第7章 7.2 第2课时 排列数公式-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（苏教版2019）

第7章 <<< 第2课时 排列数公式 1.能用计数原理推导排列数公式. 2.能用排列数公式进行化简与证明. 学习目标 1921年中国共产党的诞生，掀开了中国历史的新篇章，百年来，党带领全国人民谱写了中华民族自强不息、顽强奋进的壮丽史诗.有30位老革命家参观完一大会址后，要在一大会址旁站成一排照相，那么这30位老革命家的排列顺序有多少种？这样的排列问题能否用一个公式来表示呢？ 导 语 一、排列数公式 二、阶乘的概念及性质 课时对点练 三、与排列数公式有关的证明问题 随堂演练 内容索引 一 排列数公式 从n个不同的元素中取出m(m，n∈N*，m≤n)个元素排成一列，有多少个不同的排列？ 问题 提示　一般地，为了求出从n个不同元素中任意取出m个元素的排列数，可以把这m个元素所排列的位置划分为第1位、第2位、……、第m位(如图). 第一步，第1位可以从n个元素中任取1个来填，有n种不同方法； 第二步，第2位只能在余下的n-1个元素中任取1个来填，有n-1种不同方法； 第三步，第3位只能在余下的n-2个元素中任取1个来填，有n-2种不同方法； …… 第m步，第m位只能在余下的n-(m-1)个元素中任取1个来填，有n-m+1种不同方法. 根据分步计数原理，我们得到从n个不同元素中任取出m个元素的排列，共有n(n-1)(n-2)·…·［n-(m-1)］个. 1.排列数公式 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 ，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示，=__________ ，其中n，m∈N*，且m≤n. 2.n个不同元素全部取出的一个排列，叫作n个不同元素的一个全排列. 所有排列的个数 n(n-1)(n-2) …(n-m+1) 知识梳理 (1)乘积是m个连续正整数的乘积， (2)第一个数最大，是A的下标n， (3)第m个数最小，是n-m+1. 注 意 点 <<< 10 　　　(课本例2)　计算：(1)；　 例 1 =5×4×3=60. (2)； =5×4×3×2×1=120. 11 (3)； =10×9×8×7=5 040. (4). =35×34×33×32=1 256 640. 12 　　　计算下列各题： (1)； 例 1 =10×9×8=720. (2). ====. 13 (1)准确展开.应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确. (2)合理约分.若运算式是分式形式，则要先约分后计算. (3)合理组合.运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性. 反 思 感 悟 应用排列数公式时应注意三个方面的问题 14 　　　　　 (1)已知=156，则n等于 A.11　 B.12　 C.13　 D.14 跟踪训练 1 =n(n-1)， ∴由n(n-1)=156，可知n=13. √ 15 (2)用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N*且n<55) =　　　　.  ∵55-n，56-n，…，69-n中的最大数为69-n， 且共有(69-n)-(55-n)+1=15(个)数， ∴(55-n)(56-n)…(69-n)=. 16 二 阶乘的概念及性质 1.阶乘的概念 = .称为n的阶乘，通常用n！表示，即=n！. 2.阶乘的相关应用 (1)规定：0！= . (2)排列公式的阶乘式：=(n≥m). n(n-1)(n-2)×…×3×2×1 1 知识梳理 (1)阶乘式的分子是排列数下标的阶乘，分母是下标与上标差的阶乘. (2)阶乘式多用于化简证明，或者用于上标含字母的排列数的运算. 注 意 点 <<< 19 　　　解方程：3=4. 例 2 3=4可化为=， 即=， 化简得x2-19x+78=0，解得x1=6，x2=13. 由题意知解得1<x≤8且x∈N*， 所以原方程的解为x=6. 20 解不等式3<4. 延伸探究 21 由排列数的意义得即1<x≤8，且x∈N*， 由排列数公式得3·<4·， 即3·<4·， 即1<，∴x2-19x+78<0， 解得6<x<13，故6<x≤8，∴x=7或8， ∴原不等式的解集为. 22 反 思 感 悟 排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算. 　　　　　求不等式>6的解集. 跟踪训练 2 原不等式可化为>， 化简得x2-21x+104>0，解得x<8或x>13. 又 解得2<x≤9且x∈N*， ∴2<x<8且x∈N*， ∴原不等式的解集为｛3，4，5，6，7｝. 24 三 与排列数公式有关的证明问题 　　　(课本例3)　求证：=(n>m). 例 3 =n(n-1)(n-2)…(n-m+1) = =. 26 　　　(课本例4)　求证：=n(n≥m≥2). 例 3 27 方法一　==n· =n·=n. 方法二　n=n· ==. 方法三　考虑从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的排列.