第1章 1.5.2 数量积的坐标表示及其计算-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（湘教版2019）

1.5.2 第1章 <<< 数量积的坐标表示及其计算 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能运用数量积的坐标表示计算两个向量的夹角和模，会利用数量积的坐标运算判断向量垂直. 学习目标 同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？ 导 语 一、数量积的坐标运算 二、向量的长度(模)的计算 课时对点练 三、向量的夹角及垂直问题 随堂演练 内容索引 数量积的坐标运算 一 提示　e1·e2=0，e1·e1=1，e2·e2=1. ∵a=x1e1+y1e2，b=x2e1+y2e2， ∴a·b=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2)=x1x2+x1y2e1·e2+x2y1e2·e1+y1y2. 又∵=1，=1，e1·e2=e2·e1=0， ∴a·b=x1x2+y1y2. 设e1，e2是相互垂直的单位向量，组成平面的一组基，你能计算出e1·e2，e1·e1，e2·e2的值吗？若设非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？ 问题 设非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， 则a·b=(x1，y1)·(x2，y2)= .这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和. x1x2+y1y2 知识梳理 　若向量m=(2，-1)，n=(3，2)，则(2m+3n)·(m-n)等于 A.-25　 B.25　 C.-19　 D.19 例 1 √ 因为向量m=(2，-1)，n=(3，2)， 所以2m+3n=(4，-2)+(9，6)=(13，4)， m-n=(-1，-3)， 所以(2m+3n)·(m-n)=(13，4)·(-1，-3)=13×(-1)+4×(-3)=-25. 8 (1)已知向量的坐标进行数量积运算时，要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2. (2)在运算的过程中，我们可以有两种方式，一种是先把各向量用坐标表示出来，再进行数量积的运算；另一种是先利用数量积的运算律将原式展开，再用坐标逐个计算其中的未知量. (3)常用的运算律有： ①(a+b)·(a-b)=a2-b2； ②(a±b)2=a2±2a·b+b2. 反 思 感 悟 9 　已知a=(1，1)，b=(2，5)，c=(3，x)，若(8a-b)·c=30，则x等于 A.6　 B.5　 C.4　 D.3 跟踪训练 1 √ 由题意可得，8a-b=(6，3)， 又(8a-b)·c=30，c=(3，x)， ∴18+3x=30，解得x=4. 10 二 向量的长度(模)的计算 1.若a=(x，y)，则|a|==__________. 2.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a=(x2-x1，y2-y1)，|a|=. 知识梳理 12 　已知向量a=(2，4)，b=(1，n)，若a∥b，则|3a-nb|等于 A.4　 B.12　 C.8　 D. 例 2 √ 因为向量a=(2，4)，b=(1，n)，且a∥b， 所以2n=1×4，解得n=2， 所以3a-nb=3(2，4)-2(1，2)=(4，8)， 所以|3a-nb|==4. 13 反 思 感 悟 求模问题一般转化为求模的平方，即a2=|a|2=x2+y2，求模时，勿忘记开方. 求向量a=(x，y)的模的常见思路及方法 已知向量a=(2，m)，b=(3，6)，若|3a+b|=|3a-b|，则实数m的值为 A.1　 B.-1　 C.4　 D.-4 跟踪训练 2 √ 已知向量a=(2，m)，b=(3，6)， 则3a+b=(9，3m+6)，3a-b=(3，3m-6)， 由|3a+b|=|3a-b|可得=，解得m=-1. 15 向量的夹角及垂直问题 三 设a，b都是非零向量，a=(x1，y1)，b=(x2，y2). (1)cos〈a，b〉==_____________________. (2)a⊥b⇔a·b=0⇔ . x1x2+y1y2=0 知识梳理 17 (1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆. (2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，两向量夹角的余弦值小于0的夹角不一定是钝角. 注 意 点 <<< 18 　(1)已知a=(4，3)，b=(-1，2). ①求a与b夹角的余弦值； 例 3 因为a·b=4×(-1)+3×2=2， |a|==5，|b|==，设a与b的夹角为θ，所以cos θ ===. 