第06讲 条件概率及全概率公式（六大重难点）-2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版）

2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第06讲 条件概率及全概率公式 一、条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． ②条件概率的解法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 ③乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则 ④相互独立事件 （1）对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件； （2）公式：，此时 ⑤条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设，则 （1）； （2）如果B和C是两个互斥事件，则． （3）设和B互为对立事件，则． 二、全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有 图示： 三、贝叶斯公式 ①概念：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 ②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 重难点01条件概率的计算 【解题必备】 方法一：利用定义计算条件概率的步骤：(1)分别计算概率和． (2)将它们相除得到条件概率，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 方法二：利用缩小样本空间法求条件概率的方法（1）缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB；（2）数：数出A中事件AB所包含的基本事件；（3）算：利用求得结果 例1．甲、乙两人同时解答一道数学题，两人各自独立思考互不影响．已知甲能正确解答的概率为，乙能正确解答的概率为，则在此题被正确解答的条件下，甲能正确解答的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为此题被正确解答即两人至少有一人正确解答这道题的对立事件为两人都没有正确解答这道题，所以， 甲能正确解答的概率为，所以在此题被正确解答的条件下，甲能正确解答的概率为. 故选：D 例2．某校食堂为打造菜品，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表，学生代表和教工代表组成，人数比为，现由评委团对1号菜品和2号菜品进行投票（每人只能投一票且必须投一票）.若投票结果显示，家长代表和学生代表中均有的人投票给1号菜品，教工代表中有的人投票给2号菜品，那么，从1号菜品的投票人中任选1人，他是学生代表的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据人数比例设家长代表、学生代表和教工代表人数分别是（为比例系数）， 由题意知：家长代表中有的人投给1号，人数为；学生代表中有的人投给1号，人数为；教工代表中有的人投给2号，那么教工代表中有的人投给1号，人数为. 所以投给1号的总人数为，学生代表中投给1号的人数为， 因此所求概率为. 故选：A. 【跟踪练习】 练习1．某班要从8名班干部（其中5名男生，3名女生）中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件：男生甲被选中，事件：有两名女生被选中，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 事件男生甲与两名女生被选中，则， 因此，. 故选：B. 练习2．已知多项选择题的四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，规定：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．若某题的正确答案是，小明完全不知道四个选项的正误，则在小明得分的情况下，拿到2分的概率为 ． 【答案】. 【详解】设事件小明得分；事件小明得2分， 则小题得分指小明从中选一个，两个或三个填写，有种不同的方法； 事件有种不同的方法； 故， 故答案为：. 练习3．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，则在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 ． 【答案】/0.6 【详解】设第1次抽到舞蹈节目为事件，第2次抽到舞蹈节目为事件， 则，，. 故答案为： . 练习4．如图，在的方格中放入棋子，每个格子内至多放一枚棋子，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率为 ．    【答案】 【详解】设“每行都放置两枚棋子”为事件A，“每列都有两枚棋子”为事件B， 则所求概率为， 根据题意，每行都放置两枚棋子,即每行都在4个方格中选2个放置棋子，有种方法， 所以，. 对于“每行每列都放置两枚棋子”，不妨令第一行的两枚棋子放置在左边第一、二个方格，此时第二行有种放置方法，则第三、四行的放置方法如图，    图1有1种方法，图2、3、4、5各有2种方法，图6中，第三行有种放置方法，其选定方格后，第四行只有唯一的放置方法.所以总共有种方法. 