第1章 1.4 第2课时 平面向量的正交分解与坐标表示、向量线性运算的坐标表示-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（湘教版2019）

第2课时　平面向量的正交分解与坐标表示、向量线性运算的坐标表示 [学习目标]　1.借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示，会用坐标表示平面向量.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.掌握向量共线的坐标表示. 导语 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.那么，如何用坐标表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 一、平面向量的正交分解与坐标表示 问题1　如图，在光滑斜面上的一个木块受到了哪些力的作用？这些力之间有什么关系？ 提示　该木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；二是木块产生垂直于斜面的压力F2，也就是说，重力G的效果等价于力F1和F2的合力的效果，即G=F1+F2. 问题2　如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取｛i，j｝作为一组基.对于平面内的任意一个向量a，可以用｛i，j｝表示成什么？ 提示　由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj. 知识梳理 1.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解. 2.标准正交基 平面上相互垂直的单位向量组成的基称为标准正交基，记作｛i，j｝.显然i=(1，0)，j=(0，1). 3.平面向量的坐标表示 设平面上建立了直角坐标系，则平面上每个向量v=都可用从原点O出发的有向线段表示.原点O到E1(1，0)，E2(0，1)的向量e1=，e2=分别是x轴正方向和y轴正方向上的单位向量，组成标准正交基，则v==xe1+ye2的坐标(x，y)视为v在这组基下的坐标，等于向量终点P(x，y)的坐标. 4.设单位向量e1，e2的夹角〈e1，e2〉=90°，非零向量v的模|v|=r且〈e1，v〉=α，则v=(rcos α，rsin α).  注意点： (1)表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A(x，y)，a=(x，y). (2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同. 例1　如图，设｛i，j｝为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标. 解　由图可知 a=2i+2j=(2，2)； b=-2i+3j=(-2，3)； c=-3i-2j=(-3，-2)； d=i-2j=(1，-2). 反思感悟　求向量a的坐标的步骤 第一步：取平面内的任意一组标准正交基｛i，j｝； 第二步：分别求向量a在基｛i，j｝方向上的分量x=|a|cos θ，y=|a|sin θ，其中θ为a与i的夹角； 第三步：写向量a的坐标，即a=(|a|cos θ，|a|sin θ). 跟踪训练1　如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量｛i，j｝作为一组基，若|a|=，θ=45°，则向量a的坐标为(　　) A.(1， 1) B.(-1，-1) C.(，) D.(-，-) 答案　A 解析　由题意，得a=(cos 45°)i+(sin 45°)j=i+j，所以a=(1，1). 二、向量线性运算的坐标表示 问题3　已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，你能得出a+b，a-b的坐标吗？ 提示　a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j，即a+b=(x1+x2，y1+y2).同理可得a-b=(x1-x2，y1-y2). 问题4　如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求的坐标？ 提示　=-=(x2，y2)-(x1，y1)=(x2-x1，y2-y1). 知识梳理 向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)的和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(或差)，即a±b=(x1，y1)±(x2，y2)=(x1±x2，y1±y2). (2)一个实数λ与向量a=(x，y)的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标，即λa=λ(x，y)=(λx，λy). (3)有向线段的坐标表示：在平面直角坐标系中，向量的坐标等于终点Q的坐标(x2，y2)减去起点P的坐标(x1，y1)，即=(x2-x1，y2-y1). 