3.1 同底数幂的乘法（第二课时）（讲练）（11大题型72题）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（浙教版2024）

幂的乘方的意义 幂的乘方是指几个相同的幂相乘， (,都是正整数)表示个相乘. 幂的乘方法则 幂的乘方,底数不变,指数相乘,即= (,都是正整数). “底数不变”是指幂的底数不变，“指数相乘”是指幂的指数与乘方的指数相乘. 提示:(1)幂的乘方法则是根据乘方的意义和同底数幂的乘法法则推出的. (2)应用此法则时应注意：①底数不发生变化;②指数应相乘. (3)此法则可以逆用:== (,都是正整数). (4)此法则可推广为=(,,都是正整数). (5)底数可以是一个单项式，也可以是一个多项式. 【基础练习】 【练习1-1】下列不属于幂的乘方的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n为正整数）． 【详解】解：A，B，D是幂的乘方，C是积的乘方． 故选C． 【练习1-2】下列变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，该选项正确，不符合题意， B、，该选项正确，不符合题意， C、，该选项不正确，符合题意， D、，该选项正确，不符合题意， 故选：C ． 【练习1-3】计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】直接运用幂的乘方法则进行运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【练习1-4】一般地，n个相同因数a相乘，即，记作，这种运算叫做乘方，由乘方的意义，我们可以得到：，自己换几个数试试，例如：． (1)发现：________，________； (2)归纳概括：________（m，n都是正整数）； (3)利用（2）的公式，请计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键． （1）根据题意得出，，结合同底数幂的乘法法则即可解答； （2）根据题意得出结合同底数幂的乘法法则即可解答； （3）根据（2）中的结论，进行计算即可． 【详解】（1）解：； ， 故答案为：，； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 积的乘方的意义 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方 积的乘方法则 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即”= (为正整数). 提示：(1)积的乘方法则是根据正整数幂的意义和乘法运算律推出的. (2)三个或三个以上的因式的积的乘方，也具备这一性质，如”=(为正整数). (3)此法则可逆用,即= (为正整数),逆向应用可将算式灵活变形或简化计算. (4)公式中的，可以表示单项式或多项式. 【基础练习】 【练习2-1】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算，根据积的乘方法则和幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【练习2-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的法则分别计算即可； （2）根据积的乘方、整式的加减的法则分别计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 【练习2-3】若，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方，熟练掌握积的乘方和幂的乘方逆用是解题的关键； 根据积的乘方和幂的乘方的逆用变形得，然后代入即可解答． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式 ． 【典例】计算，其结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算．直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故选：A． 【变式1-1】计算 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，本题根据两种幂的运算法则，先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可. 【详解】解：， 故答案为： 【变式1-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 注意: (1)不要把幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则混淆：幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变）；同底数幂的乘法运算是转化为指数的加法运算（底数不变）.(2)要注意符号的变化 【典例】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键．利用积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式2-1】计算：（n2）3•（n4）2＝　 　． 【答案】n14 【解析】 【分析】先利用幂的乘方运算法则计算乘方，然后根据同底数幂的乘法法则计算乘法． 【详解】解：原式＝n6•n8 ＝n14， 故答案为：n14． 【变式2-2】计算： (1)； (2)（结果用科学记数法表示） 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的有关运算和科学记数法，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、积的乘方和幂的乘方法则． （1）先根据同底数幂相乘法则、积的乘方和幂的乘方法则进行乘法和乘方，最后合并同类项即可； （2）先根据积的乘方法则和幂的乘方法则计算乘方，再用科学记数法表示结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 注意：在运用积的乘方法则时，要分清积中有多少个因式，每一个因式需分别乘方，不要漏掉任何一项 【典例】已知，，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，正确掌握相应的运算法则是解题的关键． 