8.1.2样本相关系数（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

8.1.2 样本相关系数 第八章 成对数据的统计分析 人教A版2019选择性必修第三册 前情回顾 0 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 正相关 负相关 线性相关 非线性相关 1、如果两个变量之间有确定的关系，或所有的样本点都落在某一函数曲线上， 就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系； 2、两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的 程度，所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系； 3、如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系． 学习目标 1 2 3 结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性． 掌握样本相关系数的定义和样本相关系数的统计含义． 能用公式计算样本相关系数，判断线性相关的程度． 0 新课引入 0 散点图可以直观的说明变量间有无线性相关关系，但无法量化两个变量之间 的相关程度的大小，更不能精确地说明成对样本数据之间关系的密切程度， 问题：由上图可判断出图①是负相关，图②是正相关， 那么能否判断出图②的相关性比图①强？ 能否像引人均值、方差等数字特征对单个变量数据进行分析那样， 引入一个适当的“数字特征”，对成对样本数据的相关程度进行定量分析呢？ 读教材 0 阅读课本P96-P102，5分钟后完成下列问题： 1.样本相关系数对变量的相关关系有何影响？ 我们一起来探究“样本相关系数”吧！ 2.你能记住样本相关系数的计算公式吗？ 01 03 02 目录 1 样本相关系数 学习过程 2 样本相关系数的性质 3 题型训练 1 新知探究 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量/％ 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 对于变量和变量，设经过随机抽样获得的成对样本数据为， ，其中，，，和，，，的均值分别为和. 将数据以为原点进行平移，得到平移后的成对数据为，，，，并绘制散点图. 用上述方法处理上表中的数据，得到右图．我们发现，这时的散点大多数分布在第一象限、第三象限，大多数散点的横、纵坐标同号．显然，这样的规律是由人体脂肪含量与年龄正相关所决定的． -25 -21 -9 -7 -3 1 2 5 6 8 9 10 12 13 -17.5 -9.2 -5.8 -1.1 0.5 -0.699999999999999 1.2 2.6 3.2 4.4 3.8 6.5 8.2 7.6 1 新知探究 年龄/岁 脂肪含量/% 统计学中平均数是很重要的一个量，， 成对样本数据为，，…,， 将数据以(，)为零点进行平移，得到平移后的成对数据为, 将数据以()为零点进行平移，这种数据预处理的方法叫做中心化（零均值化） 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 -25 -21 -9 -7 -3 1 2 5 6 8 9 10 12 13 -17.5 -9.2 -5.8 -1.1 0.5 -0.699999999999999 1.2 2.6 3.2 4.4 3.8 6.5 8.2 7.6 1 新知探究 探究1 经过中心化的散点图，如何判断两个变量的相关性呢？ 线性负相关 线性正相关 无相关关系 非线性相关 线性负相关 线性正相关 无相关关系 非线性相关 （x，y）基本异号 （x，y）基本同号 中心化 1 新知探究 探究1 经过中心化的散点图，如何判断两个变量的相关性呢？ 一般地如果变量正相关，那么 关于均值平移后的大多数点将分布在 第一、三象限，对应的成对数据同号居多； 一般地，如果变量负相关，那么 关于均值平移后的大多数点将分布在 第二、四象限，对应的成对数据异号居多. 思考： 散点图不能精确描述相关关系，能否用具体数据判断正相关和负相关呢？ 构造一个量： . 一般情形下，表明成对样本数据正相关；表明成对样本数据负相关. 1 新知探究 思考：的大小一定能度量出成对样本数据的相关程度吗？ 因为的大小与数据的度量得有关，所以不宜直接用它度量成对样本数据相关程度的大小. 例如，在研究体重与身高之间的相关程度时，如果体重的单位不变，把身高的单位由米改为厘米， 则相应的将变为原来的100倍，但单位的改变并不会导致体重与身高之间相关程度的改变. 为了消除度量单位的影响，需要对数据作进一步的“标准化”处理. 我们用: 分别除和，得，，，. 标准化后求： . 