一方面，其所有排列的个数为.另一方面，这样的排列也可以分成两步来完成：第一步，从n个不同元素中取出1个元素，排在首位，有n种方法；第二步，从余下的n-1个元素中取出m-1个元素，排在其余位置上，有种方法.那么，所有排列的个数为n.因此，=n. 28 　　　求证：-=m. 例 3 29 方法一　因为- =- =· =· =m·=m， 所以-=m. 30 方法二　表示从n+1个元素中取出m个元素的排列数，其中不含元素a1的有个. 含有a1的可这样进行排列： 先排a1，有m种排法，再从另外n个元素中取出m-1个元素排在剩下的m-1个位置上，有种排法. 故=m+， 所以m=-. 31 反 思 感 悟 对含有字母的排列数的式子进行变形式有关的论证时，一般用阶乘式. 　　　　　(多选)下列等式正确的是 A.(n+1)= B.=(n-2)！ C.= D.= 跟踪训练 3 √ √ √ 33 对于A，(n+1)=(n+1)·===，故A正确； 对于B，==(n-2)！，故B正确； 对于C，≠，故C错误； 对于D，=·==，故D正确. 34 1.知识清单： (1)排列数、排列数公式. (2)阶乘的概念及性质. (3)与排列数公式有关的证明问题. 2.方法归纳：公式法. 3.常见误区：忽视中“n，m∈N*”这个条件. 课堂小结 35 随堂演练 四 1 2 3 4 1.等于 A.9×3 B.93 C.9×8×7 D.9×8×7×6×5×4×3 √ 2.4×5×6×…×(n-1)×n等于 A. B. C.n！-4！ D. 1 2 3 4 √ 由题意知4×5×6×…×(n-1)×n=n×(n-1)×…×6×5×4=. 3.×3！等于 A.30　 B.60　 C.90 　D.120 1 2 3 4 ×3！=×3！=5！=5×4×3×2×1=120. √ 4.-6+5=　　　　　.  1 2 3 4 原式=-+==5×4×3×2×1=120. 120 课时对点练 五 1.设m∈N*，且m<15，则等于 A.(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)·(25-m) B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m) C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)·(15-m) D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 是指从20-m开始依次小1的连续的6个数相乘， 即(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)·(16-m)(15-m). 2.等于 A.　 B.　 C.　 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 = ==. √ 3.已知=100，则x等于 A.11　 B.12　 C.13　 D.14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =100⇒2x·(2x-1)·(2x-2)=100x·(x-1)，则2x·(2x-1)·2(x-1)=100x·(x-1)， 即2x-1=25，解得x=13，经检验满足题意. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)与·相等的是 A. B.81 C.10 D. √ √ √ ·=10×9×8×7！==10=，81=9. 5.不等式-n<7的解集为 A.｛n|-1<n<5｝ B.｛1，2，3，4｝ C.｛3，4｝ D.｛4｝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由-n<7，得(n-1)(n-2)-n<7， 即-1<n<5，又因为n∈N*且n-1≥2，所以n=3或4. 6.(多选)下列各式中与排列数相等的是 A. B.n(n-1)(n-2)…(n-m) C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =， 而=n×=， 所以=，故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知=2，则logn25的值为　　　　.  因为=2， 所以2n·(2n-1)·(2n-2)=2(n+1)·n·(n-1)·(n-2)， 由题意知n≥3，且n∈N*，整理方程， 解得n=5，所以logn25=2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(n-1 998)(n-1 999)…(n-2 023)(n-2 024)(n∈N，n>2 024)用排列数可表示为　　　　.  (n-1 998)(n-1 999)…(n-2 023)(n-2 024)中共有27个数连乘，最大数为n-1 998，故(n-1 998)(n-1 999)…(n-2 023)(n-2 024)=. 51 9.计算：. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =·(n-m)！