例2　(1)已知向量a，b的坐标分别是(-1，2)，(3，-5)，求a+b，a-b，3a，2a+3b的坐标； (2)已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，且=3，=2，求M，N及的坐标. 解　(1)a+b=(-1，2)+(3，-5)=(2，-3)， a-b=(-1，2)-(3，-5)=(-4，7)， 3a=3(-1，2)=(-3，6)， 2a+3b=2(-1，2)+3(3，-5) =(-2，4)+(9，-15)=(7，-11). (2)方法一　由A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)， 可得=(-2，4)-(-3，-4)=(1，8)， =(3，-1)-(-3，-4)=(6，3)， 所以=3=3(1，8)=(3，24)， =2=2(6，3)=(12，6). 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则=(x1+3，y1+4)=(3，24)， 则x1=0，y1=20； =(x2+3，y2+4)=(12，6)，则x2=9，y2=2， 所以M(0，20)，N(9，2)， =(9，2)-(0，20)=(9，-18). 方法二　设点O为坐标原点， 则由=3，=2， 可得-=3(-)， -=2(-)， 从而=3-2，=2-， 所以=3(-2，4)-2(-3，-4)=(0，20)， =2(3，-1)-(-3，-4)=(9，2)， 即点M(0，20)，N(9，2)， 故=(9，2)-(0，20)=(9，-18). 反思感悟　平面向量坐标运算的技巧 (1)在进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系. (2)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算. (3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用. 跟踪训练2　已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).设=a，=b，=c. (1)求3a+b-3c； (2)求满足a=mb+nc的实数m，n的值. 解　由已知得a=(5，-5)，b=(-6，-3)，c=(1，8). (1)3a+b-3c=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)=(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n，-3m+8n)=(5，-5)， ∴解得 ∴实数m的值为-1，n的值为-1. 三、向量共线的坐标表示 问题5　若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且=，则点P的坐标如何表示？ 提示　因为=，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 设P(x，y)，则(x-x1，y-y1)=(x2-x，y2-y)， 所以 即 所以点P的坐标为. 问题6　已知向量a，b，则两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？ 提示　设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0， 由a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a=λb，则有(x1，y1)=λ(x2，y2)⇒消去λ，得x1y2-x2y1=0. 知识梳理 平面向量平行(共线)的坐标表示 (x1，y1)∥(x2，y2)⇔x1y2-x2y1=0. 例3　(1)已知A(1，-3)，B，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线. 证明　==， =(9-1，1+3)=(8，4)， ∵7×4-×8=0， ∴∥，且，有公共点A， ∴A，B，C三点共线. (2)如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且=2，求点G的坐标. 解　∵D是AB的中点， ∴点D的坐标为， ∵=2，∴=2， 设G点坐标为(x，y)，由定比分点坐标公式可得 x==， y==， 即点G的坐标为. 反思感悟　用有向线段的定比分点坐标公式(λ≠-1)可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比. 跟踪训练3　(1)若a=(2cos α，1)，b=(sin α，1)，且a∥b，则tan α等于(　　) A.2　B.　C.-2　D.- 答案　A 解析　由a∥b可得2cos α=sin α，即tan α=2. (2)已知两点M(-1，-6)，N(3，0)，点P 分有向线段的比为λ，则λ，y的值分别为(　　) A.-，8 B.，-8 C.-，-8 D.4， 答案　C 解析　由定比分点坐标公式得 解方程可得 1.知识清单： (1)平面向量的正交分解及坐标表示. (2)平面向量线性运算的坐标表示. (3)两个向量共线的坐标表示. 2.方法归纳：化归与转化、数形结合. 3.常见误区：两个向量共线的坐标表示的公式易记错. 