精品解析：江西省赣州市大余县部分学校2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

大余县普通高中2024-2025下学期期中考试 高二数学试卷 （测试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题共60分） 一､单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 若等比数列{an}满足anan+1＝4n，则其公比（ ） A. 2 B. ±2 C. 4 D. ±4 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件可得，与相除即可得结论. 【详解】设等比数列的公比为，又等比数列{an}满足， ，且， ， . 故选：. 【点睛】本题主要考查的是等比数列的定义，考查学生对定义的理解和应用，考查的是基本量的运算，是基础题. 2. 已知等比数列前项和为，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由与的关系可求得数列的通项公式，利用对数的运算性质以及等差数列的求和公式可得出关于的方程，结合可求得的值. 【详解】当时，， 当时，也满足，所以，，解得， 所以，对任意的，，则， 故， 整理可得，因为，解得. 故选：D. 3. 在等比数列中，已知，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设可得，由此可得，故应选答案C ． （2021年湖北高一期中） 4. 已知是等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由等比数列的基本量法求出通项，再由指数幂的运算和等比数列的定义得到也为等比数列，然后利用求和公式求解即可. 【详解】由可知，所以， 所以， 所以， 是首项为2，公比为4的等比数列，所以其和为. 故选：C 5. 《张邱建算经》记载了这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里.”其意是：有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的路程是前一天的一半，连续走7天，共走了700里路.若该马按此规律继续行走7天，则它14天内所走的总路程为（ ）里. A. 950 B. 1055 C. 1164 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】由题意，设该匹马首日路程为，公比，， ， 解得， 所以. 故选：D 【点睛】本题考查了等比数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题. 6. 等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的前6项和为（ ） A. B. C. 3 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，成等比数列，列方程可求出公差，再根据等差数列的求和公式可求出结果. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列，所以， 所以， 又，所以，整理得， 因为，所以， 所以数列前6项的和为. 故选：A 7. 在等比数列中，若，则的值为（ ） A. 9 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比中项的性质及推论进行计算即可. 【详解】由等比数列性质可知， 所以可得， 又， 故选：C.． 8. 设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝4，an＋1＝2Sn－4，则S10＝（ ） A. 2×(310－1) B. 2×(310＋1) C. 2×(39＋1) D. 4×(39－1) 【答案】C 【解析】 【分析】 由得出数列的递推关系，得其为等比数列，然后由等比数列前项和公式计算可得（注意从第二项开始成等比数列）． 【详解】∵a1＝4，an＋1＝2Sn－4，① ∴a2＝2a1－4＝4， 当n≥2时，an＝2Sn－1－4，② ①－②得an＋1－an＝2an， ∴an＋1＝3an(n≥2)， ∴{an}从第2项起是公比为3的等比数列， ∴S10＝a1＋(a2＋a3＋…＋a10)＝4＋＝2×(39＋1)， 故选：C. 【点睛】本题考查由求，一般可利用得出数列的递推关系，然后再利用等差数列或等比数列通项公式求解． 二､多项选择题（共4个小题，部分选对得2分，全部选对得5分，共20分） 9. 已知数列是正项等比数列，且，则的值可能是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出的范围，即可得到所求． 【详解】∵数列是正项等比数列，，， 由， 当且仅当，即，时等号成立， 即，符合题意的有A，B，D． 故选：ABD． 10. 已知等比数列的公比为q，前4项的和为，且，，成等差数列，则q的值可能为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】AC 【解析】 【分析】根据，，成等差数列，以及数列前4项的和为，求出a3，再根据，，成等差数列，将各项化为a3和q，进而求出q. 【详解】因为，，成等差数列，所以，又因为数列前4项的和为， 所以， 而数列公比为q，再根据有，，所以或. 故选：AC. 11. 已知数列的前n项和为，且(其中a为常数)，则下列说法正确的是（ ） A. 数列一定是等比数列 B. 数列可能是等差数列 C. 数列可能是等比数列 D. 数列可能是等差数列 【答案】BD 【解析】 【分析】由和的关系求得，，分类讨论a是否为0，判断选项正误. 【详解】因为，当时，，得， 将代入，得，， 即， 当时，，不是等比数列，是等差数列，，也是等差数列； 当时，是以为首项，2为公比的等比数列，不是等比数列； 故答案为：BD. 12. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用等比数列，得数列为等差数列，用等差数列的性质得出和的大小关系 【详解】解：因为等比数列的公比为，由得，所以数列为等差数列，公差为， 由于，，则且，得，， 由 ，得，， 若，则，而，则，则，，此时 不成立，所以，所以，所以A正确； 由，，得，又因为，所以数列为递减数列，从第10项开始小于零，故前9项和最大，即可的最大值为，所以D正确， 因为，所以，所以B不正确， 因为，，所以数列各项均为正数，所以没有最大值，所以C不正确， 故选：AD 【点睛】此题考查等差数列与等比数列的性质和前项和公式的应用，属于中档题 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 三､填空题（共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 从盛满升酒精的容器里倒出升，然后再用水加满，再倒出升，再用水加满；这样倒了次，则容器中有纯酒精_________升. 【答案】 【解析】 【分析】通过分析每次剩下原来的，即逐次剩下的酒精量就构成以为首项、以为公比的等比数列，进而计算可得结论． 详解】倒了1次后，剩余纯酒精升， 倒了2次后，剩余纯酒精， 倒了3次后，剩余纯酒精， ∴每次剩下原来的， ∴逐次剩下的酒精量就构成以为首项，以为公比的等比数列， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查数列的运用，解答的关键是从实际问题中提炼出数列的关系来，注意解题方法的积累，属于中档题. 14. 已知等比数列的前n项和，且成等差数列，则的值为___________. 【答案】-2 【解析】 【分析】 根据等比数列的前n项和，利用，求得，然后再成等差数列求解. 【详解】因为等比数列的前n项和， 当时；； 当时，， 所以①， .又成等差数列， 所以，即② .由①②解得， 所以. 故答案为：-2 15. 若等差数列和等比数列满足，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题中条件求出、的值，进而求出和的值，由此可得出的值. 【详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则， 求得，，那么，故答案为. 【考点】等差数列和等比数列 【点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 16. 等差数列的前项和为，若，，且，，成等比数列，则________，________． 