抛物线方程与性质6个题型 讲义-2025届高三数学二轮复习

高考一轮复习考点通关 【专题8.7抛物线方程与性质】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：抛物线的定义与标准方程】 知识讲解 抛物线的定义 1. 平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。 抛物线的标准方程 1. 焦点在轴正半轴上的抛物线标准方程为，其焦点坐标为，准线方程为。 2. 焦点在轴负半轴上的抛物线标准方程为，焦点坐标为，准线方程为。 3. 焦点在轴正半轴上的抛物线标准方程为，焦点坐标为，准线方程为。 4. 焦点在轴负半轴上的抛物线标准方程为，焦点坐标为，准线方程为。 例题精选 【例题1】（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 【例题2】（2022·全国乙卷·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案. 【详解】由题意得，，则， 即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入得，， 所以. 故选：B 【例题3】（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 其到直线的距离：， 解得：(舍去). 故选：B. 相似练习 【相似题1】（2025·湖北·二模）已知点为抛物线的焦点，点在的准线上，点在上，若，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设，则，可得，则，进而，即可求得. 【详解】如图，过作于， 由抛物线的定义知， 又，则， 设，则， 因为，则， 所以. 由于轴，所以， 则， 则， 所以，则. 故选：D.    【相似题2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于两点，且，则（    ） A． B． C．12 D．8 【答案】D 【分析】由抛物线定义结合得到为等边三角形，进而得到，设准线l与轴交点为，求出，再由锐角三角函数求出，即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 由抛物线定义可知， 因为，所以为等边三角形， 故，， 所以， 设准线l与轴交点为，则，故， 所以.      故选：D 【相似题3】（2023·全国乙卷·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 【答案】 【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可. 【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为， 准线方程为，点到的准线的距离为. 故答案为：. 【相似题4】（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 ． 【答案】 5 【分析】根据焦半径公式可求的横坐标，求出纵坐标后可求. 【详解】因为抛物线的方程为，故且. 因为，，解得，故， 所以， 故答案为：5；. 【相似题5】（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 . 【答案】 【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果. 【详解】抛物线： ()的焦点, ∵P为上一点，与轴垂直， 所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为, 不妨设, 因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧， 又， 因为，所以, ， 所以的准线方程为 故答案为：. 【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键. 【解题思路】 1. 求抛物线方程： 若已知抛物线的焦点位置和一些相关条件，可直接设出对应的标准方程，然后根据条件求出的值，进而得到抛物线方程。 若焦点位置不确定，则需要分情况讨论。 2. 利用抛物线定义解题： 当涉及到抛物线上的点到焦点和准线的距离问题时，优先考虑利用抛物线的定义进行转化，将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，或者反之，从而简化问题。 3. 与其他知识综合： 抛物线常与直线、圆等知识综合考查。在解决这类问题时，通常是联立方程，然后利用韦达定理等知识来求解。例如，联立抛物线方程与直线方程，消去一个变量，得到一个一元二次方程，通过判别式判断直线与抛物线的位置关系，利用韦达定理求出交点坐标之间的关系等。 【题型2：求抛物线的轨迹方程】 知识讲解 求轨迹方程的常用方法 定义法：若动点的轨迹满足抛物线的定义，可直接根据定义写出其轨迹方程。 待定系数法：已知抛物线的类型（如开口方向、对称轴等），设出相应的标准方程，再根据已知条件求出方程中的参数。 直接法：设动点坐标为，根据已知条件列出动点所满足的几何等式，然后将其坐标化，化简得到轨迹方程。 相关点法（代入法）：若动点依赖于另一个在已知曲线上的动点，可先找出$x,y$与的关系，再将代入已知曲线方程，从而得到动点的轨迹方程。 例题精选 【例题1】（2024·湖南衡阳·三模）已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可. 【详解】由题意知，点到点的距离和它到直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为，故C正确. 故选：C. 【例题2】（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为 . 【答案】 【分析】设，求得以线段为直径的圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件可得所求轨迹方程． 【详解】设，可得以线段为直径的圆的圆心为， 半径为， 由以线段为直径的圆与轴相切， 可得，整理得． 故答案为：． 【例题3】（2025·广东佛山·一模）已知的顶点在轴上，，，且边的中点在轴上，设的轨迹为曲线． (1)求的方程； 【详解】（1）设，， 因为是的中点且在轴上，根据中点坐标公式， 若为，则，所以，即， 已知，且， 根据两点间距离公式，，， 因为，所以， 两边平方可得， 展开式子：， 化简得，所以曲线的方程为. 相似练习 【相似题1】（2024·黑龙江大庆·三模）已知平面内一动圆过点，且在轴上截得弦长为2，动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； 【详解】（1）设动圆圆心， 当时，由已知得，即； 当时，点的轨迹为点，满足. 综上可知，点的轨迹方程为. 