专题01 数列的通项公式求法-2024-2025学年高二数学下学期期中复习高频考点强化训练（北师大版2019）

专题01 2024-2025学年高二数学下学期期中复习高频考点强化训练（北师大2019版）—数列的通项公式求法 一、单选题 1．已知数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，均为等差数列，且，，则数列的前9项和为（   ） A．45 B．50 C．54 D．60 3．已知数列满足：，，则（    ） A．19 B．21 C．23 D．25 4．已知首项为1的数列满足，则（   ） A． B． C． D． 5．数列，…的一个通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 6．数列中，，，设其前项和为，则(   ) A． B． C． D． 7．数列中最大的项是（    ） A．107 B．108 C． D．109 8．《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（    ） A．1 B． C．2 D． 二、多选题 9．若为等差数列，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是数列中的项 C．数列单调递减 D．数列前7项和最大 10．已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（    ） A． B．数列的通项公式为： C．数列的前n项和为： D．数列为递减数列 11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列，它的前后两项之差组成新数列，新数列为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.已知数列，且，则（    ） A．数列为二阶等差数列 B． C．数列为三阶等差数列 D．数列为二阶等差数列 三、填空题 12．已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为 ． 13．已知是数列的前项和，若，，则数列的前项和为 ． 14．现有n个串联的信号处理器单向传输信号，处理器的工作为：接收信号——处理并产生新信号——发射新信号．当处理器接收到一个A类信号时，会产生一个A类信号和一个B类信号并全部发射至下一个处理器；当处理器接收到一个B类信号时，会产生一个A类信号和两个B类信号，产生的B类信号全部发射至下一个处理器，但由接收B类信号直接产生的所有A类信号只发射一个至下一个处理器．当第一个处理器只发射一个A类信号至第二个处理器，按上述规则依次类推，若第n个处理器发射的B类信号数量记作，即，则 ，数列的通项公式 ． 四、解答题 15．已知数列 满足 ，数列 满足 . (1)求数列的通项公式；(2)求数列的最大项. 16．已知为数列的前项和，. (1)求的通项公式；(2)若，求取得最大值时的值. 17．在排列组合的学习中，我们会遇到一类涂色问题“圆环涂色”问题（如图一）：用种颜色给有个区域（不含最中间区域）的圆环涂色，且要求相邻区域不同色，用表示完成这一涂色的方法数       图一                          图二 (1)当时，求 (2)当时，找出的关系，并求出的通项公式. (3)用种颜色给图二中个区域（含最中间区域）涂色，要求相邻区域不同色，求方法总数. 18．已知数列，，． (1)证明：数列，为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和． 19．设等差数列的前项和为，且，（为常数） (1)求的值；(2)若，求数列的前项和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题01 2024-2025学年高二数学下学期期中复习高频考点强化训练（北师大2019版）—数列的通项公式求法》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A D A B B ACD ACD 题号 11 答案 ACD 1． C 因为数列的前项和为，则. 故选：C. 2．C 因，均为等差数列，且，，可得的公差为， 则， 而的前9项和为 .故选：C. 3．在数列中，，， 所以.故选：B 4．A依题意，.故选：A. 5．D 解：因为，，， 所以此数列的一个通项公式可以是. 故选：D. 6．A 将式子变形为： 又因为，所以，，所以， 所以是等比数列，以为首项，2为公比， 故得，所以 所以 故选:A． 7．B 因为 ， 所以当时，取得最大值.故选：B 8．B 设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，由题意得 通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列， 设该数列为，公差为，则．由题意得 即解得 故选：B. 9．ACD 因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确， 由，得，故B错误， 因为，所以数列单调递减，故C正确， 由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确. 故选：ACD 10．ACD 因为， 所以当时，， 两式相减得，所以， 又因为当时，满足上式， 所以数列的通项公式为：，故A正确，B错误， ， 所以 ，故C正确； 因为，随着的增大，在减小，所以数列为递减数列，故D正确. 故选:ACD. 11．ACD 对于A，因为，所以，所以数列是首项为，公差为2的等差数列，所以，所以数列为二阶等差数列，故A正确； 对于B,因为， 所以，故B不正确； 对于C，因为，所以，令，则，所以数列是二阶等差数列，数列为三阶等差数列，故C正确； 因为，所以，所以数列为二阶等差数列，故D正确. 故选：ACD. 12． 设等比数列的公比为，由，则，解得， 由，则，代入上式可得， 去分母可得，易知， 可得，分解因式可得， 易知，解得或， 当时，，则，单调递减，不合题意. 故答案为：. 13． 由已知， 则，即， 且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则， 所以， 则数列为等差数列， 所以数列的前项和.故答案为：. 14． 设第个处理器发射的类信号数量记作， 则， 由题意，当时，第个处理器发射的类信号数量为， 即当时，， 当时，， 则， 故当时，， 可得， 又， 所以数列从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 当时，上式不成立， 所以. 故答案为：；. 15．（1）由已知可得，数列是首项为,公比的等比数列， 所以； （2）, ,解得； 解得. 当时，，, 当时，比值小于1，数列开始递减, 因此，数列的最大项为，出现在第1项和第2项. 数列的最大项为：. 16．（1）当时，，解得； 当时，，即. 因为也满足，所以. （2）由（1）得，所以， 所以当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 所以， 故当或时，取得最大值. 17．（1）由题意，用3种颜色给有4个区域的圆环涂色，要求相邻区域不同色， 先给涂色，有种方法， 接下来，若与同色，则有2种涂色方法，即种；若与不同色，则都只有1种涂色方法， 所以，. （2）先考虑的取值： 假设不区分是否同色，则用种颜色涂这个区域等价于对以下区域涂色： 因此共有 种，但是这其中包含了同色的情况；因此的取值应该减去同色的情况； 而同色时，可以将这两个相邻区域看成一个整体，即则用种颜色给个区域涂色， 其方法数也就是，所以有： 接下来，利用递推关系求， 由，两边同除以得：， 移项得： 利用累加法： ，又因为， 所以 ， 所以， （3）先给中间的区域涂色，共有种方法，接下来就是用剩下的种颜色涂含有个区域的“圆环涂色问题”，即（2）中的， 所以方法总数为 18．（1）因为，， 所以，. 而，，所以， ，. 所以数列是以首项，公比为的等比数列. 数列是以首项，公比为的等比数列. （2）由（1）知：，. （3）因为， 所以 . 19．（1）由， 当时，， 当时，， 因为是等差数列，则时也应满足，即， 解得. （2）由（1）得，则， . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$