·=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.求证：==(n+1). 因为=(n+1)·n·(n-1)×…×3×2×1， =(n+1)·n·(n-1)×…×3×2， (n+1)=(n+1)·n！ =(n+1)·n·(n-1)×…×3×2×1， 所以==(n+1). 11.(多选)满足不等式>12的n的值可能为 A.12　 B.11 　C.10　 D.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由排列数公式得>12， 则(n-5)(n-6)>12， 解得n>9或n<2(舍去)， 又n∈N*，根据选项可知，n可以取10，11，12. 12.若S=+++…+，则S的个位数字是 A.0　 B.3　 C.5　 D.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵=120， ∴当n≥5时的个位数都为零， 又1！+2！+3！+4！=1+2+6+24=33. 故S的个位数字为3. 13.(多选)下列各式中等于n！的有 A. B. C. D.n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =n！，==n！， ==(n+1)！， n=n·(n-1)！=n！. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知自然数n满足3=2+6，则n=　　，=　　.  由3=2+6， 得3(n+1)n(n-1)=2(n+2)(n+1)+6(n+1)n， 整理得3n2-11n-4=0， 由于n∈N*，所以n=4， 所以==4. 4 4 15.英国数学家泰勒(B.Taylor，1685-1731)以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世，由泰勒公式，我们能得到e=1++++…++(其中e为自然对数的底数，0<θ<1，n！=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1)，其拉格朗日余项是Rn=.可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确.若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项Rn，Rn不超过时，正整数n的最小值是 A.5　 B.6　 C.7　 D.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意得，(n+1)！≥3 000， (5+1)！=6×5×4×3×2×1=720， (6+1)！=7×6×5×4×3×2×1 =5 040>3 000， 所以n的最小值是6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m>1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，原有车票种， 现有车票种， 所以-=62， 即(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62， 所以m(2n+m-1)=62=2×31， 因为m<2n+m-1，且n≥2，m，n∈N*， 所以解得 故原有15个车站，现有17个车站. 第一章 <<< $$ 第2课时　排列数公式 ［学习目标］　1.能用计数原理推导排列数公式.2.能用排列数公式进行化简与证明. 导语 1921年中国共产党的诞生，掀开了中国历史的新篇章，百年来，党带领全国人民谱写了中华民族自强不息、顽强奋进的壮丽史诗.有30位老革命家参观完一大会址后，要在一大会址旁站成一排照相，那么这30位老革命家的排列顺序有多少种？这样的排列问题能否用一个公式来表示呢？ 一、排列数公式 问题　从n个不同的元素中取出m(m，n∈N*，m≤n)个元素排成一列，有多少个不同的排列？ 提示　一般地，为了求出从n个不同元素中任意取出m个元素的排列数，可以把这m个元素所排列的位置划分为第1位、第2位、……、第m位(如图). 第一步，第1位可以从n个元素中任取1个来填，有n种不同方法； 第二步，第2位只能在余下的n-1个元素中任取1个来填，有n-1种不同方法； 第三步，第3位只能在余下的n-2个元素中任取1个来填，有n-2种不同方法； …… 第m步，第m位只能在余下的n-(m-1)个元素中任取1个来填，有n-m+1种不同方法. 根据分步计数原理，我们得到从n个不同元素中任取出m个元素的排列，共有n(n-1)(n-2)·…·［n-(m-1)］个. 知识梳理 1.排列数公式 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示，=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)，其中n，m∈N*，且m≤n. 2.n个不同元素全部取出的一个排列，叫作n个不同元素的一个全排列. 注意点： (1)乘积是m个连续正整数的乘积， (2)第一个数最大，是A的下标n， (3)第m个数最小，是n-m+1. 例1　(课本例2)　计算：(1)；　(2)；　(3)；　(4). 