1 新知1－－样本相关系数 样本相关系数 简单起见，把“标准化”处理后的成对数据分别记为： ，，，，仿照 的构造，可以得到： . (1) ：样本相关系数 当r>0时，称成对样本数据正相关； 当r<0时，称成对样本数据负相关； 当r =0时，两个变量没有线性相关关系， 但可能有其他相关关系； 学以致用 例1 变量X与Y相对应的一组成对样本数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，变量U与V相对应的一组成对样本数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1).r1表示变量Y与X之间的样本相关系数，r2表示变量V与U之间的样本相关系数，则（ ） A.r2<r1<0 B.0<r2<r1 C.r2<0<r1 D.r1＝r2 解：由已知中的数据可知： 第一组成对样本数据正相关，则样本相关系数大于零， 第二组成对样本数据负相关，则样本相关系数小于零，故选C. C 学以致用 例2 下面的散点图与相关系数一定不符合的是（ ） C 解：当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关； r=±1时，所有点都在一条直线上，故选C. A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 学以致用 例3 以下是收集到的新房屋的销售价格y(万元)和房屋的大小x(m2)的数据： 求样本相关系数r？ 房屋大小/m2 115 110 80 135 105 销售价格/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22 解：由题设数据，得： 01 03 02 目录 1 样本相关系数 学习过程 2 样本相关系数的性质 3 题型训练 2 新知探究 探究2：相关系数r的取值范围是多少呢? 观察的结构，联想到二维(平面)向量、三维(空间)向量数量积的坐标表示，我们将向量的维数推广到维，维向量的数量积仍然定义为，其中为向量的夹角. 类似于平面或空间向量的坐标表示，对于向量和， 我们有. 设“标准化”处理后的成对数据 的第一分量构成维向量， 第二分量构成维向量，则有 2 新知探究 探究2：相关系数r的取值范围是多少呢? 因为，所以样本相关系数， 其中为向量和向量的夹角. 由可知. 2 新知探究 思考：相关系数||=1时，成对样本数据之间具有怎样的关系呢? 当时，中的或，向量和共线. 由向量的知识可知，存在实数，使得，即，. 这表明成对样本数据都落在直线上. 这时，成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系. 2 新知2－－样本相关系数的性质 样本相关系数的性质 散点图：对成对样本数据的相关关系进行分析，样本相关系数r：反映两个随机变量之间的线性相关程度； r 的符号(正负)反映相关关系的正负性，|r|的大小 反映两个变量线性相关的程度，即散点集中于一条直线的程度. 1.样本相关系数的取值范围为. 2.当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 3.当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 性质 2 新知2－－样本相关系数的性质 样本相关系数的性质 ①r 的正负：反映成对样本数据的变化趋势 r=0时，只表明成对样本数据间无线性相关关系，但不排除它们有其他相关关系. ③样本容量越大，用样本相关系数估计两个变量的相关系数的效果越好. ②|r |的大小：反映成对样本数据线性相关的程度(即散点集中于某条直线的程度)： |r |越接近1：线性相关程度越强； |r |越接近0：线性相关程度越弱. 学以致用 例1 甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验：   甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 解：|r|越接近1，相关性越强，故选D. 则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 D 学以致用 例2 在一组成对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若这组成对样本数据的样本相关系数为－1，则所有的样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)满足的方程可以是（ ） A.y＝－x＋1 B.y＝x－1 C.y＝x＋1 D.y＝－x2 解：∵这组成对样本数据的样本相关系数为－1， ∴这一组成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)线性相关， 且是负相关. ∴可排除B，C，D，故选A. A 学以致用 例3 (多选)对两个变量的样本相关系数r，下列说法正确的是（ ） A.