【相似题2】（2024·四川·模拟预测）已知与圆P：内切，且与直线：相切的动圆Q的圆心轨迹为曲线C，直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，延长AO，BO分别与直线：相交于点M，N． (1)求曲线C的方程； 【详解】（1）依题意，动圆在圆外，设动圆的半径为，且， 由圆与圆内切，得，由圆与直线相切， 因此点到的距离等于点到直线的距离， 即曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. 【相似题3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知动点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为． (1)过点且斜率为的直线与交于两点，求的值； 【详解】（1）因为动点到点的距离与到直线的距离相等， 所以有，两边同时平方，化简得， 因为直线过点且斜率为， 所以直线的方程为，代入中，化简，得 ，解得，或， 不妨令， 于是； 【解题思路】 1. 明确题目条件 仔细分析题目中给出的关于动点的几何条件，例如动点到定点和定直线的距离关系、与其他已知点或曲线的位置关系等。 确定抛物线的焦点位置和开口方向，这有助于选择合适的方程形式。 2. 选择合适的方法 若满足抛物线定义： 当题目中明确指出动点到某一定点的距离等于它到某一定直线的距离时，直接根据抛物线定义确定的值和焦点位置，进而写出轨迹方程。 例如，已知动点到点的距离等于它到直线的距离，由抛物线定义可知，该抛物线焦点为，准线为，则，，且焦点在轴正半轴上，所以轨迹方程为。 已知抛物线类型： 若题目告知抛物线的开口方向和对称轴等信息，可设出相应的标准方程，再利用已知条件求出参数。 例如，已知抛物线开口向下，对称轴为轴，且过点，可设抛物线方程为，把点代入方程得，即，解得，所以轨迹方程为。 已知动点的几何等式： 若题目给出动点满足的几何等式，可采用直接法。设动点坐标为，将几何等式转化为坐标方程，然后化简。 例如，动点到点的距离比它到直线的距离小，则动点到点的距离等于它到直线的距离，根据两点间距离公式，两边平方得，展开化简得。 存在相关动点： 若动点与另一个在已知曲线上的动点有关，可先找出$x,y$与的关系，再将代入已知曲线方程。 例如，已知点，点在抛物线上运动，点满足，设，，则，可得，即，把代入，得，化简得。 3. 检验方程 检查所求方程的定义域和值域是否符合实际情况，排除不符合题意的点。 验证所求方程是否满足题目中的所有条件。 【题型3：抛物线的焦点弦长】 知识讲解 焦半径 1. 对于抛物线，设焦点为，其上一点，则焦半径。 2. 对于抛物线，焦点，点，焦半径。 3. 对于抛物线，焦点，点，焦半径。 4. 对于抛物线，焦点，点，焦半径。 焦点弦 1. 弦长公式：若$AB$是抛物线的焦点弦，，，则；结合焦半径可理解为。 2. 坐标乘积：对于抛物线的焦点弦$AB$，有，。 3. 圆与准线关系：以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 4. 倒数和性质：设抛物线的焦点为，焦点弦$AB$，，，则。 5. 弦长与夹角关系：焦点弦$AB$与抛物线对称轴的夹角为，则弦长。 例题精选 【例题1】 （2025·北京顺义·一模）已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于不同的两点A，B，为坐标原点，直线与交于点M，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据以及抛物线定义可得直线的斜率，则可求，以及坐标，即可得点到直线的距离，最后利用面积公式即可. 【详解】如图，过点作，直线与轴分别交与点， 设，则， 因，则，得， 则，则， 故直线的斜率为，直线的方程为， 与联立得，解得， 则直线：，，得 故点到直线的距离为， 故的面积为. 故选：A 【例题2】（2025·云南昆明·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于A，B两点，点为线段的中点，若点的横坐标为，，则（） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】根据抛物线定义，点到焦点的距离分别等于它们到准线的距离， 设，则， 由于为中点，所以， 又因为， 代入得，解得， 故选：. 【例题3】（2025·广东·模拟预测）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意，联立直线与抛物线方程，即可得到的横坐标，结合焦半径公式代入计算，即可得到结果. 【详解】    由于，直线方程为， 联立方程，消去得， 显然，得， 所以，即. 故选：D. 相似练习 【相似题1】（2025·山东济宁·一模）设为抛物线的焦点，过的直线交于两点，若，则（） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】利用抛物线的性质求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，过作垂直于准线于点，作于点， 则， ，同理可证 ，解得， 所以， ， 故选：D． 【相似题2】（2025·湖南·二模）已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆与抛物线的准线相切于点.若为坐标原点，则的面积为 . 【答案】 【分析】先求得，由条件推得轴，由推出，得到这些的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式求得，即得的面积. 【详解】 依题意，得，则抛物线的方程为. 由题意可知与抛物线的准线垂直， 在中，，则， 则直线的方程为. 由消去并化简整理得： 易得，则， 又原点到直线的距离为， 故. 故答案为：. 【相似题3】（2025·天津·模拟预测）已知过抛物线C：的焦点F作斜率为正数的直线n交抛物线的准线l于点P，交抛物线于A，B（A在线段PF上），，则以线段AB为直径的圆被y轴截得弦长为 【答案】 【分析】设，，联立抛物线并应用韦达定理，结合得、，进而得到，应用抛物线定义求、中点为的横坐标，最后应用几何法求弦长即可. 【详解】由题意，可得如下示意图，，令，，    联立，则，显然，则，， 联立，则，可得，结合，则，即， 所以，可得， 又，故圆的半径为4， 若中点为，则， 所以以线段AB为直径的圆被y轴截得弦长为. 故答案为： 【题型4：抛物线中的最值问题】 知识讲解 1. 抛物线的定义与性质：抛物线的定义为平面内到定点与定直线距离相等的点的轨迹。其标准方程有（焦点在轴正半轴）、（焦点在轴负半轴）、（焦点在轴正半轴）、（焦点在轴负半轴）几种形式，不同形式下焦点坐标和准线方程各异。例如，焦点，准线。这些性质是解决抛物线最值问题的基础，通过定义可将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离，为求解最值创造条件。 2. 函数关系的建立：设抛物线上一点坐标为，根据抛物线方程将用表示（或用表示），再结合题目所求的最值量，构建出关于（或）的函数表达式。