先根据幂的乘方求出，，再根据同底数幂乘法的逆运算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选B． 【变式3-1】已知，则的值为 ． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式3-2】已知，求 【答案】144 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方及积的乘方的运算法则，熟记对应法则是解题的关键．根据幂的乘方及积的乘方的运算法则即可解答． 【详解】解： ， 则． 规律总结：在进行幂的化简求值时，当有指数相同的两个幂或几个幂相乘时，若底数的积易求，则逆用积的乘方法则= (为正整数)可先把底数相乘再做乘方运算；当出现指数部分为积的形式的幂时，可逆用幂的乘方法则= (,都是正整数),写成幂的乘方形式简便运算. 【典例】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，原运算正确，符合题意； 故选D． 【变式4-1】下列等式中正确的个数是（　　） ①a5+a5＝a10；②（﹣a）6•（﹣a）3•a＝a10；③﹣a4•（﹣a）5＝a20；④25+25＝26． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】 【分析】①和④利用合并同类项来做；②③都是利用同底数幂的乘法运算法则做（注意一个负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数）． 【详解】解：①∵a5+a5＝2a5，故①的答案不正确； ②∵（﹣a）6•（﹣a）3•a＝﹣a10 故②的答案不正确； ③∵﹣a4•（﹣a）5＝a9，故③的答案不正确； ④25+25＝2×25＝26．故④的答案正确； 所以正确的个数是1， 故选：B． 【变式4-2】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是正确的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是错误的； 故选：B． 【典例】计算x2•x3+（﹣x）5+（x2）3的结果是 　 　． 【答案】x6 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方以及合并同类项进行计算即可． 【详解】解：原式＝x5﹣x5+x6 ＝x6， 故答案为：x6． 【变式5-1】计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据同底数幂的乘法及幂的乘方可直接进行求解； （2）根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法及合并同类项可直接进行求解． 【详解】解：（1）原式=； （2）原式=． 【变式5-2】计算：（﹣3a2）3+（4a3）2﹣a2•a4． 【答案】 【解析】 【分析】原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果． 【详解】解：（﹣3a2）3+（4a3）2﹣a2•a4 = = = 注意：进行幂的混合运算，首先要注意幂的运算顺序，其次要正确运用幂的运算法则，最后要注意合并同类项. 【典例】若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，解一元一次方程，代数式求值等知识点，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键． 由可得，，解方程即可求出、的值，然后将其代入求值即可． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 故选：． 【变式6-1】若，则满足的关系式是 ． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵ ∴， ∵，且， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】计算： (1)已知，求n的值． (2)已知，求m的值． 【答案】(1)2 (2)3 【解析】 【分析】（1）利用幂的乘方法则变形得到，即可求解； （2）运用幂的乘方，把底数都化为3的形式，结合同底数幂的乘法，列出关于的方程求解． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：； （2）， ， 即， ， 解得． 【典例】已知，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】化成底数为3的幂，比较指数的大小即可判定． 【详解】解：因为，，， 因为 所以， 故选A． 【变式7-1】已知，，，试比较a，b，c的大小并用“”把它们连接起来： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到，，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式7-2】在比较幂的大小时，小宇同学发现：对于正整数，，，若，，则；若，则．请运用此规律解决下列问题： (1)比较大小：_______（填“>”“<”或“=”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1)< (2) 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，比较幂的大小，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意并将利用幂的乘法法则变形为，比较即可得解； （2）根据幂的乘方法则将，，进行变形，再结合若，则比较即可得解． 【详解】（1）解：∵若，，则，， ∴； （2）解：∵，，，且， ∴， ∴，即． 方法技巧：幂的大小比较方法 比较幂的大小，一般要逆向运用幂的乘方法则，化成相同的底数，通过比较指数的大小来比较幂的大小；或者化成相同的指数，通过比较底数的大小来比较幂的大小。 【典例】计算的结果是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】利用积的乘方与同底数幂的乘法的法则对式子进行运算即可． 【详解】解： ＝22021×（﹣）2021×（﹣） ＝（﹣×2）2021×（﹣） ＝（﹣1）2021×（﹣） ＝﹣1×（﹣） ＝， 故选：C． 【变式8-1】简便计算：= ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方的逆运算、同底数幂乘法的逆运算，根据积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算进行计算即可． 【详解】原式=== . 【变式8-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)3 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方运算法则． （1）利用幂的乘方和积的乘方计算； （2）利用幂的乘方和积的乘方计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：． ． 【典例】若为正整数，且，则的值为 _______ ． 【答案】2891 【解析】 【分析】用幂的乘方法则将原式变形为，然后代入求值计算即可． 【详解】解：原式， 因为， 所以，原式 故答案为：2891 【变式9-1】先化简再求值其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式化简求值，运用幂的公式进行运算，合并同类项，代值计算，即可求解；掌握幂的运算公式：，及其逆用是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【变式9-2】化简求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算积的乘方，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【典例】我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，如：．若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算．根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：∵ 由新运算，可知， 故选D． 【变式10-1】定义一种新的运算“”，若，则． ①依定义， ； ②若，则 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方等知识，①直接根据新定义即可求解设，②，，根据新运算定义用表示得方程即可求解，理解并运用新运算的定义是解题的关键． 【详解】解：①依题意可得， ∴， ∴， 设，， ②依题意可知：，， ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：，． 【变式10-2】规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么． 例如：因为，所以(2，8)=3． （1）根据上述规定，填空： （5，125）= ，（-2，4）= ，（-2，1）= ； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：，他给出了如下的证明： 设，则，即 ∴，即， ∴． 请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由． (4，7)＋(4，8)=(4，56) 【答案】（1）3、2、0 ；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义新运算分别进行计算，即可得答案； （2）设（4，7）=x，（4，8）=y，根据同底数幂的乘法法则即可求解． 【详解】解：（1）53=125，（5，125）=3， （-2）2=4，（-2，4）=2， （-2）0=1，（-2，1）=0，               故答案为：3；2；0； （2）设（4，7）=x，（4，8）=y， ∴                ∴        ∵              ∴                       ∴(4，56)=x+y， ∴(4，56)= (4，7)+(4，8) ∴等式成立 【典例】解答下列问题： （1）已知，，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）1500；（2）27 【解析】 【分析】（1）先逆用积的乘方和幂的乘方运算法则，然后将已知代入即可解答； （1）先由得3x+4y=3，然后逆用积的乘方和幂的乘方运算法则将 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 【变式11-1】若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求的值． (2)若，，用含的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． （1）由题意得出，即可得出答案； （2）将代入可得答案． 【详解】（1）解：． ， ， ； （2）解：， ， ． 【变式11-2】（1）若，，求的值； （2）若，求的值； （3）比较大小：，，． 【答案】（1）108；（2）8；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据求解即可； （3）先得到，，，然后比较大小即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴； （3），， ∵， ∴． 1．下列计算正确的是（　　） A．b3•b3＝2b3 B．（ab2）3＝ab6 C．（a5）2＝a10 D．（a3）2•a4＝a9 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方与积的乘方运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A．b3•b3＝b6，故本选项不合题意； B．（ab2）3＝a2b6 ，故本选项不合题意； C．（a5）2＝a10，故本选项符合题意； D．（a3）2•a4＝a10，故本选项不合题意． 故选：C． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】由积的乘方法则与幂的乘方法则即可完成计算． 【详解】解：， 故选：A． 3．已知，，则的值（    ） A．200 B．60 C．150 D．80 【答案】A 【解析】 【分析】先根据幂的乘方求出，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故选A． 4．已知，，则的值是（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法与幂的乘方的逆用得到的值，代入原式计算． 【详解】解：，， ， 即， ， ． 故选：B． 5．已知a＝3231，b＝1641，c＝821，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞a＞c 【答案】D 【解析】 【分析】把a，b，c化成以2为底数的幂的形式，再进行大小比较即可． 【详解】解：∵a＝3231＝（25）31＝2155，b＝1641＝（24）41＝2164，c＝821＝（23）21＝263， ∴c＜a＜b． 故选：D． 6．若，则下列的结果正确的是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】先确定原式的符号，再化为，从而可得答案． 【详解】解： 故选C． 7．对于非零的两个有理数a，b定义一种新运算，规定．若，则的值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．16 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，新定义，根据新定义结合幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法法则得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8．已知三个非零实数a、b、c，满足，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】将c看作常数，可以得到关于a、b的二元一次方程组，解方程用c表示出a、b，在逐项判断即可． 【详解】将c看作常数，可以得到关于a、b的二元一次方程组， 即：， 解得：，且三个非零实数a、b、c， A项，，与相矛盾，故本项不符合题意； B项，结合，可得，故本项不符合题意； C项，结合，可得，故本项不符合题意； D项，结合，可得，故本项符合题意； 故选：D． 9．填空： （1）___________；                   （2）___________； （3）___________；                   （4）___________． 【答案】                    【解析】 【分析】根据幂的乘方的运算法则计算即可． 【详解】根据幂的乘方计算解答即可． 解：（1）；（2）； （3）；（4）； 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）． 10．计算：（1） ；（2）= ；（3）= ． 【答案】 / / 【解析】 【分析】（）利用积的乘法运算法则即可求解； （）利用积的乘法运算法则和幂的乘方运算法则即可求解； （）利用积的乘法运算法则即可求解； 本题考查了积的乘法运算和幂的乘方运算，掌握积的乘法运算法则和幂的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为：； （）， 故答案为：； （）， 故答案为：． 11．已知． （1）计算的结果为 （2）计算的结果为 ． 【答案】 6 108 【解析】 【分析】本题考查积的乘方及幂的乘方的性质，熟练掌握相关运算性质并灵活运用是解题的关键． （1）根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可． （2）根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，再用幂的乘方的逆运算法则计算即可． 【详解】解：（1）， （2）． 故答案为：（1）6；（2）108． 12．如果，则等于 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方法则是解题关键．根据幂的乘方法则计算已知等式的左边，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．已知，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】先将转化为以2为底数的幂的形式，然后求出，，最后代入计算即可． 【详解】∵，，，，， ∴，， ∴，， ∴原式， 故答案为1． 14．若，，，则a、b、c之间满足的等量关系成立的是 ①；②；③；④ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂的乘法，解答本题的关键是熟练掌握“同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加”． ②可根据同底数幂乘法法则判断；①可根据幂的乘方的逆用，同底数幂除法法则判断；③可根据同底数幂乘法的逆用判断． 【详解】解：，, ， ， ，②关系成立； ， ，①关系成立； ， ，③关系成立； 则①②③成立， 故答案为：①②③． 15．比较大小： （用“＞”“＜”或“＝”填空）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运用，先整理，，结合，得出，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ 故答案为：＞． 16．计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法逆用，积的乘方的逆用，根据积的乘方运算的逆运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 17．规定a*b＝2a×2b，例如：1*2＝21×22＝23＝8，若2*（x+1）＝64，则x的值为 　 　．、 【答案】3 【解析】 【分析】把相应的值代入新定义的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行求解即可． 【详解】解：∵2*（x+1）＝64， ∴22×2x+1＝26， 则22+x+1＝26， ∴2+x+1＝6， 解得：x＝3． 故答案为：3． 18．若m，n均为正整数，且 2m−1×4n=32，则m+n的所有可能值为 ． 【答案】4或 5/5或4 【解析】 【分析】先根据同底数幂的乘法和乘方进行变形：2m−1×22n＝2m−1＋2n＝25，得到m＋2n−1＝5，由m和n为正整数进行讨论即可得到答案． 【详解】解：∵原式＝2m−1×22n＝2m−1+2n＝25， ∴m＋2n−1＝5， ∴n＝， ∵m，n为正整数， ∴当m＝2时，n＝2， 当m＝4时，n＝1， ∴m＋n＝2＋2＝4或m＋n＝4＋1＝5． 故答案为：4或5． 19．（1）计算：； （2）计算：； 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】（1）应用幂的乘方与积的乘方及同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案； （2）应用幂的乘方法则进行计算即可得出答案； 【详解】解：（1）原式； （2）原式； 20．计算； 【答案】 【解析】 【分析】由积的乘方进行化简，然后合并同类项，即可求出答案； 【详解】解：； 21．计算； (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则化简后，再合并同类项即可； （2）根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则化简计算即可； （3）根据积的乘方运算法则化简后，再合并同类项即可； （4）根据积的乘方运算法则化简后，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 22．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)16 (3) (4) 【解析】 【分析】（1）根据积的乘方运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （4）根据有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 23．已知，求：； 【答案】108； 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用同底数幂的乘法的法则进行求解即可； 【详解】， ． 24．若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则_______； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 【分析】（）根据（且，是正整数），则即可求解； （）根据幂的乘方法则计算即可； （）根据同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方法则计算即可； 本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）∵， ∴， ， ∴， ∴， 解得：． 25．（1）已知，求的值． （2）已知：，求的值． （3）已知，求的值． （4）已知，求m的值． 【答案】（1）；（2）；（3）16；（4） 【解析】 【分析】（1）根据幂的除法运算法则再逆用幂的乘方即可求解； （2）利用幂的运算法则都化成底数为x2n的形式，即可求解； （3）把8x化成底数为2的幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则计算即可； （4）都化成底数为3的幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则计算得到关于m的一元一次方程，再解即可． 【详解】解：（1）（1）∵， ∴； （2）∵x2n=3， ∴ = = =． （3）∵， ∴； （4）∵， ∴，即， ∴，解得． 26．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【解析】 【分析】（1）先将小数化为分数，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （3）根据乘法结合律和积的乘方逆运算，先计算后两项乘积，再求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 27．先化简，再求值：，其中 【答案】，-37 【解析】 【分析】利用积的乘方与幂的乘方运算法则先计算乘方，然后算乘法，再算加法，结合绝对值和偶次幂的非负性确定a和b的值，从而代入求值． 【详解】解：原式＝ ∵，且，， ∴，b−2＝0， 解得：，b＝2， ∴原式 ． 28．阅读探究题： 【阅读材料】 比较两个底数大于的正数幂的大小，可以在底数或指数相同的情况下，比较指数或底数的大小， 如：，． 在底数或指数不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与， 解：， ， ． ． (1)上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质（______ ） A．同底数幂的乘法   B．同底数幂的除法   C．幂的乘方   D．积的乘方 (2)类比解答：比较，的大小． (3)拓展提高：比较，，的大小． 【答案】(1)C (2) (3) 【解析】 【分析】根据幂的乘方运算法则判断即可； 根据幂的乘方运算法则解答即可； 根据幂的乘方运算法则解答即可． 【详解】（1）上述求解过程中，运用了幂的乘方的运算性质， 故答案为：； （2），， ， ； （3），，， ， ． 29．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，那么（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”． 例如：∵23＝8，∴（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义证明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下： 设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5． ∴3m•3n＝3m+n＝3×5＝15． ∴（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（2，4）＝　 　； （5，25）＝　 　； （3，27）＝　 　． （2）计算：（5，2）+（5，7）＝　　，并说明理由． （3）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c． 【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）根据上述规定即可得到结论； （2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）根据新定义可得3a×3b＝3c，由此可得答案． 【详解】解：（1）∵22＝4， ∴（2，4）＝2； ∵52＝25， ∴（5，25）＝2； ∵33＝27， ∴（3，27）＝3； 故答案为：2，2，3． （2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y， 则5x＝2，5y＝7， ∴5x+y＝5x•5y＝14， ∴（5，14）＝x+y， ∴（5，2）+（5，7）＝（5，14）． 故答案为：（5，14）； （3）∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c， ∴3a＝5，3b＝6，3c＝30， ∴3a×3b＝30， ∴3a×3b＝3c， ∴a+b＝c 30．