4.4 平面与平面的位置关系（4知识点+5题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第二册）

4.4 平面与平面的位置关系 课程标准 学习目标 （1）掌握平面与平面平行的位置关系； （2）掌握平面与平面垂直的位置关系； （1）掌握平面与平面平行的定义，会证明两平面平行； （2）掌握平面平行的性质定理； （3）掌握平面与平面垂直的定义，会证明两平面垂直； （4）掌握平面垂直的性质定理； （5）理解平面与平面所成的角. 知识点01 平面与平面的位置关系 1 平面与平面的位置关系 2 图形语言 平行 相交 【即学即练1】 （24-25高二上·上海·阶段练习）已知平面、满足，若异面直线、满足，，则与、的位置关系是（    ） A．至多与、中的一条相交 B．至少与、中的一条相交 C．至少与、中的一条异面 D．至少与、中的一条平行 知识点02 平面与平面的平行 1定义 . 2 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行. (2) 推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行. 3 面面平行的性质 (1) (面面平行线面平行) (2) (面面平行线线平行) 【即学即练2】 （2023高三·全国·专题练习）设，为两个不同的平面，则∥的一个充分条件是（   ） A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一条直线 知识点03 二面角 1 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条棱叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.棱为，面分别为，的二面角记作二面角. 在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角. 2 范围 二面角的平面角的取值范围是. 【即学即练3】 （22-23高二上·河南·开学考试）如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 知识点04 平面与平面的垂直 1 定义 若二面角的平面角为，则； 2 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. (线面垂直面面垂直) 3 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 【即学即练4】 （2024高一下·全国·专题练习）在空间四边形中，，那么必有（    ） A．平面⊥平面 B．平面⊥平面 C．平面⊥平面 D．平面⊥平面 【题型一：面面平行的判定定理】 例1．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且. (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 变式1-1．（21-22高二·全国·课后作业）已知两个平面、，在下列条件下，可以判定平面与平面平行的是（    ） A．、都垂直于一个平面 B．平面内有无数条直线与平面平行 C．l、m是内两条直线，且， D．l、m是两条异面直线，且，，， 变式1-2．（23-24高一下·河南洛阳·期中）长方体中，，，M为的中点，P为下底面ABCD上一点，若直线 平面，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D．1 变式1-3．（24-25高三下·浙江·开学考试）如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且的中点分别为. (1)证明：平面平面，并求直线与平面所成角的正弦值； (2)设截面与平面的交线为，确定的位置并说明理由. 【方法技巧与总结】 1面面平行判定定理 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行. (2) 推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行. 2 面面平行的问题最终转化为线面平行、线线平行的问题，故要多注意题中与平行有关的条件，比如中位线、平行四边形等. 【题型二：面面平行的性质定理】 例2．（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点E在PD上，且，平面平面． (1)证明：； (2)在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论． 变式2-1．（2019高一上·全国·专题练习）已知P为△所在平面外一点，平面∥平，且交线段于点，若，则:（    ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 变式2-2．（23-24高二下·安徽滁州·期末）如图，正方体的棱长为1，点为棱的中点，空间中一点满足，则点的轨迹截正方体表面所得图形的周长为（    ） A． B． C． D． 变式2-3．（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是棱，的中点，M为底面上的动点，若直线平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 变式2-4．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在正方体中，E，F，P，Q分别是，，，的中点．求证：    (1)平面； (2)平面． 【方法技巧与总结】 1 面面平行的性质 (1) (面面平行线面平行) (2) (面面平行线线平行) 2 可利用面面平行的性质定理得到线面平行与线线平行. 【题型三：面面垂直的判定定理】 例3．（24-25高二上·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形. (1)求证： 平面； (2)求证：平面平面； (3)设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 变式3-1．（24-25高二·上海·课堂例题）已知点P是正方形所在平面外一点，且平面，则平面（    ） A．与平面，平面都垂直； B．与平面，平面都相交，但不垂直； C．与平面垂直，与平面相交但不垂直； D．与平面垂直，与平面相交但不垂直． 变式3-2．