(-2a)2=112,求得a=士1. (n+1)! 13.72解析：若千位上的数是奇数，则百位上的数是 对于C,(n+1DA=m-m)川=n+1-m十D 偶数，十位上的数是奇数，个位上的数是偶数，有3 A,故C正确； ×3×2×2=36(个)符合要求的四位数；反之，若千 对于D,C-am点放D智民 A 位上的数是偶数，则百位上的数是奇数，十位上的 10.BCD解析：对于A,若将4个小球放入编号为1， 数是偶数，个位上的数是奇数，有3×3×2×2=36 2,3,4的盒子中，则共有4=256种放法，故A错 (个)符合要求的四位数，则共有36+36=72（个）符 误；对于B,若将4个小球放入编号为1,2,3,4的盒 合要求的四位数 子中，且恰有两个空盒，则一个盒子中放3个小球， 14.12600解析：问题等价于编号为1,2,3，…，10的 另一个盒子中放1个小球或两个盒子中均放2个 10只气球进行排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9， ·27· 10号的排列顺序是固定的，如图，据此可得，将这些： 17.解：(1)4个女同学必须站在一起，则视4位女生为 气球都打破的不同打法种数是 Aio 一整体，可得排法种数为AA=17280. AAA =12600. (2)先排5个男同学，再插入女同学即可，所以排法 种数为AA=43200. ①)(3(610 (3)甲、乙两人先排好，有A种排法；再从余下的7 ②⑤⑨ 个人中选3个人排在甲乙中间，有A?种排法：把已 ④(8 排好的5个人视为一个整体，与最后四个人再排 ⑦ 列，有A种排法，可得排法种数为AAA= 15.解：易知既会唱歌又会跳舞的有4人，只会唱歌的 50400. 有10人，只会跳舞的有6人.第1类，首先从只会唱 (4)5个男生中间有4个空，插入女生即可，故有排 歌的10人中选出1人，有10种不同的选法，从会跳 法种数AA=2880. 舞的10人中选出1人，有10种不同的选法，共有 2 10×10-100种不同的选法；第2类，从既会唱歌又 会跳舞的4人中选1人，再从只会跳舞的6人中选 ≠0，故n=6. 1人，共有4×6=24种不同的选法.由分类加法计 ②)由.(2x+2)广=(2x+)”, 数原理知，共有100+24=124种不同的选法. 16.解：(1)由题意知，点A沿着题图中的线段到达点E 共展开式的道项公式T1=CG(2x)一(2广 的最近路线需要向右移动3次，向上移动3次，故 点A到达点E的最近路线的条数为CC=20. C·23x,r=0,1,2,…,6,◆6-3 (2)设点G、H、P的位置如图所示： =2,解得r=3,则C。·2·33=4320,故展开式中 D 含x8的项的系数为4320. (3)当n=2024时，a=3"+C13"-1十C23-2+…十 H C-13=(3+1)2024-1=42024-1, 点A沿着图中的线段到达点C的最近路线可分为 42024-1=1612-1=(15+1)1012-1 4种情况： =C8o2151o2+Coz151o+…+C8115+C8i竖- ①沿着A→E→C,共有CCC号=60条最近路线： 1=C9o2l5102+Co2151o1+…+C815, ②沿着A→G→C(不经过E),共有CCC!=30条 而C02151o12+C12151o1+…+C815能够被15 最近路线： 整除， ③沿着A→H→C(不经过G),共有CC=16条最 故a除以15所得余数为0. 近路线； 19.解：(1)由题意可知：运用插空法，可得共有排法数 ④沿着A→P→C(不经过H),共有C=5条最近 为A·A=1440种. 路线。 (2)由题意可知：邀请这7名学生中的4名参加一 故由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有 项活动共有C种方法，男生甲和女生乙同时参加 60+30+16+5=111(条). 