|r|越大，相关程度越大 B.|r|越小，相关程度越大 C.|r|趋近于0时，没有线性相关关系 D.|r|越接近1时，线性相关程度越强 解：对于A，|r|越大，相关程度越大，A正确； 对于B，|r|越小，相关程度越小，B错误； 对于C，|r|趋近于0时，线性相关关系越弱，C错误； 对于D，|r|越接近1时，线性相关程度越强，D正确. 综上，正确的是AD. AD 学以致用 例4 部门所属的10个工业企业生产性固定资产价值与工业增加值资料如下表： 固定资产价值 3 3 5 6 6 7 8 9 9 10 工业增加值 15 17 25 28 30 36 37 42 40 45 根据上表资料计算的样本相关系数约为_______. 0.9918 思路点拨 样本相关系数r的应用： ：样本相关系数 1.当r>0时，称成对样本数据正相关； 2.当r<0时，称成对样本数据负相关； 3.当r =0时，两个变量没有线性相关关系， 但可能有其他相关关系； 4.样本相关系数的取值范围为. 5.当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 6.当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 01 03 02 目录 1 样本相关系数 学习过程 2 样本相关系数的性质 3 题型训练 3 例1 两个变量y与x的模型中，分别选择了4个不同模型，它们的样本相关系数r 如下， 其中拟合效果最好的模型是（ ） 解：当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，拟合效果越好。 题型1－－样本相关系数 模型 模型1 模型2 模型3 模型4 样本相关系数r 0.98 0.80 0.50 0.25 A.模型1 B.模型2 C.模型3 D.模型4 A 3 例2 某统计部门对四组成对样本数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图， 关于样本相关系数的比较，其中正确的是（ ） 解：根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关； 数据越集中在一条直线附近，说明相关性越强，由题中数据可知： (1)(3)为正相关，(2)(4)为负相关，故r1>0，r3>0，r2<0，r4<0， 又(1)与(2)中散点图更接近于一条直线，故r1>r3，r2<r4，因此r2<r4<0<r3<r1.故选C. 题型1－－样本相关系数 A.r4<r2<0<r1<r3 B.r2<r4<0<r1<r3 C.r2<r4<0<r3<r1 D.r4<r2<0<r3<r1 C 3 例3 某校高三(1)班的学生每周用于数学学习的时间x(单位：)与数学平均成绩y(单位：分)之间如表格所示的数据. (1)画出散点图； (2)判断学习的时间与数学平均成绩间相关关系的类型、相关程度和变化趋势的特征. 解：(1)根据表中的数据画出散点图，从散点图看，数学成绩与学习时间线性相关. 题型1－－散点图与相关关系 x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 (2)：由表得，，，， ，相关系数. 由r知，数学学习时间与数学平均成绩呈正线性相关，因为与1接近， 所以数学学习时间与数学成绩相关程度很高，且随着学习时间的增加，相应的学习成绩升高. 3 例4 已知变量x和变量y的3对随机观测数据(2, 2), (3, －1), (5, －7) ， 计算成对样本数据的样本相关系数. 能据此推断这两个变量线性相关吗? 为什么? 题型1－－散点图与相关关系 解：由题得，，，， ，相关系数： 虽然样本相关系数为－1 ，三个样本点在一条直线上， 但是由于样本量太小 ，据此推断两个变量完全线性相关并不可靠. 课堂小结 样本相关系数的性质 ①r 的正负：反映成对样本数据的变化趋势 r=0时，只表明成对样本数据间无线性相关关系，但不排除它们有其他相关关系. ③样本容量越大，用样本相关系数估计两个变量的相关系数的效果越好. ②|r |的大小：反映成对样本数据线性相关的程度(即散点集中于某条直线的程度)： |r |越接近1：线性相关程度越强； |r |越接近0：线性相关程度越弱. i xi yi x y xiyi 1 115 24.8 13 225 615.04 2 852 2 110 21.6 12 100 466.56 2 376 3 80 18.4 6 400 338.56 1 472 4 135 29.2 18 225 852.64 3 942 5 105 22 11 025 484 2 310 ∑ 545 116 60 975 2 756.8 12 952 ＝＝109，＝＝23.2， r＝ ＝≈0.96， 解：　＝＝6.6， ＝＝31.5. $$