第四章 三角形 活动课——问题的简化策略：特殊化 课件 2024--2025学年北师大版七年级数学下册

第四章 三角形 教学活动课：问题的简化策略 特殊化策略 北师大数学七年级（下） 目 录 壹 教学目标 肆 结束新课 叁 课堂小结 贰 新知探究 教学目标 1.理解特殊化策略的含义，掌握从特殊情形入手解决一般性问题的思路。 3.通过案例分析、几何操作，培养数学建模与逻辑推理能力，运用类比与转化思想，提升解决开放问题的灵活性。 2.能通过构造辅助图形或简化条件，将复杂问题转化为已知的特殊情形。 北师大数学七年级（下） 情景引入 观察下面的四边形CMEN，四条边的长度未知，你能求出它的面积吗？ 因为四边形四条边的长度未知，且四边形也不是规则的四边形，我们无法直接求得它的面积。 北师大数学七年级（下） 情景引入 如果我告诉你，四边形CMEN是两个边长为1的正方形，其中正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD的中心重合。在正方形 EFGH绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积，你能求出四边形CMEN的面积吗？ 北师大数学七年级（下） 新知探究 . . . . 知识点：问题解决策略——由特殊到一般 . 为了解决上面的问题，我们首先考虑： （1）在正方形EFGH旋转的过程中，两个正方形重叠部分的图形会呈出哪些情形？ 理解问题 北师大数学七年级（下） 新知探究 . . . . 知识点：问题解决策略——由特殊到一般 在正方形EFGH旋转的过程中，重叠部分的图形会呈现三种情形： 理解问题 情形1 情形2 . . 情形3 北师大数学七年级（下） 新知探究 . . . . 知识点：问题解决策略——由特殊到一般 （2）对于这些不同情形，如何求两个正方形重叠部分的面积？你遇到的困难是什么? 理解问题 . 情形1 情形2 情形3 北师大数学七年级（下） 新知探究 . . . . 知识点：问题解决策略——由特殊到一般 . （1）你能求出特殊情形下两个正方形重叠部分的面积吗？ 拟定计划 北师大数学七年级（下） 新知探究 . . . . 知识点：问题解决策略——由特殊到一般 . （2）一般情形下两个正方形重叠部分的面积如何求？ 拟定计划 北师大数学七年级（下） 新知探究 . . . 知识点：问题解决策略——由特殊到一般 （1）求特殊情形下两个正方形重叠部分的面积. 实施计划 . . 情形1、2： ∵正方形边长为1， ∴正方形的面积为1. ∴ . 北师大数学七年级（下） 新知探究 . . . . 知识点：问题解决策略——由特殊到一般 （2）求一般情形下两个正方形重叠部分的面积. 实施计划 北师大数学七年级（下） 新知探究 . . . . 知识点：问题解决策略——由特殊到一般 为了求一般情形下两个正方形重叠部分的面积，我们需要先了解正方形的相关性质. 实施计划 正方形的中心即为正方形两条对角线的交点，这个交点到正方形各顶点的距离相等，正方形两条对角线的夹角为90°，正方形对角线与各边的夹角都是45°， 北师大数学七年级（下） 新知探究 . . . . 知识点：问题解决策略——由特殊到一般 现在我们需要将不易求解的一般情形转化为容易求解的特殊情形. 实施计划 . 情形3：由于一般情形下，四边形CMEN不是规则四边形，且四边形的每边的长度随正方形EFGH的转动而变化，所以需要将不规则的四边形，利用“割补法”将其割补，如图，连接EB、EC，得到△BEM与△CEN，这两个三角形全等吗？如果全等，那么就可以将一般情形转化为特殊情形。 . 北师大数学七年级（下） 新知探究 . 知识点：问题解决策略——由特殊到一般 实施计划 . 情形3：连接EB、EC. ∵EB=EC，∠BEC=90°，∴∠EBM=∠ECN=45°. ∵∠BEC=∠MEN=90°， ∴∠BEM+∠MEC=∠CEN+∠MEC. ∴∠BEM=∠CEN 在△BEM与△CEN中， ，∴△BEM≌△CEN（ASA）. ∵， ∴. . 所以，当两个边长相等的正方形按照前面的方式旋转时，旋转过程中，两个正方形重叠部分的面积保持不变，等于原正方形面积的四分之一。 北师大数学七年级（下） 新知探究 . 知识点：问题解决策略——由特殊到一般 回顾反思 （1）回顾本题的解决过程，你有哪些感悟？ （2）具有什么特点的问题，可以从特殊情形入手？如何寻找特殊情形？与同伴进行交流。 