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果，（，且），那么数叫做以为底的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，，． (1)解方程：， ________； (2)求值：________； (3)计算：________； (4)计算：． 【答案】(1)2 (2)3 (3)1 (4) 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数的运算、同底数幂相乘，理解题意的新运算是解此题的关键． （1）由题意可得，求解即可； （2）由结合题意计算即可得解； （3）根据计算即可得解； （4）根据题干所给公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解： ． 1．（2024·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（2022·贵州黔西·中考真题）计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【详解】= 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 幂的乘方的意义 幂的乘方是指几个相同的幂相乘， (,都是正整数)表示个相乘. 幂的乘方法则 幂的乘方,底数不变,指数相乘,即= (,都是正整数). “底数不变”是指幂的底数不变，“指数相乘”是指幂的指数与乘方的指数相乘. 提示:(1)幂的乘方法则是根据乘方的意义和同底数幂的乘法法则推出的. (2)应用此法则时应注意：①底数不发生变化;②指数应相乘. (3)此法则可以逆用:== (,都是正整数). (4)此法则可推广为=(,,都是正整数). (5)底数可以是一个单项式，也可以是一个多项式. 【基础练习】 【练习1-1】下列不属于幂的乘方的是（   ） A． B． C． D． 【练习1-2】下列变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 【练习1-3】计算：______． 【练习1-4】一般地，n个相同因数a相乘，即，记作，这种运算叫做乘方，由乘方的意义，我们可以得到：，自己换几个数试试，例如：． (1)发现：________，________； (2)归纳概括：________（m，n都是正整数）； (3)利用（2）的公式，请计算：． 积的乘方的意义 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方 积的乘方法则 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即”= (为正整数). 提示：(1)积的乘方法则是根据正整数幂的意义和乘法运算律推出的. (2)三个或三个以上的因式的积的乘方，也具备这一性质，如”=(为正整数). (3)此法则可逆用,即= (为正整数),逆向应用可将算式灵活变形或简化计算. (4)公式中的，可以表示单项式或多项式. 【基础练习】 【练习2-1】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【练习2-2】计算： (1)； (2)． 【练习2-3】若，，求的值． 【典例】计算，其结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】计算 ． 【变式1-2】计算： (1)； (2)． 注意: (1)不要把幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则混淆：幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变）；同底数幂的乘法运算是转化为指数的加法运算（底数不变）.(2)要注意符号的变化 【典例】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】计算：（n2）3•（n4）2＝　 　． 【变式2-2】计算： (1)； (2)（结果用科学记数法表示） 注意：在运用积的乘方法则时，要分清积中有多少个因式，每一个因式需分别乘方，不要漏掉任何一项 【典例】已知，，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 【变式3-1】已知，则的值为 ． 【变式3-2】已知，求 规律总结：在进行幂的化简求值时，当有指数相同的两个幂或几个幂相乘时，若底数的积易求，则逆用积的乘方法则= (为正整数)可先把底数相乘再做乘方运算；当出现指数部分为积的形式的幂时，可逆用幂的乘方法则= (,都是正整数),写成幂的乘方形式简便运算. 【典例】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列等式中正确的个数是（　　） ①a5+a5＝a10；②（﹣a）6•（﹣a）3•a＝a10；③﹣a4•（﹣a）5＝a20；④25+25＝26． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式4-2】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例】计算x2•x3+（﹣x）5+（x2）3的结果是 　 　． 【变式5-1】计算： （1） （2） 【变式5-2】计算：（﹣3a2）3+（4a3）2﹣a2•a4． 注意：进行幂的混合运算，首先要注意幂的运算顺序，其次要正确运用幂的运算法则，最后要注意合并同类项. 【典例】若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】若，则满足的关系式是 ． 【变式6-2】计算： (1)已知，求n的值． (2)已知，求m的值． 【典例】已知，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知，，，试比较a，b，c的大小并用“”把它们连接起来： ． 【变式7-2】在比较幂的大小时，小宇同学发现：对于正整数，，，若，，则；若，则．请运用此规律解决下列问题： (1)比较大小：_______（填“>”“<”或“=”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 方法技巧：幂的大小比较方法 比较幂的大小，一般要逆向运用幂的乘方法则，化成相同的底数，通过比较指数的大小来比较幂的大小；或者化成相同的指数，通过比较底数的大小来比较幂的大小。 