第二章 §1 从位移、速度、力到向量-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（北师大版2019）

第二章 <<< §1　从位移、速度、力到向量 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，理解向量与数量的区别. 2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相反向量、相等向量及向量的模等概念，会找两向量所成的夹角. 学习目标 2024年5月8日10时12分，经过约5天数十万公里的星际航行，嫦娥六号探测器在制导导航与控制(GNC)系统的全自主操控下，成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行，投入月亮的“怀抱”.近月制动是嫦娥六号探测器在飞行过程中的一次关键轨道控制.嫦娥六号探测器飞临月球附近时，实施“刹车”制动，使其相对速度低于月球逃逸速度，从而被月球引力捕获，实现绕月飞行.这一脚“刹车”可不是普通的刹车.想要做到精准无误，可谓“难于上青天”，我们既要控制速度的大小，又要控制速度的方向.两者的完美结合展现了我国航天事业的辉煌成就！今天，我们也将开启探究之旅，去寻找一种既有大小又有方向的量——向量. 导 语 一、向量的概念 二、两种特殊向量 随堂演练 三、向量的基本关系 四、向量的夹角 内容索引 课时对点练 4 一 向量的概念 在物理学中，位移、速度、力等物理量，与长度、面积相比有什么共同的特征？ 问题1 提示　既有大小又有方向. 1.向量与数量 (1)向量：既有 又有 的量. (2)数量：只有 没有 的量. 2.向量的表示 (1)具有 和长度的线段称为有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段，记作____. 大小 方向 大小 方向 方向 | 知识梳理 (2)向量可以用 表示，其中有向线段的长度表示 ，箭头所指的方向表示 . (3)向量也可以用黑斜体小写字母如a，b，c，…或，…(书写)来表示.向量a的大小，记作 ，又称作向量的模. 有向线段 向量的大小 向量的方向 |a| (1)书写向量时要带箭头. (2)有向线段是向量的直观表示，并不是说向量就是有向线段. (3)向量不能比较大小，向量的模可以比较大小. 注 意 点 <<< 9 　　　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向北偏西40°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点. (1)作出向量； 例 1 向量如图所示. 10 (2)求||. 由题意，可知四边形ABCD为平行四边形， ∴||=200(km). 11 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点. 反 思 感 悟 作向量的方法 12 　　　　　某人从点A出发，向西走了200 m后到达点B，然后改变方向，向北偏西一定角度的某方向行走了100 m到达点C，最后又改变方向，向东走了200 m到达点D，发现点D在点B的正北方. (1)在图中作出向量(图中1个单位长度表 示100 m)； 跟踪训练 1 如图. 13 (2)求向量的模. 由题意可知，四边形ABCD是平行四边形， 所以|(m). 14 二 两种特殊向量 提示　可以画出长度分别为0和1的有向线段，画长度为0的有向线段只需起点和终点重合即可，画长度为1的有向线段时，起点和终点之间的距离为1个单位长度.在画的过程中，两个有向线段的指向不好确定.它们表示向量时，分别成为零向量和单位向量. 我们知道0和1是两个特殊的实数，那么，我们能否画出长度分别为0和1的有向线段呢？在画上述线段的过程中遇到了哪些不确定的因素？它们在表示向量时，有没有具体的意义呢？ 问题2 1.零向量： 的向量称为零向量，记作0或，任何方向都可以作为零向量的方向. 2.单位向量：模等于 个单位长度的向量. 长度为0 1 知识梳理 (1)若用有向线段表示零向量，则其终点与起点重合. (2)注意0与0的区别与联系：0是一个实数，0是一个向量，且=0. (3)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同. 注 意 点 <<< 18 　　　下列说法中，正确的是 A.零向量没有大小，没有方向 B.零向量的方向都是相同的 C.单位向量都是同方向 D.单位向量的长度都相等 例 2 √ 19 对于A，零向量的长度为0，方向是任意的，故错误； 对于B，零向量的方向是任意的，故错误； 对于C，单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误； 对于D，长度等于1个单位长度的向量叫作单位向量，故正确. 20 反 思 感 悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题. 　　　　　下列说法中正确的是 A.向量的模都是正实数 B.单位向量的方向与大小都相同 C.向量的大小与方向无关 D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 跟踪训练 2 √ 22 零向量的模为0，故A不正确； 单位向量的方向可以是任意的，故B不正确； 向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确； 不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确. 23 三 向量的基本关系 相等向量 指它们的长度 且方向 .向量a与b相等，记作____ 共线向量 (平行向量) 定义：若两个非零向量a，b的方向 或 ，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作a∥b.