19 ②若(a-λb)⊥(2a+b)，求实数λ的值. 因为a-λb=(4+λ，3-2λ)，2a+b=(7，8)， 且(a-λb)⊥(2a+b)， 所以7(4+λ)+8(3-2λ)=0，解得λ=. 20 (2)已知向量a=(-2，1)，b=(1，k)，且a与b的夹角为钝角，则实数k的取值 范围是　 　　　.  当a与b共线时，-2k-1=0，k=-，此时a与b反向，夹角为180°，要使a与b的夹角为钝角， 则有a·b<0，且a与b不反向，即k≠-. 由a·b=-2+k<0得k<2， 所以实数k的取值范围是∪. ∪ 21 反 思 感 悟 (1)求解方法：由cos θ==直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ=判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 解决向量夹角问题的方法及注意事项 　(1)已知向量a=(1，)，b=(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于 A.2　 B.　 C.0 　D.- 跟踪训练 3 √ 因为a=(1，)，b=(3，m).所以|a|=2，|b|=，a·b=3+m， 又a，b的夹角为=cos =+m =， 解得m=. 23 (2)若平面向量a=(1，x)，b=(2x+3，-x)，且a⊥b，则|a-b|=　　　　.  10或2 24 ∵a=(1，x)，b=(2x+3，-x)， 且a⊥b，∴a·b=0， ∴1×(2x+3)-x2=0，即(x+1)(x-3)=0， 解得x=-1或x=3， 当x=-1时，a=(1，-1)，b=(1，1)， 则a-b=(1-1，-1-1)=(0，-2)，|a-b|===2； 当x=3时，a=(1，3)，b=(9，-3)， 则a-b=(1-9，3+3)=(-8，6)，|a-b|===10， 综上可知，|a-b|=10或2. 25 1.知识清单： (1)平面向量数量积的坐标表示. (2)向量的长度(模)的计算. (3)向量的夹角及垂直问题. 2.方法归纳：化归与转化. 3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错. 课堂小结 随堂演练 四 1.若向量a=(x，2)，b=(-1，3)，a·b=3，则x等于 A.3　 B.-3　 C.　 D.- a·b=-x+6=3，故x=3. √ 1 2 3 4 2.已知a=(-5，5)，b=(0，-3)，则a与b的夹角为 A.　 B.　 C.　 D. ∵|a|=5，|b|=3，a·b=-15， ∴cos〈a，b〉===- . 又∵a与b的夹角范围为[0，π]， ∴a与b的夹角为. √ 1 2 3 4 3.若平面向量a=(1，-2)与b的夹角是180°，且|b|=3，则b等于 A.(-3，6) B.(3，-6) C.(6，-3) D.(-6，3) 由题意，设b=λa=(λ，-2λ)(λ<0)， 则|b|==|λ|=3， 又λ<0，∴λ=-3， 故b=(-3，6). √ 1 2 3 4 4.若向量a=(-1，k)，b=(3，1)，且a+b与a垂直，则实数k的值为　　　　.  因为向量a=(-1，k)，b=(3，1)， 则a+b=(2，k+1). 因为a+b与a垂直， 所以(a+b)·a=-1×2+k(k+1)=0， 解得k=1或k=-2. 所以，实数k的值为1或-2. 1 2 3 4 1或-2 课时对点练 五 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A B D BC D C (2，4)　 题号 8 11 12 13 14　 15 答案 ±3 ACD A ABC -1 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 9. (1)因为向量a=(1，2)，b=(x，1)， 所以a+2b=(1，2)+2(x，1)=(2x+1，4)， 2a-b=2(1，2)-(x，1)=(2-x，3)， 因为(a+2b)⊥(2a-b)， 所以(a+2b)·(2a-b)=0， 所以(2x+1)(2-x)+4×3=0， 即2x2-3x-14=0， 解得x=-2或x=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 9. (2)因为向量a与向量b的夹角为锐角， 所以a·b>0，且向量a与向量b不共线， 所以 解得x>-2且x≠， 所以x的取值范围为∪. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 10. (1)因为向量a=(1，)，b=(-2，0)， 所以a-b=(1，)-(-2，0)=(3，)， 设a-b与a之间的夹角为θ， 所以cos θ====. 因为θ∈[0，π]，所以向量a-b与a的夹角为. (2)因为|a|=2，|b|=2，a·b=-2， 所以|a-tb|2=a2-2ta·b+t2b2=4t2+4t+4=4+3. 