精品解析：广东省深圳市建文外国语学校两学部2025届高三第一次模拟数学试题

2025年广东省深圳市建文外国语学校高三年级第一次模拟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合A，然后根据交集的结果即得. 【详解】由题可得，又，， 所以， 故选：B． 2. 已知函数，对任意实数、都满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用单调性的定义判断出函数的单调性，然后两段函数均为单调递增函数且由两段函数在交界点处的函数值的大小，列出不等式组，求解即可． 【详解】解：因为对任意实数，都满足， 所以函数在上为单调递增函数， 函数， 当时，为单调递增函数， 当时，函数也为增函数， 故，解得， 又在上为单调减函数， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 故选：B 3. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若四边形的周长为12，则椭圆的短半轴长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可得，再利用椭圆的定义即可得到结果． 【详解】 依题意，则，由椭圆对称性，得线段，互相平分于原点， 则四边形为平行四边形， 由椭圆的定义得，解得， 所以椭圆的短半轴长． 故选：A． 4. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】由特称命题的否定是存在改任意并否定原结论，即可得答案. 【详解】由特称命题的否定为全称命题， 则命题“，”的否定是，. 故选：B 5. 样本数据34，24，17，21，32，100，41，30，28，33的第50百分位数为（ ） A. 30 B. 31 C. 32 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的求法计算即可求解. 【详解】将样本数据从小到大排序得， 因为， 所以第50百分位数为. 故选：B. 6. 某地区教研机构对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了200分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这些学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在内的学生人数为（ ） A. 300 B. 400 C. 600 D. 1200 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1求出的值，进而求出结果． 【详解】由频率分布直方图可得，， 解得， 所以成绩在内的学生人数为． 故选：B． 7. 已知双曲线一条渐近线的斜率为，则的离心率为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】由离心率与渐近线斜率关系即可得. 【详解】由题可知， 则的离心率． 故选：A. 8. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点，为双曲线的右顶点，且为正三角形．设点为抛物线上的动点，点在轴上的投影为点，点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据为正三角形求出抛物线的方程，利用抛物线的定义对距离进行转化，可求出最小值. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为抛物线的准线方程为，且为正三角形， AI 可求得P点坐标为，所以 ，得， 所以抛物线方程为， 如图，由已知，轴，延长交抛物线的准线于点， 则， 当且仅当三点共线时取等号，即的最小值为5. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题是真命题的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A、B、D，解方程，即可判断C. 【详解】对于A，B，当时，，故A正确，B错误； 对于C：由，解得，所以不存在，使得，故C错误； 对于D：因为，所以，所以，，故D正确. 故选：AD 10. 已知函数的最大值为0，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意得到的图象与的图象的上方相切．分直线与相切，和直线与相切求解即可. 【详解】因为的最大值为0，所以的图象与的图象的上方相切． 第一种情况，直线与在上的图象相切， 设切点为，，所以， 解得，，又， 所以． 取，得，取，得， 第二种情况，直线与在上的图象相切， 设切点为，，所以， 解得，，又， 所以． 取，得， 故选：ABD． 11. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项. 【详解】， 对于A，由，得， 所以函数在上不具有单调性，故A错误； 对于B，由，得， 所以在上单调递减，故B正确； 对于C，由，得， 所以在上单调递减，故C正确； 对于D，由，得， 所以在上单调递减，故D错误. 故选：BC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，有3人同时参加参加径赛和田赛，有3人同时参加径赛和球类比赛，没有人同时参加三项比赛.只参加球类比赛的人数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用韦恩图求解． 【详解】设全班参加比赛的同学组成全集，参加径赛的同学组成集合，参加田赛的同学组成集合，参加球类比赛的同学组成集合， 设同时参加田赛和球类比赛的有人， 根据题意，画出韦恩图如图所示， 在相应的位置填上数字，则， 解得， 所以同时参加田赛和球类比赛的有人， 所以只参加球类比赛的人数为人， 故答案为：． 13. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由恒成立， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 已知，则在______时，取得最小值为________． 【答案】 ①. 3 ②. 6 【解析】 【分析】由条件知，可用基本不等式求其最小值. 【详解】因，，当且仅当时等号成立，即在时，取得最小值为6. 故答案为：3；6. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 若不等式的解集是， （1）求a的值； （2）求不等式的解集； （3）求不等式的解集. 【答案】（1）（2）（3）或 【解析】 【分析】（1）由已知不等式的解集得到的两个实数根为和2，利用韦达定理即可求出的值； （2）将的值代入不等式中求解即可； （3）将的值代入不等式中，解分式不等式即可. 【详解】（1）依题意可得：的两个实数根为和2， 由韦达定理得：，解得：； （2）不等式可化为， 分解因式可得， 解得， ∴所求不等式的解集为； （3）不等式，即， 等价于，解得或 即不等式的解集为或. 【点睛】本题主要考查了已知一元二次不等式的解求参数的值，解一元二次不等式和分式不等式，属于中档题. 16. 2024年全国田径冠军赛暨全国田径大奖赛总决赛于6月30日在山东省日照市落幕.四川田径队的吴艳妮以12秒74分的成绩打破了100米女子跨栏的亚洲纪录，并夺得了2024年全国田径冠军赛女子100米跨栏决赛的冠军，通过跑道侧面的高清轨道摄像机记录了该运动员时间（单位：）与位移（单位：）之间的关系，得到如下表数据： 2.8 2.9 3 3.1 3.2 24 25 29 32 34 画出散点图观察可得与之间近似为线性相关关系. （1）求出关于的线性回归方程； （2）记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求前3项残差的和. 