精品解析：辽宁省沈阳市第一二六中学2024—2025学年七年级下学期4月月考数学试卷

沈阳市第一二六中学教育集团2024—2025学年度 （下）4月限时作业 七年级数学学科 考试时间：120 分钟 满分：120分 一．选择题 （本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 3. 熔喷布以丙烯为主要原料，其纤维直径大约有头发丝三十分之一某医用外科口罩的熔喷布厚度约为米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如果a＝（﹣0.1）0，b＝（﹣0.1）﹣1，c＝（﹣）﹣2，那么a，b，c的大小关系为（　　） A. a＜b＜c B. b＜a＜c C. c＜a＜b D. b＜c＜a 5. 已知，，则（ ） A. 13 B. 19 C. 26 D. 31 6. 已知一个角的余角等于这个角的2倍，则这个角的度数是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 7. 下列命题中，不正确的是（　　） A. 两条直线相交形成的对顶角一定相等 B. 两条平行线被第三条直线所截，同位角一定相等 C. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 8. 如图，直线c与直线a，b相交，若， 则等于（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 若，，则______． 12. 如果，则b的值是______． 13. 如图一副三角板和三角板中（，，，），若，则能用图中字母表示出的角中互余的角有_______对． 14. 如图，图①是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③，则图③中的的度数是_________． 15. 如图，直线，直线与直线AB、CD相交于点E、F，P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将沿PF折叠，使顶点E落在点处，若，．则的度数为_________． 三．解答题 （本题共8小题，共75分） 16. 计算 （1） （2）（用乘法公式运算） 17. 计算： （1） （2） 18 计算 （1） （2） 19. 化简求值：，其中 20. 读懂下面的推理过程，并填空 （理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出几何图形，其中，点E，M，F在同一直线上，点G，H，N在同一条直线上，且，．求证： 证明：如图2，延长交于点 P． ∵（已知） ∴ （ ） 又∵（ 已知 ）， ∴ （等量代换）． ∴ （ ）． ∴ （两直线平行，同旁内角互补）． 又∵ （已知） ∴（ ） ∴（ 同角的补角相等）． 21. 阅读下列材料，解决相应问题： “友好数对” 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原 两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积 相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”例如，所以 和与和都是“友好数对”． （1）36和84______“友好数对”．（填“是”或“不是”） （2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，则，，，之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整． 解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为__________和____________． 因为它们是友好数对，所以______________________． 并试求，，，的等量关系． （3）若有一个两位数，十位数字为，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数． 22. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片（其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是边长分别为a、b的长方形），并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）观察图 2， 请你写出下列三个代数式：之间等量关系：为 ； （2）若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片 张，B 号卡片 张，C号卡片 张； （3）解答问题：若则的值为 ； （4）根据（1）中得出的等量关系，解决如下问题，已知求 的值； （5）两个正方形，如图3 摆放，边长分别为x，y．若则图中阴影部分面积的和为 ． 23. 如图，，点 A 是直线上一点，P 是直线与直线之间一点，连接． （1）求证： ； （2）如图2，过点A作，点E在直线上，，求证：； （3）如图3，过点C作平分，过点C作交的角平分线于点E，过点P作交CM于点F，若，则（用含的代数式表示） （4）在（3）条件下，若，Q是直线上一点，请直接写出和的数量关系 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市第一二六中学教育集团2024—2025学年度 （下）4月限时作业 七年级数学学科 考试时间：120 分钟 满分：120分 一．选择题 （本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：、与不是同类项，故不符合题意． 、原式，故符合题意． 、原式，故不符合题意． 、原式，故不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型． 2. 下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题关键：． 根据平方差公式的形式求解即可． 【详解】解：A、不可以用平方差公式计算，不符合题意； B、，可以用平方差公式计算，符合题意； C、不可以用平方差公式计算，不符合题意； D、不可以用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B． 3. 熔喷布以丙烯为主要原料，其纤维直径大约有头发丝的三十分之一某医用外科口罩的熔喷布厚度约为米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法，进行表示即可． 【详解】解：； 故选C． 【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法：，是解题的关键． 4. 如果a＝（﹣0.1）0，b＝（﹣0.1）﹣1，c＝（﹣）﹣2，那么a，b，c的大小关系为（　　） A. a＜b＜c B. b＜a＜c C. c＜a＜b D. b＜c＜a 【答案】D 【解析】 【分析】根据零指数幂：a0＝1（a≠0），负整数指数幂：（a≠0，p为正整数）进行计算，再比较即可． 