（24-25高三上·北京丰台·期末）如图，在三棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，且，则点P到平面ABC的距离为（   ） A．1 B． C． D． 变式3-3．（24-25高二上·北京石景山·期末）如图，在三棱柱中，底面，底面为等边三角形，分别为的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【方法技巧与总结】 1 面面垂直的定义 若二面角的平面角为，则； 2 面面垂直判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. (线面垂直面面垂直) 3 要证明面面垂直，可转化为线面垂直，多注意题中与垂直有关的条件，比如勾股定理、线面垂直、三线合一、菱形的对角线等. 【题型四：面面垂直的性质定理】 例4．（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 变式4-1．（23-24高一下·浙江衢州·期末）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 变式4-2．（24-25高二上·广东肇庆·期中）在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面底面，四棱锥的体积为，线段的长是（   ） A．3 B． C． D．6 变式4-3．（24-25高二上·北京·期中）如图，在三棱锥中，为等边三角形，点O为的中点，，平面⊥平面. (1)求证：直线平面； (2)已知E为的中点，F是线段上的点，.若，求λ的值. 【方法技巧与总结】 1 面面垂直性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 2 可利用面面垂直性质定理得到线面垂直或线线垂直. 【题型五：求二面角】 例5．（22-23高二上·甘肃兰州·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点M，N分别为的中点． (1)取的中点H，连接，若平面平面，求证：； (2)已知，求平面与平面的夹角的余弦值． 变式5-1．（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）在正方体中，二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．（22-23高一下·四川绵阳·期末）如图，在三棱锥中，和均为正三角形，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 变式5-3．（24-25高三下·江苏·开学考试）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，平面平面ABC，且，    (1)求证：平面ABC，并求三棱锥体积的最大值; (2)当时，求平面PAB与平面PBC所成角的正切值的取值范围. 【方法技巧与总结】 1 二面角定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条棱叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.棱为，面分别为，的二面角记作二面角。二面角的平面角的取值范围是. 2 求二面角，主要根据其定义找到该角，再解含该角的三角形，往往用到正余弦定理等。 一、单选题 1．（24-25高三下·天津·开学考试）设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若 ，且，则 C．若 ，则 D．若 ，则 2.（2023·全国·模拟预测）如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，与交于点，，的中点为，的中点为，则下列结论不正确的是（    ） A．直线平面 B．直线平面 C．平面平面 D．直线与直线所成的角为 3. （23-24高一下·黑龙江·期末）如图所示，三棱锥中，平面平面，则（    ）    A．平面 B．∥平面 C．与平面相交但不垂直 D．平面平面 4.（24-25高三上·甘肃白银·期中）如图所示，是棱长为的正方体，，分别是下底面的棱，的中点，是上底面的棱上的一点，，过点，，的平面交上底面于，点在上，则（    ） A． B． C． D． 5.（23-24高二上·安徽六安·阶段练习）已知直三棱柱中，，，，P是的中点，Q在棱上，且，M在棱上，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 6.（2024·四川乐山·三模）在三棱柱中，点在棱上，且，点在棱上，且为的中点，点在直线上，若 平面，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7.（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在四棱锥中，，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 8.（24-25高二上·北京·期中）如图，在直三棱柱中，是边长为4的正三角形，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（    ） A． B． C． D．π 二、多选题 9．（2024高三·全国·专题练习）（多选）如图所示，平面 平面，且 ，则（    ） A． B． C． D． 10.（23-24高一下·甘肃临夏·期末）如图，在棱长均为1的四棱锥中，O为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，则（    ）    A． B．平面平面OMN C． D．四棱锥的体积为 11. （2025高三·全国·专题练习）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，，则下列结论正确的是（   ） A． B．平面平面 C．直线BC与平面相交 D．直线与平面所成的角为 三、填空题 12．（2025高三下·全国·专题练习）在长方体中，过直线的平面交直线于点E，交直线于点F，则四边形的形状为 . 13．（24-25高二上·吉林四平·开学考试）如图，圆台的轴截面是等腰梯形，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值为 ． 14．（24-25高三下·黑龙江牡丹江·开学考试）如图所示，将绘有函数部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为，则 ． 