第十一章 习题课 空间角的求解-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第四册教师用书（人教B版2019）

习题课　空间角的求解 [学习目标]　理解异面直线所成的角，直线和平面所成的角及二面角，并掌握其求解方法. 导语 空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求.空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的总称.空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系中求解.空间角的求法一般是：一找、二证、三计算. 一、异面直线所成的角 例1　已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，且BC=2，PA=AD=AB=1，求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小. 解　如图，过点C作CE∥BD交AD的延长线于E，连接PE，AC，则PC与BD所成的角为∠PCE或它的补角. 由作法可得四边形BCED为平行四边形， 所以CE=BD=，且PE==， AC==，PC==， 由余弦定理得 cos∠PCE==-， ∴PC与BD所成角的余弦值为. 反思感悟　求异面直线所成角的方法 求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线). 跟踪训练1　已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为8，侧棱长为6.求异面直线AB1 与BC1所成角的余弦值. 解　把正三棱柱ABC-A1B1C1补为正四棱柱ABCE-A1B1C1E1，如图所示，底面ABCE为菱形，连接C1E，BE， 因为在正四棱柱ABCE-A1B1C1E1中，AB1∥C1E，故∠BC1E或其补角即为异面直线AB1 与BC1所成角. 因为BC1=C1E==10， BE==8， 在△BC1E中，由余弦定理得cos∠BC1E==， 所以异面直线AB1 与BC1所成角的余弦值为. 二、直线与平面所成的角 例2　如图，在三棱锥P-ABC中，PA=AC=BC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，O为PB的中点，求直线CO与平面PAC所成角的余弦值. 解　如图，取PC的中点为E， 连接EO，则OE∥BC. ∵PA⊥平面ABC， BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC. 又AC⊥BC，AC∩PA=A， AC，PA⊂平面PAC， ∴BC⊥平面PAC. ∴OE⊥平面PAC， ∴∠OCE为直线CO与平面PAC所成的角. 设PA=AC=BC=2， 则OE=1，CE=，OC=， ∴cos∠OCE==. ∴直线CO与平面PAC所成角的余弦值为. 反思感悟　求斜线和平面所成角关键是作垂线，找射影，过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与题目中已知量有关，这样便于计算. 跟踪训练2　已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，求侧棱和底面所成角的余弦值. 解　如图，设正三棱锥S-ABC的底面边长为a，则侧棱长为2a. 设O为底面△ABC的中心， 则∠SAO为SA和平面ABC所成的角. 在Rt△SAO中，因为AO=×a=a， 所以cos∠SAO===， 即侧棱和底面所成角的余弦值为. 三、二面角的求法 例3　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC所成的角为30° ，求二面角B-B1C-A的正弦值. 解　由直三棱柱性质得平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC， 过A作AN⊥BC，垂足为N， 则AN⊥平面BCC1B1， 在平面BCC1B1内过点N作NQ⊥B1C，垂足为Q，连接QA，则∠NQA即为二面角的平面角. ∵CA⊥BB1，CA⊥AB，BB1∩AB=B， ∴CA⊥平面ABB1，∴CA⊥B1A， 又AB=BB1=1，得AB1=. ∵直线B1C与平面ABC所成的角为30°， ∴∠B1CB=30°，∴B1C=2， 则Rt△B1AC中，由勾股定理得AC=.∴AQ=1， 在Rt△BAC中，AB=1，AC=，得AN=. ∴sin∠AQN==. 即二面角B-B1C-A的正弦值为. 反思感悟　求二面角时要根据题中图形的几何特征，选取适当的方法求解. 跟踪训练3　在三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=60°，求二面角A-PB-C的余弦值. 解　在PB上取PQ=1，作MQ⊥PB交PA于M， 作QN⊥PB交PC于N， 所以∠MQN为二面角A-PB-C的平面角， 解直角三角形得MQ=NQ=， PN=PM=2，又∠APC=60°，所以MN=2，所以cos∠MQN==， 即二面角A-PB-C的余弦值为. 1.知识清单 (1)异面直线所成的角. (2)直线与平面所成的角. (3)二面角的求解方法. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：寻找二面角的平面角，求二面角的三角函数值时出错. 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1与B1D所成角的余弦值是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图所示，直线AA1与B1D所成的角为∠BB1D(或其补角)， cos∠BB1D==. 2.