【详解】解：a＝（﹣0.1）0＝1， b＝（﹣0.1）﹣1＝﹣10， c＝， ∵﹣10＜＜1， ∴b＜c＜a， 故选D． 【点睛】此题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，关键是掌握计算公式． 5. 已知，，则（ ） A. 13 B. 19 C. 26 D. 31 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式计算，将式子变形为，整体代入计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 6. 已知一个角的余角等于这个角的2倍，则这个角的度数是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据余角的定义，设这个角为x°，则它的余角为（90°−x），再根据题中给出的等量关系列方程即可求解． 【详解】解：设这个角的度数为x°，则它的余角为（90−x）°， 依题意，得90°−x＝2x， 解得x＝30， 故选：A． 【点睛】此题考查了余角的定义，解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的余角列出方程求解． 7. 下列命题中，不正确的是（　　） A. 两条直线相交形成的对顶角一定相等 B. 两条平行线被第三条直线所截，同位角一定相等 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，根据对顶角的概念、平行线的性质、平行公理、垂直的定义判断． 【详解】解：A、两条直线相交形成的对顶角一定相等，命题正确，不符合题意； B、两条平行线被第三条直线所截，同位角一定相等，命题正确，不符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题不正确，符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，命题正确，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，直线c与直线a，b相交，若， 则等于（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，对顶角，根据对顶角相等，得到，当时，两直线平行，同位角相等，得到，当与不平行时无法求出的度数，进行判断即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 当时，； 当与不平行时，无法求出的度数； 故选D． 9. 将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何图中角度计算、平行线的判定，由即可判断①；由即可判断②；求出即可判断③；求出即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 如果，则，故，故③正确； 如果，则，故，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 10. 如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二．填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 若，，则______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 根据同底数幂相乘，底数不变指数相加即可求解． 【详解】解：， 故答案为：30. 12. 如果，则b的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值．熟练掌握多项式乘多项式法则，正确进行计算，是解题的关键．利用多项式乘多项式法则进行计算，求出的值即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ∴； 故答案为：． 13. 如图一副三角板和三角板中（，，，），若，则能用图中字母表示出的角中互余的角有_______对． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查三角板中角度的计算，与余角有关的计算，根据和为90度的两个角互为余角，进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ，； 综上：能用图中字母表示出的角中互余的角有11对； 故答案：11 14. 如图，图①是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③，则图③中的的度数是_________． 【答案】##102度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． 由四边形为长方形，利用平行线的性质可得出和，再结合及，即可求出． 【详解】解：图①中∵四边形为长方形，， ∴， ∴， ∴， ∴图②中， ∴图③中， 故答案为：． 15. 如图，直线，直线与直线AB、CD相交于点E、F，P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将沿PF折叠，使顶点E落在点处，若，．则的度数为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及翻折问题的综合应用，正确的作出图形，运用分类思想是解题的关键．当点Q在平行线之间时，设，由折叠可得根据平行线的性质即可得到结论；当点Q在的下方时，设，由得，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：分两种情况： 如图，当点Q在平行线之间时， 设，由折叠可得， ， ， ， ， ， ， ； 如图，当点Q在的下方时， 设，由得，， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数是或． 故答案为：或． 三．解答题 （本题共8小题，共75分） 16. 计算 （1） （2）（用乘法公式运算） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了乘法公式，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可得到答案； （2）把原式变形为，再利用乘法公式去括号求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式与单项式的乘除法计算，乘法公式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算单项式与单项式的乘除法，最后合并同类项即可得到答案． （2）把原式变形为，再利用乘法公式求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的混合计算，完全平方公式和多项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先把原式变形为，进一步变形，据此求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 化简求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式去中括号内的小括号，然后合并同类项，接着根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 读懂下面的推理过程，并填空 （理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点E，M，F在同一直线上，点G，H，N在同一条直线上，且，．