四、解答题 15．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知多面体的底面为正方形，四边形是平行四边形，，，是的中点.证明：平面.    16.（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，证明：平面平面 17. （24-25高二上·海南三亚·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 18. （23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）． (1)证明：平面ABE； (2)当时，求二面角的余弦值． 19. （24-25高二上·上海松江·阶段练习）如图1，由射线构成的三面角，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：. (1)如图2，在三棱锥中，为等腰直角三角形，为等边三角形，，求二面角平面角的正弦值； (2)如图3，在三棱锥中，平面，连接，，求三棱锥体积的最大值； (3)当时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4 平面与平面的位置关系 课程标准 学习目标 （1）掌握平面与平面平行的位置关系； （2）掌握平面与平面垂直的位置关系； （1）掌握平面与平面平行的定义，会证明两平面平行； （2）掌握平面平行的性质定理； （3）掌握平面与平面垂直的定义，会证明两平面垂直； （4）掌握平面垂直的性质定理； （5）理解平面与平面所成的角. 知识点01 平面与平面的位置关系 1 平面与平面的位置关系 2 图形语言 平行 相交 【即学即练1】 （24-25高二上·上海·阶段练习）已知平面、满足，若异面直线、满足，，则与、的位置关系是（    ） A．至多与、中的一条相交 B．至少与、中的一条相交 C．至少与、中的一条异面 D．至少与、中的一条平行 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义直接判断. 【详解】异面直线、满足，，， 则与平行或相交，与平行或相交， 但直线与，不能同时平行， 若直线与，同时平行，则与平行，与两直线异面矛盾， 所以至少与、中的一条相交， 故选：B. 知识点02 平面与平面的平行 1定义 . 2 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行. (2) 推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行. 3 面面平行的性质 (1) (面面平行线面平行) (2) (面面平行线线平行) 【即学即练2】 （2023高三·全国·专题练习）设，为两个不同的平面，则∥的一个充分条件是（   ） A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一条直线 【答案】D 【分析】根据面面平行的判定一一判定即可. 【详解】对于A：内有无数条直线与平行推不出∥，只有内所有直线与平行才能推出，故A错误； 对于B：，垂直于同一平面，得到∥或与相交，故B错误； 对于C：，平行于同一条直线，得到∥或与相交，故C错误； 对于D：因为垂直与同一条直线的两平面平行，故，垂直于同一条直线可得∥，故：D正确． 故选：D 知识点03 二面角 1 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条棱叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.棱为，面分别为，的二面角记作二面角. 在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角. 2 范围 二面角的平面角的取值范围是. 【即学即练3】 （22-23高二上·河南·开学考试）如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二面角的定义证明即为二面角的平面角，求出此角即得． 【详解】如图，在长方体中，平面，平面，平面，所以，且，所以即为二面角的平面角，又，易得. 故选：B. 知识点04 平面与平面的垂直 1 定义 若二面角的平面角为，则； 2 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. (线面垂直面面垂直) 3 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 【即学即练4】 （2024高一下·全国·专题练习）在空间四边形中，，那么必有（    ） A．平面⊥平面 B．平面⊥平面 C．平面⊥平面 D．平面⊥平面 【答案】C 【分析】由面面垂直的判定定理判断． 【详解】在空间四边形中，, 又由,且面，平面，平面， 所以平面， 又因为平面, 所以平面⊥平面， 故选：C. 【题型一：面面平行的判定定理】 例1．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且. (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形中位线证明，可证平面. （2）证明，，可证得平面，平面，所以平面平面. 【详解】（1）连接，正四棱锥中，为底面中心，则为中点， 又为的中点，则有， 平面，平面，所以平面. （2），分别为，的中点，则有， 平面，平面，则有平面， ，分别为，的中点，有， 又，则有， 平面，平面，则有平面， 平面，， 所以平面平面. 变式1-1．（21-22高二·全国·课后作业）已知两个平面、，在下列条件下，可以判定平面与平面平行的是（    ） A．、都垂直于一个平面 B．平面内有无数条直线与平面平行 C．l、m是内两条直线，且， D．l、m是两条异面直线，且，，， 【答案】D 【分析】ABC选项，举出反例，D选项可以利用面面平行的判定进行证明. 【详解】A选项，如图所示，、都垂直于一个平面，但、相交，故A错误； B选项，如图，已知，平面内有无数条直线与平行，则这些直线也与平行，故B选项错误； C选项，当l、m是两条平行直线时，不能判定平面与平面平行，C错误； D选项，因为，，则在平面内存在， 因为l、m是两条异面直线， 所以为相交直线， 因为，， 所以，， 故可以判定平面与平面平行. 故选：D 变式1-2．（23-24高一下·河南洛阳·期中）长方体中，，，M为的中点，P为下底面ABCD上一点，若直线 平面，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】取中点，证明平面 平面，确定在上运动，当时面积最小，计算得到答案. 