秘籍02 曲线运动--2025年高考物理冲刺抢押秘籍（北京专用）

秘籍02 曲线运动 【高考考情】 考点 考察年份 考察题型 难度 平抛运动 2024 解答题 简单 目 录 【题型1】曲线运动 2 【题型2】运动的合成与分解 5 2.1 轨迹判断 5 2.2 运动的合成 5 2.3 船过河问题 8 2.4 关联速度 10 【题型3】抛体运动 12 3.1 平抛运动 12 3.2 平抛运动的推论 15 3.3 斜抛运动 20 【题型4】圆周运动向心力 22 【题型5】竖直平面内的圆周运动 25 ：曲线运动，是高中物理主要研究的两大运动之一，北京卷高考真题，常以平抛运动、圆周运动为载体，配以简单的多过程运动，与力学三大观点结合考察。 ：根据高考物理命题的趋势，曲线运动需要考生对运动的合成与分解、抛体运动的规律特点、向心力的判断和计算、竖直平面内的圆周运动临界问题等，熟练掌握，并且会根据运动过程构建模型，计算结果。 【题型1】曲线运动 物体所受合力方向（加速度方向）与速度方向共线，物体做直线运动。 物体所受合力方向（加速度方向）与速度方向不共线，物体做曲线运动，且合力方向（加速度方向）偏轨迹凹侧。v 曲线运动中，质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。 综上：同一位置，轨迹线介于速度方向与合力（加速度）方向之间。 曲线运动中，由于速度方向时刻在改变。所以曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，但加速度不一定变化（如平抛运动）。 F（a）恒定，物体做匀变速直线（曲线）运动 F（a）变化，物体做非匀变速直线（曲线）运动 合力方向与速度方向的夹角与速度大小的增减关系： 当F方向与v方向的夹角为锐角时，F的切向分力，方向与v方向相同，因此v的大小增加； 同理：二者夹角为钝角时，v大小减小； 二者夹角为直角时，F在切向无分力，v大小不变。 曲线运动一定是变速运动，因为运动过程中速度方向时刻变化。但速度大小可以不变，如匀速圆周运动； 做曲线运动的物体，合外力（加速度）一定不为0，因为物体合外力（加速度）为0，物体处于平衡状态：静止或做匀速直线运动； 做曲线运动的物体，合外力可以是恒力（即力的大小方向均不变），如抛体运动。 【例1】某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是（　　）    A．  B．C．   D．   【答案】A 【详解】篮球做曲线运动，所受合力指向运动轨迹的凹侧。 故选A。 【变式1】如图所示，歼-20沿曲线MN向上爬升，图中画出表示歼-20在P点速度的四种方向，其中可能正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【详解】歼-20从M点运动到N点，做曲线运动，在P点速度方向为该点切线方向，即③。 故选C。 【例2】（多选）如图所示，质量为m的物体在四个共点力的作用下做匀速直线运动，速度方向与力F1、F3的方向恰好在同一直线上，说法正确的是（　　） A．若只撤去F1，物体做匀加速直线运动 B．若只撤去F3，物体做匀加速直线运动 C．若只撤去F2，物体做匀变速曲线运动 D．若只撤去F4，物体做非匀变速曲线运动 【答案】AC 【解析】若只撤去F1，合力方向与速度v同向，则物体做匀加速直线运动；若只撤去F3，合力方向与速度v反向，物体做匀减速直线运动，A正确，B错误；若只撤去F2或F4，合力方向与速度方向不在同一直线上，且合力为恒力，则物体做匀变速曲线运动，C正确，D错误。 【变式2】如图所示，一物体仅在三个共点恒力、、的作用下以速度水平向右做匀速直线运动，其中斜向右上方，竖直向下，水平向左。某时刻撤去其中的一个力，其他力的大小和方向不变，则下列说法正确的是（　　） A．如果撤去的是，则物体做匀变速曲线运动 B．如果撤去的是，则物体做加速度变化的曲线运动 C．如果撤去的是，则物体做曲线运动，且加速度的方向不断改变 D．如果撤去的是，物体将向右做匀减速直线运动 【答案】A 【解析】物体在三个共点恒力、、的作用下以速度水平向右做匀速直线运动，说明物体受力平衡，如果撤去，则、的合力与等大反向，此时的合力方向与速度方向不在一条直线上，物体做曲线运动，加速度不变，故A正确，B错误；由受力分析可知，撤去后，物体做曲线运动，加速度方向竖直向上，故C错误；撤去后，合力方向水平向右，合力方向与速度方向相同，所以物体将向右做匀加速直线运动，故D错误。 【题型2】运动的合成与分解 （1）合运动曲、直判断：找到加速度(合力)与速度方向 （2）是否为匀变速运动的判断：判断加速度(或合力) 2.1 轨迹判断 【例1】达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，在时间内水平方向增加量，竖直方向做在自由落体运动，在时间增加；说明水平方向位移增加量与竖直方向位移增加量比值一定，则连线的倾角就是一定的。 故选D。 