易知当t∈[-1，1]时，|a-tb|2∈[3，12]，所以|a-tb|的取值范围是[，2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. (1)∵=++=(x+4，y-2)， ∴=-=(-x-4，2-y). 又∥，且=(x，y)， ∴x(2-y)-y(-x-4)=0， 即x+2y=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. (2)=+=(x+6，y+1)，=+=(x-2，y-3). ∵⊥，∴·=0， 即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0. 由(1)知x+2y=0，与上式联立，化简得y2-2y-3=0，解得y=3或y=-1. 当y=3时，x=-6，此时=(0，4)，=(-8，0)， ∴S四边形ABCD=||·||=16； 当y=-1时，x=2，此时=(8，0)，=(0，-4)； ∴S四边形ABCD=||·||=16. 综上，四边形ABCD的面积为16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1.若a=(-1，2)，b=(2，3)，则(2a-b)·b等于 A.-5　 B.5　 C.-6　 D.6 因为a=(-1，2)，b=(2，3)， 所以(2a-b)·b=(-4，1)·(2，3)=-4×2+1×3=-5. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 2.平面向量a与b的夹角为60°，a=(2，0)，|b|=1，则|a+2b|等于 A.　 B.2　 C.4　 D.12 ∵a=(2，0)，|b|=1， ∴|a|=2，a·b=|a||b|cos〈a，b〉=2×1×cos 60°=1. ∴|a+2b|==2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.(2024·新课标全国Ⅰ)已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b-4a)，则x等于 A.-2　 B.-1　 C.1　 D.2 因为b⊥(b-4a)， 所以b·(b-4a)=0， 所以b2-4a·b=0， 即4+x2-4x=0，解得x=2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4.(多选)设向量a=(2，0)，b=(1，1)，则 A.|a|=|b| B.a与b的夹角是 C.(a-b)⊥b D.与b同向的单位向量是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 因为a=(2，0)，b=(1，1)，所以|a|=2，|b|=，故A错误； 因为cos〈a，b〉===，〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角是，故B正确； 因为(a-b)·b=(1，-1)·(1，1)=1-1=0，所以(a-b)⊥b，故C正确； 与b同向的单位向量是，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5.已知向量a=(1，2)，b=(2，-3)，若向量c满足(c+a)∥b，c⊥(a+b)，则c等于 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 设c=(m，n)，则a+c=(1+m，2+n)， 对于(c+a)∥b，有-3(1+m)=2(2+n). ① 又c⊥(a+b)，a+b=(3，-1)， ∴3m-n=0. ② 联立①②，解得m=-，n=-. 故c=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6.已知向量a，b，c，其中a+b=0，且a+c=b，a-c=(3，-3)，则a·b等于 A.-　 B.　 C.-2　 D.2 设a=(x，y)，由a+b=0， 得b=(-x，-y). 因为a+c=b，则c=(-2x，-2y)，a-c=(3x，3y)=(3，-3)，故x=1，y=-1.故a·b=1×(-1)+(-1)×1=-2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 7.已知向量a=(1，2)，|b|=2，a∥b，且a与b方向相同，那么b=　　　　，|a-b|=　　　.  因为向量a=(1，2)，且a与b方向相同， 所以可设b=(a，2a)(a>0). 又|b|=2， 所以=2，解得a=2(负值舍去)， 所以b=(2，4). 因为a-b=(-1，-2)， 所以|a-b|=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2，4) 答案 8.设向量a=(3，3)，b=(1，-1)，若(a+λb)⊥(a-λb)，则实数λ=　　　.  