例如求抛物线上一点到某定点距离的最值，利用两点间距离公式，将抛物线方程代入，消去一个变量，得到关于单一变量的函数。 例题精选 【例题1】（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】点到直线的距离为，到准线的距离为，利用抛物线的定义得，当，和共线时，点到直线和准线的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案. 【详解】由抛物线知，焦点，准线方程为，根据题意作图如下；    点到直线的距离为，到准线的距离为， 由抛物线的定义知：， 所以点到直线和准线的距离之和为， 且点到直线的距离为， 所以的最小值为. 故选：D 【例题2】（23-24高三上·四川南充·阶段练习）若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】 先求得点的坐标，求得关于直线的对称点，根据三点共线求得的最小值. 【详解】抛物线的焦点，准线， ，则，不妨设， 关于直线的对称点为， 由于，所以当三点共线时最小， 所以的最小值为. 故选：A      【例题3】（2023·全国·模拟预测）已知圆过点，且与直线相切，是圆心的轨迹上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线定义得点的轨迹方程，然后设出点的坐标，再利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，从而求出的最小值. 【详解】由题意可知点到直线的距离等于点到点的距离， 所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，且焦点到准线的距离， 所以点的轨迹方程为． 设，则点到直线的距离 ，所以的最小值为． 故选：A． 相似练习 【相似题1】多选题（2024·浙江·一模）设是抛物线弧上的一动点，点是的焦点，，则（    ） A． B．若，则点的坐标为 C．的最小值为 D．满足面积为的点有2个 【答案】AB 【分析】对于A，直接由抛物线方程即可判断；对于B，直接由焦半径先求得点横坐标，代入抛物线方程验算其纵坐标即可判断；对于C，由B选项启发，观察图象，令即可举出反例；对于D，由点到直线距离公式将原问题转换为方程的或的正根的个数和即可判断. 【详解】 对于A，抛物线弧的焦点为，故A正确； 对于B，若，解得，所以，即点的坐标为，故B正确； 对于C，取，则， 因为，所以，即， 所以，即，故C错误； 对于D，直线的斜率为，所以它的方程为， 点到它的距离为， 注意到，若面积为， 则，又， 所以或，解得或， 所以满足面积为的点有3个，故D错误. 故选：AB. 【相似题2】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知抛物线的焦点为上的点到轴的距离为1，动点在上，动点在圆上，当取最小值时，的面积为 . 【答案】/0.875 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，得到，由，得到当四点共线且点在点之间时等号成立，即可求解. 【详解】由题可知，所以点在抛物线上，则， 解得，所以抛物线，准线方程为， 由题知圆的圆心为，半径为1. 过点作准线的垂线，垂足为，则，又， 当三点共线且点在点之间时等号成立， 所以， 当四点共线且点在点之间时等号成立，所以的最小值为2，此时，则，所以， 所以当取最小值时，. 故答案为： 【相似题3】（24-25高二上·天津·阶段练习）已知点是抛物线上一点，则点到直线的最短距离是 【答案】 【分析】设出点坐标，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. 【详解】设，则到直线的距离为： ， 所以当时，距离取得最小值为. 故答案为： 【解题思路】 1. 利用抛物线定义转化距离： · 若问题涉及抛物线上一点到焦点与到某条直线（常与准线相关）的距离和或差的最值，根据抛物线定义，将点到焦点的距离转化为点到准线的距离。比如求上一点到焦点与到定点距离和的最小值，过点作准线的垂线，与抛物线交点即为所求点，此时最小值为点到准线的距离。因为根据定义等于到准线的距离，那么，当、、垂足三点共线时和最小。 2. 构建函数求最值： · 当无法直接利用定义求解时，按上述知识讲解中构建函数的方法，得到关于一个变量的函数。若构建的是二次函数，可根据二次函数的性质求最值。对于二次函数，当时，函数在处取得最小值；当时，函数在处取得最大值。例如求上一点到直线距离的最小值，设抛物线上点坐标为，利用点到直线距离公式（这里直线，，，）得到关于的函数，再利用二次函数性质求解。 3. 结合几何图形性质： · 除了代数方法，还需关注几何图形的性质。例如，当求抛物线上一点与某线段构成三角形面积的最值时，若该线段长度固定，那么当抛物线上点到该线段所在直线距离最大（或最小）时，三角形面积取得最值。可通过平行于该线段且与抛物线相切的直线来确定这个距离最值的点。因为相切时，切点到已知线段所在直线距离在抛物线上所有点中是特殊值，可能是最值，再结合图形判断是最大还是最小。 【题型5：直线与抛物线的综合题型】 知识讲解 1. 直线与抛物线的位置关系判断 知识讲解：直线与抛物线的位置关系有相离、相切、相交三种。将直线方程 （当直线斜率存在时）与抛物线方程 联立，得到一个关于 或 的一元二次方程。对于由消去 后得到的 ，其判别式。当时，直线与抛物线相交，有两个不同交点；当时，直线与抛物线相切，有一个公共点；当时，直线与抛物线相离，没有公共点。需要注意的是，当直线斜率不存在时，直线方程为 ，代入抛物线方程求解交点情况。 2. 弦长问题 知识讲解：若直线与抛物线相交于 ， 两点，弦长（ 为直线斜率）。其中，， 可通过联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到。 3. 中点弦问题 知识讲解：已知直线与抛物线相交所得弦的中点坐标，求直线方程或抛物线方程相关参数。常用“点差法”，设直线与抛物线交点 ，，中点 ，将 ， 两点坐标代入抛物线方程，两式相减，利用平方差公式变形，结合中点坐标公式，和直线斜率公式 求解。 4. 焦点弦问题 知识讲解：过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得的弦为焦点弦。对于抛物线 ，若焦点弦两 5. 对称问题 知识讲解：若抛物线上存在两点关于某直线对称，则这两点所在直线与对称轴垂直，且两点中点在对称轴上。设抛物线上两点 ， 关于直线 对称，那么直线 $AB$ 的斜率与直线 的斜率乘积为，同时 $AB$ 中点在直线 上。 端点为 ，，则有，，弦长。 例题精选 【例题1】（2025·宁夏银川·二模）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且. (1)求抛物线C的方程. (2)已知过点F的直线交抛物线C于两点，的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据抛物线定义列式求出，得解； （2）法1，设直线的方程为，与抛物线联立方程组，得，求得，根据三角形的面积列方程，求得，也即求得直线的方程，法2，前面同法1，由，求得，得解. 【详解】（1）依题意，点在抛物线上，且， 所以， 所以抛物线方程为. （2）法1：抛物线方程为，焦点坐标为， 设直线的方程为，， 由，消去并化简整理得， ，则，则， 所以. 原点到直线的距离为， 所以， 解得， 所以直线的方程为或，即或. 法2： 解得， 所以直线的方程为或，即或. 【例题2】（2025·广东·一模）设抛物线的焦点为.已知到直线的距离为，过的直线交于两点. (1)求的方程； (2)已知点，直线交于点.若，求的面积. 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）利用点到直线的距离求出参数p的值，即得答案； （2）设出AB，AC的方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系式，结合，可求出点A，B，C的坐标，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，F点到的距离为，故（舍去）或， 故的方程为. （2）由题意知直线AB的斜率必存在， 设. 联立，有，，故， 联立，有，，故， 故 由有，则， 故. 注意到轴，故的面积为. 【例题3】（2024·浙江温州·一模）点在抛物线上，且到抛物线的焦点的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦半径公式及点在抛物线上，列方程组，可求的值. （2）法1：设出直线的方程：，与抛物线方程联立，得到，，再根据，得求的值. 法2：设直线的方程：，与抛物线方程联立，得到，，再根据，得得的关系，从而说明直线经过定点，再结合直线过抛物线的焦点，可得直线方程. 法3：设，，则直线可写成，根据及可求出的值，得直线的方程. 法4：设，，根据直线与垂直，可分别设两直线方程为，，分别与抛物线方程联立，把、坐标用表示出来，再结合求的值，进而求出点坐标，结合直线过点，可求直线方程. 法5：设，，设直线：与抛物线方程联立，可得，再根据，结合直线过点，可求的值，得直线的方程. 【详解】（1）根据焦半径公式可得，所以， 又，所以， 解得或（舍去）， 故所求抛物线方程为. （2）法1：，，设，，， ，所以， ， ，（舍去）， 所以即. 法2：设，，， ，所以， ， ， ，所以过定点， 又因为过，所以； 法3：，，设，，， ， . ， ， 所以. 法4：设，，不妨设， ， ， ，同理， ， ， ， 又因为过，所以. 法5：设，，， ， ， ， ， . 又因为过，所以， 解得，，所以. 相似练习 【相似题1】（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F且互相垂直的两条动直线分别与E交于点A，B和点C，D，当时，． (1)求E的方程； (2)设线段AB，CD的中点分别为M，N，若直线AB的斜率为正，且，求直线AB和CD的方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设，联立方程，利用韦达定理结合弦长公式可得，分析可知，，代入运算即可； （2）根据（1）结论可得：，，利用弦长公式运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：，直线的斜率存在且不为0， 此时直线AB、CD均与抛物线相交，    设，则， 联立方程，消去可得， 则， 可得， 若，根据抛物线的对称性不妨令直线的倾斜角为，即， 可得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）可知：，，， 且， 则，即， 同理可得：， 由题意可知：， 则， 因为，解得， 则，，即，. 【相似题2】（2025·辽宁·二模）已知抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，当直线l经过点F且时，． (1)求C的方程； (2)设O为坐标原点，点A在第一象限，点B在第四象限，且，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线焦点弦的性质列式求得，得解； （2）设直线与抛物线方程联立得根与系数关系，由，结合，可得，求得，得恒过定点，由代入运算得解. 【详解】（1）由题，易知直线的斜率存在，设，，， 联立，消去整理得，， 则， 由抛物线定义得，， ，又， ，解得， 所以抛物线的方程为. （2）设直线，，，， 由，又， ，解得， 联立，整理得， 则，，所以，即，且， 故直线恒过定点， 又，所以， ，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为. 【相似题3】（2025·全国·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，抛物线的顶点在原点，焦点与的右焦点重合.过焦点的直线交抛物线于点，交椭圆于点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出焦点坐标，再用待定系数法求出抛物线的标准方程即可； （2）方法一：设出直线的方程为，与抛物线方程联立，利用弦长公式求出，再联立直线与椭圆方程，利用弦长求出，由求出，得到直线的方程； 方法二： （2）先讨论直线斜率不存在的情况，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，联立直线与抛物线的方程，利用抛物线焦点弦的坐标公式求出，联立直线与椭圆的方程，由两点间的距离公式求出，由求出斜率的值，从而求得直线的方程. 【详解】（1）由椭圆的方程为，得，所以， 设抛物线的方程为，则，则， 所以抛物线的标准方程为. （2）方法一：由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立消去整理得，可得， 设，，则，， 所以. 联立消去整理得，可得， 设，，则，， 所以. 因为，所以， 即，即， 所以直线的方程为或. 方法二：若直线垂直于轴，则方程为，代入椭圆方程，得， ，代入抛物线的方程，得， ，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设方程为， 设，，，， 由得，可得， 则，所以. 由得，可得， 则， 因为点在椭圆上，所以，所以， 所以， 同理得，所以， 因为，所以，即， 解得，则， 所以直线的方程为或. 【题型6：抛物线与圆椭圆双曲线综合小题题型】 例题精选 【例题1】（2025·福建泉州·一模）已知拋物线的准线为，点在上，以为圆心的圆与和轴都相切，则该圆被轴截得的弦长等于（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据相切的到点然后代入抛物线方程得到，最后利用勾股定理求弦长. 【详解】拋物线的准线方程为，不妨取点在第一象限， 设以为圆心的圆的半径为， 因为以为圆心的圆与和轴都相切，所以， 将代入抛物线方程得，解得， 则到轴的距离为1，该圆被轴截得的弦长为. 故选：D. 