【详解】取中点，连接， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以，平面，平面，故 平面， 同理可证 平面， 又，平面， 故平面 平面，平面平面， 结合P为下底面ABCD上一点，故在上运动，且为直角三角形， 当时，最小，最小值为， 此时的面积最小，求得. 故选：A 变式1-3．（24-25高三下·浙江·开学考试）如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且的中点分别为. (1)证明：平面平面，并求直线与平面所成角的正弦值； (2)设截面与平面的交线为，确定的位置并说明理由. 【答案】(1)证明见解析， (2)答案见解析 【分析】（1）先用线面平行证明面面平行，然后利用线面垂直作出与平面所成的角,在直角三角形中求出该角正弦值，最后利用面面平面，得出该正弦值即为所求； （2）通过作图得出截面与平面的交线，然后利用平行确定共面，最后得证. 【详解】（1）证明：因为是中点，是中点，所以，又，所以 又平面，平面，所以平面， 同理平面，又平面，平面 所以平面平面 ； 因为 平面,平面， 所以平面，则就是与平面所成的角， 又平面平面，所以就是直线与平面所成角. 因为在直角梯形中，，所以 在中，， 所以 , 即直线与平面所成角的正弦值为. （2） 延长交于点连接，延长与交于点， 因为由分别为中点，所以，所以， 所以是中点，取中点，则就是所求的直线 理由如下：由以上作图过程可知，是中点，是中点， 所以,即，又 所以，所以四点共面， 所以平面，又平面 所以平面平面，所以就是所求的直线 【方法技巧与总结】 1面面平行判定定理 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行. (2) 推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行. 2 面面平行的问题最终转化为线面平行、线线平行的问题，故要多注意题中与平行有关的条件，比如中位线、平行四边形等. 【题型二：面面平行的性质定理】 例2．（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点E在PD上，且，平面平面． (1)证明：； (2)在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，证明见解析. 【分析】（1）利用线面平行的判断、性质推理得证. （2）取PE的中点M，利用线面平行的判定、面面平行的判定、性质推理得解. 【详解】（1）由四边形为菱形，得， 又平面，平面PCD，则平面， 又平面，平面平面，则，所以． （2）存在．当F是PC的中点时，平面， 如图，取PE的中点M，连接FM，得，又平面，平面，于是平面， 由M为PE的中点，，得，E是MD的中点， 连接BM，BD，设，由四边形是菱形，得O为BD的中点， 则，又平面，平面，于是平面， 又，平面，则平面平面， 又平面，所以平面. 变式2-1．（2019高一上·全国·专题练习）已知P为△所在平面外一点，平面∥平，且交线段于点，若，则:（    ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 【答案】D 【分析】根据平行平面的性质得出线线平行，再由面积比等于相似比的平方计算. 【详解】∵平面∥平面，平面 平面，平面 平面， ，同理可得， ∴:， 又，∴， ∴:. 故选：D 变式2-2．（23-24高二下·安徽滁州·期末）如图，正方体的棱长为1，点为棱的中点，空间中一点满足，则点的轨迹截正方体表面所得图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，取，的中点为、，连接，，可证的轨迹截正方体表面所得图形为平行四边形，故可求截面的周长. 【详解】空间中一点满足，即 面， 如图，取，的中点为、，连接，， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 在正方形中，因为、分别为所在棱的中点，故， 故四边形为平行四边形，故，，所以四边形为平行四边形， 同理可证得：为平行四边形，故， 因为，面，面，所以面， 因为，面，面，所以面， 又因为，所以，面面，当面时，则面， 所以点的轨迹截正方体表面所得图形即为平行四边形， 由勾股定理计算可得， 故截面的周长为， 故选：D 变式2-3．（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是棱，的中点，M为底面上的动点，若直线平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】找出点在平面内的轨迹，再根据过直线外一点垂线段最短，求出线段的长度的最小值即可. 【详解】设点分别为棱，的中点，连接，可证明点， 事实上，在底面正方形中，可知， 因为平面，平面，所以平面； 在底面正方形中，可知且， 又因为且，所以且， 则四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面； 又因为平面，所以平面平面， 因为平面且平面，所以平面， 因为平面平面且点平面、平面， 所以，即M点的轨迹为线段； 由于正方体棱长为2，故三角形为等腰直角三角形，且为斜边，， 所以当点为的中点时，即时，线段的长度最小且最小值为. 故选：A 变式2-4．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在正方体中，E，F，P，Q分别是，，，的中点．求证：    (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，即可证明； （2）方法一，根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，利用构造平行四边形，证明线线平行；方法二，利用面面平行的性质定理，构造面面平行，即可证明线面平行. 【详解】（1）如图，连接，．    因为四边形是正方形，且是的中点， 所以是的中点，又是的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）方法一  取的中点，连接，，如图所示， 则有且． 又且，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． 方法二  取的中点，连接，，如图所示， 因为点是，的中点，所以， 平面，平面， 所以平面， 因为点，分别是和的中点， 所以，平面，平面， 所以平面， 且，，平面， 所以平面平面． 又平面，所以平面． 