因为(a+λb)⊥(a-λb)， 所以(a+λb)·(a-λb)=0， 因为a=(3，3)，b=(1，-1)， 所以a+λb=(3+λ，3-λ)，a-λb=(3-λ，3+λ)， 所以9-λ2+9-λ2=0，解得λ=±3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ±3 答案 9.已知向量a=(1，2)，b=(x，1). (1)若(a+2b)⊥(2a-b)时，求x的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为向量a=(1，2)，b=(x，1)， 所以a+2b=(1，2)+2(x，1)=(2x+1，4)，2a-b=2(1，2)-(x，1)=(2-x，3)， 因为(a+2b)⊥(2a-b)， 所以(a+2b)·(2a-b)=0， 所以(2x+1)(2-x)+4×3=0， 即2x2-3x-14=0， 解得x=-2或x=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若向量a与向量b的夹角为锐角，求x的取值范围. 因为向量a与向量b的夹角为锐角， 所以a·b>0，且向量a与向量b不共线， 所以 解得x>-2且x≠， 所以x的取值范围为∪. 答案 50 10.已知向量a=(1，)，b=(-2，0). (1)求a-b的坐标以及a-b与a之间的夹角； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为向量a=(1，)，b=(-2，0)， 所以a-b=(1，)-(-2，0)=(3，)， 设a-b与a之间的夹角为θ， 所以cos θ====. 因为θ∈[0，π]，所以向量a-b与a的夹角为. 答案 (2)当t∈[-1，1]时，求|a-tb|的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为|a|=2，|b|=2，a·b=-2， 所以|a-tb|2=a2-2ta·b+t2b2=4t2+4t+4=4+3.易知当t∈[-1，1]时，|a-tb|2∈[3，12]，所以|a-tb|的取值范围是[，2]. 答案 11.(多选)已知点A(1，2)，B(5，2)，C(k，4)，若△ABC为直角三角形，则k的可能取值为 A.1　 B.2　 C.3　 D.5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，=(4，0)，=(k-5，2)，=(k-1，2). 若B为直角，则·=(4，0)·(k-5，2)=4(k-5)=0，解得k=5； 若A为直角，则·=(4，0)·(k-1，2)=4(k-1)=0，解得k=1； 若C为直角，则·=(k-5，2)·(k-1，2)=(k-1)(k-5)+4=k2-6k+9=0，解得k=3. 答案 12.已知A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p=(sin A，1)，q= (1，-cos B)，则p与q的夹角是 A.锐角　 B.钝角　 C.直角　 D.不确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为△ABC是锐角三角形，所以A+B>， 即0<-B<A<， 又因为函数y=sin x在上单调递增， 所以sin A>sin=cos B， 所以p·q=sin A-cos B>0， 设p与q的夹角为θ，所以cos θ=>0， 又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.(多选)如图，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=1，则下列结论中正确的是 A.∥ B.·=- C.+=- D.||= √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图2知，在正八边形ABCDEFGH中，中心角为45°， 故以点O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 故A(0，-1)， B， C(1，0)，D，E(0，1)，F. 对于A，==， 满足×-×=-=0，所以∥，故A正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于B，=(0，-1)，=·=-，故B正确； 对于C，=(0，-1)，=(1，0)，=+= (1，-1) =-=-，故C正确； 对于D，=，所以||=， 故D错误. 答案 14.已知向量a=(1，1)，b=(1，m).若∀λ∈(0，+∞)，(a+λb)⊥，则m=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -1 答案 因为(a+λb)⊥，所以(a+λb)·=0. 因为a+λb=(1，1)+λ(1，m)=(1+λ，1+λm)， a-b=(1，1)-(1，m)=， 由(1+λ，1+λm)·=0 ⇒(1+λ)+(1+λm)=0 ⇒(1+m)=0， 因为上式对任意λ∈(0，+∞)都成立，所以1+m=0⇒m=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 拓广探究 15.