章末检测试卷五(第六章 立体几何初步)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（北师大版2019）

章末检测试卷五(第六章)　[时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.下列说法正确的是(　　) A.多面体至少有3个面 B.有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 答案　D 解析　选项A错误，一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体；选项B错误，反例如图；选项C错误，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义知选项D正确. 2.如图，Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2，则这个平面图形的面积是(　　) A. B.1 C. D. 答案　D 解析　∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图， 斜边O'B'=2， ∴O'A'=A'B'=， ∴Rt△O'A'B'的面积是=1， ∴原平面图形的面积是1×2. 3.我国古代《九章算术》里记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上、下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为(　　) A.13.25立方丈 B.26.5立方丈 C.53立方丈 D.106立方丈 答案　B 解析　由题意知，刍童的体积为[(4×2+3)×3+(3×2+4)×2]×3÷6=26.5(立方丈). 4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(　　) A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β 答案　D 解析　选项A中，m，n可能为平行、相交不垂直、垂直、异面直线；选项B中，m，n可能为平行、异面直线；选项C中，m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立；选项D正确. 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN夹角的大小为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案　D 解析　取AA1的中点E， 连接EN，BE， 且BE交B1M于点O， 如图.则EN∥BC，且EN=BC， ∴四边形BCNE是平行四边形， ∴BE∥CN， ∴∠BOM(或其补角)是异面直线B1M与CN的夹角. 易证Rt△BB1M≌Rt△ABE， ∴∠BB1M=∠ABE，∠BMB1=∠AEB， ∴∠ABE+∠BMB1=∠ABE+∠AEB=90°， ∴∠BOM=90°， ∴异面直线B1M与CN的夹角为90°. 6.已知A，B是球O的球面上的两点，∠AOB=90°，点C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为，则球O的表面积为(　　) A.16π B.36π C.64π D.144π 答案　A 解析　如图所示，当点C位于垂直于平面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大， 设球O的半径为R，此时VO-ABC=VC-AOB=， 所以R=2. 因此，球O的表面积为4πR2=16π. 7.如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA=SB=SC=15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H，且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为(　　) A. B. C.45 D. 答案　A 解析　如图，取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，且SG∩BG=G，SG，BG⊂平面SGB， 故AC⊥平面SGB， 又SB⊂平面SGB， 所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH=HD，所以SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也分别为SA，SC的中点，从而得HF綊 又AC∥SB,SB∥HD,DE∥AC, . 8.如图，将正方形A1BCD折成直二面角A-BD-C，则二面角A-CD-B的余弦值为(　　 ) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵以正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面角， ∴平面ABD⊥平面BCD， 连接A1C与BD相交于点O，如图所示. 则AO⊥BD， ∵平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD， ∴AO⊥平面BCD， 又CD⊂平面BCD，∴AO⊥CD， 取CD的中点M，连接AM，OM， 则OM∥BC，有OM⊥CD，OM∩AO=O，OM， AO⊂平面AOM， ∴CD⊥平面AOM， ∴AM⊥CD，又∵OM⊥CD， ∴∠AMO即为二面角A-CD-B的平面角. 不妨设正方形A1BCD的边长为2， 则AO=，OM=1， ∴AM=. cos∠AMO=. ∴二面角A-CD-B的余弦值为. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列四个结论正确的是(　　) A.直线AM与CC1是相交直线 B.直线AM与BN是平行直线 C.直线BN与MB1是异面直线 D.直线AM与DD1是异面直线 答案　CD 10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是(　　) A.圆柱的侧面积为2πR2 B.圆锥的侧面积为2πR2 C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2 答案　CD 解析　依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2，∴A错误； 圆锥的侧面积为πR×πR2，∴B错误； 球的表面积为4πR2， 故圆柱的侧面积与球的表面积相等，∴C正确； ∵V圆柱=πR2·2R=2πR3， V圆锥=πR3， V球=πR3， ∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3 =3∶1∶2，∴D正确. 11.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是(　　) A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB B.异面直线AD与PB所成的角为90° C.