【方法技巧与总结】 1 面面平行的性质 (1) (面面平行线面平行) (2) (面面平行线线平行) 2 可利用面面平行的性质定理得到线面平行与线线平行. 【题型三：面面垂直的判定定理】 例3．（24-25高二上·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形. (1)求证： 平面； (2)求证：平面平面； (3)设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据线线平行，即可由线面平行的判定求解， （2）根据平面，即可由面面垂直的判定求解，， （3）利用等体积法，结合锥体的体积公式即可求解. 【详解】（1） 在平面上，不在平面上， 所以 平面 （2）平面是平面上的直线，， 是正方形，对角线. 是平面上的两条相交直线 平面 平面经过直线平面平面 （3）. 设点到平面的距离为，在三棱锥中，. 由是正方形可知； 由勾股定理有；从而是正三角形， ， ，即. 故点到平面的距离为 变式3-1．（24-25高二·上海·课堂例题）已知点P是正方形所在平面外一点，且平面，则平面（    ） A．与平面，平面都垂直； B．与平面，平面都相交，但不垂直； C．与平面垂直，与平面相交但不垂直； D．与平面垂直，与平面相交但不垂直． 【答案】A 【分析】先证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直； 【详解】在正方形中，，因为且平面，平面，所以， 又是平面内两条相交直线，所以平面， 又平面，因此平面 平面； 平面 平面，两平面相交；故B,D错误； 在正方形中，，由上可知平面， 平面，所以平面 平面， 且平面 平面，两平面相交；故C错误，A正确； 故选：A.    变式3-2．（24-25高三上·北京丰台·期末）如图，在三棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，且，则点P到平面ABC的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，取中点，连接，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得平面平面，则点P到平面ABC的距离为点P到直线的距离，即可得到结果. 【详解】 取中点，连接， 因为与都是边长为2的等边三角形， 所以，， 且，平面， 所以平面，且平面，所以平面平面， 所以点P到平面ABC的距离为点P到直线的距离， 过点做，所以点P到直线的距离即为， 又，且，所以为等边三角形， 所以， 即点P到平面ABC的距离为. 故选：C 变式3-3．（24-25高二上·北京石景山·期末）如图，在三棱柱中，底面，底面为等边三角形，分别为的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用作图并证明平行四边形，从而可证线线平行，再利用线面平行的判定定理即可； （2）先证明平面，再利用平行关系，可得平面，再由面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】（1）    如图：取的中点，连结，由于分别为的中点． 所以，而，所以有， 又因为， 所以四边形是平行四边形， 故，又因为平面，平面， 所以平面； （2）底面为等边三角形，分别为的中点．可得， 又因为底面， 底面，所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面． 【方法技巧与总结】 1 面面垂直的定义 若二面角的平面角为，则； 2 面面垂直判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. (线面垂直面面垂直) 3 要证明面面垂直，可转化为线面垂直，多注意题中与垂直有关的条件，比如勾股定理、线面垂直、三线合一、菱形的对角线等. 【题型四：面面垂直的性质定理】 例4．（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】（1）由是正方形可得，由面面垂直性质定理可得面，进而得到，由线面垂直的判定定理即可证明； （2）过作交于，连接，由面面垂直性质定理可得面，进而得到，由线面垂直的判定定理可得面，故可得即为直线与平面所成角，由已知长度即可求线面角. 【详解】（1）由是正方形，则， 因为面面，面面，，面， 所以面，又面， 所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. （2）过作交于，连接， 因为是正方形，则， 因为面面，面面，面， 所以面，又面， 所以， 又因为，，面，面， 所以面， 所以即为直线与平面所成角， 因为正方形边长为2，，， 所以，， 所以， 因为， 所以，即直线与平面所成角的大小为. 变式4-1．（23-24高一下·浙江衢州·期末）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】根据线面垂直的判定定理，性质定理，结合面面垂直的判定定理得到结果. 【详解】对于A，依题意有平面，平面，所以平面平面，A选项正确； 对于B，平面，平面，则有， 是圆的直径，为圆周上不与点重合的点，则有， ，平面，所以平面，B选项正确； 对于C，平面，平面，，又于， ，平面，所以平面， 平面，则，又于， 平面，，所以平面，C选项正确； 对于D，平面平面，平面，于， 若平面平面，则必有平面， 而平面，则必有， 因为平面，平面，则有， 又平面，则必有， 由于垂直于圆所在的平面，，则， 而于，则为中点， 因为是圆的直径，为圆周上不与点重合的点，，于， 则不是中点（否则会得到，但这与矛盾）， 不成立，所以平面平面的结论不正确，即D选项错误. 故选：D. 变式4-2．（24-25高二上·广东肇庆·期中）在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面底面，四棱锥的体积为，线段的长是（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】设，作出四棱锥的高，并用求出高，再用体积解出即可. 【详解】 如图所示，设，则矩形的面积， 取中点，连接， 因为是等边三角形，，所以，且, 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，即是四棱锥的高， 所以四棱锥的体积 所以解得，，所以. 故选：D. 变式4-3．（24-25高二上·北京·期中）如图，在三棱锥中，为等边三角形，点O为的中点，，平面⊥平面. (1)求证：直线平面； (2)已知E为的中点，F是线段上的点，.