(多选)定义一种向量运算“⊗”：a⊗b=(a，b是任意的两个向量).对于同一平面内的向量a，b，c，e，则下列结论一定正确的有 A.a⊗b=b⊗a B.λ(a⊗b)=(λa)⊗b(λ∈R) C.(a+b)⊗c=a⊗c+b⊗c D.若e是单位向量，则|a⊗e|≤|a|+1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 当a，b不共线时，a⊗b=a·b=b·a=b⊗a，当a，b共线时，a⊗b=|a-b|=|b-a|=b⊗a，故A正确； 当λ=0，b≠0时，λ(a⊗b)=0，(λa)⊗b=|0-b|≠0，故B错误； 当a+b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a+b)⊗c=|a+b-c|，a⊗c+b⊗c=a·c+b·c，显然|a+b-c|≠a·c+b·c，故C错误； 当e与a不共线时，|a⊗e|=|a·e|<|a|·|e|=|a|<|a|+1，当e与a共线时，设a=ue(u∈R)，则|a|=|ue|=|u|，|a⊗e|=|a-e|=|ue-e|=|u-1|≤|u|+1=|a|+1，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.已知向量=(6，1)，=(x，y)，=(-2，-3). (1)若∥，求x与y之间的关系式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵=++=(x+4，y-2)， ∴=-=(-x-4，2-y). 又∥=(x，y)， ∴x(2-y)-y(-x-4)=0， 即x+2y=0. 答案 (2)在(1)的条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =+=(x+6，y+1)， =+=(x-2，y-3). ∵⊥，∴·=0， 即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0. 由(1)知x+2y=0，与上式联立，化简得y2-2y-3=0， 解得y=3或y=-1. 当y=3时，x=-6，此时=(0，4)，=(-8，0)， 答案 66 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴S四边形ABCD=||·||=16； 当y=-1时，x=2，此时=(8，0)，=(0，-4)； ∴S四边形ABCD=||·||=16. 综上，四边形ABCD的面积为16. 答案 67 第一章 <<< $$ 1.5.2　数量积的坐标表示及其计算 [学习目标]　1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能运用数量积的坐标表示计算两个向量的夹角和模，会利用数量积的坐标运算判断向量垂直. 导语 同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？ 一、数量积的坐标运算 问题　设e1，e2是相互垂直的单位向量，组成平面的一组基，你能计算出e1·e2，e1·e1，e2·e2的值吗？若设非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？ 提示　e1·e2=0，e1·e1=1，e2·e2=1. ∵a=x1e1+y1e2，b=x2e1+y2e2， ∴a·b=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2) =x1x2+x1y2e1·e2+x2y1e2·e1+y1y2. 又∵=1，=1，e1·e2=e2·e1=0， ∴a·b=x1x2+y1y2. 知识梳理 设非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， 则a·b=(x1，y1)·(x2，y2)=x1x2+y1y2.这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和. 例1　若向量m=(2，-1)，n=(3，2)，则(2m+3n)·(m-n)等于(　　) A.-25　B.25　C.-19　D.19 答案　A 解析　因为向量m=(2，-1)，n=(3，2)， 所以2m+3n=(4，-2)+(9，6)=(13，4)， m-n=(-1，-3)， 所以(2m+3n)·(m-n)=(13，4)·(-1，-3)=13×(-1)+4×(-3)=-25. 反思感悟　(1)已知向量的坐标进行数量积运算时，要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2. (2)在运算的过程中，我们可以有两种方式，一种是先把各向量用坐标表示出来，再进行数量积的运算；另一种是先利用数量积的运算律将原式展开，再用坐标逐个计算其中的未知量. (3)常用的运算律有： ①(a+b)·(a-b)=a2-b2； ②(a±b)2=a2±2a·b+b2. 