【变式1】如图所示，在一张白纸上，用手平推直尺沿纵向匀速移动，同时让铅笔尖靠着直尺沿横向匀加速移动，则笔尖画出的轨迹应为(　　) 【答案】C 【解析】笔尖沿水平方向做匀加速直线运动，在竖直方向做匀速直线运动，结合合力指向曲线运动轨迹的内侧可知C正确 2.2 运动的合成 【例2】如图，在灭火抢险的过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业。为了节省救援时间，在消防车向前前进的过程中，人同时相对梯子匀速向上运动。在地面上看消防队员的运动，下列说法中正确的是（　　） A．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀加速直线运动 B．当消防车匀速前进时，消防队员一定处于静止状态 C．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动 D．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速直线运动 【答案】C 【解析】消防车匀速前进时，根据运动的合成，可知，消防员一定做匀速直线运动，故AB错误；当消防车匀加速前进时，根据运动的合成，可知，合速度方向和合加速度方向不在一条直线上，其合加速度就是消防车前进的加速度，大小方向都不变，则消防队员一定做匀变速曲线运动，故D错误C正确。 【变式2】路灯维修车如图所示，车上带有竖直自动升降梯．若车匀加速向左沿直线运动的同时梯子匀加速上升，则关于站在梯子上的工人的描述正确的是 A．工人相对地面的运动轨迹一定是曲线 B．工人相对地面的运动轨迹一定是直线 C．工人相对地面的运动轨迹可能是直线，也可能是曲线 D．工人受到的合力可能是恒力，也可能是变力 【答案】C 【解析】由于车和梯子运动的初速度均未知，合初速度的方向与合加速度的方向可能共线也可能不共线，工人相对地面的运动轨迹可能是直线，也可能是曲线，选项A、B错误，C正确； 工人在水平方向和竖直方向都做匀变速运动，故其受到的合力是恒力，选项D错误 【例3】某长跑选手正在以的速度向南奔跑，感受到的东风，此时实际的风速是（    ） A．大小为    方向为西偏南 B．大小为    方向为东偏北 C．大小为    方向为西偏南 D．大小为    方向为东偏南 【答案】A 【详解】某长跑选手正在以3m/s的速度向南奔跑，感受到东风，则选手向南运动的速度和风向南的分速度相同，则风速；；根据平行四边形定则 即风速偏向西南，大小为，设方向为西偏南则；所以； 故选A。 【变式3】某人骑车向正东方向行驶，看到插在车上的小旗向正南方向飘动，假设风速保持不变，骑车人沿正南方向行驶时，小旗的飘动方向不可能的是（   ） A．正东方向 B．正北方向 C．东偏南方向 D．东偏北方向 【答案】B 【详解】由“某人骑车向正东方向行驶，看到插在车上的小旗向正南方向飘动”，说明风向为东南方向；骑车人沿正南方向行驶时，由于风向为东南，则小旗的方向一定会向东，如果偏南的风速与车的速度相同，则小旗飘向正东方向；若偏南的风速小于车的速度，则小旗将飘向东偏北方向；若偏南的风速大于车的速度，则小旗将东偏南的方向。故无论风速如何小旗不可能飘向正北方向。 故选B。 【例4】有一个质量为4 kg的质点在xOy平面内运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象分别如图甲、乙所示．下列说法正确的是（　　） A．质点做匀变速直线运动 B．质点所受的合外力为22 N C．2 s时质点的速度为6 m/s D．零时刻质点的速度为5 m/s 【答案】D 【解析】由图可知质点在x轴方向上做匀加速直线运动，在y轴方向做匀速直线运动，合力的方向沿x轴方向。在x轴方向上的初速度为3 m/s，在y轴方向上的速度为4 m/s，则初速度初速度方向不沿x轴方向，所以质点做匀变速曲线运动，故A错误，D正确；B．质点在x轴方向上的加速度为y轴方向上的加速度为零，则合加速度为a＝1.5 m/s2所以合力为故B错误；C．2 s末在x轴方向上的速度为vx＝6 m/s在y轴方向上的速度为vy＝4 m/s则合速度故C错误。 【变式4】一小型无人机在高空中飞行，将其运动沿水平方向和竖直方向分解，水平位移x随时间t变化的图像如图甲所示，竖直方向的速度vy随时间t变化的图像如图乙所示。关于无人机的运动，下列说法正确的是（　　） A．0~2s内做匀加速直线运动 B．t=2s时速度大小为m/s C．2s~4s内加速度大小为1m/s2 D．0~4s内位移大小为10m 【答案】B 【详解】A．0~2s内，由图甲知，水平方向做匀速直线运动，由图乙知，竖直方向做匀加速直线运动，则0~2s内做匀加速曲线运动，故A错误； B．水平方向速度大小为，t=2s时竖直方向速度大小为则t=2s时速度大小为故B正确； C．2s~4s内水平方向、竖直方向均做匀速直线运动，加速度大小为0，故C错误； D．0~4s内水平方向位移大小为竖直方向位移大小为则位移大小为故D错误。故选B。 2.3 船过河问题 图示 说明 当船头垂直河岸时，渡河时间最短。 