【例题2】（2025·天津和平·一模）已知直线经过抛物线的焦点，直线与圆相交于、两点，且，则实数的值等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据直线过抛物线的焦点求出的值，利用勾股定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】易知抛物线的焦点为，且直线经过点，则，可得， 所以，直线的方程为，即， 圆的圆心为，半径为， 由题意可知，圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得，即，解得或. 故选：C. 【例题3】（2025·河南郑州·二模）已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线的斜率为正数，且与圆相切，过点作的垂线，垂足为，则的面积为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由题意写出交点坐标和准线方程，由圆的方程求出圆心和半径，作图.结合切线的性质和求出直线的倾斜角，从而得到直线方程，联立方程组求出点坐标，从而知道的面积. 【详解】由题意可知，， ∵，∴，， 如图：设点为与圆的切点， 则，， ∴，则，， ∴直线， 联立方程组，即，解得（舍去）或， ∴，∴， ∴. 故选：C. 相似练习 【相似题1】（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 【答案】/ 【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离. 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 【相似题2】（2023·福建福州·模拟预测）已知抛物线与圆，过抛物线的焦点作斜率为的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点（在轴的同一侧），若，则的值是 ． 【答案】8 【分析】根据给定条件，写出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并结合圆的性质及向量等式求解作答. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为，于是直线：，显然， 由消去y得：，设， 则，又圆的圆心为，半径为1， 由，得，即， 于是，整理得，又，解得， 则，解得， 所以的值是8. 故答案为：8 【相似题3】（2022·福建·模拟预测）已知抛物线与抛物线在第一象限内的交点为，若点在圆上，且直线与圆相切，则 . 【答案】/ 【分析】由于点在圆上，所以可得，而点也在两抛物线上，代入抛物线方程可得，当与圆相切时，可得，然后前面的几个式子结合可求得答案 【详解】因为， 所以， 因为，，所以， 当与圆相切时，， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·贵州毕节·二模）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏宿迁·二模）已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州安顺·模拟预测）若抛物线的焦点到直线的距离为，则（   ） A．2 B．4 C． D．12 4．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 5．（2025·江苏南通·一模）若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西汉中·二模）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则以线段为直径的圆的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·陕西商洛·三模）已知为抛物线上一点，为的焦点，点到轴的距离为，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·湖北武汉·二模）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，若面积为，则（    ） A．4 B．3 C． D． 9．（2025·山东烟台·一模）已知为抛物线上一点，若过点且与该抛物线相切的直线交轴于点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 10．（2025·天津和平·一模）已知直线经过抛物线的焦点，直线与圆相交于、两点，且，则实数的值等于（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 11．（2025·广东茂名·二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点，若，则 ． 12．（2025·海南海口·模拟预测）设点是抛物线的焦点，过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，已知直线交轴于点，且的面积为8，则该抛物线的方程为 . 13．（2025·浙江温州·二模）已知是抛物线在第一象限上的点，是抛物线的焦点，（为坐标原点）则抛物线在处切线的斜率是 ． 三、解答题 14．（2023·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C A C B A C C 1．A 【分析】根据双曲线和抛物线的定义求解. 【详解】因为，所以所以抛物线的焦点坐标为， 所以双曲线的一个焦点为， 所以，解得， 所以双曲线的方程为， 故选：A. 2．D 【分析】利用抛物线的性质得到椭圆的基本量，再求解离心率即可. 【详解】由题意得的焦点为，则，而， 得到，即方程为，得到离心率，故D正确. 故选：D 3．B 【分析】根据抛物线标准方程得到焦点坐标，利用点到直线的距离公式可求的值. 【详解】由题意得，抛物线的焦点坐标为， ∴焦点到直线的距离，解得或（舍去）， ∴. 故选：B. 4．C 【分析】利用抛物线定义将点到准线的距离转化到与焦点的距离，再根据三点不共线时两边之和大于第三边且三点共线时能取得最值，即得结果. 【详解】依题意，抛物线中，，点到准线的距离， 故点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和为： ， 当且仅当A,P,F三点共线时等号成立. 所以的最小值为. 故选：C. 5．A 【分析】求出准线的方程，进而可求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得结果. 【详解】抛物线的准线方程为， 圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为， 所以，截圆所得的弦长为， 故选：A. 6．C 【分析】首先求出直线与轴的交点坐标，即可求出，再联立直线与抛物线方程，消元求出，即可求出，从而求出圆的面积. 