精品解析：上海市黄浦区2024-2025学年下学期期中八年级数学试题

八年级数学学科 （满分100分 时间90分钟） 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）（每题只有一个选项正确） 1. 下列函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. （k、b是常数） D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一般地，形如（k、b常数，）的函数叫做一次函数，据此求解即可． 【详解】解：根据一次函数的定义可知，只有D选项中的函数是一次函数， 故选：D． 2. 下列方程中，属于二项方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项方程的定义，依次判读可得正确答案． 【详解】解：A． ，故选项正确，不符合题意； B． ，含有两个未知数的项，故选项错误，不符合题意； C． ，含有两个未知数的项，故选项错误，不符合题意； D． ，不是整式方程，故选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查二项方程的定义，解题的关键是知道二项方程的定义（一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零）并会用概念判断． 3. 在下列方程中，有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方程的解法，根据无理方程以及整式方程的解法即可求出答案． 【详解】解：A.原方程化为：，故A无解，不符合题意； B.原方程化为：， 解得：， ∵， 解得：， ∴，故B有实数解，符合题意； C.原方程化为：， ∴，故C无解， D.去分母可得：， 经验可知：是该方程的增根，故D无解， 故选：B． 4. 甲乙两个工程队修建某段公路．如果甲乙两队合作，16天可以完成；如果甲队独做5天后，乙队加入，两队继续工作10天，共完成了总工作量的．设甲队单独完成这项工程需要天，乙队单独完成这项工程需要天，那么根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程组．根据甲乙两队合作，16天可以完成；甲队独做5天后，乙队加入，两队继续工作了10天，共完成了总工作量的，可得出关于，的方程组，此题得解． 【详解】解：甲乙两队合作，16天可以完成， ，即 甲队独做5天后，乙队加入，两队继续工作了10天，共完成了总工作量的 ，即． 根据题意可列出方程组． 故选：B． 5. 函数与函数在同一直角坐标系中的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的图像，由函数知直线必过这一点，据此可得． 【详解】解：由函数知直线必过这一点， 故选：C． 6. 乐乐家与学校相距1000米，某天乐乐上学时忘了带了一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学校，图中是乐乐与家的距离y（米）关于时间x（分钟）的函数图像，下列说法错误的是（ ） A. 乐乐走了200米后返回家拿书 B. 乐乐在家停留了3分钟 C. 乐乐以每分钟200米的速度加速赶到学校 D. 乐乐在第10分钟的时候赶到学校 【答案】B 【解析】 【分析】从图像可以知道，2分钟时乐乐返回家，在家一段时间后，5分钟又开始回学校，10分钟到达学校． 【详解】解：A、乐乐走了200米后返回家拿书，正确，不合题意； B、乐乐在家停留了3分钟，错误，从回家到拿到书，一共用3分钟，故符合题意； C、乐乐以每分钟：米的速度加速赶到学校，正确，不合题意； D、乐乐在第10分钟的时候赶到学校，正确，不合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了函数图像，正确认识图像是解答本题的关键． 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 直线在轴上的截距是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数在轴上的截距，一次函数在轴上的截距即为该一次函数与轴交点的纵坐标，据此求解即可． 【详解】解：在中，当时，， ∴直线在轴上的截距是， 故答案为：． 8. 方程的根是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先把方程转化为的形式，然后再利用平方根的概念求解. 【详解】解：原方程化为：， ， ， ∴或(舍去)， ∴． 故答案： 【点睛】本题考查了利用平方根解方程，理解掌握平方根的概念是解题的关键． 9. 一次函数y＝﹣2（x﹣1）可由一次函数y＝﹣2x+3向___平移___个单位得到． 【答案】 ①. 下 ②. 1 【解析】 【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：∵原直线解析式为y＝﹣2x+3，新直线的解析式为y＝﹣2（x﹣1），即y＝﹣2x+2， ∴将直线y＝﹣2x+3向下平移1个单位长度得到直线y＝﹣2（x﹣1）． 故答案为：下；1． 【点睛】本题考查的是一次函数图像与几何变换，熟知函数图像平移的法则是解答此题的关键． 10. 已知一次函数与轴的交点坐标的横坐标是3，且平行于函数，那么这个一次函数解析式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两直线平行的问题，根据平行直线解析式的k值相等可得，再将与x轴的交点代入求出b的值，然后写出函数解析式即可． 【详解】解：∵一次函数平行于函数， ∴， ∵一次函数与x轴的交点坐标的横坐标是3， ∴与x轴的交点坐标为， ∴， 解得， ∴这个一次函数解析式是． 故答案为：． 11. 若点、在直线上，则a、b的大小关系是a______b．（填“>”“=”或“<”） 【答案】< 【解析】 【分析】由k＝−1＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合2＞−1，即可得出a＜b． 【详解】解：∵中，k＝−1＜0， ∴y随x的增大而减小． 又∵2＞−1， ∴a＜b． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 12. 一次函数的图像如图所示．当时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图像直接解答即可． 【详解】由图像可知，当时，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 13. 用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的整式方程是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了换元法、解分式方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设，利用换元法将原方程化为关于y的方程，再通过去分母得到整式方程，即可得出答案． 【详解】解：， ，， 原方程可化为， 去分母，得：， 整理得：， 原方程可化为关于y的整式方程是． 故答案为：． 14. 方程的根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解无理方程，求不等式组的解集，二次根式有意义的条件，根据乘法计算法则可得或，进而得到或，再由二次根式有意义的条件可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 解得或， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 将一根长56厘米的铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为 7 厘米，则另一条直角边长是________厘米． 【答案】24 【解析】 【分析】设这个直角三角形的另一条直角边长为x厘米，运用勾股定理就可解决问题． 【详解】由题可得该直角三角形的斜边为(56-7-x)cm，即(49-x)cm， 根据勾股定理可得， 72+x2=(49-x)2， 解得：x=24， ∴另一条直角边长是24厘米． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 16. 已知二元二次方程组有一组解是，写出一个符合上述条件的二元二次方程组为 _____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】分别列两个方程代入x，y值就可以． 【详解】解：把代入符合要求； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元二次方程组定义，方程组的解，解题关键x，y都能使两个方程左右值相等． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，将沿翻折，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数的综合应用，解答本题的关键是利用翻折的性质、勾股定理等知识 利用勾股定理可得，由折叠得：，得出点D的坐标，设点，则，由勾股定理代入计算即可得出结果． 【详解】解：把代入得，把代入得：， 解得：， ∴、， ∴，， ∵， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴点， 设点，则， 由折叠得：， 在中， ， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 18. 如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，按此作法进行下去，则点的横坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】点，在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，，，，，求得，于是得到结论．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确地作出规律是解题的关键． 【详解】解：点，在直线上， ， 轴， 的纵坐标的纵坐标， 在直线上， ， ， ，即的横坐标为， 同理，的横坐标为，的横坐标为，，，，， ， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， ∴点的横坐标为 故答案为： 三、简答题：（本大题共6题，每题6分，满分36分） 19. 解关于的方程：． 【答案】当时，原方程无解，当时， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去括号，移项，合并同类项的步骤得到，然后讨论的值并求解即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当，即时，原方程无解， 当时，． 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解无理方程，先把无理方程转化为有理方程，然后求解，注意要检验． 【详解】解： 变形得 两边同时平方得 化简得 两边同时平方得 化简得 解得， 经检验，是增根，舍去；是原方程的解， ∴原方程的解为． 21. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】解：， ∴， 去分母得：， 整理得：， ∴， 解得：，； 经检验：当时，，当时，， ∴是原方程的根，是增根； ∴原方程的根为． 22. 解方程组： 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元二次方程组，把方程②的左边分解因式，进而得到或，则或，再把和分别代入①中求解即可． 【详解】解： 由②得， ∴或， ∴或， 把代入①得：，解得，则，即此时方程组的解为； 把代入①得：，解得，则，即此时方程组的解为； 综上所述，原方程组的解为或． 23. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】令， ，则原方程组化为：，求出、的值，再代入求出x、y即可． 【详解】解：令，，原方程组可化：， 解得： ， ， ， 经检验，是原方程组的解 所以原方程组解为 【点睛】本题考查了解分式方程组和解二元一次方程组，能正确换元是解此题的关键． 24. 已知，点是第一象限内的点，直线交y轴于点，交x轴负半轴于点A．连接，． （1）求的面积； （2）直接写出点A的坐标__________和m的值__________． 【答案】（1）2； （2），3． 【解析】 分析】（1）根据三角形面积公式求解； （2）先计算出，利用三角形面积公式得，解得，则A点坐标为；再利用待定系数法求直线的解析式，然后把代入可求出m的值． 【小问1详解】 解：的面积； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴A点坐标为； 设直线的解析式为， 把、代入得，解得， ∴直线的解析式为， 把代入得． 故答案为：，3． 【点睛】本题考查一次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，结合图形利用点的坐标求面积． 四、解答题：（本大题共3题，25题6分，26题8分，27题8分，满分22分） 25. 元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个数学问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”它的大意是∶“良马每天行里，劣马每天行里，劣马先行天，良马需要多少天才能追上劣马？”如图，是良马与驽马行走路程(单位∶里)关于行走时间(单位∶日)的函数图象． （1）射线记为，射线记为，那么良马行走路程关于行走时间的函数图象是____________；(填或) （2）两图象交点的坐标是____________； （3）求良马行走路程关于行走时间的函数解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据良马行走的速度大于劣马，即单位时间内的路程大，反映在函数图象上是与轴夹角较大的射线，据此即可求解； （2）根据题意，列出方程，解方程即可求解； （3）设，将点，代入，根据待定系数法求解析式即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，可得良马行走的速度大于劣马， 则良马行走路程关于行走时间的函数图象是， 故答案为：． 【小问2详解】 根据题意可得：， 解得：， ∴良马行走了（天） ∴的纵坐标为 【小问3详解】 解：设，将点，代入得， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 26. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． （1）问： A、B两款的进货单价分别是多少元？ （2）小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 【答案】（1）A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元 （2）购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进B款个，先根据“A款的数量不小于B款的一半”求得；再设总利润为，则，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴， 答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元； 【小问2详解】 解：设购进B款个，则购进A款个， 又A款的数量不小于B款的一半， ， 解得：， 设总利润为，则， ， ∴随的增大而增大， 当取得最大整数解50时，取得最大值，最大值为， 此时，则， 答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元． 27. 探究活动 【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】 （1）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，以为直角顶点在第一象限内构造等腰直角，直接写出第三个点的坐标是 ； （2）如图1，一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图2，点在轴负半轴上，，过点作轴交直线于点，是直线上的动点，是轴上的动点，若是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或或或． 【解析】 【分析】（1）过点C作y轴的垂线，垂足为D，先求出A、B坐标得到的长，再证明推出的长即可得到答案； （2）先证可得，进而得到，最后根据待定系数法即可解答； （3）分，点P在x轴上方或下方和点P在x轴上方或下方，四种情况，分别运用全等三角形的判定与性质和二元一次方程组解答即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点C作y轴的垂线，垂足为D， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴； ∵是以B为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点B作交直线l于点C，过点C作轴于D， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在中，当时，， ∴． 当时，， ∴， ∴， ∴； 设直线l对应的函数表达式为， 将和代入得 解得 ∴直线l解析式为． （3）当，，P在x轴的上方， 如图：过P作轴，交于M，交y轴于N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ①②联立解得：， ∴； 当，，P在x轴的下方， 如图： 同理可得， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ③④联立解得：， ∴； 当，，P在x轴的上方，如图 同理可证明， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， ⑤⑥联立解得：， ∴； 当，，P在x轴的下方， 如图： 同理可证明， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， ①②联立解得：， ∴． 综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质与判定、、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学学科 （满分100分 时间90分钟） 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）（每题只有一个选项正确） 1. 下列函数中，是一次函数是（ ） A. B. C. （k、b是常数） D. 2. 下列方程中，属于二项方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列方程中，有实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 甲乙两个工程队修建某段公路．如果甲乙两队合作，16天可以完成；如果甲队独做5天后，乙队加入，两队继续工作10天，共完成了总工作量的．设甲队单独完成这项工程需要天，乙队单独完成这项工程需要天，那么根据题意可列方程组为（ ） A. B. C D. 5. 函数与函数在同一直角坐标系中的大致图像可能是（ ） A B. C. D. 6. 乐乐家与学校相距1000米，某天乐乐上学时忘了带了一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学校，图中是乐乐与家的距离y（米）关于时间x（分钟）的函数图像，下列说法错误的是（ ） A. 乐乐走了200米后返回家拿书 B. 乐乐在家停留了3分钟 C. 乐乐以每分钟200米的速度加速赶到学校 D. 乐乐在第10分钟的时候赶到学校 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 直线在轴上的截距是_____． 8. 方程的根是_____________． 9. 一次函数y＝﹣2（x﹣1）可由一次函数y＝﹣2x+3向___平移___个单位得到． 10. 已知一次函数与轴的交点坐标的横坐标是3，且平行于函数，那么这个一次函数解析式是_____． 11. 若点、在直线上，则a、b的大小关系是a______b．（填“>”“=”或“<”） 12. 一次函数的图像如图所示．当时，的取值范围是______． 13. 用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的整式方程是_________． 14. 方程的根是_____． 15. 将一根长56厘米的铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为 7 厘米，则另一条直角边长是________厘米． 16. 已知二元二次方程组有一组解是，写出一个符合上述条件的二元二次方程组为 _____． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，将沿翻折，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为__________． 18. 如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，按此作法进行下去，则点的横坐标为________． 三、简答题：（本大题共6题，每题6分，满分36分） 19. 解关于的方程：． 20. 解方程：． 21 解方程：． 22 解方程组： 23. 解方程组： 24. 已知，点是第一象限内的点，直线交y轴于点，交x轴负半轴于点A．连接，． （1）求的面积； （2）直接写出点A的坐标__________和m的值__________． 四、解答题：（本大题共3题，25题6分，26题8分，27题8分，满分22分） 25. 元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个数学问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”它的大意是∶“良马每天行里，劣马每天行里，劣马先行天，良马需要多少天才能追上劣马？”如图，是良马与驽马行走路程(单位∶里)关于行走时间(单位∶日)的函数图象． （1）射线记为，射线记为，那么良马行走路程关于行走时间的函数图象是____________；(填或) （2）两图象交点的坐标是____________； （3）求良马行走路程关于行走时间的函数解析式． 26. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． （1）问： A、B两款的进货单价分别是多少元？ （2）小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 27. 探究活动 【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】 （1）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，以为直角顶点在第一象限内构造等腰直角，直接写出第三个点的坐标是 ； （2）如图1，一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图2，点在轴负半轴上，，过点作轴交直线于点，是直线上的动点，是轴上的动点，若是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$