在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA=，则二面角A-BD-P的大小为(　　) A.30° B.45° C.60° D.75° 答案　A 解析　过点A作AO⊥BD于点O，连接PO(图略)，则∠AOP即为二面角A-BD-P的平面角.易知AO==，所以tan∠AOP==，故∠AOP=30°. 3.如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB∶BB1=∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为(　　) A.45° B.60° C.30° D.75° 答案　A 解析　取BC的中点D， 连接AD，B1D， ∵AD⊥BC且AD⊥BB1，BC，BB1⊂平面BCC1B1， ∴AD⊥平面BCC1B1， ∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角. 设AB=，则AA1=1，AD=，AB1=， ∴sin∠AB1D==，∴∠AB1D=45°. 4.已知点O在二面角α-AB-β的棱上，点P在平面α内，且∠POB=60°.若直线PO与平面β所成的角为45°，则二面角α-AB-β的正弦值为　　　　.  答案　 解析　如图，过点P作PE⊥β，垂足为E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接OE，PF，则∠POE为直线PO与平面β所成的角，∠PFE为二面角α-AB-β的平面角.设OP=a，则在Rt△PEO中，由∠POE=45°，可得PE=a.在Rt△PFO中，由∠POF=60°，可得PF=a·sin 60°=a.在Rt△PEF中，sin∠PFE===，即二面角α-AB-β的正弦值为. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=，则直线AC1与平面ABCD所成角的大小为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案　C 解析　如图所示，连接AC，由题可知CC1⊥平面ABCD，故∠C1AC为直线AC1与平面ABCD所成的角，tan∠C1AC===.又因为0°≤∠C1AC≤90°，所以∠C1AC=60°. 2.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB=AC=AA1=1，BC=，则异面直线A1C与B1C1所成的角为(　　) A.60° B.30° C.90° D.45° 答案　A 解析　在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC∥B1C1， 则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC，连接BA1(图略)， ∵AB=AC=AA1=1，∴BA1=，CA1=. ∴△BCA1是等边三角形， ∴异面直线A1C与B1C1所成的角为60°. 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1和平面ACD1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　如图，不妨设正方体的棱长为1，上、下底面的中心分别为O1，O，则OO1∥BB1，O1O和平面ACD1所成的角就是BB1和平面ACD1所成的角， 即∠O1OD1， 则cos∠O1OD1===. 4.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=，则直线AC1与直线BD所成角的大小为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　连接AC交BD于点O，连接BC1，OC1，C1D， ∵CD=CB，CC1=CC1，∠C1CB=∠C1CD， ∴△CDC1≌△CBC1，∴DC1=C1B. ∵底面ABCD是菱形，∴OB=OD， ∴OC1⊥BD， ∵AC⊥BD，AC∩OC1=O，AC，OC1⊂平面ACC1， ∴BD⊥平面ACC1，又AC1⊂平面ACC1， ∴AC1⊥BD， ∴直线AC1与直线BD所成的角的大小为. 5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成角的正切值为(　　) A. B. C. D.2 答案　A 解析　延长D1E与直线CD相交于F，连接AF， 则平面AD1E与平面ABCD的交线为AF， 而C1D1∥CD， ∴∠AFD为平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成的角， ∵E是棱CC1的中点，且DD1∥CC1，∴CD=CF， ∴tan∠AFD==. 6.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列说法正确的是(　　) A.A1C1⊥BD B.B1C与BD所成的角为60° C.二面角A1-BC-D的平面角为45° D.AC1与平面ABCD所成的角为45° 答案　ABC 解析　对于A，连接AC，则AC⊥BD，∵A1C1∥AC， ∴A1C1⊥BD，故A正确； 对于B，连接A1D，∵B1C∥A1D，∴∠A1DB即为B1C与BD所成的角，连接A1B. ∵△A1DB为等边三角形，∴B1C与BD所成的角为60°，故B正确； 对于C，∵BC⊥平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴BC⊥A1B， ∵AB⊥BC，AB∥CD，∴∠ABA1是二面角A1-BC-D的平面角， ∵△A1AB是等腰直角三角形，∴∠ABA1=45°，故C正确； 对于D，∵C1C⊥平面ABCD，∴∠C1AC是AC1与平面ABCD所成的角， ∵AC≠C1C，∴∠C1AC≠45°，故D错误. 7.(5分)如图所示，在三棱锥S-ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC=1，SA=，则二面角S-BC-A的大小为　　　　.  答案　60° 解析　如图，取BC的中点O，连接SO，AO，因为AB=AC，O是BC的中点，所以AO⊥BC，同理可证SO⊥BC，所以∠SOA是二面角S-BC-A的平面角.在△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=60°，AB=1， 所以AO=1×sin 60°=.同理可求SO=. 又SA=，所以△SOA是等边三角形， 所以∠SOA=60°， 即二面角S-BC-A的大小为60°. 8.(5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AB1与平面ABC1D1所成角的正弦值为　　　　.  答案　 解析　如图所示，作B1H⊥BC1于点H，连接AH，∵AB⊥平面BCC1B1， ∴AB⊥B1H，又∵B1H⊥BC1，BC1∩AB=B，BC1，AB⊂平面ABC1D1，∴B1H⊥平面ABC1D1，则∠B1AH即为所求角，在△BB1C1中，BB1=1，B1C1=2，由等面积法得到B1H=，AB1=， 所以所成角的正弦值为=. 9.(10分)如图，S是正三角形ABC所在平面外的一点，SA=SB=SC，且∠ASB=∠BSC=∠CSA=，M，N分别是AB和SC的中点.求异面直线SM与BN所成角的余弦值. 解　如图所示，连接CM， 设Q为CM的中点，连接QN，BQ，则QN∥SM. ∴∠QNB是异面直线SM与BN所成的角或其补角. 设SC=a，在△BQN中， BN=a，NQ=SM=a，BQ=a， ∴cos∠QNB==. 即异面直线SM与BN所成角的余弦值为. 10.(11分)如图，在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ABC=90°，SA=AB，SB=BC. (1)证明：平面SBC⊥平面SAB；(5分) (2)求二面角A-SC-B的平面角的正弦值.(6分) (1)证明　∵∠SAB=∠SAC=∠ABC=90°， ∴SA⊥AB，SA⊥AC，AB⊥BC， 又AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC， ∴SA⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC， ∴SA⊥BC， 又AB⊥BC，SA∩AB=A， SA，AB⊂平面SAB， ∴BC⊥平面SAB， 又BC⊂平面SBC， ∴平面SBC⊥平面SAB. (2)解　取SB的中点D，连接AD，则AD⊥SB. 由(1)知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB=SB， AD⊂平面SAB， ∴AD⊥平面SBC. ∴AD⊥DE，AD⊥SC， 作AE⊥SC，垂足为E，连接DE，DE⊥SC， 则∠AED为二面角A-SC-B的平面角. 设SA=AB=2，则SB=BC=2， AD=，AC=2，SC=4. 由题意得AE=， Rt△ADE中， sin∠AED===， ∴二面角A-SC-B的平面角的正弦值为. 11.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的2倍.沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B-AD-C的大小为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案　C 解析　由已知得BD=2CD.翻折后，易知BC⊥CD.在Rt△BCD中，∠BDC=60°.而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，其大小为60°. 12.如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为(　　) A.　B.　C.　D. 答案　D 解析　如图，取BC的中点H，连接EH，AH，∠EHA=90°.不妨设AB=2，则BH=HE=1，AH=，所以AE=.连接ED，ED=.因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成的角即为∠EAD(或其补角).在△EAD中，cos∠EAD==. 13.(多选)《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥，如图，在直角梯形ABCS中，∠ABC=∠BCS=90°，SC=2BC=2AB=2，过点A作AD⊥SC交SC于点D，以AD为折痕把△SAD折起，当几何体S-ABCD为阳马时，下列四个命题正确的是(　　) A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.SA与平面SBD所成角的大小等于45° D.AB与SC所成角的大小等于30° 答案　AB 解析　如图，当几何体S-ABCD为阳马时，SD⊥平面ABCD， 对于A，SD⊥平面ABCD，所以AC⊥SD，又AC⊥BD，SD∩BD=D， 故AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故A正确； 对于B，因为AB∥CD，且AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，故B正确； 对于C，由A知，AC⊥平面SBD，连接SO，则∠ASO是SA与平面SBD所成的角， 因为SA=，OA=，所以∠ASO=30°，故C不正确； 对于D，因为AB∥CD，所以∠SCD是AB与SC所成的角，因为SD=CD=1，所以∠SCD=45°，故D不正确. 14.(5分)如图，二面角α-l-β的大小是30°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为60°，则AB与平面β所成角的正弦值是　　　　.  答案　 解析　如图，作AO⊥β于点O，作AC⊥l于点C，连接OB，OC，则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ，则∠ABO=θ. 由图得sin θ==·=sin 60°·sin 30°=. 15.(5分)在三棱锥P-ABC中，△ABC为正三角形，PA>PB>PC，且点P在底面ABC内的射影在△ABC的内部(不包括边界)，若二面角P-AB-C，二面角P-BC-A，二面角P-AC-B的平面角分别记为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为　　　　.  答案　α<γ<β 解析　如图，过点P作PO⊥平面ABC，垂足为O，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，过点O作OE⊥BC，交BC于点E，过点O作OF⊥AC，交AC于点F，连接OA，OB，OC，PD，PE，PF. 则α=∠PDO，β=∠PEO，γ=∠PFO，tan α=，tan β=，tan γ=， ∵PA>PB>PC，∴OA>OB>OC.又∵AB=BC=AC，∴OD>OF>OE，∴α<γ<β. 16.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点. (1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(4分) (2)证明：AE⊥平面PCD；(4分) (3)求二面角A-PD-C的正弦值.(4分) (1)解　在四棱锥P-ABCD中， PA⊥平面ABCD， AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB， 又AB⊥AD，PA∩AD=A，PA， AD⊂平面PAD，从而AB⊥平面PAD， 故PB在平面PAD内的射影为PA， 从而∠APB为PB和平面PAD所成的角， 在Rt△PAB中，AB=PA， 故∠APB=45°， 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°. (2)证明　在四棱锥P-ABCD中， PA⊥底面ABCD， CD⊂平面ABCD，故CD⊥PA， 又CD⊥CA，PA∩CA=A，PA，CA⊂平面PAC， 所以CD⊥平面PAC，所以CD⊥AE， 因为AB=BC，∠ABC=60°， 所以AC=AB，所以PA=AC， 又E为PC的中点， 所以AE⊥PC，CD∩PC=C， CD，PC⊂平面PCD， 所以AE⊥平面PCD. (3)解　过点E作EM⊥PD，连接AM， 则AM⊥PD，所以∠AME即二面角A-PD-C的平面角， 设PA=a，AE=a， 在四边形ABCD中，∠CAD=30°，所以AD=a，PD=a， 在Rt△PAD中， AM==a， sin∠AME==. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 <<< 空间角的求解 习题课 理解异面直线所成的角，直线和平面所成的角及二面角，并掌握其求解方法. 学习目标 空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求.空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的总称.空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系中求解.空间角的求法一般是：一找、二证、三计算. 导 语 一、异面直线所成的角 二、直线与平面所成的角 课时对点练 三、二面角的求法 内容索引 随堂演练 一 异面直线所成的角 已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，且BC=2，PA=AD=AB=1，求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小. 例 1 6 如图，过点C作CE∥BD交AD的延长线于E，连接PE，AC，则PC与BD所成的角为∠PCE或它的补角.  由作法可得四边形BCED为平行四边形， 所以CE=BD=，且PE==， AC==，PC==， 由余弦定理得 cos∠PCE==-， ∴PC与BD所成角的余弦值为. 7 反 思 感 悟 求异面直线所成角的方法 求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线). 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为8，侧棱长为6.求异面直线AB1 与BC1所成角的余弦值. 跟踪训练 1 9 把正三棱柱ABC-A1B1C1补为正四棱柱ABCE-A1B1C1E1，如图所示，底面ABCE为菱形，连接C1E，BE， 因为在正四棱柱ABCE-A1B1C1E1中，AB1∥C1E，故∠BC1E或其补角即为异面直线AB1 与BC1所成角. 因为BC1=C1E==10， BE==8， 在△BC1E中，由余弦定理得cos∠BC1E==， 所以异面直线AB1 与BC1所成角的余弦值为. 10 二 直线与平面所成的角 如图，在三棱锥P-ABC中，PA=AC=BC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，O为PB的中点，求直线CO与平面PAC所成角的余弦值. 例 2 12 如图，取PC的中点为E， 连接EO，则OE∥BC. ∵PA⊥平面ABC， BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC. 又AC⊥BC，AC∩PA=A， AC，PA⊂平面PAC， ∴BC⊥平面PAC. 13 ∴OE⊥平面PAC， ∴∠OCE为直线CO与平面PAC所成的角. 设PA=AC=BC=2， 则OE=1，CE=，OC=， ∴cos∠OCE==. ∴直线CO与平面PAC所成角的余弦值为. 14 反 思 感 悟 求斜线和平面所成角关键是作垂线，找射影，过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与题目中已知量有关，这样便于计算. 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，求侧棱和底面所成角的余弦值. 跟踪训练 2 如图，设正三棱锥S-ABC的底面边长为a，则侧棱长为2a.  设O为底面△ABC的中心， 则∠SAO为SA和平面ABC所成的角. 在Rt△SAO中，因为AO=×a=a， 所以cos∠SAO===， 即侧棱和底面所成角的余弦值为. 16 三 二面角的求法 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC所成的角为30° ，求二面角B-B1C-A的正弦值. 例 3 18 由直三棱柱性质得平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC， 过A作AN⊥BC，垂足为N， 则AN⊥平面BCC1B1， 在平面BCC1B1内过点N作NQ⊥B1C，垂足为Q，连接QA，则∠NQA即为二面角的平面角. ∵CA⊥BB1，CA⊥AB，BB1∩AB=B， ∴CA⊥平面ABB1，∴CA⊥B1A， 又AB=BB1=1，得AB1=. 19 ∵直线B1C与平面ABC所成的角为30°， ∴∠B1CB=30°，∴B1C=2， 则Rt△B1AC中，由勾股定理得AC=.∴AQ=1， 在Rt△BAC中，AB=1，AC=，得AN=. ∴sin∠AQN==. 即二面角B-B1C-A的正弦值为. 20 反 思 感 悟 求二面角时要根据题中图形的几何特征，选取适当的方法求解. 在三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=60°，求二面角A-PB-C的余弦值. 跟踪训练 3 在PB上取PQ=1，作MQ⊥PB交PA于M， 作QN⊥PB交PC于N， 所以∠MQN为二面角A-PB-C的平面角， 解直角三角形得MQ=NQ=， PN=PM=2，又∠APC=60°，所以MN=2， 所以cos∠MQN==， 即二面角A-PB-C的余弦值为. 22 1.知识清单 (1)异面直线所成的角. (2)直线与平面所成的角. (3)二面角的求解方法. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：寻找二面角的平面角，求二面角的三角函数值时出错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1与B1D所成角的余弦值是 A. B. C. D. √ 如图所示，直线AA1与B1D所成的角为∠BB1D(或其补角)，  cos∠BB1D==. 1 2 3 4 2.在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA=，则二面角A-BD-P的大小为 A.30° B.45° C.60° D.75° 过点A作AO⊥BD于点O，连接PO(图略)，则∠AOP即为二面角A-BD-P的平面角.易知AO==，所以tan∠AOP==，故∠AOP=30°. √ 3.如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB∶BB1=∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为  A.45° B.60° C.30° D.75° 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 取BC的中点D， 连接AD，B1D， ∵AD⊥BC且AD⊥BB1，BC，BB1⊂平面BCC1B1， ∴AD⊥平面BCC1B1， ∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角. 设AB=，则AA1=1，AD=，AB1=， ∴sin∠AB1D==，∴∠AB1D=45°. 1 2 3 4 4.已知点O在二面角α-AB-β的棱上，点P在平面α内，且∠POB=60°.若直 线PO与平面β所成的角为45°，则二面角α-AB-β的正弦值为　　　　. 1 2 3 4 如图，过点P作PE⊥β，垂足为E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接OE，PF，则∠POE为直线PO与平面β所成的角，∠PFE为二面角α-AB-β的平面角.设 OP=a，则在Rt△PEO中，由∠POE=45°，可得PE=a.在Rt△PFO 中，由∠POF=60°，可得PF=a·sin 60°=a.在Rt△PEF中，sin∠PFE===，即二面角α-AB-β的正弦值为. 课时对点练 五 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D A A ABC 60° 题号 11 12 13 14 　15 答案 C D AB α<γ<β 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 如图所示，连接CM， 设Q为CM的中点，连接QN，BQ，则QN∥SM. ∴∠QNB是异面直线SM与BN所成的角或其补角. 设SC=a，在△BQN中，BN=a，NQ=SM=a，BQ=a， ∴cos∠QNB==. 即异面直线SM与BN所成角的余弦值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 10. (1)∵∠SAB=∠SAC=∠ABC=90°， ∴SA⊥AB，SA⊥AC，AB⊥BC， 又AB∩AC=A， AB，AC⊂平面ABC， ∴SA⊥平面ABC， 又BC⊂平面ABC， ∴SA⊥BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 10. 又AB⊥BC，SA∩AB=A， SA，AB⊂平面SAB， ∴BC⊥平面SAB， 又BC⊂平面SBC， ∴平面SBC⊥平面SAB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 10. (2)取SB的中点D，连接AD，则AD⊥SB. 由(1)知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB=SB，AD⊂平面SAB， ∴AD⊥平面SBC. ∴AD⊥DE，AD⊥SC， 作AE⊥SC，垂足为E，连接DE，DE⊥SC， 则∠AED为二面角A-SC-B的平面角. 设SA=AB=2，则SB=BC=2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 10. AD=，AC=2，SC=4. 由题意得AE=， Rt△ADE中，sin∠AED===， ∴二面角A-SC-B的平面角的正弦值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. (1)在四棱锥P-ABCD中， PA⊥平面ABCD， AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB， 又AB⊥AD，PA∩AD=A，PA， AD⊂平面PAD， 从而AB⊥平面PAD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. 故PB在平面PAD内的射影为PA， 从而∠APB为PB和平面PAD所成的角，在Rt△PAB中，AB=PA， 故∠APB=45°， 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. (2)在四棱锥P-ABCD中， PA⊥底面ABCD， CD⊂平面ABCD，故CD⊥PA， 又CD⊥CA，PA∩CA=A，PA，CA⊂平面PAC， 所以CD⊥平面PAC， 所以CD⊥AE， 因为AB=BC，∠ABC=60°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. 所以AC=AB，所以PA=AC， 又E为PC的中点， 所以AE⊥PC，CD∩PC=C， CD，PC⊂平面PCD， 所以AE⊥平面PCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. (3)过点E作EM⊥PD，连接AM， 则AM⊥PD，所以∠AME即二面角A-PD-C的平面角， 设PA=a，AE=a， 在四边形ABCD中，∠CAD=30°，所以AD=a，PD=a， 在Rt△PAD中，AM==a， sin∠AME==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 基础巩固 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=，则直线AC1与平面ABCD所成角的大小为 A.30° B.45° C.60° D.90° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，连接AC，由题可知CC1⊥平面ABCD，故∠C1AC为直线AC1与平面ABCD所成的角，tan∠C1AC===.又因为0°≤∠C1AC≤90°，所以∠C1AC=60°. 答案 2.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB=AC =AA1=1，BC=，则异面直线A1C与B1C1所成的角为 A.60° B.30° C.90° D.45° √ 在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC∥B1C1， 则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC，连接BA1(图略)， ∵AB=AC=AA1=1，∴BA1=，CA1=. ∴△BCA1是等边三角形， ∴异面直线A1C与B1C1所成的角为60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1和平面ACD1所成角的余弦值为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，不妨设正方体的棱长为1，上、下底面的中心分别为O1，O，则OO1∥BB1，O1O和平面ACD1所成的角就是BB1和平面ACD1所成的角， 即∠O1OD1， 则cos∠O1OD1===. 答案 4.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB= ∠C1CD=∠BCD=，则直线AC1与直线BD所成角的大小为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接AC交BD于点O，连接BC1，OC1，C1D，  ∵CD=CB，CC1=CC1，∠C1CB=∠C1CD， ∴△CDC1≌△CBC1，∴DC1=C1B. ∵底面ABCD是菱形，∴OB=OD， ∴OC1⊥BD， ∵AC⊥BD，AC∩OC1=O，AC，OC1⊂平面ACC1， ∴BD⊥平面ACC1，又AC1⊂平面ACC1， ∴AC1⊥BD， ∴直线AC1与直线BD所成的角的大小为. 答案 5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成角的正切值为 A. B. C. D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 延长D1E与直线CD相交于F，连接AF，  则平面AD1E与平面ABCD的交线为AF， 而C1D1∥CD， ∴∠AFD为平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成的角， ∵E是棱CC1的中点，且DD1∥CC1，∴CD=CF， ∴tan∠AFD==. 答案 6.