若，求λ的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理，即可证明； （2）由题意可证得，进而得，从而得出F为中点，可得结论. 【详解】（1）因为为等边三角形，点O为的中点， 所以，又平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面， 所以平面； （2）由（1）知，，又平面， 所以平面，又平面，所以 ， 又平面，平面，则， 所以，由O为中点，可得F为中点，由， 可得. 【方法技巧与总结】 1 面面垂直性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 2 可利用面面垂直性质定理得到线面垂直或线线垂直. 【题型五：求二面角】 例5．（22-23高二上·甘肃兰州·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点M，N分别为的中点． (1)取的中点H，连接，若平面平面，求证：； (2)已知，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理得证. （2）连接，利用几何法求出面面角的余弦值. 【详解】（1）平面平面，且交线为， 过点作的垂线，垂足记为，平面，则平面， 而平面，则， 由平面，平面，得， 又是平面内的相交直线，则平面， 而平面，. （2）连接，在中，，又， 则，即，由为的中点，得， 由平面，平面，得， 又平面，平面， 而平面，则， 故是二面角的平面角， 又平面，则， 在中，，， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 变式5-1．（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）在正方体中，二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，可得是二面角的平面角，求解即可. 【详解】取的中点，连接， 由正方体，可得， 所以，所以是二面角的平面角， 设正方体的棱长为2，可得，所以， 在中，, 所以二面角的正切值为. 故答案为：D. 变式5-2．（22-23高一下·四川绵阳·期末）如图，在三棱锥中，和均为正三角形，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角的大小可得长度关系，利用线线平行得异面直线所成角，根据余弦定理即可求解. 【详解】取中点为连接，由于和均为等边三角形，所以故为二面角的平面角，即， 由于为等边三角形，故，进而, 又, 由余弦定理可得, 由于,所以即为直线与所成角或其补角， 所以直线与所成角的余弦值为， 故选：B    变式5-3．（24-25高三下·江苏·开学考试）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，平面平面ABC，且，    (1)求证：平面ABC，并求三棱锥体积的最大值; (2)当时，求平面PAB与平面PBC所成角的正切值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）利用面面垂直性质以及线面垂直判定定理即可证明得出结论，再利用基本不等式以及锥体体积公式计算可得结果； （2）作出两平面的夹角，再结合勾股定理以及正切函数定义以及，计算可得结果. 【详解】（1）证明：作交AB于点D，   平面平面ABC，平面平面，平面ABC 平面PAB，又平面PAB 又平面平面ABC，平面平面，，平面ABC 平面PAC，又平面ABC， ，又 所以平面ABC； 由于平面ABC，所以三棱锥的高为. 设，，则根据勾股定理，有. 三棱锥的体积. 要使体积最大，需要 xy最大 根据，利用均值不等式，有， 当且仅当时取等号. 因此，三棱锥体积的最大值为. （2）由知平面PAB，作交PB于点E，连结CE 平面PAB， 平面CDE，又平面CDE 是平面PAB与平面PBC所成的角， 在中， 设，，则 在中，，又 又，则 【方法技巧与总结】 1 二面角定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条棱叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.棱为，面分别为，的二面角记作二面角。二面角的平面角的取值范围是. 2 求二面角，主要根据其定义找到该角，再解含该角的三角形，往往用到正余弦定理等。 一、单选题 1．（24-25高三下·天津·开学考试）设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若 ，且，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】B 【分析】根据空间直线，平面的位置关系及其性质逐项分析判断. 【详解】对于A，若，则与可能会相交或平行，故A错误； 对于B，若 ，且，根据线面垂直的性质可知，故B正确； 对于C，若 ，则，可能会平行、相交或异面，故C错误； 对于D，若 ，则与可能会相交或平行，故D错误. 故选：B 2.（2023·全国·模拟预测）如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，与交于点，，的中点为，的中点为，则下列结论不正确的是（    ） A．直线平面 B．直线平面 C．平面平面 D．直线与直线所成的角为 【答案】D 【分析】选项A根据线面平行的判定定理进行判断；选项B根据线面垂直的判定定理进行判断；选项C根据面面垂直的判定定理进行判断；选项D根据与的位置关系进行判断. 【详解】对于选项A，因为四棱锥的底面为正方形，所以是的中点. 又因为是的中点，所以. 又平面，平面，所以直线平面，故A正确； 对于选项B，因为，为的中点，所以. 而，则. 又，平面，所以直线平面，故B正确； 对于选项C，因为平面，平面，所以. 又因为底面为正方形，所以. 因为，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面，故C正确； 对于选项D，因为，，所以， 即直线与直线所成角为，故D错误. 故选：D. 3. （23-24高一下·黑龙江·期末）如图所示，三棱锥中，平面平面，则（    ）    A．平面 B．∥平面 C．与平面相交但不垂直 D．平面平面 【答案】D 【分析】对于AB：根据线面位置关系分析判断；对于CD：根据面面垂直的性质定理和判定定理分析判断. 【详解】对于选项AB：因为平面，平面， 所以平面，故AB错误； 对于选项CD：因为，则， 且平面平面，平面平面，平面， 可知平面， 且平面，所以平面平面，故C错误，D正确； 故选：D. 4.