跟踪训练1　已知a=(1，1)，b=(2，5)，c=(3，x)，若(8a-b)·c=30，则x等于(　　) A.6　B.5　C.4　D.3 答案　C 解析　由题意可得，8a-b=(6，3)， 又(8a-b)·c=30，c=(3，x)， ∴18+3x=30，解得x=4. 二、向量的长度(模)的计算 知识梳理 1.若a=(x，y)，则|a|==. 2.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a=(x2-x1，y2-y1)，|a|=. 例2　已知向量a=(2，4)，b=(1，n)，若a∥b，则|3a-nb|等于(　　) A.4　B.12　C.8　D. 答案　A 解析　因为向量a=(2，4)，b=(1，n)，且a∥b， 所以2n=1×4，解得n=2， 所以3a-nb=3(2，4)-2(1，2)=(4，8)， 所以|3a-nb|==4. 反思感悟　求向量a=(x，y)的模的常见思路及方法 求模问题一般转化为求模的平方，即a2=|a|2=x2+y2，求模时，勿忘记开方. 跟踪训练2　已知向量a=(2，m)，b=(3，6)，若|3a+b|=|3a-b|，则实数m的值为(　　) A.1　B.-1　C.4　D.-4 答案　B 解析　已知向量a=(2，m)，b=(3，6)， 则3a+b=(9，3m+6)，3a-b=(3，3m-6)， 由|3a+b|=|3a-b|可得=，解得m=-1. 三、向量的夹角及垂直问题 知识梳理 设a，b都是非零向量，a=(x1，y1)，b=(x2，y2). (1)cos〈a，b〉==. (2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0. 注意点： (1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆. (2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，两向量夹角的余弦值小于0的夹角不一定是钝角. 例3　(1)已知a=(4，3)，b=(-1，2). ①求a与b夹角的余弦值； ②若(a-λb)⊥(2a+b)，求实数λ的值. 解　①因为a·b=4×(-1)+3×2=2， |a|==5，|b|==，设a与b的夹角为θ，所以cos θ===. ②因为a-λb=(4+λ，3-2λ)，2a+b=(7，8)， 且(a-λb)⊥(2a+b)， 所以7(4+λ)+8(3-2λ)=0，解得λ=. (2)已知向量a=(-2，1)，b=(1，k)，且a与b的夹角为钝角，则实数k的取值范围是　　　　.  答案　∪ 解析　当a与b共线时，-2k-1=0，k=-，此时a与b反向，夹角为180°，要使a与b的夹角为钝角， 则有a·b<0，且a与b不反向，即k≠-. 由a·b=-2+k<0得k<2， 所以实数k的取值范围是∪. 反思感悟　解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ==直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ=判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 跟踪训练3　(1)已知向量a=(1，)，b=(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于(　　) A.2　B.　C.0　D.- 答案　B 解析　因为a=(1，)，b=(3，m).所以|a|=2，|b|=，a·b=3+m， 又a，b的夹角为，所以=cos ，即=，所以+m=， 解得m=. (2)若平面向量a=(1，x)，b=(2x+3，-x)，且a⊥b，则|a-b|=　　　　.  答案　10或2 解析　∵a=(1，x)，b=(2x+3，-x)， 且a⊥b，∴a·b=0， ∴1×(2x+3)-x2=0，即(x+1)(x-3)=0， 解得x=-1或x=3， 当x=-1时，a=(1，-1)，b=(1，1)， 则a-b=(1-1，-1-1)=(0，-2)， |a-b|===2； 当x=3时，a=(1，3)，b=(9，-3)， 则a-b=(1-9，3+3)=(-8，6)， |a-b|===10， 综上可知，|a-b|=10或2. 1.知识清单： (1)平面向量数量积的坐标表示. (2)向量的长度(模)的计算. (3)向量的夹角及垂直问题. 2.方法归纳：化归与转化. 3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错. 1.若向量a=(x，2)，b=(-1，3)，a·b=3，则x等于(　　) A.3　B.-3　C.　D.- 答案　A 解析　a·b=-x+6=3，故x=3. 2.已知a=(-5，5)，b=(0，-3)，则a与b的夹角为(　　) A.　B.　C.　D. 答案　D 解析　∵|a|=5，|b|=3，a·b=-15， ∴cos〈a，b〉===- . 又∵a与b的夹角范围为[0，π]， ∴a与b的夹角为. 3.若平面向量a=(1，-2)与b的夹角是180°，且|b|=3，则b等于(　　) A.