【详解】直线，令，可得，即直线过点； 抛物线的焦点，所以，解得， 所以抛物线，由，消去整理得， 设，，显然，则， 所以，则以线段为直径的圆的面积. 故选：C 7．B 【分析】设点，则，根据题意求出的值，再利用抛物线的定义可求得的值. 【详解】对于抛物线，，可得， 设点，则，因为点到轴的距离为，即， 由抛物线的定义可得. 故选：B. 8．A 【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合抛物线的定义及三角形面积公式列式求出 【详解】抛物线的焦点，设直线，点， 由消去得，则， ，即， ， ，则，因此， 所以. 故选：A 【点睛】易错点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 9．C 【分析】不妨令，应用导数的几何意义求切点为的直线斜率，再由点在切线上、抛物线上求m，列方程求p即可. 【详解】不妨令，由，则， 所以，切点为的直线斜率为，则切线为，故， 又，即（负值舍），则. 故选：C 10．C 【分析】根据直线过抛物线的焦点求出的值，利用勾股定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】易知抛物线的焦点为，且直线经过点，则，可得， 所以，直线的方程为，即， 圆的圆心为，半径为， 由题意可知，圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得，即，解得或. 故选：C. 11．8 【分析】先求出焦点坐标，得到，即准线方程为，利用抛物线的定义可知等于其到准线的距离，即. 【详解】由题意可知焦点，准线方程为，又点在抛物线上， 所以点到准线的距离为，由抛物线的定义可知. 故答案为：. 12． 【分析】设，结合抛物线的定义可得，结合易得，进而根据的面积求出，进而得解. 【详解】根据题意作出如图所示的图象： 其中，，为双曲线的准线，且准线方程为，，， 设，则，. 在中，为的中点，则为的中点，即，， ∵的面积为8， ∴，即，又， ∴，解得， ∴该抛物线的方程为. 故答案为：. 13． 【分析】先设，再根据焦半径公式计算求得，最后结合求导即可得出切线斜率. 【详解】设，则， 所以，解得， 设抛物线在处切线的斜率是，因为，所以， 所以在函数上，所以，所以． 故答案为：. 14．(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线定义可求得，即可求出抛物线的方程； （2）由弦中点坐标为并利用点差法即可求得直线的斜率为，便可得直线方程. 【详解】（1）点在抛物线上， 由抛物线定义可得，解得， 故抛物线的标准方程为． （2）设，如下图所示：    则，两式相减可得， 即， 又线段的中点为，可得； 则，故直线的斜率为4， 所以直线的方程为， 即直线的方程为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$高考一轮复习考点通关 【专题8.7抛物线方程与性质】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：抛物线的定义与标准方程】 知识讲解 抛物线的定义 1. 平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。 抛物线的标准方程 1. 焦点在轴正半轴上的抛物线标准方程为，其焦点坐标为，准线方程为。 2. 焦点在轴负半轴上的抛物线标准方程为，焦点坐标为，准线方程为。 3. 焦点在轴正半轴上的抛物线标准方程为，焦点坐标为，准线方程为。 4. 焦点在轴负半轴上的抛物线标准方程为，焦点坐标为，准线方程为。 例题精选 【例题1】（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【例题2】（2022·全国乙卷·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【例题3】（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 相似练习 【相似题1】（2025·湖北·二模）已知点为抛物线的焦点，点在的准线上，点在上，若，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【相似题2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于两点，且，则（    ） A． B． C．12 D．8 【相似题3】（2023·全国乙卷·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 【相似题4】（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 ． 【相似题5】（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 . 【解题思路】 1. 求抛物线方程： 若已知抛物线的焦点位置和一些相关条件，可直接设出对应的标准方程，然后根据条件求出的值，进而得到抛物线方程。 若焦点位置不确定，则需要分情况讨论。 2. 利用抛物线定义解题： 当涉及到抛物线上的点到焦点和准线的距离问题时，优先考虑利用抛物线的定义进行转化，将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，或者反之，从而简化问题。 3. 与其他知识综合： 抛物线常与直线、圆等知识综合考查。在解决这类问题时，通常是联立方程，然后利用韦达定理等知识来求解。例如，联立抛物线方程与直线方程，消去一个变量，得到一个一元二次方程，通过判别式判断直线与抛物线的位置关系，利用韦达定理求出交点坐标之间的关系等。 【题型2：求抛物线的轨迹方程】 知识讲解 求轨迹方程的常用方法 定义法：若动点的轨迹满足抛物线的定义，可直接根据定义写出其轨迹方程。 待定系数法：已知抛物线的类型（如开口方向、对称轴等），设出相应的标准方程，再根据已知条件求出方程中的参数。 直接法：设动点坐标为，根据已知条件列出动点所满足的几何等式，然后将其坐标化，化简得到轨迹方程。 相关点法（代入法）：若动点依赖于另一个在已知曲线上的动点，可先找出$x,y$与的关系，再将代入已知曲线方程，从而得到动点的轨迹方程。 例题精选 【例题1】（2024·湖南衡阳·三模）已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为 . 【例题3】（2025·广东佛山·一模）已知的顶点在轴上，，，且边的中点在轴上，设的轨迹为曲线． (1)求的方程； 相似练习 【相似题1】（2024·黑龙江大庆·三模）已知平面内一动圆过点，且在轴上截得弦长为2，动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； 【相似题2】（2024·四川·模拟预测）已知与圆P：内切，且与直线：相切的动圆Q的圆心轨迹为曲线C，直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，延长AO，BO分别与直线：相交于点M，N． (1)求曲线C的方程； 【相似题3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知动点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为． (1)过点且斜率为的直线与交于两点，求的值； 【解题思路】 1. 