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列说法正确的是 A.A1C1⊥BD B.B1C与BD所成的角为60° C.二面角A1-BC-D的平面角为45° D.AC1与平面ABCD所成的角为45° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵△A1DB为等边三角形，∴B1C与BD所成的角为60°，故B正确； 对于C，∵BC⊥平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴BC⊥A1B， ∵AB⊥BC，AB∥CD，∴∠ABA1是二面角A1-BC-D的平面角， ∵△A1AB是等腰直角三角形，∴∠ABA1=45°，故C正确； 对于D，∵C1C⊥平面ABCD，∴∠C1AC是AC1与平面ABCD所成的角， ∵AC≠C1C，∴∠C1AC≠45°，故D错误. 对于A，连接AC，则AC⊥BD，∵A1C1∥AC， ∴A1C1⊥BD，故A正确； 对于B，连接A1D，∵B1C∥A1D，∴∠A1DB即为B1C与BD所成的角，连接A1B. 答案 7.如图所示，在三棱锥S-ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC=1，SA=，则二面角S-BC-A的大小为　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60° 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，取BC的中点O，连接SO，AO，因为AB=AC，O是BC的中点，所以AO⊥BC，同理可证SO⊥BC，所以∠SOA是二面角S-BC-A的平面角.在△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=60°，AB=1，  所以AO=1×sin 60°=.同理可求SO=. 又SA=，所以△SOA是等边三角形， 所以∠SOA=60°， 即二面角S-BC-A的大小为60°. 答案 8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AB1与平面 ABC1D1所成角的正弦值为　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，作B1H⊥BC1于点H，连接AH，∵AB⊥平面BCC1B1， ∴AB⊥B1H，又∵B1H⊥BC1，BC1∩AB=B，BC1，AB⊂平面ABC1D1，∴B1H⊥平面ABC1D1，则∠B1AH即为所求角，在△BB1C1中，BB1=1， B1C1=2，由等面积法得到B1H=，AB1=， 所以所成角的正弦值为=. 答案 9.如图，S是正三角形ABC所在平面外的一点，SA=SB=SC，且∠ASB=∠BSC=∠CSA=，M，N分别是AB和SC的中点.求异面直线SM与BN所成角的余弦值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图所示，连接CM， 设Q为CM的中点，连接QN，BQ，则QN∥SM. ∴∠QNB是异面直线SM与BN所成的角或其补角. 设SC=a，在△BQN中， BN=a，NQ=SM=a，BQ=a， ∴cos∠QNB==. 即异面直线SM与BN所成角的余弦值为. 答案 16 10.如图，在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ABC=90°，SA=AB，SB=BC. (1)证明：平面SBC⊥平面SAB； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵∠SAB=∠SAC=∠ABC=90°， ∴SA⊥AB，SA⊥AC，AB⊥BC， 又AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC， ∴SA⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC， ∴SA⊥BC， 又AB⊥BC，SA∩AB=A， SA，AB⊂平面SAB， ∴BC⊥平面SAB， 又BC⊂平面SBC， ∴平面SBC⊥平面SAB. 答案 (2)求二面角A-SC-B的平面角的正弦值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取SB的中点D，连接AD，则AD⊥SB. 由(1)知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB=SB， AD⊂平面SAB， ∴AD⊥平面SBC. ∴AD⊥DE，AD⊥SC， 作AE⊥SC，垂足为E，连接DE，DE⊥SC， 则∠AED为二面角A-SC-B的平面角. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设SA=AB=2，则SB=BC=2， AD=，AC=2，SC=4. 由题意得AE=， Rt△ADE中， sin∠AED===， ∴二面角A-SC-B的平面角的正弦值为. 答案 11.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的2倍.沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B-AD-C的大小为 A.30° B.45° C.60° D.90° √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得BD=2CD.翻折后，易知BC⊥CD.在Rt△BCD中，∠BDC =60°.而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，其大小为60°. 12.如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为 A.　 B.　 C. 　