二面角P-BC-A的大小为45° D.BD⊥平面PAC 答案　ABC 解析　如图，对于A，取AD的中点M，连接PM，BM， ∵△PAD为正三角形， ∴PM⊥AD，又四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD⊥BM，又PM∩BM=M，PM，BM⊂平面PMB，∴AD⊥平面PMB，故A正确； 对于B，∵AD⊥平面PMB， ∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确； 对于C，∵BC∥AD，∴BC⊥平面PMB，∴BC⊥PB，BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角，设AB=1，则BM=， ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PM⊂平面PAD，PM⊥AD， ∴PM⊥平面ABCD，∴PM⊥MB，在Rt△PBM中，tan∠PBM==1，即∠PBM=45°，故二面角P-BC-A的大小为45°，故C正确； 对于D，∵BD与PA不垂直，∴BD与平面PAC不垂直，故D错误. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.如果用半径R=2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是　　　　.  答案　3 解析　设圆锥筒的底面半径为r，则2πr=πR=2=3. 13.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD=90°，∠BCD=90°，且AB=AD，则AC与平面BCD所成的角是　　　　.  答案　45° 解析　如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO. 因为AB=AD，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD， 所以AO⊥平面BCD. 因此，∠ACO即为AC与平面BCD所成的角. 由于∠BAD=90°=∠BCD， 所以AO=OC=BD， 又AO⊥OC，所以∠ACO=45°. 所以AC与平面BCD所成的角为45°. 14.一个球与一个正三棱柱的两个底面和三个侧面都相切，若棱柱的体积为48，则球的表面积为_____. 答案　16π 解析　根据题意可知球的直径等于正三棱柱的高，三棱柱底面等边三角形三边中点组成的等边三角形全等于球内大圆的内接等边三角形.设正三棱柱底面边长为a，高为h，球的半径为R.由棱柱的体积V=R)2·2R=192，解得R=2，所以球的表面积S=4πR2=16π. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V. 解　由题意知△A1B1C1为直角三角形， ×3×4×6=36(cm3). 设圆柱底面圆的半径为r， 则r==1， =πr2h=6π(cm3). 所以V==(36-6π)cm3. 16.(15分)如图，在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且.求证：直线EH，BD，FG相交于一点. 证明　如图所示，连接EF，GH. ∵H，G分别是AD，CD的中点， ∴GH∥AC， 且GH=AC. ∵， ∴EF∥AC，且EF=AC. ∴GH∥EF，且GH≠EF. ∴EH与FG相交，设交点为P. ∵P∈EH，EH⊂平面ABD，∴P∈平面ABD. 同理P∈平面BCD. 又∵平面ABD∩平面BCD=BD， ∴P∈BD. ∴直线EH，BD，FG相交于一点. 17.(15分)如图所示，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点. 求证：(1)直线EF∥平面ACD；(7分) (2)平面EFC⊥平面BCD.(8分) 证明　(1)∵E，F分别是AB，BD的中点， ∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD. ∵EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD， ∴直线EF∥平面ACD. (2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD. ∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD. 又∵EF∩CF=F，EF，CF⊂平面EFC， ∴BD⊥平面EFC. ∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD. 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2. (1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(5分) (2)求证：PD⊥平面PBC；(6分) (3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.(6分) (1)解　由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角. ∵AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD. 在Rt△PDA中，由已知， 得AP=， 故cos∠DAP=. ∴异面直线AP与BC所成角的余弦值为. (2)证明　由(1)知AD⊥PD. 又∵BC∥AD，∴PD⊥BC， 又PD⊥PB，BC∩PB=B，BC，PB⊂平面PBC， ∴PD⊥平面PBC. (3)解　如图所示，过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF， 则DF与平面PBC所成的角即为AB与平面PBC所成的角. ∵PD⊥平面PBC， 故PF为DF在平面PBC上的投影， ∴∠DFP为直线DF与平面PBC所成的角. 由于AD∥BC，DF∥AB，可得BF=AD=1. 由已知，得CF=BC-BF=2. 又AD⊥DC，故BC⊥DC. 在Rt△DCF中，可得DF=. 在Rt△DPF中，可得sin∠DFP=. ∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为. 19.(17分)如图所示，在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D'AE的位置，且平面D'AE⊥平面ABCE. (1)求证：AD'⊥BE；(5分) (2)求四棱锥D'-ABCE的体积；(6分) (3)在棱ED'上是否存在一点P，使得D'B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.(6分) (1)证明　根据题意可知，在长方形ABCD中，△DAE和△CBE均为等腰直角三角形， ∴∠DEA=∠CEB=45°， ∴∠AEB=90°，即BE⊥AE. ∵平面D'AE⊥平面ABCE，且平面D'AE∩平面ABCE=AE，BE⊂平面ABCE， ∴BE⊥平面D'AE，∵AD'⊂平面D'AE， ∴AD'⊥BE. (2)解　如图所示，取AE的中点F，连接D'F， 则D'F⊥AE，且D'F=. ∵平面D'AE⊥平面ABCE， 且平面D'AE∩平面ABCE=AE， D'F⊂平面D'AE， ∴D'F⊥平面ABCE， ∴VD'-ABCE=S四边形ABCE·D'F =. (3)解　如图，连接AC交BE于点Q，假设在ED'上存在点P，使得D'B∥平面PAC，连接PQ. ∵D'B⊂平面D'BE，平面D'BE∩平面PAC=PQ， ∴D'B∥PQ， ∴在△EBD'中，.∵△CEQ∽△ABQ， ∴， ∴ED'， ∴在棱ED'上存在一点P，且EP=ED'， 使得D'B∥平面PAC. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 <<< 章末检测试卷五(第六章) 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B D D A A B 题号 9 10 11 12　 13 14 答案 CD CD ABC 3 45° 16π 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15. 由题意知△A1B1C1为直角三角形，=×3×4×6=36(cm3). 设圆柱底面圆的半径为r， 则r===1， =πr2h=6π(cm3). 所以V=-=(36-6π)cm3. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16. 如图所示，连接EF，GH.∵H，G分别是AD，CD的中点， ∴GH∥AC，且GH=AC. ∵==， ∴EF∥AC，且EF=AC. ∴GH∥EF，且GH≠EF. ∴EH与FG相交，设交点为P. ∵P∈EH，EH⊂平面ABD， ∴P∈平面ABD. 同理P∈平面BCD. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16. 又∵平面ABD∩平面BCD=BD， ∴P∈BD. ∴直线EH，BD，FG相交于一点. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17. (1)∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线， ∴EF∥AD. ∵EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD， ∴直线EF∥平面ACD. (2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD. ∵CB=CD，F是BD的中点， ∴CF⊥BD. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17. 又∵EF∩CF=F，EF，CF⊂平面EFC， ∴BD⊥平面EFC. ∵BD⊂平面BCD， ∴平面EFC⊥平面BCD. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18. (1)由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角. ∵AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD. 在Rt△PDA中，由已知， 得AP==，故cos∠DAP==. ∴异面直线AP与BC所成角的余弦值为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18. (2)由(1)知AD⊥PD. 又∵BC∥AD，∴PD⊥BC， 又PD⊥PB，BC∩PB=B， BC，PB⊂平面PBC， ∴PD⊥平面PBC. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18. (3)如图所示，过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF， 则DF与平面PBC所成的角即为AB与平面PBC所成的角. ∵PD⊥平面PBC， 故PF为DF在平面PBC上的投影， ∴∠DFP为直线DF与平面PBC所成的角. 由于AD∥BC，DF∥AB，可得BF=AD=1. 由已知，得CF=BC-BF=2. 又AD⊥DC，故BC⊥DC. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18. 在Rt△DCF中，可得DF==2. 在Rt△DPF中，可得sin∠DFP==. ∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19. (1)根据题意可知，在长方形ABCD中，△DAE和△CBE均为等腰直角三角形， ∴∠DEA=∠CEB=45°， ∴∠AEB=90°，即BE⊥AE. ∵平面D'AE⊥平面ABCE，且平面D'AE∩平面ABCE=AE， BE⊂平面ABCE，∴BE⊥平面D'AE， ∵AD'⊂平面D'AE，∴AD'⊥BE. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19. (2)如图所示，取AE的中点F，连接D'F， 则D'F⊥AE，且D'F=. ∵平面D'AE⊥平面ABCE， 且平面D'AE∩平面ABCE=AE，D'F⊂平面D'AE， ∴D'F⊥平面ABCE， ∴VD'-ABCE=S四边形ABCE·D'F=××(1+2)×1×=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19. (3)如图，连接AC交BE于点Q，假设在ED'上存在点P，使得D'B∥平面PAC，连接PQ. ∵D'B⊂平面D'BE，平面D'BE∩平面PAC=PQ，∴D'B∥PQ， ∴在△EBD'中，=. ∵△CEQ∽△ABQ， ∴==， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19. ∴==，即EP=ED'， ∴在棱ED'上存在一点P，且EP=ED'，使得D'B∥平面PAC. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 一、单项选择题 1.下列说法正确的是 A.多面体至少有3个面 B.有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 选项A错误，一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体； 选项B错误，反例如图； 选项C错误，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义知选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 17 2.如图，Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2，则这个平面图形的面积是 A. B.1 C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 ∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图， 斜边O'B'=2， ∴O'A'=A'B'=， ∴Rt△O'A'B'的面积是=1， ∴原平面图形的面积是1×2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 3.我国古代《九章算术》里记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上、下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两 次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍 童的体积为 A.13.25立方丈 B.26.5立方丈 C.53立方丈 D.106立方丈 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 由题意知，刍童的体积为[(4×2+3)×3+(3×2+4)×2]×3÷6=26.5(立方丈). 