【典例】计算的结果是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【变式8-1】简便计算：= ． 【变式8-2】计算： (1)； (2)． 【典例】若为正整数，且，则的值为 _______ ． 【变式9-1】先化简再求值其中，． 【变式9-2】化简求值：，其中，． 【典例】我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，如：．若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】定义一种新的运算“”，若，则． ①依定义， ； ②若，则 ． 【变式10-2】规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么． 例如：因为，所以(2，8)=3． （1）根据上述规定，填空： （5，125）= ，（-2，4）= ，（-2，1）= ； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：，他给出了如下的证明： 设，则，即 ∴，即， ∴． 请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由． (4，7)＋(4，8)=(4，56) 【典例】解答下列问题： （1）已知，，求的值； （2）若，求的值． 【变式11-1】若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求的值． (2)若，，用含的代数式表示． 【变式11-2】（1）若，，求的值； （2）若，求的值； （3）比较大小：，，． 1．下列计算正确的是（　　） A．b3•b3＝2b3 B．（ab2）3＝ab6 C．（a5）2＝a10 D．（a3）2•a4＝a9 2．计算：（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则的值（    ） A．200 B．60 C．150 D．80 4．已知，，则的值是（    ） A．-1 B．0 C． D．1 5．已知a＝3231，b＝1641，c＝821，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞a＞c 6．若，则下列的结果正确的是（　　） A．1 B． C． D． 7．对于非零的两个有理数a，b定义一种新运算，规定．若，则的值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．16 8．已知三个非零实数a、b、c，满足，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．填空： （1）___________；                   （2）___________； （3）___________；                   （4）___________． 10．计算：（1） ；（2）= ；（3）= ． 11．已知． （1）计算的结果为 （2）计算的结果为 ． 12．如果，则等于 ． 13．已知，，则______． 14．若，，，则a、b、c之间满足的等量关系成立的是 ①；②；③；④ 15．比较大小： （用“＞”“＜”或“＝”填空）． 16．计算： ． 17．规定a*b＝2a×2b，例如：1*2＝21×22＝23＝8，若2*（x+1）＝64，则x的值为 　 　．、 18．若m，n均为正整数，且 2m−1×4n=32，则m+n的所有可能值为 ． 19．（1）计算：； （2）计算：； 20．计算； 21．计算； (1)； (2)； (3)； (4)． 22．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．已知，求：； 24．若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则_______； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值． 25．（1）已知，求的值． （2）已知：，求的值． （3）已知，求的值． （4）已知，求m的值． 26．用简便方法计算： (1)； (2)． 27．先化简，再求值：，其中 28．阅读探究题： 【阅读材料】 比较两个底数大于的正数幂的大小，可以在底数或指数相同的情况下，比较指数或底数的大小， 如：，． 在底数或指数不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与， 解：， ， ． ． (1)上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质（______ ） A．同底数幂的乘法   B．同底数幂的除法   C．幂的乘方   D．积的乘方 (2)类比解答：比较，的大小． (3)拓展提高：比较，，的大小． 29．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，那么（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”． 例如：∵23＝8，∴（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义证明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下： 设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5． ∴3m•3n＝3m+n＝3×5＝15． ∴（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（2，4）＝　 　； （5，25）＝　 　； （3，27）＝　 　． （2）计算：（5，2）+（5，7）＝　　，并说明理由． （3）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c． 30．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果，（，且），那么数叫做以为底的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，，． (1)解方程：， ________； (2)求值：________； (3)计算：________； (4)计算：． 1．（2024·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·贵州黔西·中考真题）计算正确的是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$