第17练 独立性检验-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（苏教版2019）

第17练　独立性检验 1.某市对公共场合禁烟进行网上调查，在参与调查的2 500名男性市民中有1 000名持支持态度，2 500名女性市民中有2 000名持支持态度，在运用数据说明市民对在公共场合禁烟是否支持与性别有关系时，用什么方法最有说服力 (　　) A.平均数与方差 B.回归直线方程 C.独立性检验 D.概率 答案　C 解析　独立性检验是两个分类变量之间的相关关系，所以市民对在公共场合禁烟是否支持与性别有关系时，用独立性检验最有说服力. 2.对于分类变量A与B的统计量χ2，下列说法正确的是 (　　) A.χ2越大，说明“A与B有关系”的可信度越小 B.χ2越大，说明“A与B无关”的程度越大 C.χ2越小，说明“A与B有关系”的可信度越小 D.χ2越接近于0，说明“A与B无关”的程度越小 答案　C 解析　由独立性检验的定义及χ2的意义，得χ2越大，说明“A与B有关系”的可信度越大，“A与B无关”的程度越小；χ2越小，说明“A与B有关系”的可信度越小，χ2越接近于0，说明“A与B无关”的程度越大. 3.某科研机构为了研究中年人秃发与心脏病是否有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如表： 患心脏病 无心脏病 合计 中年人秃发 20 300 320 中年人不秃发 5 450 455 合计 25 750 775 根据表中数据得到χ2=≈15.968，因为χ2>10.828，则断定中年人秃发与心脏病有关系.那么这种判断出错的可能性为 (　　) A.0.001 B.0.05 C.0.025 D.0.01 答案　A 解析　因为P(χ2≥10.828)≈0.001，所以这种判断出错的可能性为0.001. 4.为了研究退休干部喜欢书法与性别是否有关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2≈7.065，参照数据：P(χ2≥6.635)=0.01，下列结论正确的是 (　　) A.有1%的把握认为“喜欢书法与性别有关” B.有99%的把握认为“喜欢书法与性别有关” C.有99%的把握认为“喜欢书法与性别无关” D.有1%的把握认为“喜欢书法与性别无关” 答案　B 解析　χ2≈7.065>6.635，∴有99%的把握认为“喜欢书法与性别有关”. 5.下列说法正确的个数为 (　　) ①对事件A与B的检验无关时，即两个事件互不影响；②事件A与B关系越密切，则χ2就越大；③χ2的大小是判定事件A与B是否相关的唯一根据；④若判定事件A与B有关，则事件A发生事件B一定发生. A.1 B.2 C.3 D.4 答案　A 解析　对事件A与B的检验无关，只是说两事件的相关性较小，并不一定是两事件互不影响，故①错误；②是正确的；判断事件A与B是否相关的方式很多，可以用图表，也可以借助于概率运算，故③错误；事件A与B有关，说明两者同时发生的可能性相对来说较大，但并不是事件A发生事件B一定发生，故④错误. 6.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4所示，则与性别有关联的可能性最大的变量是 (　　) 表1 性别 成绩 合计 不及格 及格 男 6 14 20 女 10 22 32 合计 16 36 52 表2 性别 视力 合计 好 差 男 4 16 20 女 12 20 32 合计 16 36 52 表3 性别 智商 合计 偏高 正常 男 8 12 20 女 8 24 32 合计 16 36 52 表4 性别 阅读量 合计 丰富 不丰富 男 14 6 20 女 2 30 32 合计 16 36 52 A.成绩 B.视力 C.智商 D.阅读量 答案　D 解析　因为==， ==， ==， ==， 则>>>，所以阅读量与性别关联的可能性最大. 7.已知变量x，y，由它们的样本数据计算得到χ2，χ2的部分临界值如表： P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 若至少有99%的把握认为变量x，y有关系，则χ2的最小值为　　　.  答案　6.635 解析　因为P(χ2≥6.635)=0.01，所以当χ2≥6.635时，至少有99%的把握认为变量x，y有关系. 8.独立性检验所采用的思路是：要研究X，Y两个分类变量彼此相关，首先假设这两个分类变量彼此　　，在此假设下构造随机变量χ2.如果χ2较大，那么在一定程度上说明假设　　.  答案　没有关系　不成立 解析　独立性检验的前提是假设两个分类变量没有关系，然后通过随机变量χ2来判断假设是否成立. 9.在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验.现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验，得到如下2×2列联表(部分数据缺失)： 被某病毒感染 未被某病毒感染 合计 注射疫苗 10 50 未注射疫苗 30 50 合计 30 100 计算可知，有　　　　　　　的把握认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”.  附：χ2=，其中n=a+b+c+d. P(χ2≥x0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 答案　95% 解析　完善2×2列联表如下： 被某病毒感染 未被某病毒感染 合计 注射疫苗 10 40 50 未注射疫苗 20 30 50 合计 30 70 100 因为χ2=≈4.762>3.841， 所以有95%的把握认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”. 10.某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如表所示，其中x∈N*，且x<6，若有95%的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则x的值是　　　　　　.  对工作满意 对工作不满意 男 4x 6x 女 6x 4x 附：χ2=，其中n=a+b+c+d. P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 答案　5 解析　根据表中数据可得， χ2==>3.841， 得x>4.801 25， 因为x∈N*且x<6，所以x=5. 11.某工厂工会随机抽取了100名职工(其中男性和女性各50人)对食堂在2023年的表现进行评分，将评分按［20，40)，［40，60)，［60，80)，［80，100］进行分组，所得频率分布直方图如图所示. (1)估计食堂得分的中位数； (2)若参加评分的职工中，评分低于60分的女性有10人，判断是否有99.9%的把握认为评分低于60分与职工的性别相关. 附：χ2=， 其中n=a+b+c+d. P(χ2≥x0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解　(1)∵(0.005+0.015)×20=0.4<0.5，(0.005+0.015+0.02)×20=0.8>0.5， 故中位数在［60，80)内， ∴中位数为60+=65. (2)评分低于60分的职工数为0.4×100=40， 故作出2×2列联表如表所示： 低于60分 不低于60分 合计 男性 30 20 50 女性 10 40 50 合计 40 60 100 ∴χ2=≈16.667>10.828， ∴有99.9%的把握认为评分低于60分与职工的性别相关. 学科网（北京）股份有限公司 $$