明确题目条件 仔细分析题目中给出的关于动点的几何条件，例如动点到定点和定直线的距离关系、与其他已知点或曲线的位置关系等。 确定抛物线的焦点位置和开口方向，这有助于选择合适的方程形式。 2. 选择合适的方法 若满足抛物线定义： 当题目中明确指出动点到某一定点的距离等于它到某一定直线的距离时，直接根据抛物线定义确定的值和焦点位置，进而写出轨迹方程。 例如，已知动点到点的距离等于它到直线的距离，由抛物线定义可知，该抛物线焦点为，准线为，则，，且焦点在轴正半轴上，所以轨迹方程为。 已知抛物线类型： 若题目告知抛物线的开口方向和对称轴等信息，可设出相应的标准方程，再利用已知条件求出参数。 例如，已知抛物线开口向下，对称轴为轴，且过点，可设抛物线方程为，把点代入方程得，即，解得，所以轨迹方程为。 已知动点的几何等式： 若题目给出动点满足的几何等式，可采用直接法。设动点坐标为，将几何等式转化为坐标方程，然后化简。 例如，动点到点的距离比它到直线的距离小，则动点到点的距离等于它到直线的距离，根据两点间距离公式，两边平方得，展开化简得。 存在相关动点： 若动点与另一个在已知曲线上的动点有关，可先找出$x,y$与的关系，再将代入已知曲线方程。 例如，已知点，点在抛物线上运动，点满足，设，，则，可得，即，把代入，得，化简得。 3. 检验方程 检查所求方程的定义域和值域是否符合实际情况，排除不符合题意的点。 验证所求方程是否满足题目中的所有条件。 【题型3：抛物线的焦点弦长】 知识讲解 焦半径 1. 对于抛物线，设焦点为，其上一点，则焦半径。 2. 对于抛物线，焦点，点，焦半径。 3. 对于抛物线，焦点，点，焦半径。 4. 对于抛物线，焦点，点，焦半径。 焦点弦 1. 弦长公式：若$AB$是抛物线的焦点弦，，，则；结合焦半径可理解为。 2. 坐标乘积：对于抛物线的焦点弦$AB$，有，。 3. 圆与准线关系：以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 4. 倒数和性质：设抛物线的焦点为，焦点弦$AB$，，，则。 5. 弦长与夹角关系：焦点弦$AB$与抛物线对称轴的夹角为，则弦长。 例题精选 【例题1】 （2025·北京顺义·一模）已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于不同的两点A，B，为坐标原点，直线与交于点M，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D．2 【例题2】（2025·云南昆明·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于A，B两点，点为线段的中点，若点的横坐标为，，则（） A．2 B．3 C．4 D．6 【例题3】（2025·广东·模拟预测）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 相似练习 【相似题1】（2025·山东济宁·一模）设为抛物线的焦点，过的直线交于两点，若，则（） A．2 B．4 C．6 D．8 【相似题2】（2025·湖南·二模）已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆与抛物线的准线相切于点.若为坐标原点，则的面积为 . 【相似题3】（2025·天津·模拟预测）已知过抛物线C：的焦点F作斜率为正数的直线n交抛物线的准线l于点P，交抛物线于A，B（A在线段PF上），，则以线段AB为直径的圆被y轴截得弦长为 【题型4：抛物线中的最值问题】 知识讲解 1. 抛物线的定义与性质：抛物线的定义为平面内到定点与定直线距离相等的点的轨迹。其标准方程有（焦点在轴正半轴）、（焦点在轴负半轴）、（焦点在轴正半轴）、（焦点在轴负半轴）几种形式，不同形式下焦点坐标和准线方程各异。例如，焦点，准线。这些性质是解决抛物线最值问题的基础，通过定义可将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离，为求解最值创造条件。 2. 函数关系的建立：设抛物线上一点坐标为，根据抛物线方程将用表示（或用表示），再结合题目所求的最值量，构建出关于（或）的函数表达式。例如求抛物线上一点到某定点距离的最值，利用两点间距离公式，将抛物线方程代入，消去一个变量，得到关于单一变量的函数。 例题精选 【例题1】（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题2】（23-24高三上·四川南充·阶段练习）若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【例题3】（2023·全国·模拟预测）已知圆过点，且与直线相切，是圆心的轨迹上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】多选题（2024·浙江·一模）设是抛物线弧上的一动点，点是的焦点，，则（    ） A． B．若，则点的坐标为 C．的最小值为 D．满足面积为的点有2个 【相似题2】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知抛物线的焦点为上的点到轴的距离为1，动点在上，动点在圆上，当取最小值时，的面积为 . 【相似题3】（24-25高二上·天津·阶段练习）已知点是抛物线上一点，则点到直线的最短距离是 【解题思路】 1. 利用抛物线定义转化距离： · 若问题涉及抛物线上一点到焦点与到某条直线（常与准线相关）的距离和或差的最值，根据抛物线定义，将点到焦点的距离转化为点到准线的距离。比如求上一点到焦点与到定点距离和的最小值，过点作准线的垂线，与抛物线交点即为所求点，此时最小值为点到准线的距离。因为根据定义等于到准线的距离，那么，当、、垂足三点共线时和最小。 2. 构建函数求最值： · 当无法直接利用定义求解时，按上述知识讲解中构建函数的方法，得到关于一个变量的函数。若构建的是二次函数，可根据二次函数的性质求最值。对于二次函数，当时，函数在处取得最小值；当时，函数在处取得最大值。例如求上一点到直线距离的最小值，设抛物线上点坐标为，利用点到直线距离公式（这里直线，，，）得到关于的函数，再利用二次函数性质求解。 3. 结合几何图形性质： · 除了代数方法，还需关注几何图形的性质。例如，当求抛物线上一点与某线段构成三角形面积的最值时，若该线段长度固定，那么当抛物线上点到该线段所在直线距离最大（或最小）时，三角形面积取得最值。可通过平行于该线段且与抛物线相切的直线来确定这个距离最值的点。因为相切时，切点到已知线段所在直线距离在抛物线上所有点中是特殊值，可能是最值，再结合图形判断是最大还是最小。 【题型5：直线与抛物线的综合题型】 知识讲解 1. 