因为第一行棋子有种放置方法，其他5种情况同理，故. 所以，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率 故答案为： 重难点02乘法公式 【解题必备】 乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则 例3．质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为（    ） A．0.4 B．0.16 C．0.68 D．0.17 【答案】C 【详解】设表示第次打击后该构件没有受损，， 则由已知可得，， 所以由乘法公式可得，即该构件通过质检的概率是0.68. 故选：C. 例4．对某批手机玻璃屏成品作抗摔试验时，发现手机屏第一次落地时打破的概率为；若第一次落地未打破，则第二次落地打破的概率是；若前两次未打破，则第三次落地打破的概率是．试求手机屏落地三次未打破的概率． 【答案】 【详解】解：设表示事件“手机玻璃屏第i次落地打破”，以B表示事件“手机玻璃屏落下三次未打破”，， 所以 ， 所以手机屏落地三次未打破的概率为． 【跟踪练习】 练习1．袋子中有若干除颜色外完全相同的黑球和白球，在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为，第一次摸到白球且第二次摸到黑球的概率为，则第一次摸到白球的概率为 . 【答案】 【详解】设事件为第一次摸到白球，事件为第二次摸到黑球， 则， 故. 故答案为： 练习2．某人从15米高的楼层把一个成熟的椰子扔向地面，第一次未摔裂的概率为0.4，当第一次未摔裂时第二次也未摔裂的概率为0.3，则这个椰子从15米高的楼层扔向地面两次后仍未摔裂的概率是 . 【答案】0.12 【详解】设表示第次扔向地面椰子没有摔裂，，2，则，， 因此，. 故这个椰子从15米高的楼层扔向地面两次后仍未摔裂的概率为0.12. 故答案为：0.12. 练习3．已知某条线路上有两辆相邻班次的BRT（快速公交车），若准点到站的概率为，在准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下不准点到站的概率为，则准点到站的概率为 . 【答案】/ 【详解】设事件A为“A准点到站”，时间B为“B准点到站” 依题意，, 而， 而，则， 又，解得， 故答案为： 练习4．玛丽想在网上购买一款品牌手机，客服承诺该品牌手机从1m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，玛丽想如果手机从1m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率大于0.2就可以购买，否则放弃．请你用所学的概率知识帮玛丽做一下决策． 【答案】玛丽应该放弃购买 【详解】设“第i次掉落后，手机屏幕没有碎掉”，，2， 则由已知可得，， 故． 即这款手机从1m高的地方掉落两次后，屏幕仍未碎掉的概率为0.15， 因为，故玛丽应该放弃购买． 重难点03条件概率的性质 【解题必备】 条件概率的性质：设，则（1）； （2）如果和是两个互斥事件，则； （3）设和互为对立事件，则 例5．已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，由，是互斥事件知，， 所以， 故选：A． 例6．（多选）随机事件满足，下列说法正确的是（    ） A． B．事件与事件相互独立 C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，因为，所以，A正确； 对于B，因为，故事件与事件相互独立，B正确； 对于C，因为C错误； 对于D，因为D错误. 故选：AB. 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知为随机事件，则下列表述中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】仅当与相互独立时，成立，故A不正确； 当和是两个互斥事件时才成立，故B不正确； ，故C正确； ，故D不正确． 故选：ABD 练习2．（多选）已知为两个随机事件，且，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若B和C是两个互斥事件，则 D．当时， 【答案】ACD 【详解】因为，所以．A正确． ，B错误． 若B和C是两个互斥事件，则，C正确． 因为，所以． ，D正确． 故选：ACD. 练习3．（多选）记A，B为随机事件，下列说法正确的是（    ） A．若事件A，B互斥，，，则 B．若事件A，B相互独立，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】BC 【详解】 ，∴，A错. ，B对. 令，，，∴， ，∴， ，∴，C对. ，D错， 故选：BC. 练习4．记为事件的对立事件，且，则 . 【答案】/0.75 【详解】因为， ∴， ∴. 故答案为：. 重难点04全概率公式及其应用 【解题必备】 某一事件的发生可能有各种的原因,如果是由原因所引起,则发生的概率是,每一原因都可能导致发生,故A发生的概率是各原因引起发生概率的总和 例7．某鱼塘只养殖有鲢鱼和鲫鱼，若鲢鱼和鲫鱼的数量比是，鲢鱼和鲫鱼被钓上来的概率分别是.现有一条鱼被钓上来了，这条鱼是鲢鱼的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件表示鱼被钓上来，事件表示随机钓一条鱼且该鱼是鲢鱼，则， 所以. 故选:C. 例8．已知一道解答题共有两小问，小李有0.6的概率可以解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（   ） A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 【答案】B 【详解】令表示第一问解答出来，表示第二问解答出来， 则，，，故，， 所以. 故选：B 【跟踪练习】 练习1．一个不透明的袋子中，放有大小相同的7个小球，其中4个黑球，3个白球.回答下列问题： (1)从袋中随机不放回地取出3个球，求其中恰好有两个黑球的概率； (2)从袋中有放回地依次随机取球，每次取一个球，共取三次，求恰有两次取得黑球的概率； (3)从袋中不放回地随机取球，每次取一个球，共取两次，求第二次取出黑球的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）从袋中随机不放回地取出3个球，其中恰好有两个黑球的概率为； （2）从袋中每次取一个球，其为黑球的概率为， 则随机有放回地依次取球，每次取一个球，共取三次， 恰有两次取得黑球的概率为 ； （3）设第一次取白球为事件，则第一次取为黑球为，第二次取黑球为事件， 则从袋中随机不放回地取球，每次取一个球，共取两次，第二次取出黑球的概率为 . 练习2．（多选）甲，乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的球，其中甲盒子中有3个红球，4个白球，乙盒子中有2个红球，3个白球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，再从乙盒子中随机取出一球.事件“从甲盒子中取出的球是红球”，事件“从甲盒子中取出的球是白球”，事件“从乙盒子中取出的球是红球”.则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，为对立事件，故，故B错误； 对于C，，故， 故C错误； 对于D， ， 故D正确； 故选：AD. 练习3．某校团委开展知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B两个箱子中，A箱中有6道选择题和3道论述题，B箱中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子. (1)若同学甲从B箱中抽取了两题，求第二题抽到论述题的概率； (2)若同学甲从B箱中抽取了两题，已知第一题抽到论述题的条件下，求第二题抽到论述题的概率； (3)若同学乙从A箱中抽取了两题，答题结束后误将题目放回了B箱，接着同学丙从B箱中抽取题目作答，求丙取出的第一道题是选择题的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设事件表示“甲第i次从B信封中取到论述题”，，2， 则，， 第一次抽到选择题的概率为，此时剩下2道选择题和2道论述题， 第二次抽到论述题的概率为； 第一次抽到论述题的概率为，此时剩下3道选择题和1道论述题，第 二次抽到论述题的概率为， 所以，. 由全概率公式得第2题抽到论述题的概率 . （2）由（1）知，； 也可, 即第一题抽到论述题的条件下，求第二题抽到论述题的概率. （3）设事件A为“丙从B信封中取出的第一个题是选择题”， 事件为“乙从A信封中取出2个选择题”， 事件为“乙从A信封中取出1个选择题和1个论述题”， 事件为“乙从A信封中取出2个论述题”， 则，，两两互斥且， 则，，， ，，， 所以丙取出的第一道题是选择题的概率为. 练习4．现有两个抽奖箱M，N，其中M中装有3个红球和2个白球，N中装有4个红球和3个白球.每次抽奖时，先从两个箱子中随机选取一个，然后再从选中的箱子中随机抽取一个球，则抽到红球的概率为 . 【答案】 【详解】设事件C＝“抽到红球”，事件A＝“选到抽奖箱M”， 事件为“选到抽奖箱N”，，则，， 根据全概率公式，得. 故答案为：. 重难点05贝叶斯公式及其应用 【解题必备】 若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知,那么如果第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式,类似于求条件概率. 例9．（多选）有三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于选项A，因为，所以选项A正确； 对于选项B，因为事件，事件相互对立，所以，所以选项B不正确； 对于选项C， 由全概率公式知， 所以选项C不正确； 对于选项D，由选项C知 则，所以选项D正确， 故选：AD． 例10．某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.第2次投篮的人是甲的概率为 ；已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为 . 【答案】 【详解】设第次是甲投篮为事件，投篮命中为事件， 所以，，，则，， 所以第2次投篮人是甲的概率为， 在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为. 故答案为：；. 【跟踪练习】 练习1．甲口袋装有1个黑球和2个白球，乙口袋装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.第一步，从甲口袋中随机取一个球放入乙口袋；第二步，从乙口袋中随机取一个球放入甲口袋；第三步，从甲口袋中随机取出一个球并记录颜色.在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率是 . 