求证： 证明：如图2，延长交于点 P． ∵（已知） ∴ （ ） 又∵（ 已知 ）， ∴ （等量代换）． ∴ （ ）． ∴ （两直线平行，同旁内角互补）． 又∵ （已知） ∴（ ） ∴（ 同角的补角相等）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质和判定方法，等量代换，进行作答即可． 【详解】证明：如图2，延长交于点 P． ∵（已知） ∴ （两直线平行，内错角相等） 又∵（ 已知 ）， ∴（等量代换）． ∴ （同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵（已知） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∴（ 同角的补角相等）． 21. 阅读下列材料，解决相应问题： “友好数对” 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原 两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积 相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”例如，所以 和与和都是“友好数对”． （1）36和84______“友好数对”．（填“是”或“不是”） （2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，则，，，之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整． 解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为__________和____________． 因为它们是友好数对，所以______________________． 并试求，，，的等量关系． （3）若有一个两位数，十位数字为，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数． 【答案】（1）是 （2），，， （3）31和39 【解析】 【分析】（1）计算和，根据定义判断； （2）利用“十位数字个位数字”表达出交换后的两位数，结合友好数对的定义列出等量关系，并化简； （3）根据（2）得，解方程得到，写出两个两位数． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴36和84是友好数对． 【小问2详解】 解：，，， ∵这两个数是友好数对， ∴， 化简得：． 【小问3详解】 解：由（2）得：， 解得：， ∴两个两位数为：31和39． 【点睛】本题考查了新定义，对于数的表示、整式的运算——多项式乘多项式、解一元一次方程，理解新定义列出方程是关键． 22. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片（其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是边长分别为a、b的长方形），并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）观察图 2， 请你写出下列三个代数式：之间的等量关系：为 ； （2）若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片 张，B 号卡片 张，C号卡片 张； （3）解答问题：若则的值为 ； （4）根据（1）中得出的等量关系，解决如下问题，已知求 的值； （5）两个正方形，如图3 摆放，边长分别为x，y．若则图中阴影部分面积的和为 ． 【答案】（1） （2）； （3） （4）； （5）． 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式的几何背景及其应用，理解题意，看懂图形，会利用不同方法表示面积，并灵活运用所得结论是解答的关键． （1）用两种方法表示出大正方形的面积， 即可得出三者的关系； （2）计算 ，再根据三个纸片的面积可求解； （3）根据计算求解即可。 （4）设则利用等量关系即可求解； （5）根据图形得到利用完全平方公式分别求得和即可求解． 【小问1详解】 解：由图2知，大正方形的面积为，又可以为 故答案为：； 【小问2详解】 解： ∵A种纸片的面积为B种纸片的面积为C种纸片的面积为， ∴需A种纸片2张，B种纸片3张，C种纸片7张， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵ ∴， ∴； 【小问4详解】 解：设 则， ∴ ∴， ∴； 【小问5详解】 解：由题意和图形知，则， ∴ ∵， ∴ 或(舍去) ， 阴影部分的面积和为： ， 故答案为：． 23. 如图，，点 A 是直线上一点，P 是直线与直线之间一点，连接． （1）求证： ； （2）如图2，过点A作，点E在直线上，，求证：； （3）如图3，过点C作平分，过点C作交的角平分线于点E，过点P作交CM于点F，若，则（用含的代数式表示） （4）在（3）条件下，若，Q是直线上一点，请直接写出和的数量关系 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）过作，根据两直线平行，内错角相等，即可得出，，进而得到结论； （2）延长交于点，平行线的性质，推出，角的和差关系推出，进而得到，结合（1）中结论，即可得证； （3）根据两直线平行，同旁内角互补，可得出，由角平分线的定义得，利用三角形的内角和定理和（1）的结论即可得出答案； （4）根据四边形的内角和以及垂直的定义得，利用（1），（2）的结论和，三角形外角的性质分两种情况考虑，即可求解． 【小问1详解】 解：证明：过作，如图： ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：； 由（1）知：， ∴； 【小问3详解】 ． 理由：， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ， 即， 由（1）得，， ； 【小问4详解】 ，， ， ， ， 即， ， ， ， ，即， ，， ，， ①若在右侧时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②若在左侧，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 和的数量关系是或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，多边形内角和，掌握三角形外角性质的运用，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $