精品解析：吉林省吉林市永吉县永吉实验高级中学2024-2025学年高二下学期4月质量检测数学试题

永吉实验高中高二学年4月份（数学）学科质量检测 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知曲线上一点，记为函数导数，则（ ） A. B. C. D. 3. 今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（ ） A. 10种 B. 60种 C. 125种 D. 243种 4. 已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是的极大值点 C. 当时， D. 在区间上单调递减 5. 若曲线在处的切线方程为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 由3名医生和6名护士组成一支医疗小队下乡送医扶助新农村建设，他们要全部分配到三个农村医疗点，每个医疗点分到1名医生和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，则不同的分配方法有（ ）种 A. 540 B. 684 C. 756 D. 792 7. 若对任意的正实数，，当时， 恒成立，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 对于函数与，若存在，使，则称，是与图象的一对“隐对称点”．已知函数，，函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 所有项的系数和为1 C. 没有常数项 D. 系数为14 10. 某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（ ） A. 从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法 B. 从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法 C. 将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种 D. 8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法. 11. 函数叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其它函数进行运算产生新的函数.已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数既有极大值，也有极小值 C. 方程有个不同的实数解 D. 在定义域内，恒有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知曲线在处的切线的斜率为，则______. 13. 在的展开式中，常数项为75，则________. 14. 已知，若对于任意的 ，不等式 恒成立，则 的最小值为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15 已知函数． （1）求函数单调区间； （2）求函数在区间上的最值． 16. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围. 17. 设，． （1）当时，求的极值； （2）讨论函数的单调性． 18. 已知函数 （1）证明：当时，恒成立； （2）若函数有一个零点，求的取值范围． 19. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）当时，求的单调区间； （2）若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 永吉实验高中高二学年4月份（数学）学科质量检测 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列数公式可得出关于的二次方程，进而可解得正整数的值. 【详解】由排列数公式可得，即， ，解得. 故选：D. 【点睛】本题考查排列数方程的求解，考查排列数公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 2. 已知曲线上一点，记为函数的导数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导可得，进而求解. 【详解】，，所以， 所以. 故选：D 3. 今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（ ） A. 10种 B. 60种 C. 125种 D. 243种 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理计算即可． 【详解】五人去看三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有种， 故选：D． 4. 已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是的极大值点 C. 当时， D. 在区间上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的性质即可作出各选项判断. 【详解】 根据上面导函数图象，可知：在区间上大于零，所以在区间上单调递增，故A正确； 由图可知，且在左边附近是大于零，在右边附近是小于零， 即可判断在左边附近是单调递增，在右边附近是单调递减， 所以在时取到极大值，故B正确； 由图可知当时，，故C错误； 由图可判断时，，故在区间上单调递减，故D正确； 故选：C. 5. 若曲线在处的切线方程为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由导数的几何意义可求得的值，可得出切线方程，将切点坐标代入切线方程，可得出的值，再结合函数解析式可求得的值. 【详解】因为，则，则， 可得，所以，曲线在处的切线方程为， 将切点的坐标代入切线方程可得，解得， 又因为，解得，因此，，. 故选：D. 6. 由3名医生和6名护士组成的一支医疗小队下乡送医扶助新农村建设，他们要全部分配到三个农村医疗点，每个医疗点分到1名医生和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，则不同的分配方法有（ ）种 A. 540 B. 684 C. 756 D. 792 【答案】B 【解析】 【分析】首先分步：先安排医生，再安排护士，其次特殊元素护士甲和护士乙捆绑，即护士名可分为和两类，应用分类和分步计数原理可得总的分配方法. 【详解】先安排医生，再安排护士. 安排医生，方法数有种； 再安排护士，护士名，由于护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，故可分为和两类： 如果是，一共有种， 如果是，又分为若甲乙在人小组中，则有种； 若甲乙在人小组中，则有种， 最后将分好的三组医生、三组护士全排列安排到三个医疗点， 所以一共有种分配方法. 故选：B. 7. 若对任意的正实数，，当时， 恒成立，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为对任意的正实数，，当时， 恒成立， 令，由在上单调递减求解. 【详解】因为对任意的正实数，，当时， 恒成立， 所以对任意的正实数，，当时， 恒成立， 令，所以在上单调递减， 则，所以在上恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围是， 故选：A 8. 对于函数与，若存在，使，则称，是与图象的一对“隐对称点”．已知函数，，函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得函数与的图象有两个交点，结合导数可画出两函数的图象，结合导数的几何意义数形结合即可得解. 【详解】由题意函数与的图象有两个交点， 令，则， ∴当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 又恒过点，当时，， 在同一坐标系中作出函数、的图象，如图， 由图象可知，若函数与的图象有两个交点，则， 当直线为函数图象的切线时，由，可得， ∴且，即. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 所有项系数和为1 C. 没有常数项 D. 的系数为14 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式系数计算判断A，赋值法判断B，根据通项公式判断CD. 【详解】因为第4项与第5项的二项式系数相等，所以，解得，故A错误; 令，可得展开式中所有项的系数和为，故B正确; 在中，第项， 取，即，所以不存在常数项，故C正确; 取，即，所以，所以的系数为14，故D正确. 故选：BCD 10. 某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（ ） A. 从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法 B. 从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法 C. 