（24-25高三上·甘肃白银·期中）如图所示，是棱长为的正方体，，分别是下底面的棱，的中点，是上底面的棱上的一点，，过点，，的平面交上底面于，点在上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件中的平行关系去证明∥，从而根据相似可计算，再计算即可. 【详解】在正方体中， 因为平面∥平面，且平面， 所以∥平面， 因为平面平面，平面， 所以， 又，分别是，的中点，所以∥， 又∥，由平行的传递性可知∥， 因为，所以 所以， 故在直角三角形中，. 故选：C. 5.（23-24高二上·安徽六安·阶段练习）已知直三棱柱中，，，，P是的中点，Q在棱上，且，M在棱上，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取上一点，使得，取上一点，使得，连接，取的中点，连接，由面面平行的判定定理可证明平面，再由面面平行的性质定理可得平面，故重合，即可得出答案. 【分析】取上一点，使得，取上一点，使得， 连接，因为，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为取的中点，连接，三棱柱的性质知： ，所以四边形是平行四边形，所以， 又因为，所以，又因为， 所以在中，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，所以平面平面， 而平面，所以平面，故重合，所以. 故选：B.    6.（2024·四川乐山·三模）在三棱柱中，点在棱上，且，点在棱上，且为的中点，点在直线上，若 平面，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可求解. 【详解】依题意，作出图形如图所示 设为的中点， 因为为的中点， 所以, 又平面，平面， 所以平面， 过点作，交于,则易知平面， 又因为平面，平面， 所以平面平面. 又平面, 所以平面. 因为, 所以四边形为平行四边形， 所以, 因为， 所以, , 所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：利用线面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性质定理，求出四边形为平行四边形即可. 7.（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在四棱锥中，，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，从而可证平面 平面，则有顶点的射影在上，从而可得，即有是直角三角形，再求出底面积和高即可求出体积. 【详解】连接，交点为，如图所示： ，且是公共边， ，， 易得，， 即，又，， ，平面， 平面，又平面， 平面 平面. 过点作平面，垂足为，连接， ，， 平面， ，， 由 是公共边，， 即有， 三点在以为直径的圆周上， ，，， ， ， . 故选：C 8.（24-25高二上·北京·期中）如图，在直三棱柱中，是边长为4的正三角形，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（    ） A． B． C． D．π 【答案】C 【分析】根据线面垂直及圆的性质判断点O的轨迹为圆的一部分，再由弧长公式能求出结果. 【详解】取中点P，连接，的中点为，如图， 是中点，是等边三角形，所以， 又N为棱上的中点，由直三棱柱性质知， 又因为，平面， ∴平面，又平面，∴平面⊥平面， 过N作,为垂足， 又平面 平面 ，平面，∴⊥平面， 所以O点轨迹是在平面内且以为直径的圆弧， 当点M在点C时，O点位于P点，当点M到点时，O点到最高点， 此时， 所以直角中， ，从而，∴弧长， ∴当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为. 故选：C. 二、多选题 9．（2024高三·全国·专题练习）（多选）如图所示，平面 平面，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】对于A，由面面平行的定义以及线面平行的定义知显然成立，对于B，利用平行线分线段成比例定理即可求解，对于C，的长度不确定，对于D，由已知可得，而由 ，但与长度关系不确定. 【详解】对于A，因为平面 平面平面，所以 平面，故A正确； 对于B，设由与所确定的平面为， 因为平面 平面，平面平面，平面平面， 所以 ，所以，即，解得，故B正确； 对于C，若，则，这与三角形三边关系定理相矛盾，故C错误； 对于D，，而由 ， 但与长度关系不确定，故D错误， 故选：AB. 10.（23-24高一下·甘肃临夏·期末）如图，在棱长均为1的四棱锥中，O为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，则（    ）    A． B．平面平面OMN C． D．四棱锥的体积为 【答案】ABC 【分析】根据中位线可判断A，根据线线平行求证线面平行，即可求解B，根据三角形的边长关系，即可求解C，根据锥体的体积公式即可求解D. 【详解】对于A，由于分别为侧棱的中点,所以,又，故，A正确， 对于B, 连接,由于分别为侧棱的中点,所以，平面,平面,所以平面,同理，平面,平面,故平面,，平面，所以平面平面，故B正确． 对于C，由于,所以，故，又，故，C正确， 对于D，由于，故D错； 故选：ABC    11. （2025高三·全国·专题练习）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，，则下列结论正确的是（   ） A． B．平面平面 C．直线BC与平面相交 D．直线与平面所成的角为 【答案】CD 【分析】利用线面垂直判定性质来判定A； 过点A作垂直于，垂足为M，连接，借助余弦定理求出，得到与不垂直，来判定B； 运用与直线相交，判定C；找出线面角，求出大小来判定D. 【详解】对于选项A，若，已知平面，平面 ，. 又因为，且平面，所以平面. 又平面，可知，这与已知条件矛盾，所以选项A错误. 判断选项B， 过点作垂直于，垂足为M，连接，在中，设，因为，根据勾股定理可得. 可得，即，解得. 再根据勾股定理可得. 已知，，同理可得. 在中，根据余弦定理，可求出. 在中，根据余弦定理，可求出. 在中，根据余弦定理，可求出，所以，即与不垂直，选项B错误. 对于选项C，因为在棱锥的底面内，直线与直线相交，所以与平面相交，选项C正确. 对于选项D，因为平面ABC，所以就是直线与平面所成的角. 在中，，因为，所以，即直线与平面所成的角为，选项D正确. 故选：CD. 三、填空题 12．（2025高三下·全国·专题练习）在长方体中，过直线的平面交直线于点E，交直线于点F，则四边形的形状为 . 