1.下列各组向量中，不共线的是(　　) A.e1=(2，2)，e2=(1，1) B.e1=(1，-2)，e2=(4，-8) C.e1=(1，0)，e2=(0，-1) D.e1=(1，-2)，e2= 答案　C 解析　对于A，∵2×1-2×1=0， ∴e1∥e2，e1，e2共线； 对于B，∵1×(-8)-(-2)×4=0， ∴e1∥e2，e1，e2共线； 对于C，∵1×(-1)-0×0=-1≠0， ∴e1，e2不共线； 对于D，∵1×1-(-2)×=0， ∴e1∥e2，e1，e2共线. 2.已知a-b=(1，2)，a+b=(4，-10)，则a等于(　　) A.(-2，-2)　B.(2，2)　C.(-2，2)　D.(2，-2) 答案　D 解析　因为a-b=(1，2)，所以2a-b=(2，4)，又a+b=(4，-10)， 所以有(2a-b)+(a+b)=(2，4)+(4，-10)=(6，-6)，即3a=(6，-6)，所以a=(2，-2). 3.设｛e1，e2｝为平面内的一组标准正交基，已知=3e1-e2，=-2e1+5e2，则向量在基｛e1，e2｝下的坐标为　　　　.  答案　(1，4) 解析　=+=3e1-e2-2e1+5e2=e1+4e2，∴在基｛e1，e2｝下的坐标为(1，4). 4.已知=(k，2)，=(1，2k)，=(1-k，-1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k=　　　　.  答案　- 解析　=-=(1-k，2k-2)，=-=(1-2k，-3)，由题意可知∥，所以(-3)×(1-k)-(2k-2)(1-2k)=0，解得k=-或k=1，当k=1时，A，B重合，故舍去，所以k=-. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.已知｛i，j｝为一组标准正交基，a=i+j，b=i-j，则a-b在基｛i，j｝下的坐标为(　　) A.(-1，2) B.(1，-2) C.(-1，-2) D.(1，2) 答案　A 解析　a-b=i+j-i+j=-i+2j，所以a-b在基｛i，j｝下的坐标为(-1，2). 2.已知=(3，-2)，=(-5，-1)，则向量的坐标是(　　) A. B. C.(-8，1) D.(8，1) 答案　A 解析　=-=(-8，1)， ∴=. 3.在平面直角坐标系中，|a|=4，且a如图所示，则a的坐标为(　　) A.(2，2) B.(2，-2) C.(-2，2) D.(2，-2) 答案　D 解析　设a=(x，y)，因为x=|a|·cos(-30°)=4×=2， y=|a|·sin(-30°)=4×=-2. 所以a的坐标为 (2，-2). 4.向量=(k，12)，=(4，5)，=(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为(　　) A.-2 B.11 C.-2或11 D.2或11 答案　C 解析　=-=(4-k，-7)，=-=(6，k-5)，由题意知∥，故(4-k)(k-5)-(-7)×6=0，解得k=11或k=-2. 5.在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，=(-1，2)，则+等于(　　) A.(-2，4) B.(4，6) C.(-6，-2) D.(-1，9) 答案　A 解析　在平行四边形ABCD中，因为A(1，2)，B(3，5)，所以=(2，3).又=(-1，2)，所以=+=(1，5)，=-=(-3，-1)，所以+=(-2，4). 6.(多选)以A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标是(　　) A.(2，3) B.(2，-1) C.(4，1) D.(-2，-1) 答案　ACD 解析　设D(x，y)，若=， 则(1，-1)=(x-3，y-2)， 即解得即D(4，1)； 若=，则(1，-1)=(3-x，2-y)， 即解得即D(2，3)； 若=，则(x，y-1)=(-2，-2)， 即解得 即D(-2，-1). 7.(5分)已知向量a=(2x+1，4)，b=(2-x，3)，若a∥b，则实数x的值等于　　　　.  答案　 解析　由a∥b得3(2x+1)=4(2-x)，解得x=. 8.(5分)已知A(1，0)，B(3，4)，M是线段AB的中点，那么向量的坐标是　　　　　　.  答案　(1，2) 解析　由中点坐标公式得M， 即M(2，2)，所以=(1，2). 9.(10分) 已知向量a=(3，4)，b=(1，2)，c=(-2，-2). (1)若a=mb+nc，求实数m，n的值；(5分) (2)若(a+b)∥(-b+kc)，求实数k的值，并判断此时a+b与-b+kc是同向还是反向？(5分) 解　(1)∵a=(3，4)，b=(1，2)， c=(-2，-2)，a=mb+nc， ∴(3，4)=m(1，2)+n(-2，-2)=(m-2n，2m-2n)， ∴得 (2)∵(a+b)∥(-b+kc)， 又-b+kc=(-1-2k，-2-2k )， a+b=(4，6)， ∴6(-1-2k)=4(-2-2k)， 解得k=. 此时-b+kc=(-2，-3)，a+b=(4，6)=-2(-2，-3)， ∴a+b与-b+kc方向相反. 10.(11分)已知两点A(3，-4)，B(-9，2)，点P在直线AB上，且||=||，求点P的坐标. 