4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是 A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 选项A中，m，n可能为平行、相交不垂直、垂直、异面直线； 选项B中，m，n可能为平行、异面直线； 选项C中，m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立； 选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN夹角的大小为 A.30° B.45° C.60° D.90° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 取AA1的中点E， 连接EN，BE， 且BE交B1M于点O， 如图.则EN∥BC，且EN=BC， ∴四边形BCNE是平行四边形， ∴BE∥CN， ∴∠BOM(或其补角)是异面直线B1M与CN的夹角. 易证Rt△BB1M≌Rt△ABE， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 ∴∠BB1M=∠ABE，∠BMB1=∠AEB， ∴∠ABE+∠BMB1=∠ABE+∠AEB=90°， ∴∠BOM=90°， ∴异面直线B1M与CN的夹角为90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 6.已知A，B是球O的球面上的两点，∠AOB=90°，点C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为，则球O的表面积为 A.16π B.36π C.64π D.144π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 26 如图所示，当点C位于垂直于平面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大， 设球O的半径为R，此时VO-ABC=VC-AOB= ， 所以R=2. 因此，球O的表面积为4πR2=16π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 7.如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA=SB=SC=15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H，且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为 A. B. C.45 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 如图，取AC的中点G，连接SG，BG. 易知SG⊥AC，BG⊥AC， 且SG∩BG=G，SG，BG⊂平面SGB， 故AC⊥平面SGB， 又SB⊂平面SGB， 所以AC⊥SB. 因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH=HD，所以SB∥HD. 同理SB∥FE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也分别为SA，SC的中点，从而得HF綊 又AC∥SB,SB∥HD,DE∥AC, . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 8.如图，将正方形A1BCD折成直二面角A-BD-C，则二面角A-CD-B的余弦值为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 ∵以正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面角， ∴平面ABD⊥平面BCD， 连接A1C与BD相交于点O，如图所示. 则AO⊥BD， ∵平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD， ∴AO⊥平面BCD， 又CD⊂平面BCD，∴AO⊥CD， 取CD的中点M，连接AM，OM， 则OM∥BC，有OM⊥CD，OM∩AO=O，OM，AO⊂平面AOM， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 ∴CD⊥平面AOM， ∴AM⊥CD，又∵OM⊥CD， ∴∠AMO即为二面角A-CD-B的平面角. 不妨设正方形A1BCD的边长为2， 则AO=，OM=1， ∴AM=. cos∠AMO=. ∴二面角A-CD-B的余弦值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 二、多项选择题 9.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列四个结论正确的是 A.直线AM与CC1是相交直线 B.直线AM与BN是平行直线 C.直线BN与MB1是异面直线 D.直线AM与DD1是异面直线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 17 18 19 答案 √ 10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是 A.圆柱的侧面积为2πR2 B.圆锥的侧面积为2πR2 C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2，∴A错误； 圆锥的侧面积为πR×πR2，∴B错误； 球的表面积为4πR2， 故圆柱的侧面积与球的表面积相等， ∴C正确； ∵V圆柱=πR2·2R=2πR3， V圆锥=πR3，V球=πR3， ∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3=3∶1∶2，∴D正确. 16 17 18 19 答案 36 11.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是 A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB B.异面直线AD与PB所成的角为90° C.二面角P-BC-A的大小为45° D.BD⊥平面PAC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 √ √ √ 如图，对于A，取AD的中点M，连接PM，BM， ∵△PAD为正三角形， ∴PM⊥AD，又四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD⊥BM，又PM∩BM=M，PM，BM⊂平面PMB，∴AD⊥平面PMB，故A正确； 对于B，∵AD⊥平面PMB， ∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 对于C，∵BC∥AD，∴BC⊥平面PMB， ∴BC⊥PB，BC⊥BM， ∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角，设AB=1， 则BM=， ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PM⊂平面PAD，PM⊥AD， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 ∴PM⊥平面ABCD，∴PM⊥MB，在Rt△PBM中，tan∠PBM==1，即∠PBM=45°，故二面角P-BC-A的大小为45°，故C正确； 对于D，∵BD与PA不垂直，∴BD与平面PAC不垂直，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 三、填空题 12.