【答案】平行四边形 【详解】在长方体中，平面平面，平面平面，平面平面， 则， 同理，由平面平面可得， 所以四边形为平行四边形. 故答案为：平行四边形. 13．（24-25高二上·吉林四平·开学考试）如图，圆台的轴截面是等腰梯形，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值为 ． 【答案】/ 【分析】由圆中直径所对圆周角为直角以及可得下底面各个线段长，根据等腰梯形，求得圆台的体高，利用线面角的定义以及直角三角形的性质，可得答案. 【详解】在下底面内过点作，垂足为，连接，如下图： 在圆内，易知，由，且， 则，，可得， 在中，， 在等腰梯形中，由，，，则， 在中，， 在圆台内易知平面平面，由图可知平面平面， 因为，平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角， 因为平面，所以， 在中，. 故答案为：. 14．（24-25高三下·黑龙江牡丹江·开学考试）如图所示，将绘有函数部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为，则 ． 【答案】 【分析】过分别作轴、轴的垂线相交于点，利用余弦定理求，然后由勾股定理求出，根据图象过点即可得解. 【详解】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴、轴的垂线相交于点， 连接，则， 由余弦定理得， 由上可知，轴垂直于，又平面， 所以轴垂直于平面，又轴，所以平面， 因为平面，所以， 因为的周期，所以， 由勾股定理得，解得， 由图知，的图象过点，且在递减区间内， 所以，即， 因为，点在递减区间内，所以. 故答案为： 四、解答题 15．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知多面体的底面为正方形，四边形是平行四边形，，，是的中点.证明：平面.    【答案】证明见解析 【详解】设，连接，根据题意可得，，可证平面平面，再利用面面平行的性质分析证明即可得. 【分析】设，连接， 因为为正方形，则为的中点， 又因为是的中点，则， 且平面，平面，所以平面， 由题意可知：四边形是平行四边形， ， 且平面，平面，所以平面， 且，平面，可得平面平面， 由平面，可得平面.    16.（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，证明：平面平面 【答案】证明见解析 【分析】利用面面平行的判定定理证明即可得出结论. 【详解】连接，如下图所示： 由于平面，平面，则. 且，，则. 又，则，故. 又，则，又， 则四边形为平行四边形，则. 又平面，平面， 则平面； 由于，，则.又， 则， 则，则，则. 平面，平面， 则平面； 又平面，结合平面，平面， 可得平面平面. 17. （24-25高二上·海南三亚·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得线线平行，再根据线面平行的判定定理证明线面平行即可； （2）根据线面垂直的性质定理证明，进而证明，即可证明平面，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论. 【详解】（1）∵，且为棱的中点，∴， 又∵，∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面. （2） 平面，平面，， 连接，由题意，为棱的中点，， 知，且，则四边形为平行四边形， ，，又， 所以平行四边形为正方形，， 又，，又，平面， 平面，又平面，所以平面平面. 18. （23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）． (1)证明：平面ABE； (2)当时，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由题意得到，，从而得到线面垂直； （2）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，从而，进而证明出故，所以为二面角的平面角，求出各边长，求出，进而求出二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD中，因为，故，， 因为，故． 所以在折叠后的几何体中，有，， 而，平面， 故平面ABE． （2）如图，在平面AEFD中，过D作且交EF于G． 在平面DBF中，过D作且交BF于H，连接GH． 因为平面平面EBCF，平面平面，平面AEFD， 故平面EBCF， 因为平面EBCF，故，而，故平面DGH， 又平面DGH，故，所以为二面角的平面角， 在平面AEFD中，因为，，故， 又在直角梯形ABCD中，且， 故，故四边形AEGD为平行四边形，故，， 在直角中，， 因为为三角形内角，所以为锐角， ，，解得， 故，故， 因为三角形内角，故为锐角， ，，解得， 所以二面角的平面角的余弦值为． 19. （24-25高二上·上海松江·阶段练习）如图1，由射线构成的三面角，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：. (1)如图2，在三棱锥中，为等腰直角三角形，为等边三角形，，求二面角平面角的正弦值； (2)如图3，在三棱锥中，平面，连接，，求三棱锥体积的最大值； (3)当时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）法1：构建三角形，算出各边，根据余弦定理可得解；法2：依题意，将相关数据代入三面角余弦定理求得，再求出 （2）依题意证明平面，将和分别用表示，求出的表达式，借助于二次函数的最值即得体积最大值. （3）在射线上一点，分别作，，即得二面角的平面角，在和中，由余弦定理分别求出，消去，整理后利用直角三角形中三角函数定义即可推得结论. 【详解】（1）法1：取的中点，连接，如图所示， 则，于是是二面角的平面角， 设，则， 由余弦定理得， 故 法2：利用三面角余弦定理，设二面角的平面角为，则有， 计算得，故 （2）二面角的平面角的大小为，利用三面角余弦定理得 ，计算得， 于是. 由于，则. ， 即当时，三棱锥体积的最大值为 （3）如图过射线上一点在面作交于点， 在面内作交于点，连接， 则是二面角的平面角， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 两式相减得：， 则， 两边同除以，得： ， 从而得证. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$