解　设点P的坐标为(x，y)， (1)若点P在线段AB上，则=， ∴(x-3，y+4)=(-9-x，2-y). 解得x=-1，y=-2， ∴P(-1，-2). (2)若点P在线段BA的延长线上， 则=-， ∴(x-3，y+4)=-(-9-x，2-y). 解得x=7，y=-6，∴P(7，-6). 综上可得，点P的坐标为(-1，-2)或(7，-6). 11.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb(λ，μ∈R)，则的值为(　　) A.4　B.　C.-4　D.- 答案　A 解析　以a，b的交点为原点可建立如图所示的平面直角坐标系， 则a=(-1，1)，b=(6，2)，c=(-1，-3)， ∵c=λa+μb，即(-1，-3)=λ(-1，1)+μ(6，2)=(-λ+6μ，λ+2μ)， ∴解得∴==4. 12.(多选)已知向量=(1，-3)，=(2，-1)，=(m+1，m-2)，若点A，B，C能够构成三角形，则实数m可以是(　　) A.-2　B.　C.1　D.-1 答案　ABD 解析　设｛e1，e2｝为一组标准正交基， ∴=(1，-3)=e1-3e2， =(2，-1)=2e1-e2， =(m+1，m-2)=(m+1)e1+(m-2)e2， ∴=-=e1+2e2， =-=me1+(m+1)e2， 假设A，B，C三点共线，∴=λ， ∴∴ ∴只要m≠1就符合要求. 13.(5分)在△ABC中，点P在BC上，且=2，点Q是AC的中点，若=(4，3)，=(1，5)，则=　　　　.  答案　(-6，21) 解析　-==(1，5)-(4，3)=(-3，2)，因为点Q是AC的中点，所以=，所以=+=(1，5)+(-3，2)=(-2，7).因为=2，所以=+=3=3(-2，7)=(-6，21). 14.(5分)设=(-2，4)，=(-a，2)，=(b，0)，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则+的最小值为　　　　.  答案　 解析　由题意，得=(-a+2，-2)，=(b+2，-4).又∥，所以-4(-a+2)=-2(b+2)，整理得2a+b=2，所以+=(2a+b)·=≥=，当且仅当b=a时等号成立. 15.(5分)如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD的交点P的坐标为　　　　.  答案　 解析　由已知得，=(5，4)，=(-3，6)，=(4，0). 由B，P，D三点共线可得=λ=(5λ，4λ). 又因为=-=(5λ-4，4λ)， 由与共线得，(5λ-4)×6+12λ=0. 解得λ=， 所以==， 所以P的坐标为. 16.(12分)设向量a=(λ+2，λ2-cos2α)，b=，其中λ，m，α为实数，若a=2b，求的取值范围. 解　由a=2b，知 ∴ 又cos2α+2sin α=-sin2α+2sin α+1=-(sin α-1)2+2， ∴-2≤cos2α+2sin α≤2， ∴-2≤λ2-m=(2m-2)2-m≤2， ∴≤m≤2， ∵==2-，∴-6≤2-≤1， ∴的取值范围为[-6，1]. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时 第1章 <<< 平面向量的正交分解与坐标表 示、向量线性运算的坐标表示 1.借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示，会用坐标表示平面向量. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.掌握向量共线的坐标表示. 学习目标 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.那么，如何用坐标表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 导 语 一、平面向量的正交分解与坐标表示 二、向量线性运算的坐标表示 课时对点练 三、向量共线的坐标表示 随堂演练 内容索引 平面向量的正交分解与坐标表示 一 提示　该木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；二是木块产生垂直于斜面的压力F2，也就是说，重力G的效果等价于力F1和F2的合力的效果，即G=F1+F2. 如图，在光滑斜面上的一个木块受到了哪些力的作用？这些力之间有什么关系？ 问题1 提示　由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj. 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为一组基.对于平面内的任意一个向量a，可以用{i，j}表示成什么？ 问题2 1.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量，叫作把向量正交分解. 2.标准正交基 平面上相互垂直的 组成的基称为标准正交基，记作{i，j}.显然i=(1，0)，j=(0，1). 互相垂直 单位向量 知识梳理 3.平面向量的坐标表示 设平面上建立了直角坐标系，则平面上每个向量v=都可用从原点O出发的有向线段表示.