参考数据：，参考公式：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得回归方程的系数，即可得回归方程； （2）结合题中数据和计算公式即可求得. 【小问1详解】 依题意可得 所以关于的线性回归方程为. 【小问2详解】 根据（1）得到； ； ， 所以. 17. 已知内角所对的边分别为，面积为，且，求： （1）求角A的大小； （2）求边中线长的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先使用余弦定理，再用正弦定理进行角变边即求得结果； （2）由平面向量可知，两边平方，用三角形的边及角表示并结合基本不等式得出结果. 【小问1详解】 ，由余弦定理可得，即， 由正弦定理可得， ，. ，即，又，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，的面积为， 所以，解得. 由平面向量可知，所以 ， 当且仅当时取等号， 故边中线的最小值为. 18. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，动点在直线上，且. （1）是否存在点，使得？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由； （2）当取何值时，直线与平面所成角的正弦值为； （3）求动点到直线的距离的取值范围. 【答案】（1）不存在点，使得，理由如下： 由于三棱柱是直三棱柱，且，故两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，则 由，可设，则, 故, 所以不存在点，使得. （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出的坐标， 计算并验证其是否为0； （2）求出平面的一个法向量，利用向量法由直线PN与平面所成角的正弦值求出参数的值； （3）利用点到直线的距离的空间向量计算公式得到关于参数的函数，求函数的值域即可. 【小问1详解】 不存在点，使得,理由略； 【小问2详解】 设平面的一个法向量为，则， 因为，所以，即， 令，则，所以，                     设直线与平面所成角为， 则， 解得或. 当时，，，此时； 当时，，，此时. 所以当或时直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设点到直线的距离为，由（1）知，， ，， ， 则. ∴. 19. 已知函数. （1）求的最小值； （2）记为的导函数，设函数有且只有一个零点，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）求导，分析导函数正负，结合极值和单调性分析即得解； （2）求导，分，，分析单调性，结合极值点，边界情况，分析即得解. 【小问1详解】 由题得， ∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以是的极小值点； 又当时，，当时，，当时，， 所以只能在内取得最小值，因为是在（0，）内的极小值点，也是最小值点， 所以． 【小问2详解】 由题可得（）， ∴ ①当时，，函数在上单调递增， 又∵， ∴函数有且仅有1个零点，∴符合题意； ②当时，令，，函数在上单调递增， 因为， ∴存在唯一的实数，使得，即， 当时，，单调递减；时，，单调递增； 又∵时，，时，，且， ∴当函数有且仅有1个零点时，， ∴符合题意 综上可知，的取值范围是或. 【点睛】利用导数研究零点问题： （1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象； （2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题； （3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省深圳市建文外国语学校高三年级第一次模拟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，对任意实数、都满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若四边形的周长为12，则椭圆的短半轴长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 5. 样本数据34，24，17，21，32，100，41，30，28，33的第50百分位数为（ ） A. 30 B. 31 C. 32 D. 36 6. 某地区教研机构对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了200分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这些学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在内的学生人数为（ ） A. 300 B. 400 C. 600 D. 1200 7. 已知双曲线一条渐近线的斜率为，则的离心率为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 8. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点，为双曲线的右顶点，且为正三角形．设点为抛物线上的动点，点在轴上的投影为点，点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题是真命题的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知函数的最大值为0，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，有3人同时参加参加径赛和田赛，有3人同时参加径赛和球类比赛，没有人同时参加三项比赛.只参加球类比赛的人数为__________. 13. 不等式的解集为______. 14. 已知，则在______时，取得最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 若不等式的解集是， （1）求a的值； （2）求不等式的解集； （3）求不等式的解集. 16. 2024年全国田径冠军赛暨全国田径大奖赛总决赛于6月30日在山东省日照市落幕.四川田径队的吴艳妮以12秒74分的成绩打破了100米女子跨栏的亚洲纪录，并夺得了2024年全国田径冠军赛女子100米跨栏决赛的冠军，通过跑道侧面的高清轨道摄像机记录了该运动员时间（单位：）与位移（单位：）之间的关系，得到如下表数据： 2.8 2.9 3 3.1 3.2 24 25 29 32 34 画出散点图观察可得与之间近似为线性相关关系. （1）求出关于的线性回归方程； （2）记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求前3项残差的和. 参考数据：，参考公式：. 17. 已知内角所对的边分别为，面积为，且，求： （1）求角A的大小； （2）求边中线长的最小值. 18. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，动点在直线上，且. （1）是否存在点，使得？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由； （2）当取何值时，直线与平面所成角的正弦值为； （3）求动点到直线的距离的取值范围. 19. 已知函数. （1）求的最小值； （2）记为的导函数，设函数有且只有一个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $