章末检测试卷一(第六章 平面向量及其应用)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（人教A版2019）

第六章 <<< 章末检测试卷一(第六章) 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C A A B B B A A AC 题号 10 11 12 13 14 答案 AD　 ACD -b 　15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 13 14 15 16 15. (1)因为c∥a，a=(1，2)， c=(2，λ)， 所以2×2-1×λ=0，解得λ=4， 即c=(2，4)， 所以|c|==2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 13 14 15 16 15. (2)因为a=(1，2)，b=(1，1)， 所以ma-b=(m-1，2m-1)， 2a-b=(1，3). 因为ma-b与2a-b垂直， 所以(ma-b)·(2a-b)=0， 即(m-1)×1+(2m-1)×3=0， 解得m=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 13 14 15 16 16. 设所需时间为t小时， 则BC=10t，AB=10t. 在△ABC中，∠ACB=45°+(180°-105°)=120°， 根据余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB， 可得(10t)2=102+(10t)2-2×10×10t×cos 120°， 整理得2t2-t-1=0， 解得t=1或t=-(舍去).故护航舰需1小时靠近货船. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 13 14 15 16 16. 此时AB=10，BC=10， 又AC=10，所以∠CAB=30°， 所以护航舰航行的方位角为75°. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 13 14 15 16 17. (1)由余弦定理有a2+b2-c2=2abcos C， 因为a2+b2-c2=ab， 所以cos C=， 因为C∈(0，π)，所以sin C>0， 从而sin C===， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 13 14 15 16 17. 又因为sin C=cos B， 即cos B=， 又B∈(0，π)，所以B=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 13 14 15 16 17. (2)由(1)可得B=，cos C=， C∈(0，π)， 从而C=，sin A=sin(B+C)=sin=×+×=. 方法一　由正弦定理有 =，从而b=·c=c， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 13 14 15 16 17. 由三角形面积公式可知， △ABC的面积可表示为 S△ABC=bc·sin A =·c·c·=c2， 由已知△ABC的面积为3+， 可得c2=3+，所以c=2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 13 14 15 16 17. 方法二　记R为△ABC外接圆的半径， 由正弦定理得S△ABC=ab·sin C =2R2sin Asin Bsin C =2R2··· =·R2=3+. 所以R=2.所以c=2R·sin C=2×2×=2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 13 14 15 16 18. (1)因为BDsin∠ABC=asin C， 所以由正弦定理得BD·b=ac， 又b2=ac， 所以BD·b=b2， 又b>0，所以BD=b. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 13 14 15 16 18. (2)如图所示，过点D作DE∥BC交AB于E， 因为AD=2DC，所以==2，=， 所以BE=，DE=. 在△BED中，由余弦定理的推论， 得cos∠BED====， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 13 14 15 16 18. 在△ABC中，由余弦定理的推论， 得cos∠ABC= ==. 因为∠BED=π-∠ABC，所以cos∠BED=-cos∠ABC， 所以=-，化简得3c2+6a2-11ac=0，方程两边同时除以a2，得3-11·+6=0，解得=或=3. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 13 14 15 16 18. 当=时， cos∠ABC===； 当=3，即c=3a时， cos∠ABC===>1(舍去). 综上，cos∠ABC=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 13 14 15 16 19. (1)由=， 可得=+=-+. ∵=，∴=+ =-+. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 13 14 15 16 19. (2)将=-+， =-+， 代入=+λ=+μ， 得+λ=+μ， 即(1-λ)+λ=μ+(1-μ)， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 13 14 15 16 19. ∵，不共线， ∴解得 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 13 14 15 16 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 13 14 15 16 (3)设=m，=n. 由(2)知=+， ∴=-=n-=n-=+=m =m-m， ∴解得 19. ∴=，即=2， ∴点P在BC上靠近点C的三等分点处. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 一、单项选择题 1.下列说法中正确的是 A.||与线段BA的长度不相等 B.对任一向量a，|a|>0总是成立的 C.||=|| D.若a∥b，且|a|=1 014，|b|=1 010，则|a+b|=2 024 √ 17 18 19 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ||，||均与线段BA的长度相等，所以A不正确，C正确； |0|=0，对任一向量a，|a|≥0总成立，所以B不正确； 当a，b方向相反时，|a+b|=4，所以D不正确. 17 18 19 13 14 15 16 答案 2.若向量a=(1，1)，b=(-1，1)，c=(4，2)，则c等于 A.3a-b B.3a+b C.-a+3b D.a+3b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设c=xa+yb， 所以有c=xa+yb=(x，x)+(-y，y)=(x-y，x+y)=(4，2)， 因此有 即c=3a-b. 17 18 19 答案 3.已知a，b是两个不共线的向量，设=(a+5b)，=-2a+8b，=3(a-b)，则共线的三点是 A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵=+=a+5b， ∴=，又∵有公共点B， ∴A，B，D三点共线. 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记=m，=n，则等于 A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n √ 因为BD=2DA，所以=3=+=+3=+3(-)=-2+3=-2m+3n. 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=60°，a+2b=8，sin A=6sin B，则c等于 A. B. C.6 D.5 √ 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△ABC中，sin A=6sin B， 由正弦定理得a=6b， 由 由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcos C =36+1-2×6×1×=31，故c=. 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔在其南偏东70°方向，在B处观察灯塔在其北偏东65°方向，那么B，C两点间的距离是 A.10 海里 B.10 海里 C.20 海里 D.20 海里 √ 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据已知条件可知，在△ABC中，AB=20 海里，∠BAC=30°，∠ABC=105°，所以C=45°，由正弦定理，得=， 所以BC==10(海里). 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知△ABC的三边长分别是，，，若a2+b2=c2，则△ABC的形状是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 √ 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由a2+b2=c2，可知c>a且c>b， 则在△ABC中，边=， 又∵a2+b2=c2，∴(a+b)2=c2+2ab>c2， ∴a+b>c，故边对应的角为锐角. ∴△ABC为锐角三角形. 17 18 19 答案 8.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=4，a·b=5，则向量a与a-b的夹角的余弦值为 A.- B. C.- D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵|a|=2，|b|=4，a·b=5， ∴a·(a-b)=a2-a·b=4-5=-1， ∴|a-b|====， ∴cos〈a，a-b〉===-. 17 18 19 答案 二、多项选择题 9.设向量a，b满足|a|=|b|=1，且|b-2a|=，则以下结论正确的是 A.a⊥b B.|a+b|=2 C.|a-b|= D.〈a，b〉=60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 等式|b-2a|=两边平方可得4a2+b2-4a·b=5，因为|a|=|b|=1，所以a·b=0，故选项A正确，选项D错误； |a+b|===，选项B错误； |a-b|===，选项C正确. 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.下列关于平面向量的说法正确的是 A.已知a，b均为非零向量，若a∥b，则存在唯一的实数λ，使得a=λb B.已知非零向量a=(1，2)，b=(1，1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ 的取值范围是 C.若a·c=b·c且c≠0，则a=b D.若点G为△ABC的重心，则++=0 √ √ 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于选项A， 由向量共线定理知选项A正确； 对于选项B，a+λb=(1，2)+λ(1，1)=(1+λ，2+λ)， 若a与a+λb的夹角为锐角， 则a·(a+λb)=1+λ+2(2+λ)=5+3λ>0， 解得λ>-， 当a与a+λb共线时，2+λ=2(1+λ)， 解得λ=0， 此时a=(1，2)，a+λb=(1，2)， 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 此时a与a+λb的夹角为0，不符合题意，所以实数λ的取值范围是∪(0，+∞)，选项B错误； 对于选项C，若a·c=b·c， 则c·(a-b)=0， 因为c≠0，则a=b或c与a-b垂直，选项C错误； 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于选项D，若点G为△ABC的重心，延长AG与BC交于点M，则M为BC的中点， 所以=2=2×+)=+， 所以++=0，选项D正确. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是 A.若=+，则点M是△ABC的重心 B.若=2-，则点M在边BC的延长线上 C.若2=x+y，且x+y=1，则△MBC的面积是△ABC面积的 D.已知平面向量，满足·=·，=λ，则△ABC 为等腰三角形 √ √ 17 18 19 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A，如图，设BC的中点为D，若=+=+)=×2=， 则点M是△ABC的重心，故A正确； 对于B，若=2--=-=，则点M在边CB的延长线上，故B错误； 对于C，如图，若2=x+y，且x+y=1， 由图可得M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC 面积的，故C正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于D，因为·=··=·， 即·=·， 所以·cos∠BAM =cos∠CAM， 因为=λ，所以点M在∠BAC的角平分线上，所以∠BAM=∠CAM，所以cos∠BAM=cos∠CAM， 所以||=||，所以△ABC为等腰三角形， 故D正确. 答案 三、填空题 12.已知向量a，b满足|b|=5，|a+b|=4，|a-b|=6，则向量a在向量b上的投影 向量为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -b 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得(a+b)2=16，(a-b)2=36， 即a2+b2+2a·b=16，a2+b2-2a·b=36， 两式相减可得a·b=-5，又|b|=5， 得|a|cos〈a，b〉=-1， 则向量a在向量b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·=-1×b=-b. 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则·的值为　　.  17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 作CO⊥AB于点O，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A，B， C，D， 所以E，F， 所以==， 所以·=·=+=. 答案 14.如图，为测塔高PA，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进10米后到点E，测得塔顶的仰角为4θ，则θ=　　，塔高为　__米.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得∠CPD=∠EDP-∠DCP=2θ-θ=θ， ∠DPE=∠AEP-∠EDP=4θ-2θ=2θ， ∴PD=CD=30，PE=DE=10. 在△PDE中，由余弦定理的推论，得 cos 2θ===， ∴2θ=，∴θ=，4θ=， ∵sin 4θ=，∴PA=PE·sin 4θ=10×=15，故塔高为15米. 17 18 19 答案 四、解答题 15.已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1，2). (1)若c=(2，λ)，且c∥a，求|c|；(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为c∥a，a=(1，2)，c=(2，λ)， 所以2×2-1×λ=0，解得λ=4，即c=(2，4)， 所以|c|==2. 17 18 19 答案 (2)若b=(1，1)，且ma-b与2a-b垂直，求实数m的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a=(1，2)，b=(1，1)， 所以ma-b=(m-1，2m-1)，2a-b=(1，3). 因为ma-b与2a-b垂直， 所以(ma-b)·(2a-b)=0， 即(m-1)×1+(2m-1)×3=0，解得m=. 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.某货船在航行中遭海盗袭击，发出求救信号.如图，海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向前行驶，海军护航舰立即以10海里/时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间. 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设所需时间为t小时， 则BC=10t，AB=10t. 在△ABC中，∠ACB=45°+(180°-105°)=120°， 根据余弦定理， 得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB， 可得(10t)2=102+(10t)2-2×10×10t×cos 120°， 整理得2t2-t-1=0， 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得t=1或t=-(舍去). 故护航舰需1小时靠近货船. 此时AB=10，BC=10， 又AC=10，所以∠CAB=30°， 所以护航舰航行的方位角为75°. 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17.(2024·新课标全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C=cos B，a2+b2-c2=ab. (1)求B； 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由余弦定理有a2+b2-c2=2abcos C， 因为a2+b2-c2=ab，所以cos C=， 因为C∈(0，π)，所以sin C>0， 从而sin C===， 又因为sin C=cos B， 即cos B=，又B∈(0，π)，所以B=. 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若△ABC的面积为3+，求c. 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)可得B=，cos C=，C∈(0，π)， 从而C=，sin A=sin(B+C)=sin =×+×=. 方法一　由正弦定理有=， 从而b=·c=c， 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由三角形面积公式可知， △ABC的面积可表示为S△ABC=bc·sin A =·c·c·=c2， 由已知△ABC的面积为3+， 可得c2=3+，所以c=2. 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　记R为△ABC外接圆的半径， 由正弦定理得 S△ABC=ab·sin C=2R2sin Asin Bsin C =2R2··· =·R2=3+.所以R=2. 所以c=2R·sin C=2×2×=2. 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asin C. (1)证明：BD=b； 17 18 19 因为BDsin∠ABC=asin C，所以由正弦定理得BD·b=ac，又b2=ac， 所以BD·b=b2，又b>0，所以BD=b. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若AD=2DC，求cos∠ABC. 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，过点D作DE∥BC交AB于E， 因为AD=2DC，所以==2，=，所以BE=，DE=. 在△BED中，由余弦定理的推论， 得cos∠BED= ===， 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△ABC中，由余弦定理的推论， 得cos∠ABC= ==. 因为∠BED=π-∠ABC，所以cos∠BED=-cos∠ABC， 所以=-，化简得3c2+6a2-11ac=0，方程两边同时除以a2，得3-11·+6=0，解得==3. 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当=时，cos∠ABC= ==； 当=3，即c=3a时，cos∠ABC= ==>1(舍去). 综上，cos∠ABC=. 17 19 18 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19.如图所示，在△ABC中，=，=，BQ与 CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P. (1)用和分别表示和； 由=， 可得=+=-+. ∵=，∴=+=-+. 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)如果=+λ=+μ，求实数λ和μ的值； 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 将=-+=-+， 代入=+λ=+μ，得 +λ=+μ， 即(1-λ)+λ=μ+(1-μ)，∵不共线， ∴解得 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)确定点P在边BC上的位置. 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设=m=n. 由(2)知=+， ∴=-=n-=n- =+=m=m-m， ∴∴==2， ∴点P在BC上靠近点C的三等分点处. 答案 第一章 <<< $$ 章末检测试卷一(第六章) ［时间：120分钟 分值：150分］ 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.下列说法中正确的是(　　) A.||与线段BA的长度不相等 B.对任一向量a，|a|>0总是成立的 C.||=|| D.若a∥b，且|a|=1 014，|b|=1 010，则|a+b|=2 024 答案　C 解析　||，||均与线段BA的长度相等，所以A不正确，C正确； |0|=0，对任一向量a，|a|≥0总成立，所以B不正确； 当a，b方向相反时，|a+b|=4，所以D不正确. 2.若向量a=(1，1)，b=(-1，1)，c=(4，2)，则c等于(　　) A.3a-b B.3a+b C.-a+3b D.a+3b 答案　A 解析　设c=xa+yb， 所以有c=xa+yb=(x，x)+(-y，y)=(x-y，x+y)=(4，2)， 因此有解得 即c=3a-b. 3.已知a，b是两个不共线的向量，设=(a+5b)，=-2a+8b，=3(a-b)，则共线的三点是(　　) A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D 答案　A 解析　∵=+=a+5b， ∴=，又∵，有公共点B， ∴A，B，D三点共线. 4.在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记=m，=n，则等于(　　) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 答案　B 解析　因为BD=2DA，所以=3，所以=+=+3=+3(-)=-2+3=-2m+3n. 5.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=60°，a+2b=8，sin A=6sin B，则c等于(　　) A. B. C.6 D.5 答案　B 解析　在△ABC中，sin A=6sin B， 由正弦定理得a=6b， 由解得 由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcos C =36+1-2×6×1×=31，故c=. 6.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔在其南偏东70°方向，在B处观察灯塔在其北偏东65°方向，那么B，C两点间的距离是(　　) A.10 海里 B.10 海里 C.20 海里 D.20 海里 答案　B 解析　根据已知条件可知，在△ABC中，AB=20 海里，∠BAC=30°，∠ABC=105°，所以C=45°，由正弦定理，得=， 所以BC==10(海里). 7.已知△ABC的三边长分别是，，，若a2+b2=c2，则△ABC的形状是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 答案　A 解析　由a2+b2=c2，可知c>a且c>b， 则在△ABC中，边所对的角为最大角，其余弦值为=， 又∵a2+b2=c2，∴(a+b)2=c2+2ab>c2， ∴a+b>c，故边对应的角为锐角. ∴△ABC为锐角三角形. 8.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=4，a·b=5，则向量a与a-b的夹角的余弦值为(　　) A.- B. C.- D. 答案　A 解析　∵|a|=2，|b|=4，a·b=5， ∴a·(a-b)=a2-a·b=4-5=-1， ∴|a-b|== ==， ∴cos〈a，a-b〉= ==-. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.设向量a，b满足|a|=|b|=1，且|b-2a|=，则以下结论正确的是(　　) A.a⊥b B.|a+b|=2 C.|a-b|= D.〈a，b〉=60° 答案　AC 解析　等式|b-2a|=两边平方可得4a2+b2-4a·b=5，因为|a|=|b|=1，所以a·b=0，故选项A正确，选项D错误； |a+b|===，选项B错误； |a-b|===，选项C正确. 10.下列关于平面向量的说法正确的是(　　) A.已知a，b均为非零向量，若a∥b，则存在唯一的实数λ，使得a=λb B.已知非零向量a=(1，2)，b=(1，1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 C.若a·c=b·c且c≠0，则a=b D.若点G为△ABC的重心，则++=0 答案　AD 解析　对于选项A， 由向量共线定理知选项A正确； 对于选项B，a+λb=(1，2)+λ(1，1)=(1+λ，2+λ)， 若a与a+λb的夹角为锐角， 则a·(a+λb)=1+λ+2(2+λ)=5+3λ>0， 解得λ>-， 当a与a+λb共线时，2+λ=2(1+λ)， 解得λ=0， 此时a=(1，2)，a+λb=(1，2)， 此时a与a+λb的夹角为0，不符合题意，所以实数λ的取值范围是∪(0，+∞)，选项B错误； 对于选项C，若a·c=b·c， 则c·(a-b)=0， 因为c≠0，则a=b或c与a-b垂直，选项C错误； 对于选项D，若点G为△ABC的重心，延长AG与BC交于点M，则M为BC的中点， 所以=2=2×+)=+， 所以++=0，选项D正确. 11.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是(　　) A.若=+，则点M是△ABC的重心 B.若=2-，则点M在边BC的延长线上 C.若2=x+y，且x+y=1，则△MBC的面积是△ABC面积的 D.已知平面向量，满足·=·，=λ，则△ABC为等腰三角形 答案　ACD 解析　对于A，如图，设BC的中点为D，若=+=+)=×2=，则点M是△ABC的重心，故A正确； 对于B，若=2-，即有-=-，即=，则点M在边CB的延长线上，故B错误； 对于C，如图，若2=x+y，且x+y=1， 由图可得M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的，故C正确； 对于D，因为·=·，所以·=·， 即·=·， 所以·cos∠BAM =cos∠CAM， 因为=λ，所以点M在∠BAC的角平分线上，所以∠BAM=∠CAM，所以cos∠BAM=cos∠CAM， 所以||=||，所以△ABC为等腰三角形， 故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知向量a，b满足|b|=5，|a+b|=4，|a-b|=6，则向量a在向量b上的投影向量为　　　　.  