原点O到E1(1，0)，E2(0，1)的向量e1=，e2=分别是x轴正方向和y轴正方向上的单位向量，组成标准正交基，则v==xe1+ye2的坐标(x，y)视为v在这组基下的坐标，等于向量终点 P(x，y)的坐标. 4.设单位向量e1，e2的夹角〈e1，e2〉=90°，非零向量v的模|v|=r且 〈e1，v〉=α，则v= .  (rcos α，rsin α) 知识梳理 (1)表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A(x，y)，a=(x，y). (2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同. 注 意 点 <<< 10 　如图，设{i，j}为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标. 例 1 由图可知a=2i+2j=(2，2)； b=-2i+3j=(-2，3)； c=-3i-2j=(-3，-2)； d=i-2j=(1，-2). 11 第一步：取平面内的任意一组标准正交基{i，j}； 第二步：分别求向量a在基{i，j}方向上的分量x=|a|cos θ，y=|a|sin θ，其中θ为a与i的夹角； 第三步：写向量a的坐标，即a=(|a|cos θ，|a|sin θ). 求向量a的坐标的步骤 反 思 感 悟 12 　如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为一组基，若|a|=，θ=45°，则向量a的坐标为 A.(1， 1) B.(-1，-1) C.(，) D.(-，-) 跟踪训练 1 √ 由题意，得a=(cos 45°)i+(sin 45°)j=i+j，所以a=(1，1). 13 二 向量线性运算的坐标表示 提示　a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j，即a+b=(x1+x2，y1+y2).同理可得a-b=(x1-x2，y1-y2). 已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，你能得出a+b，a-b的坐标吗？ 问题3 如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)， 怎样求的坐标？ 问题4 提示　=-=(x2，y2)-(x1，y1)=(x2-x1，y2-y1). 向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)的和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标的 ，即a±b=(x1，y1)±(x2，y2)= . (2)一个实数λ与向量a=(x，y)的积的坐标等于这个数 向量相应的坐标，即λa=λ(x，y)= . (3)有向线段的坐标表示：在平面直角坐标系中，向量的坐标等于终点Q的坐标(x2，y2)减去起点P的坐标(x1，y1)，即= . 和(或差) (x1±x2，y1±y2) 乘以 (λx，λy) (x2-x1，y2-y1) 知识梳理 17 　(1)已知向量a，b的坐标分别是(-1，2)，(3，-5)，求a+b，a-b，3a，2a+3b的坐标； 例 2 a+b=(-1，2)+(3，-5)=(2，-3)， a-b=(-1，2)-(3，-5)=(-4，7)， 3a=3(-1，2)=(-3，6)， 2a+3b=2(-1，2)+3(3，-5) =(-2，4)+(9，-15)=(7，-11). 18 (2)已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，且=3，=2，求M，N及的坐标. 19 方法一　由A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)， 可得=(-2，4)-(-3，-4)=(1，8)， =(3，-1)-(-3，-4)=(6，3)， 所以=3=3(1，8)=(3，24)， =2=2(6，3)=(12，6). 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则=(x1+3，y1+4)=(3，24)， 则x1=0，y1=20； 20 =(x2+3，y2+4)=(12，6)，则x2=9，y2=2， 所以M(0，20)，N(9，2)， =(9，2)-(0，20)=(9，-18). 方法二　设点O为坐标原点， 则由=3=2， 可得-=3(-)， -=2(-)， 从而=3-2=2-， 21 所以=3(-2，4)-2(-3，-4)=(0，20)， =2(3，-1)-(-3，-4)=(9，2)， 即点M(0，20)，N(9，2)， 故=(9，2)-(0，20)=(9，-18). 22 反 思 感 悟 (1)在进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系. (2)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算. (3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用. 平面向量坐标运算的技巧 　已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).设=a，=b，=c. (1)求3a+b-3c； 跟踪训练 2 由已知得a=(5，-5)，b=(-6，-3)，c=(1，8). 3a+b-3c=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)=(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42). 24 (2)求满足a=mb+nc的实数m，n的值. ∵mb+nc=(-6m+n，-3m+8n)=(5，-5)， ∴ ∴实数m的值为-1，n的值为-1. 25 向量共线的坐标表示 三 若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且=，则点P的坐标如何 表示？ 提示　因为=，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 设P(x，y)，则(x-x1，y-y1)=(x2-x，y2-y)， 所以 即 所以点P的坐标为. 问题5 27 已知向量a，b，则两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？ 提示　设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0， 由a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a=λb， 则有(x1，y1)=λ(x2，y2)⇒消去λ，得x1y2-x2y1=0. 问题6 28 平面向量平行(共线)的坐标表示 (x1，y1)∥(x2，y2)⇔ . x1y2-x2y1=0 知识梳理 29 　(1)已知A(1，-3)，B，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线. 例 3 ==， =(9-1，1+3)=(8，4)， ∵7×4-×8=0， ∴∥有公共点A， ∴A，B，C三点共线. 30 (2)如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且=2，求点G的坐标. 31 ∵D是AB的中点， ∴点D的坐标为， ∵=2，∴=2， 设G点坐标为(x，y)，由定比分点坐标公式可得 x==， y==， 即点G的坐标为. 32 反 思 感 悟 用有向线段的定比分点坐标公式(λ≠-1)可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比. 　(1)若a=(2cos α，1)，b=(sin α，1)，且a∥b，则tan α等于 A.2 　B.　 C.-2　 D.- 跟踪训练 3 √ 由a∥b可得2cos α=sin α，即tan α=2. 34 (2)已知两点M(-1，-6)，N(3，0)，点P 分有向线段的比为λ，则λ，y的值分别为 A.-，8 B.，-8 C.-，-8 D.4， √ 由定比分点坐标公式得 35 1.知识清单： (1)平面向量的正交分解及坐标表示. (2)平面向量线性运算的坐标表示. (3)两个向量共线的坐标表示. 2.方法归纳：化归与转化、数形结合. 3.常见误区：两个向量共线的坐标表示的公式易记错. 课堂小结 随堂演练 四 1.下列各组向量中，不共线的是 A.e1=(2，2)，e2=(1，1) B.e1=(1，-2)，e2=(4，-8) C.e1=(1，0)，e2=(0，-1) D.e1=(1，-2)，e2= √ 1 2 3 4 1 2 3 4 对于A，∵2×1-2×1=0， ∴e1∥e2，e1，e2共线； 对于B，∵1×(-8)-(-2)×4=0， ∴e1∥e2，e1，e2共线； 对于C，∵1×(-1)-0×0=-1≠0， ∴e1，e2不共线； 对于D，∵1×1-(-2)×=0， ∴e1∥e2，e1，e2共线. 2.已知a-b=(1，2)，a+b=(4，-10)，则a等于 A.(-2，-2)　 B.(2，2)　 C.(-2，2)　 D.(2，-2) 因为a-b=(1，2)，所以2a-b=(2，4)，又a+b=(4，-10)， 所以有(2a-b)+(a+b)=(2，4)+(4，-10)=(6，-6)，即3a=(6，-6)，所以a=(2，-2). √ 1 2 3 4 3.设{e1，e2}为平面内的一组标准正交基，已知=3e1-e2，=-2e1+5e2，则向量在基{e1，e2}下的坐标为　　　　.  =+=3e1-e2-2e1+5e2=e1+4e2，∴在基{e1，e2}下的坐标为(1，4). 1 2 3 4 (1，4) 4.已知=(k，2)，=(1，2k)，=(1-k，-1)，且相异三点A，B，C共 线，则实数k=　　　　.  =-=(1-k，2k-2)，=-=(1-2k，-3)，由题意可知∥，所以(-3)×(1-k)-(2k-2)(1-2k)=0，解得k=-或k=1，当k=1时，A，B重合，故舍去，所以k=-. 