如果用半径R=2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是　　　.  设圆锥筒的底面半径为r，则2πr=πR=2 =3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 3 13.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD=90°，∠BCD=90°，且AB=AD，则AC与平面BCD所成的角是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO. 因为AB=AD，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD， 所以AO⊥平面BCD. 因此，∠ACO即为AC与平面BCD所成的角. 由于∠BAD=90°=∠BCD， 所以AO=OC=BD， 又AO⊥OC，所以∠ACO=45°. 所以AC与平面BCD所成的角为45°. 16 17 18 19 答案 14.一个球与一个正三棱柱的两个底面和三个侧面都相切，若棱柱的体积为48，则球的表面积为_______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 根据题意可知球的直径等于正三棱柱的高，三棱柱底面等边三角形三边中点组成的等边三角形全等于球内大圆的内接等边三角形.设正三棱柱底面边长为a，高为h，球的半径为R.由棱柱的体积V=R)2·2R=192，解得R=2，所以球的表面积S=4πR2=16π. 16 17 18 19 答案 16π 四、解答题 15.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意知△A1B1C1为直角三角形， ×3×4×6=36(cm3). 设圆柱底面圆的半径为r， 则r==1， =πr2h=6π(cm3). 所以V==(36-6π)cm3. 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 16.如图，在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且.求证：直线EH，BD，FG相交于一点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 如图所示，连接EF，GH. ∵H，G分别是AD，CD的中点， ∴GH∥AC， 且GH=AC. ∵， ∴EF∥AC，且EF=AC. ∴GH∥EF，且GH≠EF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 ∴EH与FG相交，设交点为P. ∵P∈EH，EH⊂平面ABD，∴P∈平面ABD. 同理P∈平面BCD. 又∵平面ABD∩平面BCD=BD， ∴P∈BD. ∴直线EH，BD，FG相交于一点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 17.如图所示，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点. 求证：(1)直线EF∥平面ACD； ∵E，F分别是AB，BD的中点， ∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD. ∵EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD， ∴直线EF∥平面ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 (2)平面EFC⊥平面BCD. ∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD. ∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD. 又∵EF∩CF=F，EF，CF⊂平面EFC， ∴BD⊥平面EFC. ∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2. (1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角. ∵AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD. 在Rt△PDA中，由已知， 得AP=， 故cos∠DAP=. ∴异面直线AP与BC所成角的余弦值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 (2)求证：PD⊥平面PBC； 由(1)知AD⊥PD. 又∵BC∥AD，∴PD⊥BC， 又PD⊥PB，BC∩PB=B，BC，PB⊂平面PBC， ∴PD⊥平面PBC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 (3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 如图所示，过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF， 则DF与平面PBC所成的角即为AB与平面PBC所成的角. ∵PD⊥平面PBC， 故PF为DF在平面PBC上的投影， ∴∠DFP为直线DF与平面PBC所成的角. 由于AD∥BC，DF∥AB，可得BF=AD=1. 由已知，得CF=BC-BF=2. 又AD⊥DC，故BC⊥DC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 在Rt△DCF中，可得DF=. 在Rt△DPF中，可得sin∠DFP=. ∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为. 19.如图所示，在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D'AE的位置，且平面D'AE⊥平面ABCE. (1)求证：AD'⊥BE； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 根据题意可知，在长方形ABCD中，△DAE和△CBE均为等腰直角三角形， ∴∠DEA=∠CEB=45°， ∴∠AEB=90°，即BE⊥AE. ∵平面D'AE⊥平面ABCE，且平面D'AE∩平面ABCE=AE， BE⊂平面ABCE， ∴BE⊥平面D'AE，∵AD'⊂平面D'AE， ∴AD'⊥BE. 16 17 18 19 答案 (2)求四棱锥D'-ABCE的体积； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图所示，取AE的中点F，连接D'F， 则D'F⊥AE，且D'F=. ∵平面D'AE⊥平面ABCE， 且平面D'AE∩平面ABCE=AE， D'F⊂平面D'AE， ∴D'F⊥平面ABCE， ∴VD'-ABCE=S四边形ABCE·D'F=. 16 17 18 19 答案 (3)在棱ED'上是否存在一点P，使得D'B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 如图，连接AC交BE于点Q，假设在ED'上存在点P， 使得D'B∥平面PAC，连接PQ. ∵D'B⊂平面D'BE，平面D'BE∩平面PAC=PQ， ∴D'B∥PQ， ∴在△EBD'中，.∵△CEQ∽△ABQ， ∴， ∴ED'， ∴在棱ED'上存在一点P，且EP=ED'， 使得D'B∥平面PAC. 第一章 <<< $$