的方法有C号种，则共有邀请方法数为C一C= (3)可从竖线中选出两条，从横线中选出两条，确定 25种. 矩形左右两边和上下两边所在位置进而确定矩形， (3)有两类不同情形： 可分为两种情况： ①先选4个工厂，将3名女生和1名男生安排在同 ①矩形的一条边不在CD上，共有CC?=90个 一个工厂，其余3名男生分别在另外三个工厂，一 矩形： 厂安排一人，其方法数为CA=480种； ②矩形的一条边在CD上，共有CC=12个矩形. ②先选4个工厂，将3名女生安排在一个工厂，4名 故共有90+12=102个矩形. 男生安排在另外三个工厂，有一厂两人，另外两厂 ·28 各一人，其方法数为 CCCA=720种.所以共有 由E(51)<E(2)→1-p1<1-p2→p1>p2,因为0 A号 480+720=1200种不同的安排方法. <p,<分i=1,2,通数y=z1-x)在(0，）上单 调递增，所以D()>D(2). 单元提升卷二条件概率及全概率公式 7.A解析：令X=k表示前k个球为白球，第k十1个 离散型随机变量的分布列、数字特征 球为红球， 1.D解析：解法一：设第1次抽到白球为事件A,第2 次取到的是黑球为事件B,则n(A)=CC=27, 此时P0X=0)=号-日，PX=D=言×号-言 n(AB)=CC=21,所以P(B1A)=nCAB)=21 n(A)27 px-2》-音xgx号- 则P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 解法二：盒中共有10个球，其中3白、7黑，在第一次 ++日 取到白球的条件下，盒中还有2白、7黑共9个球，从 8.C解析：由题意得X的可能取值为0,1,2， 中任取一球，取到黑球的概率为P=9 7 P0X=0-岁-号Px=1)-- 33 2.A解析：设事件A为“王华拿到的两个青团子为同 一种馅”，事件AB为“两个青团子都为肉馅”，则事 Px=0--号E)=0x号+1x号+x 件A包含的样本点的个数为n(A)=1十C=4,事 号-8Dx)=(0-8》×号+(1-8)》×号+ 件AB包含的样本点的个数为n(AB)=1,所以 P(BIA)=n(AB)1 (e-g》八xg器 n(A)-4 3.A解析：记小孔同学周一去食堂一楼为事件A,周 Y的可能取值为1,23，PY=1D=P(X=2)= 二去食堂一楼为事件B,则本题所求P(AIB)= P(B|A)·P(A) PY=2)=P(X=D=号，P(Y=3)=P(X=0) P(BA)·P(A)+P(BA)·PA 2 3 B=1Xg+2x号+x号-吕Dn=(1- 4A解折：由题宠得a(分++十日)=1a=号 9》×号+(×号+(3x号-盟 ∴.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y). 5.D解析：设A1=“李先生骑自行车上班”，A2=“李 先生坐公交车上班”，B=“李先生准时到达单位”，根 9.ABD解析：对于A,因为)十m十n十号=1，所以 据题意得，P(A1)=0.6,P(A2)=1-0.6=0.4, 2 P(B|A1)=0.95,设P(B|A2)=m,则P(B)= m十n=3,故A正确：对于B,P(X<2)=1- P(A1)P(B|A,)+P(A2)P(B|A2)=0.6X0.95+ 0.4m=0.93,解得m=0.9. PCX≥2》=1-号-号放B正确：对于C,因为m= 6.B解析：由题知变量气1,52的分布列均为两点分布. 日，所以m=号，所以E0X)=-2X号+(-1Dx号 变量51,2的分布列如下： 0 1 0 +1Xg+2X号-号放C号误对于D,P(X=1D P 1-pP P: 1一p =P(X=-1)+P(X=1)=m+n= 3,P(X2=4) 则E(61)=1一p1,E(2)=1一p2,D(6)=p1(1 p),D(2)=p2(1-p2）, =P(X=-2+P(X=2)=号 ·29·