1 2 3 4 - 课时对点练 五 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A A D C A ACD 　 题号 8 11 12 13 14　 15 答案 (1，2) A ABD (-6，21) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 9. (1)∵a=(3，4)，b=(1，2)，c=(-2，-2)，a=mb+nc， ∴(3，4)=m(1，2)+n(-2，-2)=(m-2n，2m-2n)， ∴得 (2)∵(a+b)∥(-b+kc)， 又-b+kc=(-1-2k，-2-2k )，a+b=(4，6)， ∴6(-1-2k)=4(-2-2k)，解得k=. 此时-b+kc=(-2，-3)，a+b=(4，6)=-2(-2，-3)， ∴a+b与-b+kc方向相反. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 10. 设点P的坐标为(x，y)， (1)若点P在线段AB上， 则=， ∴(x-3，y+4)=(-9-x，2-y). 解得x=-1，y=-2， ∴P(-1，-2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 10. (2)若点P在线段BA的延长线上， 则=-， ∴(x-3，y+4) =-(-9-x，2-y). 解得x=7，y=-6，∴P(7，-6). 综上可得，点P的坐标为(-1，-2)或(7，-6). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. 由a=2b，知 ∴ 又cos2α+2sin α=-sin2α+2sin α+1=-(sin α-1)2+2， ∴-2≤cos2α+2sin α≤2，∴-2≤λ2-m=(2m-2)2-m≤2， ∴≤m≤2， ∵==2-，∴-6≤2-≤1， ∴的取值范围为[-6，1]. 1.已知{i，j}为一组标准正交基，a=i+j，b=i-j，则a-b在基{i，j}下的坐标为 A.(-1，2) B.(1，-2) C.(-1，-2) D.(1，2) a-b=i+j-i+j=-i+2j，所以a-b在基{i，j}下的坐标为(-1，2). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 2.已知=(3，-2)，=(-5，-1)，则向量的坐标是 A. B. C.(-8，1) D.(8，1) =-=(-8，1)，∴=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.在平面直角坐标系中，|a|=4，且a如图所示，则a的坐标为 A.(2，2) B.(2，-2) C.(-2，2) D.(2，-2) 设a=(x，y)，因为x=|a|·cos(-30°)=4×=2， y=|a|·sin(-30°)=4×=-2. 所以a的坐标为(2，-2). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4.向量=(k，12)，=(4，5)，=(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为 A.-2 B.11 C.-2或11 D.2或11 =-=(4-k，-7)，=-=(6，k-5)，由题意知∥，故(4-k)(k-5)-(-7)×6=0，解得k=11或k=-2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5.在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，=(-1，2)，则+等于 A.(-2，4) B.(4，6) C.(-6，-2) D.(-1，9) 在平行四边形ABCD中，因为A(1，2)，B(3，5)，所以=(2，3). 又=(-1，2)，所以=+=(1，5)，=-=(-3，-1)，所以+=(-2，4). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6.(多选)以A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标是 A.(2，3) B.(2，-1) C.(4，1) D.(-2，-1) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设D(x，y)，若=， 则(1，-1)=(x-3，y-2)， 即即D(4，1)； 若=，则(1，-1)=(3-x，2-y)， 即即D(2，3)； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若=，则(x，y-1)=(-2，-2)， 即 即D(-2，-1). 答案 7.已知向量a=(2x+1，4)，b=(2-x，3)，若a∥b，则实数x的值等于　　 . 由a∥b得3(2x+1)=4(2-x)，解得x=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 8.已知A(1，0)，B(3，4)，M是线段AB的中点，那么向量的坐标是　　　　.  由中点坐标公式得M， 即M(2，2)，所以=(1，2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1，2) 答案 9.