【答案】 ①. ②. 12 【解析】 【分析】根据条件，，求出等差数列的通项公式，再求出前项和，再根据，，成等比数列求出. 【详解】设等差数列的公差为，则由得，即，解得， 则，． 由，，成等比数列得， 即，解得． 故答案为：；12 【点睛】本题考查等差数列的概念与求和公式及等比数列的性质，根据题意确定等差数列的通项是解题的关键． 四､解答题（共6个小题，共70分） 17. 已知是公差为3的等差数列，数列满足． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求的前n项和． 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）用等差数列通项公式求；（Ⅱ）求出通项，再利用等比数列求和公式来求. 试题解析：（Ⅰ）由已知，得，所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为. （Ⅱ）由（Ⅰ）和 得，因此是首项为1，公比为的等比数列.记的前项和为，则 【考点】等差数列与等比数列 【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 18. 为数列的前n项和满足：（）. （1）设，证明是等比数列； （2）求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，相减得，即数列是以1为首项，2为公比的等比数列； （2）由（1）知，则，两式相减得，再利用累加法可得结果. 【详解】（1）证明：依题意，，，① ② ②-①得， ， ， 即数列是以1为首项，2为公比的等比数列； （2）由（1）知，则， 两式相减得， 则， 累加得 【点睛】本题考查数列与的前n项和之间的关系、等比数列的定义及累加法的应用，属于中档题. （2021年全国高一课时练习） 19. 在等比数列中， （1）已知，求和； （2）已知，求和. 【答案】（1）， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据和的关系求解即可； （2）根据题意列方程求出和，进而求解即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 当时，； 当时，， 满足上式，所以，对任意， 因此，. 【小问2详解】 设等比数列的公比为， 由，得， 解得或. 当时，； 当时，， 20. 已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）求. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式； (2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可. 【详解】(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则， 整理可得：， ， 数列的通项公式为：. (2)由于：，故： . 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础. 21. 已知数列满足. (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)证明： . 【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析. 【解析】 【详解】试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式. 试题解析：（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得. （2）由（1）知：，所以， 因为当时，，所以，于是=， 所以. 【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当时，，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路. 考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键. 22. 已知是递增的等差数列，，是方程的根. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解； （2）利用错位相减法即可得出答案. 【小问1详解】 解：因为是方程的两个根，且使递增的等差数列， 所以， 所以公差，则， 所以； 【小问2详解】 解：由（1）知， 所以①， ②， ①②得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大余县普通高中2024-2025下学期期中考试 高二数学试卷 （测试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题共60分） 一､单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 若等比数列{an}满足anan+1＝4n，则其公比为（ ） A. 2 B. ±2 C. 4 D. ±4 2. 已知等比数列的前项和为，且，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，已知，，则 A. B. C. D. （2021年湖北高一期中） 4. 已知等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 5. 《张邱建算经》记载了这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里.”其意是：有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的路程是前一天的一半，连续走7天，共走了700里路.若该马按此规律继续行走7天，则它14天内所走的总路程为（ ）里. A. 950 B. 1055 C. 1164 D. 6. 等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的前6项和为（ ） A. B. C. 3 D. 8 7. 在等比数列中，若，则的值为（ ） A. 9 B. 1 C. 2 D. 3 8. 设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝4，an＋1＝2Sn－4，则S10＝（ ） A. 2×(310－1) B. 2×(310＋1) C 2×(39＋1) D. 4×(39－1) 二､多项选择题（共4个小题，部分选对得2分，全部选对得5分，共20分） 9. 已知数列是正项等比数列，且，则的值可能是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 10. 已知等比数列的公比为q，前4项的和为，且，，成等差数列，则q的值可能为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 11. 已知数列的前n项和为，且(其中a为常数)，则下列说法正确的是（ ） A. 数列一定等比数列 B. 数列可能是等差数列 C. 数列可能是等比数列 D. 数列可能是等差数列 12. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 三､填空题（共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 从盛满升酒精的容器里倒出升，然后再用水加满，再倒出升，再用水加满；这样倒了次，则容器中有纯酒精_________升. 14. 已知等比数列的前n项和，且成等差数列，则的值为___________. 15. 若等差数列和等比数列满足，，则_______. 16. 等差数列的前项和为，若，，且，，成等比数列，则________，________． 四､解答题（共6个小题，共70分） 17. 已知是公差为3等差数列，数列满足． （Ⅰ）求通项公式； （Ⅱ）求的前n项和． 18. 为数列的前n项和满足：（）. （1）设，证明是等比数列； （2）求的值. （2021年全国高一课时练习） 19. 在等比数列中， （1）已知，求和； （2）已知，求和. 20. 已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）求. 21. 已知数列满足. (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)证明： . 22. 已知是递增的等差数列，，是方程的根. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$