规定零向量与任一向量共线，即对于任意的向量a，都有0∥a 判定方法：表示两个向量的有向线段所在的直线重合或平行，则这两个向量共线或平行 相等 相同 a=b 相同 相反 知识梳理 相反向量 若两个向量的长度 、方向 ，则称它们互为相反向量.相反向量是共线向量.向量a的相反向量记作-a，零向量的相反向量仍是零向量 相等 相反 (1)平行向量包括所在直线重合的情况，故也称共线向量. (2)零向量与任一向量共线. 注 意 点 <<< 27 　　　如图所示，△ABC的三边均不相等，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点. (1)写出与共线的向量； 例 3 因为E，F分别是AC，AB的中点， 所以EF∥BC，EF=BC. 又因为D是BC的中点， 所以与. 28 (2)写出模与的模相等的向量； 模与. (3)写出与相等的向量. 与. 29 反 思 感 悟 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线. (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉已知向量的相反向量. 相等向量与共线向量的探求方法 　　　　　如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形. (1)与向量相等的向量有　　　　； 跟踪训练 3 在平行四边形ABCD和平行四边形ABDE中， ∵， ∴与向量. 31 (2)若||=　　. 由(1)知，， ∴E，D，C三点共线， ||=6. 6 32 四 向量的夹角 1.夹角：已知两个 a和b，在平面内 选一点O，作=a，=b，则θ= (0° ≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角(如图所示). 当θ=0°时，a与b ；当θ=180°时，a与b . 2.垂直：当a与b的夹角是90°时，则称a与b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任一向量 ，即对于任意的向量a，都有0⊥a. 非零向量 ∠AOB 同向 反向 垂直 知识梳理 　　　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心. (1)分别写出夹角的大小； 例 4 ∵∥方向相反， ∴的夹角为180°. 又AC⊥BE，∴的夹角为90°. 35 ∵， ∴的夹角为∠COD=60°. ∵的夹角为∠AFE=120°. (2)分别指出的夹角， 并求出角的大小. 36 反 思 感 悟 根据向量夹角的定义，只有当两个向量的起点重合时，所对应的角才是两个向量的夹角，若两个向量的起点不重合，可平移其中一个向量使其起点重合，然后确定两个向量的夹角. 　　　　　在△ABC中，C=90°，BC=的夹角等于 A.30° B.60° C.120° D.150° 跟踪训练 4 √ 如图，作向量 AB， 所以∠ABC=60°， 所以∠BAD=120°. 38 1.知识清单： (1)向量的概念及表示. (2)向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量)、相反向量、向量的夹角. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：零向量和单位向量的方向容易混淆、误读向量夹角. 课堂小结 39 随堂演练 五 1 2 3 4 1.有下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功.其中，不是向量的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 因为速度、力和加速度既有大小又有方向，所以它们是向量；而质量、路程和功只有大小没有方向，所以它们不是向量，故不是向量的个数是3. 2.(多选)下列说法错误的是 A.共线的两个单位向量相等 B.相等向量的长度相等 C.若∥，则一定有直线AB∥CD D.若向量共线，则点A，B，C，D必在同一直线上 1 2 3 4 √ √ √ A错，共线的两个单位向量的方向可能相反；B对； C错，直线AB与CD可能重合； D错，AB与CD可能平行，则A，B，C，D四点不共线. 3.(多选)如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是 A. B.∥ C.共线 D. 1 2 3 4 √ √ √ 1 2 3 4 ∵方向相同，长度相等， ∴A正确； ∵A，O，C三点在一条直线上， ∴∥，B正确； ∵AB∥DC，∴共线，C正确； ∵方向不同，∴二者不相等，D错误. 4.在等腰Rt△ABC中，A=90°，则向量的夹角为　　　　. 1 2 3 4 135° 课时对点练 六 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ACD C CD B B ABC 5　西北 菱形 题号 11 12 13 14　 　15 答案 ACD A B BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)长度与的模相等的线段是六条边和六条连接中心与顶点的线段(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个. (2)存在.由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与，共4个. (3)由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与，共9个. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. ∵=，∴AB=DC且AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴=， 又=， ∴CN=MA，CN∥MA， ∴四边形CNAM是平行四边形， ∴=，∴CM=NA，CM∥NA. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. ∵CB=DA，CM=NA，∴MB=DN. 又DN∥MB， ∴的模相等且方向相同， ∴=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)所有的向量，如图所示. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时， ||取得最小值=； ②当点C位于点C5或C6时， ||取得最大值=. 所以||的最大值为. 1.(多选)下列说法正确的是 A.若a=0，则|a|=0 B.零向量是没有方向的 C.零向量与任意向量平行 D.零向量的方向是任意的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 答案 √ √ 零向量的长度为0，方向是任意的，它与任意向量都平行，所以A，C，D正确，B错误. 2.已知在▱ABCD中，∠DAB=60°，则的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 如图，∠DAB=60°， 则的夹角为∠ABC=120°. 3.(多选)若a为任一非零向量，b是模为1的向量，下列各式中正确的是 A.|a|>|b| B.a∥b C.|a|>0 D.|b|=1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，|a|与|b|大小不确定，故A错误； 对于B，a与b可能共线也可能不共线，B错误； CD正确. 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.设O是△ABC的外心，则是 A.相等向量 B.模相等的向量 C.平行向量 D.起点相同的向量 √ 答案 因为O是△ABC的外心， 所以||. 5.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量的关系是 A. B.| C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 ||表示等腰梯形两腰的长度，故相等. 6.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则以下说法正确的是 A.与) B.与) C.倍 D.的夹角为120° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 √ 由于 ，因此选项A，B正确； 在Rt△AOD中，因为∠ADO=30°， 所以||， 故||，因此选项C正确； 由于， 所以的夹角为∠CDA=60°，因此选项D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移的大小是　　　　km，方向是　　　. 答案 5 西北 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在四边形ABCD中，若|，则四边形的形状为　　. ∵，∴AB=DC，AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵||，∴四边形ABCD是菱形. 答案 菱形 61 9.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心. (1)与模相等的向量有多少个？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 长度与的模相等的线段是六条边和六条连接中心与顶点的线段(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个. 答案 (2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？ 若存在，有几个？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 存在.由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与 ，共4个. 答案 (3)与共线的向量有几个？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与 ，共9个. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图所示，在四边形ABCD中， . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵，∴AB=DC且AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴， 又， ∴CN=MA，CN∥MA， ∴四边形CNAM是平行四边形， ∴，∴CM=NA，CM∥NA. ∵CB=DA，CM=NA，∴MB=DN. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 又DN∥MB， ∴的模相等且方向相同， ∴. 11.(多选)下列能使a∥b成立的是 A.a=b B.|a|=|b| C.a与b方向相反 D.|a|=0或|b|=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 答案 √ √ 12.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB=30°，||等于 A.1 B. C. D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 如图，由||，得∠ABC=∠OCB=30°， 又∠ACB=90°， 则|×2=1. 