已知向量a=(3，4)，b=(1，2)，c=(-2，-2). (1)若a=mb+nc，求实数m，n的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a=(3，4)，b=(1，2)， c=(-2，-2)，a=mb+nc， ∴(3，4)=m(1，2)+n(-2，-2)=(m-2n，2m-2n)， ∴ 答案 (2)若(a+b)∥(-b+kc)，求实数k的值，并判断此时a+b与-b+kc是同向还是反向？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵(a+b)∥(-b+kc)， 又-b+kc=(-1-2k，-2-2k )，a+b=(4，6)， ∴6(-1-2k)=4(-2-2k)， 解得k=. 此时-b+kc=(-2，-3)，a+b=(4，6)=-2(-2，-3)， ∴a+b与-b+kc方向相反. 答案 10.已知两点A(3，-4)，B(-9，2)，点P在直线AB上，且||=||，求点P的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点P的坐标为(x，y)， (1)若点P在线段AB上，则=， ∴(x-3，y+4)=(-9-x，2-y). 解得x=-1，y=-2， ∴P(-1，-2). 答案 62 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若点P在线段BA的延长线上， 则=-， ∴(x-3，y+4)=-(-9-x，2-y). 解得x=7，y=-6，∴P(7，-6). 综上可得，点P的坐标为(-1，-2)或(7，-6). 答案 63 11.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示， 若c=λa+μb(λ，μ∈R)，则的值为 A.4　 B.　 C.-4　 D.- √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以a，b的交点为原点可建立如图所示的平面直角 坐标系， 则a=(-1，1)，b=(6，2)，c=(-1，-3)， ∵c=λa+μb，即(-1，-3)=λ(-1，1)+μ(6，2)=(-λ+6μ，λ+2μ)， ∴∴==4. 答案 12.(多选)已知向量=(1，-3)，=(2，-1)，=(m+1，m-2)，若点A，B，C能够构成三角形，则实数m可以是 A.-2　 B.　 C.1　 D.-1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设{e1，e2}为一组标准正交基， ∴=(1，-3)=e1-3e2， =(2，-1)=2e1-e2， =(m+1，m-2)=(m+1)e1+(m-2)e2， ∴=-=e1+2e2， =-=me1+(m+1)e2， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 假设A，B，C三点共线，∴=λ， ∴∴ ∴只要m≠1就符合要求. 答案 13.在△ABC中，点P在BC上，且=2，点Q是AC的中点，若= (4，3)，=(1，5)，则=　　　　.  -==(1，5)-(4，3)=(-3，2)，因为点Q是AC的中点，所以==+=(1，5)+(-3，2)=(-2，7). 因为=2=+=3=3(-2，7)=(-6，21). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (-6，21) 答案 14.设=(-2，4)，=(-a，2)，=(b，0)，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则+的最小值为　　　　　.  由题意，得=(-a+2，-2)，=(b+2，-4). 又∥，所以-4(-a+2)=-2(b+2)，整理得2a+b=2， 所以+=(2a+b)·=≥=， 当且仅当b=a时等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 拓广探究 15.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)， B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD的 交点P的坐标为　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得，=(5，4)，=(-3，6)，=(4，0). 由B，P，D三点共线可得=λ=(5λ，4λ). 又因为=-=(5λ-4，4λ)， 由共线得，(5λ-4)×6+12λ=0. 解得λ=， 所以==， 所以P的坐标为. 答案 16.设向量a=(λ+2，λ2-cos2α)，b=，其中λ，m，α为实数，若a=2b，求的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由a=2b，知 ∴ 又cos2α+2sin α=-sin2α+2sin α+1=-(sin α-1)2+2， ∴-2≤cos2α+2sin α≤2， ∴-2≤λ2-m=(2m-2)2-m≤2， ∴≤m≤2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 74 ∵==2-，∴-6≤2-≤1， ∴的取值范围为[-6，1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 75 第一章 <<< $$