在这个问题中，正方形EFGH的位置是变化的，所求重叠部分的面积有 很多情形，因此，我们尝试从特殊情形入手，并借助特殊情形的经验解决了一般情形下的问题。因为某些因素（如形状、位置或数值等）不确定，使得问题有多种情形时，可以限制这个引起变化的因素，考虑最为特殊的情形，采用从特殊情形入手的策略解决问题。 特殊化策略：借助图形的特殊情形构建解决问题的思路，进而由特殊情形拓展到一般情形，利用已有的解决特殊情形的经验寻找解决一般情形的结论或方法，这种解决问题的策略就是由特殊到一般，通常称为特殊化策略。 北师大数学七年级（下） 新知探究 . 知识点：问题解决策略——由特殊到一般 解决问题 请用特殊化策略解答下列问题。 1.如图，点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F。小颖从特殊情形人手，认为PD+PE+PF等于△ABC的高，AF+BD+CE等于△ABC周长的号。你知道她是怎么做的吗？。 提示：应用特殊化策略，假设点D、E、F恰好是各边中点，求出AF=BD+CE的值即可。 北师大数学七年级（下） 新知探究 . 知识点：问题解决策略——由特殊到一般 解决问题 请用特殊化策略解答下列问题。 2.如图，四边形ABCD的面积是16,各边中点分别为M，N，P，Q，MP与NQ相交于点O，求图中阴影部分的面积。 提示：连接OA、OB、OC、OD，过点O分别作AB、BC、CD、AD边上的高、、、。 . 北师大数学七年级（下） 新知探究 . 知识点：问题解决策略——由特殊到一般 解决问题 请用特殊化策略解答下列问题。 3.甲、乙两人轮流在一张圆桌上放置同样大小的硬币，每人每次只能放置一枚硬币，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出桌面的边界。规定谁在桌上放下最后一枚硬币，谁就获胜。你知道获胜的策略吗？ 提示：利用圆的对称性，在圆内，除圆心外，任意一个点都有一个对称点，只要甲把第一枚硬币放在圆心，以后只要乙放一枚，甲就放在的对称点上，只要乙有地方放，甲就有一定地方放。 . 北师大数学七年级（下） 新知探究 . 知识点：问题解决策略——由特殊到一般 解决问题 请用特殊化策略解答下列问题。 4.一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少？ 提示：设这个三位数的各个数位上数字分别为。则这个三位数为。可得 。 要使商最大，那么被除数应最大，除数应最小，可得, 此时商的最大值为： . 北师大数学七年级（下） 新知探究 随堂练习 例1 如图，在△ABC中，AB=AC，点D、A、E在直线上，∠BAC=∠ADB=∠AEC，试判断BD、CE、DE三条线段的数量关系． 北师大数学七年级（下） 新知探究 随堂练习 我们先看一种特殊情形，如图，在△ABC中，AB=AC，点D、A、E在直线上，∠BAC=∠ADB=∠AEC=90°，试判断BD、CE、DE三条线段的数量关系． 解：DE=BD+CE，理由： ∵∠BAC=∠ADB=∠AEC=90°， ∴∠ABD+∠BAD=90°， ∠CAE+∠BAD=90°. ∴∠ABD=∠CAE. 在△ABD与△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE(AAS ). ∴BD=AE，AD=CE. ∵DE=AE+AD， ∴DE=BD+CE. . 北师大数学七年级（下） 新知探究 随堂练习 我们将特殊情形，推广到一般情形就是刚才的例题： 解：DE=BD+CE，理由： ∵∠BAC=∠ADB=∠AEC， ∠ABD+∠BAD=180°-∠ADB， ∠CAE+∠BAD=180°-∠BAC. ∴∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD ∴∠ABD=∠CAE. 在△ABD与△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE(AAS ). ∴BD=AE，AD=CE. ∵DE=AE+AD， ∴DE=BD+CE. . 北师大数学七年级（下） 课堂小结 特殊化策略：借助图形的特殊情形构建解决问题的思路，进而由特殊情形拓展到一般情形，利用已有的解决特殊情形的经验寻找解决一般情形的结论或方法，这种解决问题的策略就是由特殊到一般，通常称为特殊化策略。 感谢观看 结束新课 $$