13.已知A={与a共线的向量}，B={与a长度相等的向量}，C={与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，下列关系中错误的是 A.C⊆A B.A∩B={a} C.C⊆B D.A∩B⊇{a} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量，故B错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.设O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中，与模相等的向量为　　　　 　　　　　　　. 答案 　 15.(多选)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了5个向量，则 A.向量的模相等 B.| C.DG∥HF D.||=10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 对于A，|， |， ||，A错误； 对于B，|，B正确； 对于C，因为∠CDG=∠CFH=45°，所以DG∥HF，C正确； 对于D，因为|≠10，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且|. (1)画出所有的向量； 答案 所有的向量，如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求||的最大值与最小值. 答案 由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时， |； ②当点C位于点C5或C6时， |. 所以|. 第一章 <<< $$ [学习目标]　1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，理解向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相反向量、相等向量及向量的模等概念，会找两向量所成的夹角. 导语 2024年5月8日10时12分，经过约5天数十万公里的星际航行，嫦娥六号探测器在制导导航与控制(GNC)系统的全自主操控下，成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行，投入月亮的“怀抱”.近月制动是嫦娥六号探测器在飞行过程中的一次关键轨道控制.嫦娥六号探测器飞临月球附近时，实施“刹车”制动，使其相对速度低于月球逃逸速度，从而被月球引力捕获，实现绕月飞行.这一脚“刹车”可不是普通的刹车.想要做到精准无误，可谓“难于上青天”，我们既要控制速度的大小，又要控制速度的方向.两者的完美结合展现了我国航天事业的辉煌成就！今天，我们也将开启探究之旅，去寻找一种既有大小又有方向的量——向量. 一、向量的概念 问题1　在物理学中，位移、速度、力等物理量，与长度、面积相比有什么共同的特征？ 提示　既有大小又有方向. 知识梳理 1.向量与数量 (1)向量：既有大小又有方向的量. (2)数量：只有大小没有方向的量. 2.向量的表示 (1)具有方向和长度的线段称为有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段，记作|. (2)向量可以用有向线段表示，其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向. (3)向量也可以用黑斜体小写字母如a，b，c，…或，…(书写)来表示.向量a的大小，记作|a|，又称作向量的模. 注意点： (1)书写向量时要带箭头. (2)有向线段是向量的直观表示，并不是说向量就是有向线段. (3)向量不能比较大小，向量的模可以比较大小. 例1　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向北偏西40°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点. (1)作出向量； (2)求||. 解　(1)向量如图所示. (2)由题意，可知四边形ABCD为平行四边形， ∴||=200(km). 反思感悟　作向量的方法 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点. 跟踪训练1　某人从点A出发，向西走了200 m后到达点B，然后改变方向，向北偏西一定角度的某方向行走了100 m到达点C，最后又改变方向，向东走了200 m到达点D，发现点D在点B的正北方. (1)在图中作出向量(图中1个单位长度表示100 m)； (2)求向量的模. 解　(1)如图. (2)由题意可知，四边形ABCD是平行四边形， 所以|(m). 二、两种特殊向量 问题2　我们知道0和1是两个特殊的实数，那么，我们能否画出长度分别为0和1的有向线段呢？在画上述线段的过程中遇到了哪些不确定的因素？它们在表示向量时，有没有具体的意义呢？ 提示　可以画出长度分别为0和1的有向线段，画长度为0的有向线段只需起点和终点重合即可，画长度为1的有向线段时，起点和终点之间的距离为1个单位长度.在画的过程中，两个有向线段的指向不好确定.它们表示向量时，分别成为零向量和单位向量. 知识梳理 1.零向量：长度为0的向量称为零向量，记作0或，任何方向都可以作为零向量的方向. 2.单位向量：模等于1个单位长度的向量. 注意点： (1)若用有向线段表示零向量，则其终点与起点重合. (2)注意0与0的区别与联系：0是一个实数，0是一个向量，且=0. (3)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同. 例2　下列说法中，正确的是(　　) A.零向量没有大小，没有方向 B.零向量的方向都是相同的 C.单位向量都是同方向 D.单位向量的长度都相等 答案　D 解析　对于A，零向量的长度为0，方向是任意的，故错误； 对于B，零向量的方向是任意的，故错误； 对于C，单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误； 对于D，长度等于1个单位长度的向量叫作单位向量，故正确. 反思感悟　解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题. 跟踪训练2　下列说法中正确的是(　　) A.向量的模都是正实数 B.单位向量的方向与大小都相同 C.向量的大小与方向无关 D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 答案　C 解析　零向量的模为0，故A不正确；单位向量的方向可以是任意的，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确. 三、向量的基本关系 知识梳理 相等向量 指它们的长度相等且方向相同.向量a与b相等，记作a=b 共线向量 (平行向量) 定义：若两个非零向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作a∥b.规定零向量与任一向量共线，即对于任意的向量a，都有0∥a 判定方法：表示两个向量的有向线段所在的直线重合或平行，则这两个向量共线或平行 相反向量 若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量.相反向量是共线向量.向量a的相反向量记作-a，零向量的相反向量仍是零向量 注意点： (1)平行向量包括所在直线重合的情况，故也称共线向量. (2)零向量与任一向量共线. 例3　如图所示，△ABC的三边均不相等，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点. (1)写出与共线的向量； (2)写出模与的模相等的向量； (3)写出与相等的向量. 解　(1)因为E，F分别是AC，AB的中点， 所以EF∥BC，EF=BC. 又因为D是BC的中点， 所以与. (2)模与. (3)与. 反思感悟　相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线. (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉已知向量的相反向量. 跟踪训练3　如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形. (1)与向量相等的向量有　　　　；  (2)若||=　　　　.  答案　(1)　(2)6 解析　(1)在平行四边形ABCD和平行四边形ABDE中， ∵， ∴与向量. (2)由(1)知，， ∴E，D，C三点共线， ||=6. 四、向量的夹角 知识梳理 1.夹角：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作=a，=b，则θ=∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角(如图所示). 当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时，a与b反向. 2.垂直：当a与b的夹角是90°时，则称a与b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任一向量垂直，即对于任意的向量a，都有0⊥a. 例4　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心. (1)分别写出夹角的大小； (2)分别指出的夹角，并求出角的大小. 解　(1)∵∥方向相反， ∴的夹角为180°. 又AC⊥BE，∴的夹角为90°. (2)∵， ∴的夹角为∠COD=60°. ∵的夹角为∠AFE=120°. 反思感悟　根据向量夹角的定义，只有当两个向量的起点重合时，所对应的角才是两个向量的夹角，若两个向量的起点不重合，可平移其中一个向量使其起点重合，然后确定两个向量的夹角. 跟踪训练4　在△ABC中，C=90°，BC=的夹角等于(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案　C 解析　如图，作向量AB，所以∠ABC=60°， 所以∠BAD=120°. 1.知识清单： (1)向量的概念及表示. (2)向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量)、相反向量、向量的夹角. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：零向量和单位向量的方向容易混淆、误读向量夹角. 1.有下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功.其中，不是向量的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　因为速度、力和加速度既有大小又有方向，所以它们是向量；而质量、路程和功只有大小没有方向，所以它们不是向量，故不是向量的个数是3. 2.(多选)下列说法错误的是(　　) A.共线的两个单位向量相等 B.相等向量的长度相等 C.若∥，则一定有直线AB∥CD D.若向量共线，则点A，B，C，D必在同一直线上 答案　ACD 解析　A错，共线的两个单位向量的方向可能相反；B对；C错，直线AB与CD可能重合；D错，AB与CD可能平行，则A，B，C，D四点不共线. 3.(多选)如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是(　　) A. B.∥ C.共线 D. 答案　ABC 解析　∵方向相同，长度相等， ∴A正确； ∵A，O，C三点在一条直线上， ∴∥，B正确； ∵AB∥DC，∴共线，C正确； ∵方向不同，∴二者不相等，D错误. 4.在等腰Rt△ABC中，A=90°，则向量的夹角为　　　　.  答案　135° 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共30分 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.若a=0，则|a|=0 B.零向量是没有方向的 C.零向量与任意向量平行 D.零向量的方向是任意的 答案　ACD 解析　零向量的长度为0，方向是任意的，它与任意向量都平行，所以A，C，D正确，B错误. 2.已知在▱ABCD中，∠DAB=60°，则的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案　C 解析　如图，∠DAB=60°， 则的夹角为∠ABC=120°. 3.(多选)若a为任一非零向量，b是模为1的向量，下列各式中正确的是(　　) A.|a|>|b| B.a∥b C.|a|>0 D.|b|=1 答案　CD 解析　对于A，|a|与|b|大小不确定，故A错误； 对于B，a与b可能共线也可能不共线，B错误；CD正确. 4.设O是△ABC的外心，则是(　　) A.相等向量 B.模相等的向量 C.平行向量 D.起点相同的向量 答案　B 解析　因为O是△ABC的外心， 所以||. 5.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量的关系是(　　) A. B.| C. D. 答案　B 解析　||表示等腰梯形两腰的长度，故相等. 6.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则以下说法正确的是(　　) A.与) B.与) C.倍 D.的夹角为120° 答案　ABC 解析　由于，因此选项A，B正确； 在Rt△AOD中，因为∠ADO=30°， 所以||， 故||，因此选项C正确； 由于， 所以的夹角为∠CDA=60°，因此选项D不正确. 7.(5分)若A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移的大小是　　　　km，方向是　　　　.  答案　5　西北 8.(5分)在四边形ABCD中，若|，则四边形的形状为　　　　.  答案　菱形 解析　∵，∴AB=DC，AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵||，∴四边形ABCD是菱形. 9.(10分)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心. (1)与模相等的向量有多少个？(3分) (2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？(3分) (3)与共线的向量有几个？(4分) 解　(1)长度与的模相等的线段是六条边和六条连接中心与顶点的线段(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个. (2)存在.由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与，共4个. (3)由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与，共9个. 10.(10分)如图所示，在四边形ABCD中，. 证明　∵，∴AB=DC且AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴， 又， ∴CN=MA，CN∥MA， ∴四边形CNAM是平行四边形， ∴，∴CM=NA，CM∥NA. ∵CB=DA，CM=NA，∴MB=DN. 又DN∥MB， ∴的模相等且方向相同， ∴. 11.(多选)下列能使a∥b成立的是(　　) A.a=b B.|a|=|b| C.a与b方向相反 D.|a|=0或|b|=0 答案　ACD 12.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB=30°，||等于(　　) A.1 B. C. D.2 答案　A 解析　如图，由||，得∠ABC=∠OCB=30°， 又∠ACB=90°， 则|×2=1. 13.已知A={与a共线的向量}，B={与a长度相等的向量}，C={与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，下列关系中错误的是(　　) A.C⊆A B.A∩B={a} C.C⊆B D.A∩B⊇{a} 答案　B 解析　因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量，故B错误. 14.(5分)设O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中，与模相等的向量为　　　　　　　　　　　.  答案　 15.(多选)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了5个向量，则(　　) A.向量的模相等 B.| C.DG∥HF D.||=10 答案　BC 解析　对于A，|， |， ||，A错误； 对于B，|，B正确； 对于C，因为∠CDG=∠CFH=45°，所以DG∥HF，C正确； 对于D，因为|≠10，D错误. 16.(10分)如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且|. (1)画出所有的向量；(4分) (2)求||的最大值与最小值.(6分) 解　(1)所有的向量，如图所示. (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时， |； ②当点C位于点C5或C6时， |. 所以|. 学科网（北京）股份有限公司 $$