D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，取BC的中点H，连接EH，AH，∠EHA=90°.不妨设AB=2，则BH=HE=1，AH=，所以AE=.连接ED，ED=.因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成的角即为∠EAD(或其补角).在△EAD中，cos∠EAD==. 答案 13.(多选)《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥，如图，在直角梯形ABCS中，∠ABC=∠BCS=90°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 SC=2BC=2AB=2，过点A作AD⊥SC交SC于点D，以AD为折痕把△SAD折起，当几何体S-ABCD为阳马时，下列四个命题正确的是 A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.SA与平面SBD所成角的大小等于45° D.AB与SC所成角的大小等于30° √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，当几何体S-ABCD为阳马时，SD⊥平面ABCD， 对于A，SD⊥平面ABCD，所以AC⊥SD，又AC⊥BD，SD∩BD=D， 故AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故A正确； 对于B，因为AB∥CD，且AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，故B正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，由A知，AC⊥平面SBD，连接SO，则∠ASO是SA与平面SBD所成的角， 因为SA=，OA=，所以∠ASO=30°，故C不正确； 对于D，因为AB∥CD，所以∠SCD是AB与SC所成的角，因为SD=CD=1，所以∠SCD=45°，故D不正确. 答案 14.如图，二面角α-l-β的大小是30°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为60°，则AB与平面β所成角的 正弦值是　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，作AO⊥β于点O，作AC⊥l于点C，连接OB，OC，则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ，则∠ABO=θ. 由图得sin θ==·=sin 60°·sin 30°=. 答案 15.在三棱锥P-ABC中，△ABC为正三角形，PA>PB>PC，且点P在底面ABC内的射影在△ABC的内部(不包括边界)，若二面角P-AB-C，二面角 P-BC-A，二面角P-AC-B的平面角分别记为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为　　　　. 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 α<γ<β 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，过点P作PO⊥平面ABC，垂足为O，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，过点O作OE⊥BC，交BC于点E，过点O作OF⊥AC，交AC于点F，连接OA，OB，OC，PD，PE，PF.  则α=∠PDO，β=∠PEO，γ=∠PFO，tan α=，tan β=，tan γ=， ∵PA>PB>PC，∴OA>OB>OC.又∵AB=BC=AC，∴OD>OF>OE，∴α<γ<β. 答案 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点. (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在四棱锥P-ABCD中， PA⊥平面ABCD， AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB， 又AB⊥AD，PA∩AD=A，PA， AD⊂平面PAD，从而AB⊥平面PAD， 故PB在平面PAD内的射影为PA， 从而∠APB为PB和平面PAD所成的角， 在Rt△PAB中，AB=PA， 故∠APB=45°， 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)证明：AE⊥平面PCD； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在四棱锥P-ABCD中， PA⊥底面ABCD， CD⊂平面ABCD，故CD⊥PA， 又CD⊥CA，PA∩CA=A，PA，CA⊂平面PAC， 所以CD⊥平面PAC，所以CD⊥AE， 因为AB=BC，∠ABC=60°， 所以AC=AB，所以PA=AC， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又E为PC的中点， 所以AE⊥PC，CD∩PC=C， CD，PC⊂平面PCD， 所以AE⊥平面PCD. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)求二面角A-PD-C的正弦值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 过点E作EM⊥PD，连接AM， 则AM⊥PD，所以∠AME即二面角A-PD-C的平面角， 设PA=a，AE=a， 在四边形ABCD中，∠CAD=30°，所以AD=a，PD=a， 在Rt△PAD中， AM==a， sin∠AME==. 答案 第一章 <<< $$