(-3，6) B.(3，-6) C.(6，-3) D.(-6，3) 答案　A 解析　由题意，设b=λa=(λ，-2λ)(λ<0)， 则|b|==|λ|=3， 又λ<0，∴λ=-3， 故b=(-3，6). 4.若向量a=(-1，k)，b=(3，1)，且a+b与a垂直，则实数k的值为　　　　.  答案　1或-2 解析　因为向量a=(-1，k)，b=(3，1)， 则a+b=(2，k+1). 因为a+b与a垂直， 所以(a+b)·a=-1×2+k(k+1)=0， 解得k=1或k=-2. 所以，实数k的值为1或-2. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.若a=(-1，2)，b=(2，3)，则(2a-b)·b等于(　　) A.-5　B.5　C.-6　D.6 答案　A 解析　因为a=(-1，2)，b=(2，3)， 所以(2a-b)·b=(-4，1)·(2，3)=-4×2+1×3=-5. 2.平面向量a与b的夹角为60°，a=(2，0)，|b|=1，则|a+2b|等于(　　) A.　B.2　C.4　D.12 答案　B 解析　∵a=(2，0)，|b|=1， ∴|a|=2，a·b=|a||b|cos〈a，b〉=2×1×cos 60°=1. ∴|a+2b|==2. 3.(2024·新课标全国Ⅰ)已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b-4a)，则x等于(　　) A.-2　B.-1　C.1　D.2 答案　D 解析　因为b⊥(b-4a)， 所以b·(b-4a)=0， 所以b2-4a·b=0， 即4+x2-4x=0，解得x=2. 4.(多选)设向量a=(2，0)，b=(1，1)，则(　　) A.|a|=|b| B.a与b的夹角是 C.(a-b)⊥b D.与b同向的单位向量是 答案　BC 解析　因为a=(2，0)，b=(1，1)，所以|a|=2，|b|=，故A错误； 因为cos〈a，b〉===，〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角是，故B正确； 因为(a-b)·b=(1，-1)·(1，1)=1-1=0，所以(a-b)⊥b，故C正确； 与b同向的单位向量是，故D错误. 5.已知向量a=(1，2)，b=(2，-3)，若向量c满足(c+a)∥b，c⊥(a+b)，则c等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设c=(m，n)，则a+c=(1+m，2+n)， 对于(c+a)∥b，有-3(1+m)=2(2+n). ① 又c⊥(a+b)，a+b=(3，-1)， ∴3m-n=0. ② 联立①②，解得m=-，n=-. 故c=. 6.已知向量a，b，c，其中a+b=0，且a+c=b，a-c=(3，-3)，则a·b等于(　　) A.-　B.　C.-2　D.2 答案　C 解析　设a=(x，y)，由a+b=0， 得b=(-x，-y). 因为a+c=b，则c=(-2x，-2y)，a-c=(3x，3y)=(3，-3)，故x=1，y=-1.故a·b=1×(-1)+(-1)×1=-2. 7.(5分)已知向量a=(1，2)，|b|=2，a∥b，且a与b方向相同，那么b=　　　　，|a-b|=　　　　.  答案　(2，4)　 解析　因为向量a=(1，2)，且a与b方向相同， 所以可设b=(a，2a)(a>0). 又|b|=2， 所以=2，解得a=2(负值舍去)， 所以b=(2，4). 因为a-b=(-1，-2)， 所以|a-b|=. 8.(5分)设向量a=(3，3)，b=(1，-1)，若(a+λb)⊥(a-λb)，则实数λ=　　　　.  答案　±3 解析　因为(a+λb)⊥(a-λb)， 所以(a+λb)·(a-λb)=0， 因为a=(3，3)，b=(1，-1)， 所以a+λb=(3+λ，3-λ)，a-λb=(3-λ，3+λ)， 所以9-λ2+9-λ2=0，解得λ=±3. 9.(10分)已知向量a=(1，2)，b=(x，1). (1)若(a+2b)⊥(2a-b)时，求x的值；(5分) (2)若向量a与向量b的夹角为锐角，求x的取值范围.(5分) 解　(1)因为向量a=(1，2)，b=(x，1)， 所以a+2b=(1，2)+2(x，1)=(2x+1，4)，2a-b=2(1，2)-(x，1)=(2-x，3)， 因为(a+2b)⊥(2a-b)， 所以(a+2b)·(2a-b)=0， 所以(2x+1)(2-x)+4×3=0， 即2x2-3x-14=0， 解得x=-2或x=. (2)因为向量a与向量b的夹角为锐角， 所以a·b>0，且向量a与向量b不共线， 所以 解得x>-2且x≠， 所以x的取值范围为∪. 10.(10分)已知向量a=(1，)，b=(-2，0). (1)求a-b的坐标以及a-b与a之间的夹角；(5分) (2)当t∈[-1，1]时，求|a-tb|的取值范围.(5分) 解　(1)因为向量a=(1，)，b=(-2，0)， 所以a-b=(1，)-(-2，0)=(3，)， 设a-b与a之间的夹角为θ， 所以cos θ====. 