解　(1)=5×4×3=60. (2)=5×4×3×2×1=120. (3)=10×9×8×7=5 040. (4)=35×34×33×32=1 256 640. 例1　计算下列各题： (1)；(2). 解　(1)=10×9×8=720. (2)= ===. 反思感悟　应用排列数公式时应注意三个方面的问题 (1)准确展开.应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确. (2)合理约分.若运算式是分式形式，则要先约分后计算. (3)合理组合.运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性. 跟踪训练1　(1)已知=156，则n等于 (　　) A.11　B.12　C.13　D.14 答案　C 解析　=n(n-1)， ∴由n(n-1)=156，可知n=13. (2)用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N*且n<55) =　　　　.  答案　 解析　∵55-n，56-n，…，69-n中的最大数为69-n， 且共有(69-n)-(55-n)+1=15(个)数， ∴(55-n)(56-n)…(69-n)=. 二、阶乘的概念及性质 知识梳理 1.阶乘的概念 =n(n-1)(n-2)×…×3×2×1.称为n的阶乘，通常用n！表示，即=n！. 2.阶乘的相关应用 (1)规定：0！=1. (2)排列公式的阶乘式：=(n≥m). 注意点： (1)阶乘式的分子是排列数下标的阶乘，分母是下标与上标差的阶乘. (2)阶乘式多用于化简证明，或者用于上标含字母的排列数的运算. 例2　解方程：3=4. 解　3=4可化为 =， 即=， 化简得x2-19x+78=0，解得x1=6，x2=13. 由题意知解得1<x≤8且x∈N*， 所以原方程的解为x=6. 延伸探究　解不等式3<4. 解　由排列数的意义得即1<x≤8，且x∈N*， 由排列数公式得3·<4·， 即3·<4·， 即1<，∴x2-19x+78<0， 解得6<x<13，故6<x≤8，∴x=7或8， ∴原不等式的解集为. 反思感悟　排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算. 跟踪训练2　求不等式>6的解集. 解　原不等式可化为>， 化简得x2-21x+104>0，解得x<8或x>13. 又 解得2<x≤9且x∈N*， ∴2<x<8且x∈N*， ∴原不等式的解集为｛3，4，5，6，7｝. 三、与排列数公式有关的证明问题 例3　(课本例3)　求证：=(n>m). 证明　=n(n-1)(n-2)…(n-m+1) = =. 例3　(课本例4)　求证：=n(n≥m≥2). 证明　方法一　==n· =n·=n. 方法二　n=n· ==. 方法三　考虑从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的排列.一方面，其所有排列的个数为.另一方面，这样的排列也可以分成两步来完成：第一步，从n个不同元素中取出1个元素，排在首位，有n种方法；第二步，从余下的n-1个元素中取出m-1个元素，排在其余位置上，有种方法.那么，所有排列的个数为n.因此，=n. 例3　求证：-=m. 证明　方法一　因为- =- =· =· =m·=m， 所以-=m. 方法二　表示从n+1个元素中取出m个元素的排列数，其中不含元素a1的有个. 含有a1的可这样进行排列： 先排a1，有m种排法，再从另外n个元素中取出m-1个元素排在剩下的m-1个位置上，有种排法. 故=m+， 所以m=-. 反思感悟　对含有字母的排列数的式子进行变形式有关的论证时，一般用阶乘式. 跟踪训练3　(多选)下列等式正确的是 (　　) A.(n+1)= B.=(n-2)！ C.= D.= 答案　ABD 解析　对于A，(n+1)=(n+1)·===，故A正确； 对于B，==(n-2)！，故B正确； 对于C，≠，故C错误； 对于D，=·==，故D正确. 1.知识清单： (1)排列数、排列数公式. (2)阶乘的概念及性质. (3)与排列数公式有关的证明问题. 2.方法归纳：公式法. 3.常见误区：忽视中“n，m∈N*”这个条件. 1.等于 (　　) A.9×3 B.93 C.9×8×7 D.9×8×7×6×5×4×3 答案　C 2.4×5×6×…×(n-1)×n等于 (　　) A. B. C.n！-4！ D. 答案　D 解析　由题意知4×5×6×…×(n-1)×n=n×(n-1)×…×6×5×4=. 3.×3！等于 (　　) A.30　B.60　C.90　D.120 答案　D 解析　×3！=×3！=5！=5×4×3×2×1=120. 4.-6+5=　　　　　.  答案　120 解析　原式=-+==5×4×3×2×1=120. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.设m∈N*，且m<15，则等于 (　　) A.(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)·(25-m) B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m) C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)·(15-m) D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m) 答案　C 解析　是指从20-m开始依次小1的连续的6个数相乘，即(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)·(16-m)(15-m). 2.等于 (　　) A.　B.　C.　D. 答案　A 解析　= ==. 3.已知=100，则x等于 (　　) A.11　B.12　C.13　D.14 答案　C 解析　=100⇒2x·(2x-1)·(2x-2)=100x·(x-1)，则2x·(2x-1)·2(x-1)=100x·(x-1)， 即2x-1=25，解得x=13，经检验满足题意. 4.(多选)与·相等的是 (　　) A. B.81 C.10 D. 答案　ACD 解析　·=10×9×8×7！==10=，81=9. 5.不等式-n<7的解集为 (　　) A.｛n|-1<n<5｝ B.｛1，2，3，4｝ C.｛3，4｝ D.｛4｝ 答案　C 解析　由-n<7，得(n-1)(n-2)-n<7， 即-1<n<5，又因为n∈N*且n-1≥2，所以n=3或4. 6.(多选)下列各式中与排列数相等的是 (　　) A. B.n(n-1)(n-2)…(n-m) C. D. 答案　AD 解析　=， 而=n×=， 所以=，故选AD. 7.(5分)已知=2，则logn25的值为　　　　.  答案　2 解析　因为=2， 所以2n·(2n-1)·(2n-2)=2(n+1)·n·(n-1)·(n-2)， 由题意知n≥3，且n∈N*，整理方程， 解得n=5，所以logn25=2. 8.(5分)(n-1 998)(n-1 999)…(n-2 023)(n-2 024)(n∈N，n>2 024)用排列数可表示为　　　　.  答案　 解析　(n-1 998)(n-1 999)…(n-2 023)(n-2 024)中共有27个数连乘，最大数为n-1 998，故(n-1 998)(n-1 999)…(n-2 023)(n-2 024)=. 9.(10分)计算：. 解　 =·(n-m)！·=1. 10.(10分)求证：==(n+1). 证明　因为=(n+1)·n·(n-1)×…×3×2×1， =(n+1)·n·(n-1)×…×3×2， (n+1)=(n+1)·n！ =(n+1)·n·(n-1)×…×3×2×1， 所以==(n+1). 11.(多选)满足不等式>12的n的值可能为 (　　) A.12　B.11　C.10　D.8 答案　ABC 解析　由排列数公式得>12， 则(n-5)(n-6)>12， 解得n>9或n<2(舍去)， 又n∈N*，根据选项可知，n可以取10，11，12. 12.若S=+++…+，则S的个位数字是 (　　) A.0　B.3　C.5　D.8 答案　B 解析　∵=120， ∴当n≥5时的个位数都为零， 又1！+2！+3！+4！=1+2+6+24=33. 故S的个位数字为3. 13.(多选)下列各式中等于n！的有 (　　) A. B. C. D.n 答案　ABD 解析　=n！，==n！， ==(n+1)！， n=n·(n-1)！=n！. 14.(5分)已知自然数n满足3=2+6，则n=　　　　，=　　　　.  答案　4　4 解析　由3=2+6， 得3(n+1)n(n-1)=2(n+2)(n+1)+6(n+1)n， 整理得3n2-11n-4=0， 由于n∈N*，所以n=4， 所以==4. 15.英国数学家泰勒(B.Taylor，1685-1731)以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世，由泰勒公式，我们能得到e=1++++…++(其中e为自然对数的底数，0<θ<1，n！=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1)，其拉格朗日余项是Rn=.可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确.若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项Rn，Rn不超过时，正整数n的最小值是 (　　) A.5　B.6　C.7　D.8 答案　B 解析　依题意得，(n+1)！≥3 000， (5+1)！=6×5×4×3×2×1=720， (6+1)！=7×6×5×4×3×2×1 =5 040>3 000， 所以n的最小值是6. 16.(11分)一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m>1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？ 解　由题意可知，原有车票种， 现有车票种， 所以-=62， 即(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62， 所以m(2n+m-1)=62=2×31， 因为m<2n+m-1，且n≥2，m，n∈N*， 所以解得 故原有15个车站，现有17个车站. 学科网（北京）股份有限公司 $$