直线与抛物线的位置关系判断 知识讲解：直线与抛物线的位置关系有相离、相切、相交三种。将直线方程 （当直线斜率存在时）与抛物线方程 联立，得到一个关于 或 的一元二次方程。对于由消去 后得到的 ，其判别式。当时，直线与抛物线相交，有两个不同交点；当时，直线与抛物线相切，有一个公共点；当时，直线与抛物线相离，没有公共点。需要注意的是，当直线斜率不存在时，直线方程为 ，代入抛物线方程求解交点情况。 2. 弦长问题 知识讲解：若直线与抛物线相交于 ， 两点，弦长（ 为直线斜率）。其中，， 可通过联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到。 3. 中点弦问题 知识讲解：已知直线与抛物线相交所得弦的中点坐标，求直线方程或抛物线方程相关参数。常用“点差法”，设直线与抛物线交点 ，，中点 ，将 ， 两点坐标代入抛物线方程，两式相减，利用平方差公式变形，结合中点坐标公式，和直线斜率公式 求解。 4. 焦点弦问题 知识讲解：过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得的弦为焦点弦。对于抛物线 ，若焦点弦两 5. 对称问题 知识讲解：若抛物线上存在两点关于某直线对称，则这两点所在直线与对称轴垂直，且两点中点在对称轴上。设抛物线上两点 ， 关于直线 对称，那么直线 $AB$ 的斜率与直线 的斜率乘积为，同时 $AB$ 中点在直线 上。 端点为 ，，则有，，弦长。 例题精选 【例题1】（2025·宁夏银川·二模）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且. (1)求抛物线C的方程. (2)已知过点F的直线交抛物线C于两点，的面积为，求直线的方程. 【例题2】（2025·广东·一模）设抛物线的焦点为.已知到直线的距离为，过的直线交于两点. (1)求的方程； (2)已知点，直线交于点.若，求的面积. 【例题3】（2024·浙江温州·一模）点在抛物线上，且到抛物线的焦点的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程. 相似练习 【相似题1】（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F且互相垂直的两条动直线分别与E交于点A，B和点C，D，当时，． (1)求E的方程； (2)设线段AB，CD的中点分别为M，N，若直线AB的斜率为正，且，求直线AB和CD的方程． 【相似题2】（2025·辽宁·二模）已知抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，当直线l经过点F且时，． (1)求C的方程； (2)设O为坐标原点，点A在第一象限，点B在第四象限，且，求面积的最小值． 【相似题3】（2025·全国·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，抛物线的顶点在原点，焦点与的右焦点重合.过焦点的直线交抛物线于点，交椭圆于点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若，求直线的方程. 【题型6：抛物线与圆椭圆双曲线综合小题题型】 例题精选 【例题1】（2025·福建泉州·一模）已知拋物线的准线为，点在上，以为圆心的圆与和轴都相切，则该圆被轴截得的弦长等于（    ） A．1 B． C．2 D． 【例题2】（2025·天津和平·一模）已知直线经过抛物线的焦点，直线与圆相交于、两点，且，则实数的值等于（    ） A． B． C．或 D．或 【例题3】（2025·河南郑州·二模）已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线的斜率为正数，且与圆相切，过点作的垂线，垂足为，则的面积为（   ） A． B．4 C． D． 相似练习 【相似题1】（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 【相似题2】（2023·福建福州·模拟预测）已知抛物线与圆，过抛物线的焦点作斜率为的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点（在轴的同一侧），若，则的值是 ． 【相似题3】（2022·福建·模拟预测）已知抛物线与抛物线在第一象限内的交点为，若点在圆上，且直线与圆相切，则 . 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·贵州毕节·二模）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏宿迁·二模）已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州安顺·模拟预测）若抛物线的焦点到直线的距离为，则（   ） A．2 B．4 C． D．12 4．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 5．（2025·江苏南通·一模）若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西汉中·二模）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则以线段为直径的圆的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·陕西商洛·三模）已知为抛物线上一点，为的焦点，点到轴的距离为，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·湖北武汉·二模）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，若面积为，则（    ） A．4 B．3 C． D． 9．（2025·山东烟台·一模）已知为抛物线上一点，若过点且与该抛物线相切的直线交轴于点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 10．（2025·天津和平·一模）已知直线经过抛物线的焦点，直线与圆相交于、两点，且，则实数的值等于（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 11．（2025·广东茂名·二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点，若，则 ． 12．（2025·海南海口·模拟预测）设点是抛物线的焦点，过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，已知直线交轴于点，且的面积为8，则该抛物线的方程为 . 13．（2025·浙江温州·二模）已知是抛物线在第一象限上的点，是抛物线的焦点，（为坐标原点）则抛物线在处切线的斜率是 ． 三、解答题 14．（2023·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$