因为θ∈[0，π]，所以向量a-b与a的夹角为. (2)因为|a|=2，|b|=2，a·b=-2， 所以|a-tb|2=a2-2ta·b+t2b2=4t2+4t+4=4+3.易知当t∈[-1，1]时，|a-tb|2∈[3，12]，所以|a-tb|的取值范围是[，2]. 11.(多选)已知点A(1，2)，B(5，2)，C(k，4)，若△ABC为直角三角形，则k的可能取值为(　　) A.1　B.2　C.3　D.5 答案　ACD 解析　由题意，=(4，0)，=(k-5，2)，=(k-1，2).若B为直角，则·=(4，0)·(k-5，2)=4(k-5)=0，解得k=5；若A为直角，则·=(4，0)·(k-1，2)=4(k-1)=0，解得k=1；若C为直角，则·=(k-5，2)·(k-1，2)=(k-1)(k-5)+4=k2-6k+9=0，解得k=3. 12.已知A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p=(sin A，1)，q=(1，-cos B)，则p与q的夹角是(　　) A.锐角　B.钝角　C.直角　D.不确定 答案　A 解析　因为△ABC是锐角三角形，所以A+B>， 即0<-B<A<， 又因为函数y=sin x在上单调递增， 所以sin A>sin=cos B， 所以p·q=sin A-cos B>0， 设p与q的夹角为θ，所以cos θ=>0， 又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角. 13.(多选)如图，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=1，则下列结论中正确的是(　　) A.∥ B.·=- C.+=- D.||= 答案　ABC 解析　由图2知，在正八边形ABCDEFGH中，中心角为45°， 故以点O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 故A(0，-1)， B， C(1，0)，D，E(0，1)，F. 对于A，=，=， 满足×-×=-=0，所以∥，故A正确； 对于B，=(0，-1)，=，·=-，故B正确； 对于C，=(0，-1)，=(1，0)，=，所以+=(1，-1) =-=-，故C正确； 对于D，=，所以||=，故D错误. 14.(5分)已知向量a=(1，1)，b=(1，m).若∀λ∈(0，+∞)，(a+λb)⊥，则m=　　　　.  答案　-1 解析　因为(a+λb)⊥，所以(a+λb)·=0. 因为a+λb=(1，1)+λ(1，m)=(1+λ，1+λm)， a-b=(1，1)-(1，m)=， 由(1+λ，1+λm)·=0 ⇒(1+λ)+(1+λm)=0 ⇒(1+m)=0， 因为上式对任意λ∈(0，+∞)都成立，所以1+m=0⇒m=-1. 15.(多选)定义一种向量运算“⊗”： a⊗b=(a，b是任意的两个向量).对于同一平面内的向量a，b，c，e，则下列结论一定正确的有(　　) A.a⊗b=b⊗a B.λ(a⊗b)=(λa)⊗b(λ∈R) C.(a+b)⊗c=a⊗c+b⊗c D.若e是单位向量，则|a⊗e|≤|a|+1 答案　AD 解析　当a，b不共线时，a⊗b=a·b=b·a=b⊗a，当a，b共线时，a⊗b=|a-b|=|b-a|=b⊗a，故A正确； 当λ=0，b≠0时，λ(a⊗b)=0，(λa)⊗b=|0-b|≠0，故B错误； 当a+b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a+b)⊗c=|a+b-c|，a⊗c+b⊗c=a·c+b·c，显然|a+b-c|≠a·c+b·c，故C错误； 当e与a不共线时，|a⊗e|=|a·e|<|a|·|e|=|a|<|a|+1，当e与a共线时，设a=ue(u∈R)，则|a|=|ue|=|u|，|a⊗e|=|a-e|=|ue-e|=|u-1|≤|u|+1=|a|+1，故D正确. 16.(11分)已知向量=(6，1)，=(x，y)，=(-2，-3). (1)若∥，求x与y之间的关系式；(5分) (2)在(1)的条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积.(6分) 解　(1)∵=++=(x+4，y-2)， ∴=-=(-x-4，2-y). 又∥，且=(x，y)， ∴x(2-y)-y(-x-4)=0， 即x+2y=0. (2)=+=(x+6，y+1)， =+=(x-2，y-3). ∵⊥，∴·=0， 即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0. 由(1)知x+2y=0，与上式联立，化简得y2-2y-3=0， 解得y=3或y=-1. 当y=3时，x=-6，此时=(0，4)，=(-8，0)， ∴S四边形ABCD=||·||=16； 当y=-1时，x=2，此时=(8，0)，=(0，-4)； ∴S四边形ABCD=||·||=16. 综上，四边形ABCD的面积为16. 学科网（北京）股份有限公司 $$