【答案】/ 【详解】第一次给出黑球且第二次给出黑球且第三次给出黑球的概率为， 第一次给出黑球且第二次给出白球且第三次给出黑球的概率为， 第一次给出白球且第二次给出黑球且第三次给出黑球的概率为， 第一次给出白球且第二次给出白球且第三次给出黑球的概率为， ∴在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率． 故答案为:． 练习2．在秋冬季节，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状.则任意一位病人有症状的概率为 ，病人有症状时患疾病的概率为 （症状只在患有疾病，，时出现） 【答案】 / / 【详解】由题意可知：，，， ，，， 由全概率公式可知： ， 即任意一位病人有症状的概率为， 由贝叶斯公式可知： ， 即病人有症状时患疾病的概率为. 故答案为：，. 练习3．某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占，合格率为；乙品牌的占，合格率为；丙品牌的占，合格率为，在该商店随机买一台机器人． (1)求该机器人是甲品牌合格品的概率； (2)求该机器人是合格品的概率； (3)若该机器人是不合格品，求它是丙品牌的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）用表示机器人是甲品牌，用表示机器人是合格品，则， 所以该机器人是甲品牌合格品的概率． （2）用表示机器人是乙品牌，用表示机器人是丙品牌， （3）由（2）知，该机器人是不合格品的概率， 若该机器人是不合格品，它是丙品牌的概率． 练习4．把红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中，每个盒子5个球，其中的红球分别为2、3、4个.现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为，再从选取的盒子中随机摸出一个球. (1)求摸出的球是红球的概率； (2)若摸出的球是红球，记该红球为“”. （ⅰ）求“”是从乙盒摸出的概率； （ⅱ）将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）设事件表示“选取的是第个盒子”，，. 设事件表示“摸出的球是红球”. 已知甲盒有个球，其中红球个，则； 乙盒有个球，其中红球个，则； 丙盒有个球，其中红球个，则. 根据全概率公式可得：. （2）（ⅰ）根据贝叶斯公式可得： （ii）设事件表示“再摸出的球是红球”. 当从甲盒摸球时（即发生 ），； 当从乙盒摸球时（即发生 ），； 当从丙盒摸球时（即发生 ），. 由（i）知，同理可得，. 则. 重难点06全概率公式与递推数列 【解题必备】 通过全概率公式建立状态转移递推关系，将概率问题转化为数列模型，通常涉及马尔科夫链或一维随机游走模型，通过设定状态变量（如第n次处于某状态的概率），利用全概率公式推导相邻项的递推式，再通过构造等比数列或其他数列通项公式方法求解，核心是将概率的动态转移过程转化为数列的递推关系并解通项 例11．甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则6次传球后球在甲手中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设次传球后球在甲手中的概率为，当时，， 设“次传球后球在甲手中”，则， 则． 即， 所以，，且， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，，所以，， 所以次传球后球在甲手中的概率为． 故选：A 例12．商场里有两个餐馆，已知小明每天中午都会在这两个餐馆中选择一个就餐，如果小明当天选择了某个餐馆，他第二天会有的可能性换另一个餐馆就餐，假如第1天小明选择了餐馆，则第31天选择餐馆的概率为 ． 【答案】 【详解】设小明在第天选择餐馆的概率为， 由题意可知， 所以，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 故． 故答案为：. 【跟踪练习】 练习1．（多选）如图，一个三角形被分成9个房间，称有公共边的2个房间为相邻房间，一个小球每次从一个房间等概率地移动到相邻房间，则（   ） A．将2个小球放至不同的房间，则房间不相邻的概率为 B．将个小球放至不同的房间，若房间两两不相邻，则 C．小球从房间出发，4次移动后到达房间的移动路径有6种 D．小球从房间出发，20次移动后到达房间的概率为 【答案】ABD 【详解】A项，任取两个房间，相邻有种情况：， 所以任取两个房间不相邻的概率为，故选项A正确； B项，当时， 可将小球放在，此时房间两两不相邻； 当时，房间均与个房间相邻， 则从个房间任意抽走个房间后，总有相邻的房间，所以，故选项B正确； C项，小球从房间出发，次移动后到达房间有种路径： ；；； ；；； ，故选项C错误； D项，设小球从房间经过次移动到达房间的概率为，由题意可知为偶数， 小球在房间，次移动的路径有： ； 小球在房间，次移动的路径有： ； 小球在房间，次移动的路径有： ； 所以，小球从房间出发，经过偶数次移动后一定在房间之一， 且当小球经过次移动到达房间时，第次移动后必在房间之一， 小球从房间或经过次移动到达房间的概率均为； 小球从房间经过次移动到达房间的概率均为； ， 则，，， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ，则， 所以. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键是通过列举分析得出小球从房间出发，经过偶数次移动后一定在房间之一，进而分类分析应用全概率公式得到概率递推关系. 练习2．（多选）某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D．前k天甲午餐总费用的数学期望为 【答案】ABD 【详解】若甲在第天选择了米饭套餐，那么在第n天有的可能性选择米饭套餐， 甲在第天选择了面食套餐，那么在第n天有的可能性选择米饭套餐， 所以第n天选择米饭套餐的概率，故B正确； 因为甲在第1天选择了米饭套餐，所以，所以，故A正确； 由B选项得，， 所以， 又由题意得，，所以数列是以0.5为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以，故C错误； 前k天甲午餐总费用的数学期望为 ，故D正确． 故选：ABD. 练习3．有个编号分别为的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到红球的概率是 ，从第个盒子中取到红球的概率是 . 【答案】 【详解】设事件表示“从第i个盒子中取到红球”（），则，， 所以， 则当时， ， 所以，又， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以． 故答案为：；． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是设事件表示“从第i个盒子中取到红球”（），当时，结合全概率公式得到的递推关系：，再构造等比数列. 练习4．在某场乒乓球比赛中，甲乙两人进入决胜局，且目前该局比分为，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球就获得1分，直到有一方得分超过对方2分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6，若上一球甲获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为，其中，设甲在接下来第球比赛中获胜的概率为. (1)若，求甲以获胜的概率； (2)求与的关系； (3)证明：. 【答案】(1)0.176； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）依题意，甲以获胜，在接下来的比赛中的情况为：甲乙甲甲或乙甲甲甲， 所以甲以获胜的概率为. （2）设 “在第球比赛中甲获胜”为事件，“在第球比赛中甲获胜”为事件， ，，， 依题意，， 所以. （3）由（2）知，， 而，则， 数列是以为首项，为公比的等比数列， 因此，即， 由，得，则数列递增， 所以. 【点睛】关键点点睛：利用全概率公式求随机事件B的概率问题，把事件B分拆成两个互斥事件与的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第06讲 条件概率及全概率公式 一、条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． ②条件概率的解法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 ③乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则 ④相互独立事件 （1）对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件； （2）公式：，此时 ⑤条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设，则 （1）； （2）如果B和C是两个互斥事件，则． （3）设和B互为对立事件，则． 二、全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有 图示： 三、贝叶斯公式 ①概念：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 ②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 重难点01条件概率的计算 【解题必备】 方法一：利用定义计算条件概率的步骤：(1)分别计算概率和． (2)将它们相除得到条件概率，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 方法二：利用缩小样本空间法求条件概率的方法（1）缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB；（2）数：数出A中事件AB所包含的基本事件；（3）算：利用求得结果 例1．甲、乙两人同时解答一道数学题，两人各自独立思考互不影响．已知甲能正确解答的概率为，乙能正确解答的概率为，则在此题被正确解答的条件下，甲能正确解答的概率为（    ） A． B． C． D． 例2．某校食堂为打造菜品，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表，学生代表和教工代表组成，人数比为，现由评委团对1号菜品和2号菜品进行投票（每人只能投一票且必须投一票）.若投票结果显示，家长代表和学生代表中均有的人投票给1号菜品，教工代表中有的人投票给2号菜品，那么，从1号菜品的投票人中任选1人，他是学生代表的概率为（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．某班要从8名班干部（其中5名男生，3名女生）中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件：男生甲被选中，事件：有两名女生被选中，则为（    ） A． B． C． D． 练习2．已知多项选择题的四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，规定：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．若某题的正确答案是，小明完全不知道四个选项的正误，则在小明得分的情况下，拿到2分的概率为 ． 练习3．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，则在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 ． 练习4．如图，在的方格中放入棋子，每个格子内至多放一枚棋子，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率为 ．    重难点02乘法公式 【解题必备】 乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则 例3．质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为（    ） A．0.4 B．0.16 C．0.68 D．0.17 例4．对某批手机玻璃屏成品作抗摔试验时，发现手机屏第一次落地时打破的概率为；若第一次落地未打破，则第二次落地打破的概率是；若前两次未打破，则第三次落地打破的概率是．试求手机屏落地三次未打破的概率． 【跟踪练习】 练习1．袋子中有若干除颜色外完全相同的黑球和白球，在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为，第一次摸到白球且第二次摸到黑球的概率为，则第一次摸到白球的概率为 . 练习2．某人从15米高的楼层把一个成熟的椰子扔向地面，第一次未摔裂的概率为0.4，当第一次未摔裂时第二次也未摔裂的概率为0.3，则这个椰子从15米高的楼层扔向地面两次后仍未摔裂的概率是 . 练习3．已知某条线路上有两辆相邻班次的BRT（快速公交车），若准点到站的概率为，在准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下不准点到站的概率为，则准点到站的概率为 . 练习4．玛丽想在网上购买一款品牌手机，客服承诺该品牌手机从1m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，玛丽想如果手机从1m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率大于0.2就可以购买，否则放弃．请你用所学的概率知识帮玛丽做一下决策． 重难点03条件概率的性质 【解题必备】 条件概率的性质：设，则（1）； （2）如果和是两个互斥事件，则； （3）设和互为对立事件，则 例5．已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 例6．（多选）随机事件满足，下列说法正确的是（    ） A． B．事件与事件相互独立 C． D． 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知为随机事件，则下列表述中不正确的是（    ） A． B． C． D． 练习2．（多选）已知为两个随机事件，且，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若B和C是两个互斥事件，则 D．当时， 练习3．（多选）记A，B为随机事件，下列说法正确的是（    ） A．若事件A，B互斥，，，则 B．若事件A，B相互独立，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 练习4．记为事件的对立事件，且，则 . 重难点04全概率公式及其应用 【解题必备】 某一事件的发生可能有各种的原因,如果是由原因所引起,则发生的概率是,每一原因都可能导致发生,故A发生的概率是各原因引起发生概率的总和 例7．某鱼塘只养殖有鲢鱼和鲫鱼，若鲢鱼和鲫鱼的数量比是，鲢鱼和鲫鱼被钓上来的概率分别是.现有一条鱼被钓上来了，这条鱼是鲢鱼的概率为（    ） A． B． C． D． 例8．已知一道解答题共有两小问，小李有0.6的概率可以解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（   ） A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 【跟踪练习】 练习1．一个不透明的袋子中，放有大小相同的7个小球，其中4个黑球，3个白球.回答下列问题： (1)从袋中随机不放回地取出3个球，求其中恰好有两个黑球的概率； (2)从袋中有放回地依次随机取球，每次取一个球，共取三次，求恰有两次取得黑球的概率； (3)从袋中不放回地随机取球，每次取一个球，共取两次，求第二次取出黑球的概率. 练习2．（多选）甲，乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的球，其中甲盒子中有3个红球，4个白球，乙盒子中有2个红球，3个白球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，再从乙盒子中随机取出一球.事件“从甲盒子中取出的球是红球”，事件“从甲盒子中取出的球是白球”，事件“从乙盒子中取出的球是红球”.则（    ） A． B． C． D． 练习3．某校团委开展知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B两个箱子中，A箱中有6道选择题和3道论述题，B箱中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子. (1)若同学甲从B箱中抽取了两题，求第二题抽到论述题的概率； (2)若同学甲从B箱中抽取了两题，已知第一题抽到论述题的条件下，求第二题抽到论述题的概率； (3)若同学乙从A箱中抽取了两题，答题结束后误将题目放回了B箱，接着同学丙从B箱中抽取题目作答，求丙取出的第一道题是选择题的概率. 练习4．现有两个抽奖箱M，N，其中M中装有3个红球和2个白球，N中装有4个红球和3个白球.每次抽奖时，先从两个箱子中随机选取一个，然后再从选中的箱子中随机抽取一个球，则抽到红球的概率为 . 重难点05贝叶斯公式及其应用 【解题必备】 若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知,那么如果第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式,类似于求条件概率. 例9．（多选）有三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则（    ） A． B． C． D． 例10．某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.第2次投篮的人是甲的概率为 ；已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为 . 【跟踪练习】 练习1．甲口袋装有1个黑球和2个白球，乙口袋装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.第一步，从甲口袋中随机取一个球放入乙口袋；第二步，从乙口袋中随机取一个球放入甲口袋；第三步，从甲口袋中随机取出一个球并记录颜色.在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率是 . 练习2．在秋冬季节，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状.则任意一位病人有症状的概率为 ，病人有症状时患疾病的概率为 （症状只在患有疾病，，时出现） 练习3．某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占，合格率为；乙品牌的占，合格率为；丙品牌的占，合格率为，在该商店随机买一台机器人． (1)求该机器人是甲品牌合格品的概率； (2)求该机器人是合格品的概率； (3)若该机器人是不合格品，求它是丙品牌的概率． 练习4．把红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中，每个盒子5个球，其中的红球分别为2、3、4个.现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为，再从选取的盒子中随机摸出一个球. (1)求摸出的球是红球的概率； (2)若摸出的球是红球，记该红球为“”. （ⅰ）求“”是从乙盒摸出的概率； （ⅱ）将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率. 重难点06全概率公式与递推数列 【解题必备】 通过全概率公式建立状态转移递推关系，将概率问题转化为数列模型，通常涉及马尔科夫链或一维随机游走模型，通过设定状态变量（如第n次处于某状态的概率），利用全概率公式推导相邻项的递推式，再通过构造等比数列或其他数列通项公式方法求解，核心是将概率的动态转移过程转化为数列的递推关系并解通项 例11．甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则6次传球后球在甲手中的概率为（    ） A． B． C． D． 例12．商场里有两个餐馆，已知小明每天中午都会在这两个餐馆中选择一个就餐，如果小明当天选择了某个餐馆，他第二天会有的可能性换另一个餐馆就餐，假如第1天小明选择了餐馆，则第31天选择餐馆的概率为 ． 【跟踪练习】 练习1．（多选）如图，一个三角形被分成9个房间，称有公共边的2个房间为相邻房间，一个小球每次从一个房间等概率地移动到相邻房间，则（   ） A．将2个小球放至不同的房间，则房间不相邻的概率为 B．将个小球放至不同的房间，若房间两两不相邻，则 C．小球从房间出发，4次移动后到达房间的移动路径有6种 D．小球从房间出发，20次移动后到达房间的概率为 练习2．（多选）某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D．前k天甲午餐总费用的数学期望为 练习3．有个编号分别为的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到红球的概率是 ，从第个盒子中取到红球的概率是 . 练习4．在某场乒乓球比赛中，甲乙两人进入决胜局，且目前该局比分为，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球就获得1分，直到有一方得分超过对方2分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6，若上一球甲获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为，其中，设甲在接下来第球比赛中获胜的概率为. (1)若，求甲以获胜的概率； (2)求与的关系； (3)证明：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$