将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种 D. 8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法. 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A可以看做从8个人中取2个人的排列； 选项B先从男生中选1个有种情况，再从女生中选1人有种情况，进而可得； 选项C先排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与5个男生一起排列有种情况，进而可得； 选项D依次把3个女生插入队伍中，共有种. 【详解】选项A：从8个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有种，故A错误； 选项B：从8个人中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人选法共有种，故B正确； 选项C：选排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与5个男生一起排列有种情况， 共有种情况，故C正确； 选项D：8名学生排成一排，已知5名男生已排好， 先排第一个女生可以排5个男生中间的4个空或2头，有6种情况， 再排第二个女生可以排到排好的6个人中间的5个空或2头，有7种情况， 最后排第三个女生可以排到排好的7个人中间的6个空或2头，有8种情况， 共有种情况，故D正确， 故选：BCD 11. 函数叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其它函数进行运算产生新的函数.已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数既有极大值，也有极小值 C. 方程有个不同的实数解 D. 在定义域内，恒有 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由题知定义域为，，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；对于B，利用极值的定义，即可求解；对于选项C，利用函数的单调性，得出函数图象，再数形结合，即可求解；对于D，构造函数，利用的图象关于点中心对称，即可求解. 【详解】易知的定义域为，， 对于选项A，由，得到，且，所以减区间为，，故选项A错误， 对于选项B，由，得到或， 当时，，当时，，当，，当时，， 所以的极大值为，极小值为，故选项B正确， 对于选项C，由选项B知，的增区间为，减区间为， 当时，，且时，，当从左边时，， 当从右边时，，且时，，当时，， 图象如图所示，由图知，只有一个零点，且， 令，由，得到，所以，令， 由图知，与有且仅有两个交点，所以选项C正确， 对于选项D，令，易知的图象关于点中心对称， 所以，即，得到，故选项D正确， 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知曲线在处的切线的斜率为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解. 【详解】因为， 所以，当时，， 因为曲线在点处的切线的斜率为， 所以，解得， 故答案为： 13. 在的展开式中，常数项为75，则________. 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式，进而可求出结果. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为，又，解得. 故答案为：. 14. 已知，若对于任意的 ，不等式 恒成立，则 的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】将不等式转化，构造函数，利用导数研究其单调性得，再根据导数判定最大值计算即可. 【详解】原不等式等价于， 由题意可知，且时，有 令，即此时单调递减， 则有， 令， 易知上单调递增，在上单调递减， 所以. 故答案为： 【点睛】思路点睛：对于导数不等式恒成立问题，观察式子结构不方便分离参数，所以尝试通过构造同类型函数来解决问题.本题通过构造研究其单调性得出在条件下恒成立，再研究函数的单调性与最值即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上最值． 【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为 （2）最大值为16，最小值为. 【解析】 【分析】(1)利用导数求解函数的单调区间即可. (2)利用导数求解函数在闭区间上的最值即可. 【小问1详解】 令.则， 则当和时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为 【小问2详解】 由(1)知当时，取极大值为，当时，取极小值为， ，则在上最大值为16，最小值为. 16. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，由切点和导数的几何意义得到切线斜率，结合点斜式方程得出结果； （2）问题转化成的恒成立问题，可分离参数处理. 【小问1详解】 当时，，则， 则曲线在点处的切线斜率为，又， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 ，由题意得，恒成立． 令，则，且在单调递增， 令，解得， 所以当时，，故单调递减； 当时，，故单调递增； 所以， 又，当且仅当，故． 17. 设，． （1）当时，求极值； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1），； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出极值即可； （2）求出，分、、、、讨论，可得答案； 【小问1详解】 的定义域为，因为， ， 时，，单调递增， 时，，单调递增， 时，，单调递减， ，； 【小问2详解】 由题：， 1°当时：， 时，，单调递减， 时，，单调递增； 2°当时：， 时，，单调递减， 时，，单调递增； 3°当时： ①若即，所以时，，单调递增， 时，，单调递减； 时，，单调递增， ②若即，，则在单调递增； ③若即，所以时，，单调递增， 时，，单调递减；时，，单调递增； 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用分类讨论思想，结合二次函数的性质解题． 18. 已知函数 （1）证明：当时，恒成立； （2）若函数有一个零点，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的极小值为0，即可得证； （2）由函数零点与方程根的关系可将问题转化为方程在有一个根，进一步转化为直线与函数的图象在上有一个交点.构造函数，对求导研究其单调性、最值与图象变化趋势即可求解. 【小问1详解】 当时，， 的定义域为，. 令，解得；令，解得， 在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数取得极小值， ， ∴当时，恒成立. 【小问2详解】 函数在有一个零点，等价于方程在有一个根， 即方程在有一个根， 即直线与函数的图象在上有一个交点. 令，则. 令，即，解得；令，即为，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 又因为，当时，， 且时，，当时，， 所以当或时，函数有一个零点， 即的取值范围为. 19. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）当时，求的单调区间； （2）若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）在区间内单调递增，在区间内单调递减； （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数及其零点，分区间分析导函数的正负，结合导数与单调性的关系求单调区间； （2）方程可化为，结合（1）确定函数的性质，由条件确定的取值范围； （3）设，由（i），由已知，法一：先证明时结论成立，构造函数，，并证明，由此可得，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明当时，结论成立；法二：构造函数，证明当时，，由此可证，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明结论. 【小问1详解】 由题意得，，则， 由，解得． 当时，单调递增， 当时，单调递减； 综上，在区间内单调递增，在区间内单调递减； 【小问2详解】 （i）由，得， 设， 由（1）得在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，当时，，且当时，， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根， 故的取值范围是． （ii）不妨设，则，且． 法一： 当时，结合（i）知，即； 当时，． 设 则 所以在区间内单调递增， 则，即， 所以 又在区间内单调递减， 所以，即， 又，所以， 故，所以，得证． 法二： 设，， 则， 所以在区间内单调递增，又， 所以，即． 又，所以， 又在区间内单调递减． 所以，即， 又，所以，得证． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$