答案　-b 解析　由题意可得(a+b)2=16，(a-b)2=36， 即a2+b2+2a·b=16，a2+b2-2a·b=36， 两式相减可得a·b=-5，又|b|=5， 得|a|cos〈a，b〉=-1， 则向量a在向量b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·=-1×b=-b. 13.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则·的值为　　　　.  答案　 解析　作CO⊥AB于点O，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A，B， C，D， 所以E，F， 所以=，=， 所以·=·=+=. 14.如图，为测塔高PA，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进10米后到点E，测得塔顶的仰角为4θ，则θ=　　　　，塔高为　　　　米.  答案　 　15 解析　由题意，得∠CPD=∠EDP-∠DCP=2θ-θ=θ， ∠DPE=∠AEP-∠EDP=4θ-2θ=2θ， ∴PD=CD=30，PE=DE=10. 在△PDE中，由余弦定理的推论，得 cos 2θ= ==， ∴2θ=，∴θ=，4θ=， ∵sin 4θ=， ∴PA=PE·sin 4θ=10×=15， 故塔高为15米. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1，2). (1)若c=(2，λ)，且c∥a，求|c|；(6分) (2)若b=(1，1)，且ma-b与2a-b垂直，求实数m的值.(7分) 解　(1)因为c∥a，a=(1，2)，c=(2，λ)， 所以2×2-1×λ=0，解得λ=4，即c=(2，4)， 所以|c|==2. (2)因为a=(1，2)，b=(1，1)， 所以ma-b=(m-1，2m-1)，2a-b=(1，3). 因为ma-b与2a-b垂直， 所以(ma-b)·(2a-b)=0， 即(m-1)×1+(2m-1)×3=0，解得m=. 16.(15分)某货船在航行中遭海盗袭击，发出求救信号.如图，海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向前行驶，海军护航舰立即以10海里/时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间. 解　设所需时间为t小时， 则BC=10t，AB=10t. 在△ABC中，∠ACB=45°+(180°-105°)=120°， 根据余弦定理， 得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB， 可得(10t)2=102+(10t)2-2×10×10t×cos 120°， 整理得2t2-t-1=0， 解得t=1或t=-(舍去). 故护航舰需1小时靠近货船. 此时AB=10，BC=10， 又AC=10，所以∠CAB=30°， 所以护航舰航行的方位角为75°. 17.(15分)(2024·新课标全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C=cos B，a2+b2-c2=ab. (1)求B；(7分) (2)若△ABC的面积为3+，求c.(8分) 解　(1)由余弦定理有a2+b2-c2=2abcos C， 因为a2+b2-c2=ab， 所以cos C=， 因为C∈(0，π)，所以sin C>0， 从而sin C===， 又因为sin C=cos B， 即cos B=， 又B∈(0，π)，所以B=. (2)由(1)可得B=，cos C=，C∈(0，π)， 从而C=，sin A=sin(B+C)=sin =×+×=. 方法一　由正弦定理有=， 从而b=·c=c， 由三角形面积公式可知， △ABC的面积可表示为S△ABC=bc·sin A =·c·c·=c2， 由已知△ABC的面积为3+， 可得c2=3+，所以c=2. 方法二　记R为△ABC外接圆的半径， 由正弦定理得 S△ABC=ab·sin C=2R2sin Asin Bsin C =2R2··· =·R2=3+. 所以R=2. 所以c=2R·sin C=2×2×=2. 18.(17分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asin C. (1)证明：BD=b；(7分) (2)若AD=2DC，求cos∠ABC.(10分) (1)证明　因为BDsin∠ABC=asin C，所以由正弦定理得BD·b=ac，又b2=ac， 所以BD·b=b2，又b>0，所以BD=b. (2)解　如图所示，过点D作DE∥BC交AB于E， 因为AD=2DC，所以==2，=，所以BE=，DE=. 在△BED中，由余弦定理的推论， 得cos∠BED= == =， 在△ABC中，由余弦定理的推论， 得cos∠ABC= ==. 因为∠BED=π-∠ABC，所以cos∠BED=-cos∠ABC， 所以=-，化简得3c2+6a2-11ac=0，方程两边同时除以a2，得3-11·+6=0，解得=或=3. 当=时，cos∠ABC= ==； 当=3，即c=3a时，cos∠ABC= ==>1(舍去). 综上，cos∠ABC=. 19.(17分)如图所示，在△ABC中，=，=，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P. (1)用和分别表示和；(4分) (2)如果=+λ=+μ，求实数λ和μ的值；(6分) (3)确定点P在边BC上的位置.(7分) 解　(1)由=， 可得=+=-+. ∵=，∴=+ =-+. (2)将=-+，=-+， 代入=+λ=+μ，得 +λ=+μ， 即(1-λ)+λ=μ+(1-μ)， ∵，不共线， ∴ 解得 (3)设=m，=n. 由(2)知=+， ∴=-=n- =n- =+=m=m-m， ∴解得 ∴=，即=2， ∴点P在BC上靠近点C的三等分点处. 学科网（北京）股份有限公司 $$