第7章 7.2 第1课时 排 列-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（苏教版2019）

第1课时　排　列 ［学习目标］　1.理解并掌握排列的概念.2.能应用排列知识解决简单的实际问题. 导语 经历了六月高考的洗礼，考生们就可以填报自己理想的大学了.大学录取的依据是根据考生的高考分数和填报的志愿.假设某生在第一志愿中选择了三个喜欢的专业：电子商务、机械设计及自动化、临床医学，这三个专业在填报时填在前面和填在后面有区别吗？ 一、排列概念的理解 问题　从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 提示　 知识梳理 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 注意点： (1)要求m≤n. (2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同. 例1　判断下列问题是否为排列问题. (1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ (2)从1，3，5，7，9中任取3个数字，有多少种方法？若这3个数字组成不同的三位数，又有多少种方法？ (3)从集合M=｛1，2，…，9｝中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程+=1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程-=1？ 解　(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题一样与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题. (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题，从5个数中取3个数，与顺序无关；若这3个数组成不同的三位数，则与顺序有关. (3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题，若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线-=1中，不管a>b还是a<b，方程-=1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题. 反思感悟　判断一个具体问题是否为排列问题的方法 跟踪训练1　判断下列问题是否为排列问题？ (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互写信. 解　(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题. (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题. (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题. (5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题. (6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题. 所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题. 二、画“树形图”写排列 例2　(课本例1)　(1)写出从a，b，c，d这4个字母中，取出2个字母的所有排列； (2)写出从a，b，c，d这4个字母中，取出3个字母的所有排列. 解　(1)把a，b，c，d中的任意一个字母排在第1个位置上，有4种排法；第1个位置上的字母排好后，第2个位置上的字母就有3种排法. 如果第1个位置是a，那么第2个位置可以是b，c或d，有3个排列，即ab，ac，ad. 同理，第1个位置更换为b，c或d，也分别各有3个排列，如图所示. 因此，共计有12个不同的排列，它们是 ab，ac，ad，ba，bc，bd， ca，cb，cd，da，db，dc. (2)根据(1)，从4个字母中取出2个字母的排列有12个，在每一种这样的排列后面排上其余2个字母中的任何一个，就得到取出3个字母的所有排列，如图所示. 因此，共计有24个不同的排列，它们是 abc，abd，acb，acd，adb，adc， bac，bad，bca，bcd，bda，bdc， cab，cad，cba，cbd，cda，cdb， dab，dac，dba，dbc，dca，dcb. 例2　写出 A，B，C，D四名同学站成一排照相的所有可能站法. 解　由题意作“树形图”，如图， 故所有可能的站法是ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA. 延伸探究　写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法. 解　由题意作“树形图”，如图， 故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB. 反思感悟　利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略 (1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式. (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列. 跟踪训练2　从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数，能组成多少个不同的三位数？并写出这些三位数. 解　画出下列树形图： 由树形图知，所有的三位数为102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321. 三、简单的排列问题 例3　(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数； (2)由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数； (3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数. 解　(1)从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有100×99=9 900(个). (2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除， 所以这个四位数的个位数字一定是“0”， 故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有3×2×1=6(个). (3)可以理解为从5家单位中选出4家单位， 分别把4名大学生安排到4家单位， 共有5×4×3×2=120(个)分配方案. 反思感悟　对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步计数原理进行，即采用元素分析法和位置分析法求解. 跟踪训练3　(1)3盆不同品种的花排成一排，共有　　　　种不同的排法.  答案　6 解析　共有3×2×1=6(种)不同的排法. (2)若把英语单词“pear”的字母顺序写错了，则可能出现的错误有　　　　种.  答案　23 解析　因为“p，e，a，r”四个字母共有4×3×2×1=24(种)排法，其中只有排列“pear”是正确的，其余全是错误的，故可能出现的错误共有24-1=23(种). 1.知识清单： (1)排列的概念. (2)“树形图”法列举排列. (3)排列的简单应用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：排列的定义不明确. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(多选)从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，可以看作排列问题的有 (　　) A.加法　B.减法　C.乘法　D.除法 答案　BD 解析　因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题. 2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为 (　　) A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B.甲乙，丙乙、丙甲 C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D.甲乙，甲丙，乙丙 答案　C 3.从1，2，3，4这4个数字中选出3个数字构成无重复数字的三位数有　　　　个.  答案　24 解析　满足条件的三位数共有4×3×2=24(个). 4.有8种不同的菜种，任选4种分别种在不同土质的4块地里，每种菜种种在一块地里，有　　　　种不同的种法.  答案　1 680 解析　将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种分别种在4块不同土质的地里，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题，所以不同的种法共有8×7×6×5=1 680(种). 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.(多选)下列问题是排列问题的为 (　　) A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组 B.从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动 C.从a，b，c，d中选出3个字母 D.从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个没有重复数字的两位数 答案　AD 解析　由排列的定义知AD是排列问题. 2.从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法数为 (　　) A.5　B.10　C.20　D.60 答案　C 解析　不同的送书方法数为5×4=20. 3.3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法数为 (　　) A.3　B.24　C.34　D.43 答案　B 解析　3个学生在4本不同的参考书中各挑选一本，相当于从4个不同元素中选3个的排列，其选法种数为4×3×2=24. 4.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列数为 (　　) A.6　B.4　C.8　D.10 答案　B 解析　列树形图如图. 故所有的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种. 5.四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为 (　　) A.6　B.9　C.12　D.24 答案　B 解析　这四位数列举如下： 1 012，1 021，1 102，1 120，1 201， 1 210，2 011，2 101，2 110，共9个. 6.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a-lg b的不同值的个数是 (　　) A.9　B.10　C.18　D.20 答案　C 解析　首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有5×4=20(种)排法， 因为=，=，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a-lg b的不同值的个数是20-2=18. 7.(5分)从a，b，c，d，e 5个元素中每次取出3个元素，可组成　　　　个以b为首的不同的排列，它们分别是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.  答案　12　bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed 解析　画出树形图如图. 可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed. 8.(5分)现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”“生态”和“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是　　　　.  答案　336 解析　从8名学生干部中选出3名同学排列的种数为8×7×6=336，故共有336种不同的选派方案. 9.(10分)写出下列问题的所有排列： (1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种直达机票？(5分) (2)A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？(5分) 解　(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示. 故符合题意的机票有 北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种. (2)因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，画出树形图如图. 所以符合题意的所有排列是 BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA，共14种. 10.(11分)将玫瑰花、月季花、莲花各一束分别送给甲、乙、丙三人，每人一束，共有多少种不同的分法？请将它们列出来. 解　按分步计数原理的步骤： 第一步，分给甲，有3种分法； 第二步，分给乙，有2种分法； 第三步，分给丙，有1种分法. 故共有3×2×1=6(种)不同的分法. 列出这6种分法，如下： 甲 乙 丙 玫瑰花 月季花 莲花 玫瑰花 莲花 月季花 月季花 玫瑰花 莲花 月季花 莲花 玫瑰花 莲花 玫瑰花 月季花 莲花 月季花 玫瑰花 11.一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序数为 (　　) A.4　B.44　C.24　D.48 答案　C 解析　一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序数为4×3×2×1=24. 12.甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有 (　　) A.4种　B.5种　C.6种　D.12种 答案　C 解析　若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法. 13.将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 (　　) A.12种　B.18种　C.24种　D.36种 答案　A 解析　先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有3×2×1=6(种)不同的排法，再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法，所以共有6×2×1=12(种)不同的排法. 14.(5分)从集合｛0，1，2，5，7，9，11｝中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有　　　　条.  答案　30 解析　易知过原点的直线方程的常数项为0，则C=0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A，B，属于排列问题，所以符合条件的直线条数为6×5=30(条). 15.(多选)我国古代的《易经》与“二进制”有着一定的联系，该书中有两类最基本的符号：“——”和“--”，其中“——”在二进制中记作“1”，“--”在二进制中记作“0”，其转化原理与“逢二进一”的法则相通，如符号“”对应的二进制数011(2)转化为十进制数的计算为011(2)=0×22+1×21+1×20=3.若从两类符号中任取2个符号排列，则组成的十进制数可以为 (　　) A.1　B.2　C.4　D.6 答案　AB 解析　根据题意，从两类符号中任取2个符号排列的情况可分为三类.第一类，由两个“——”组成，二进制数为11(2)，转化为十进制数为1×21+1×20=3；第二类，由两个“--”组成，二进制数为00(2)，转化为十进制数为0×21+0×20=0；第三类，由一个“——”和一个“--”组成，二进制数为10(2)或01(2)，转化为十进制数为1×21+0×20=2或0×21+1×20=1.所以从两类符号中任取2个符号排列，可以组成的不同的十进制数为0，1，2，3.故选AB. 16.(12分)某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法. 解　如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下： a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 <<< 第1课时 排　列 1 1.理解并掌握排列的概念. 2.能应用排列知识解决简单的实际问题. 学习目标 经历了六月高考的洗礼，考生们就可以填报自己理想的大学了.大学录取的依据是根据考生的高考分数和填报的志愿.假设某生在第一志愿中选择了三个喜欢的专业：电子商务、机械设计及自动化、临床医学，这三个专业在填报时填在前面和填在后面有区别吗？ 导 语 一、排列概念的理解 二、画“树形图”写排列 课时对点练 三、简单的排列问题 随堂演练 内容索引 一 排列概念的理解 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 问题 提示　 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照 排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 一定的顺序 知识梳理 (1)要求m≤n. (2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同. 注 意 点 <<< 8 　　　判断下列问题是否为排列问题. (1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ 例 1 第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题一样与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题. 9 (2)从1，3，5，7，9中任取3个数字，有多少种方法？若这3个数字组成不同的三位数，又有多少种方法？ 第一问不是排列问题，第二问是排列问题，从5个数中取3个数，与顺序无关；若这3个数组成不同的三位数，则与顺序有关. 10 (3)从集合M=｛1，2，…，9｝中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程+=1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程-=1？ 11 第一问不是排列问题，第二问是排列问题，若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线-=1中，不管a>b还是a<b，方程-=1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题. 12 判断一个具体问题是否为排列问题的方法 反 思 感 悟 13 　　　　　判断下列问题是否为排列问题？ (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； 跟踪训练 1 (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互写信. 14 (1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题. (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题. (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题. (5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题. (6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题. 所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题. 15 二 画“树形图”写排列 　　　(课本例1)　(1)写出从a，b，c，d这4个字母中，取出2个字母的所有排列； 例 2 17 把a，b，c，d中的任意一个字母排在第1个位置上，有4种排法；第1个位置上的字母排好后，第2个位置上的字母就有3种排法. 如果第1个位置是a，那么第2个位置可以是b，c或d，有3个排列，即ab，ac，ad. 同理，第1个位置更换为b，c 或d，也分别各有3个排列， 如图所示. 因此，共计有12个不同的排列，它们是 ab，ac，ad，ba，bc，bd， ca，cb，cd，da，db，dc. 18 (2)写出从a，b，c，d这4个字母中，取出3个字母的所有排列. 19 根据(1)，从4个字母中取出2个字母的排列有12个，在每一种这样的排列后面排上其余2个字母中的任何一个，就得到取出3个字母的所有排列，如图所示. 因此，共计有24个不同的排 列，它们是 abc，abd，acb，acd，adb，adc， bac，bad，bca，bcd，bda，bdc， cab，cad，cba，cbd，cda，cdb， dab，dac，dba，dbc，dca，dcb. 20 　　　写出 A，B，C，D四名同学站成一排照相的所有可能站法. 例 2 21 由题意作“树形图”，如图， 故所有可能的站法是ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA. 22 写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法. 由题意作“树形图”，如图， 延伸探究 故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB. 23 反 思 感 悟 (1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式. (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列. 利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略 　　　　　从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数，能组成多少个不同的三位数？并写出这些三位数. 跟踪训练 2 画出下列树形图： 由树形图知，所有的三位数为102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321. 25 三 简单的排列问题 　　　(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数； 例 3 从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有100×99=9 900(个). (2)由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数； 因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除， 所以这个四位数的个位数字一定是“0”， 故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有3×2×1=6(个). 27 (3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数. 可以理解为从5家单位中选出4家单位， 分别把4名大学生安排到4家单位， 共有5×4×3×2=120(个)分配方案. 28 反 思 感 悟 对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步计数原理进行，即采用元素分析法和位置分析法求解. 　　　　　(1)3盆不同品种的花排成一排，共有　　种不同的排法.  跟踪训练 3 6 共有3×2×1=6(种)不同的排法. 30 (2)若把英语单词“pear”的字母顺序写错了，则可能出现的错误有　种.  23 因为“p，e，a，r”四个字母共有4×3×2×1=24(种)排法，其中只有排列“pear”是正确的，其余全是错误的，故可能出现的错误共有24-1=23(种). 31 1.知识清单： (1)排列的概念. (2)“树形图”法列举排列. (3)排列的简单应用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：排列的定义不明确. 课堂小结 32 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，可以看作排列问题的有 A.加法　 B.减法　 C.乘法　 D.除法 因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题. √ √ 2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为 A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B.甲乙，丙乙、丙甲 C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D.甲乙，甲丙，乙丙 1 2 3 4 √ 3.从1，2，3，4这4个数字中选出3个数字构成无重复数字的三位数有　　个.  1 2 3 4 满足条件的三位数共有4×3×2=24(个). 24 4.有8种不同的菜种，任选4种分别种在不同土质的4块地里，每种菜种种在一块地里，有　　　　种不同的种法.  1 2 3 4 将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种分别种在4块不同土质的地里，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题，所以不同的种法共有8×7×6×5=1 680(种). 1 680 课时对点练 五 1.(多选)下列问题是排列问题的为 A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组 B.从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动 C.从a，b，c，d中选出3个字母 D.从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个没有重复数字的 两位数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ 由排列的定义知AD是排列问题. 2.从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法数为 A.5　 B.10　 C.20　 D.60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 不同的送书方法数为5×4=20. √ 3.3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法数为 A.3　 B.24　 C.34　 D.43 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3个学生在4本不同的参考书中各挑选一本，相当于从4个不同元素中选3个的排列，其选法种数为4×3×2=24. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列数为 A.6　 B.4　 C.8　 D.10 √ 列树形图如图. 故所有的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种. 5.四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为 A.6　 B.9　 C.12　 D.24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 这四位数列举如下： 1 012，1 021，1 102，1 120，1 201， 1 210，2 011，2 101，2 110，共9个. 6.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a-lg b的不同值的个数是 A.9　 B.10　 C.18　 D.20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有5×4=20(种)排法， 因为=，=，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a-lg b的不同值的个数是20-2=18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.从a，b，c，d，e 5个元素中每次取出3个元素，可组成　　个以b为首的不同的排列，它们分别是______________________________________ ________________________.  12 bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda， bdc，bde，bea，bec，bed 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 画出树形图如图. 可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”“生态”和“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是　　　　.  从8名学生干部中选出3名同学排列的种数为8×7×6=336，故共有336种不同的选派方案. 336 49 9.写出下列问题的所有排列： (1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种直达机票？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 列出每一个起点和终点情况， 如图所示. 故符合题意的机票有 北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种. (2)A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，画出树形图如图. 所以符合题意的所有排列是 BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA，共14种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.将玫瑰花、月季花、莲花各一束分别送给甲、乙、丙三人，每人一束，共有多少种不同的分法？请将它们列出来. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 按分步计数原理的步骤： 第一步，分给甲，有3种分法； 第二步，分给乙，有2种分法； 第三步，分给丙，有1种分法. 故共有3×2×1=6(种)不同的分法. 列出这6种分法，如右： 甲 乙 丙 玫瑰花 月季花 莲花 玫瑰花 莲花 月季花 月季花 玫瑰花 莲花 月季花 莲花 玫瑰花 莲花 玫瑰花 月季花 莲花 月季花 玫瑰花 11.一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序数为 A.4　 B.44　 C.24　 D.48 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序数为4×3×2×1=24. 12.甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有 A.4种　 B.5种　 C.6种　 D.12种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法. 13.将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 A.12种　 B.18种　 C.24种　 D.36种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有3×2×1=6(种)不同的排法，再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法，所以共有6×2×1=12(种)不同的排法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.从集合｛0，1，2，5，7，9，11｝中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有　　条.  易知过原点的直线方程的常数项为0，则C=0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A，B，属于排列问题，所以符合条件的直线条数为6×5=30(条). 30 15.(多选)我国古代的《易经》与“二进制”有着一定的联系，该书中有两类最基本的符号：“——”和“--”，其中“——”在二进制中记作“1”，“--”在二进制中记作“0”，其转化原理与“逢二进一”的法则相通，如符号“ ”对应的二进制数011(2)转化为十进制数的计算为011(2)=0×22+1×21+1×20=3.若从两类符号中任取2个符号排列，则组成的十进制数可以为 A.1　 B.2　 C.4　 D.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，从两类符号中任取2个符号排列的情况可分为三类.第一类，由两个“——”组成，二进制数为11(2)，转化为十进制数为1×21+1 ×20=3；第二类，由两个“--”组成，二进制数为00(2)，转化为十进制数为0×21+0×20=0；第三类，由一个“——”和一个“--”组成，二进制数为10(2)或01(2)，转化为十进制数为1×21+0×20=2或0×21+1×20=1.所以从两类符号中任取2个符号排列，可以组成的不同的十进制数为0，1，2，3.故选AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下： a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种. 第一章 <<< $$