最短时间=； 渡河位移： t； 船到达河正对岸下游处。 当时： 满足，渡河位移最短； 渡河时间：= 。 当时： 满足，渡河位移最短； 渡河位移：； 渡河时间：= 。 【例5】（多选）如图甲、乙所示，河的宽度为d，船在静水中的速率为v1，水流速为v2，现以甲、乙两种方式渡河，则下列说法正确的是（　　） A．甲比乙渡河时间长 B．渡河最短时间为 C．若，则不能到达正对岸 D．若，如图乙，则渡河时间为 【答案】BC 【解析】船在静水中的速度与河岸垂直时渡河时间最短，由图示可知，甲的渡河时间最短，为图乙中，由题图知，乙渡河时间为显然故AD错误，B正确；若，则船的合速度不可能垂直对岸，则船不可能垂直过河，船不能到达正对岸，故C正确。 【变式5】甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为，船在静水中的速率均为，甲、乙两船船头均与河岸成角，如图所示。已知甲船恰能垂直河岸到达河正对岸的点，乙船到达河对岸的点，之间的距离为，下列判断正确的是（   ） A．乙船先到达对岸 B．若仅是河水流速增大，两船的渡河时间都不变 C．不论河水流速如何改变，只要适当改变角，甲船总能到达正对岸的点 D．若仅是河水流速增大，两船到达对岸时，两船之间的距离大于 【答案】B 【详解】A．将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，由分运动和合运动具有等时性，知甲、乙两船到达对岸的时间相等，即渡河的时间为；故A错误； B．水流速度不影响船渡河时间，若仅是河水流速增大，则两船的渡河时间都不变，故B正确； C．河水流速大于甲船速度时，无论怎么改变角，甲船都不能到达河的正对岸点，故C错误； D．若仅是河水流速增大，则两船到达对岸时间不变，根据速度的分解，船在水平方向相对于静水的分速度仍不变，则两船之间的距离仍然为，故D错误。 故选B。 2.4 关联速度 关联速度模型：指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物问题。绳或杆的长度不改变前提。绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的分速度大小相等。 　　乙 甲 丁 丙 【例6】如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，下列关于物体A的情况的说法，正确的是（　　） A．A的速度大于小车的速度 B．A的速度等于小车的速度 C．拉力先大于重力，后变为小于重力 D．绳的拉力大于A的重力 【答案】D 【解析】小车沿绳子方向的分速度等于A的速度，如图所示 设绳子与水平方向的夹角为θ，根据平行四边形定则，物体A的速度A的速度小于小车的速度，AB错误； 小车匀速向右运动时，θ减小，则A的速度增大，所以A加速上升，加速度方向向上，根据牛顿第二定律有可知绳的拉力大于A的重力，C错误D正确。 故选D。 【变式6】均匀直杆上连着两个小球，不计一切摩擦。当直杆滑到如图所示位置时，球水平速度为，球竖直向下的速度为，直杆与竖直方向的夹角为，下列关于两球速度关系的式子正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】B球沿水平方向的运动可分解为沿直杆和垂直于直杆两个方向的分运动，同理球竖直向下的运动也可分解为沿直杆和垂直于直杆两个方向的分运动，直杆不可伸缩，故球沿直杆方向的分速度与球沿直杆方向的分速度相等，即化简得 故选B。 【题型3】抛体运动 3.1 平抛运动：初速度沿水平方向的抛体运动 特点：（1）初速度沿水平方向；（2）只受重力作用 性质：参与了水平方向上的匀速直线运动，和竖直方向上的自由落体两个分运动。合初速度方向斜向下，合加速度方向为重力加速度，竖直向下。二者不共线因此做加速度为g的匀变速曲线运动，且向下（加速度向）弯曲。 如图，将物体以初速度水平抛出，t时刻（运动至A）的速度： 水平方向：；竖直方向：； 合速度；方向(是与水平方向的夹角)。 位移：水平方向：；竖直方向：； 合位移：；方向：(是与水平方向的夹角)。 【真题回顾】．（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： （1）水从管口到水面的运动时间t； （2）水从管口排出时的速度大小； （3）管口单位时间内流出水的体积Q。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向 解得水从管口到水面的运动时间 （2）由平抛运动规律得，水平方向 解得水从管口排出时的速度大小 （3）管口单位时间内流出水的体积 【变式1】在跨越河流表演中，一人骑车以25m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越长的河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25m，不计空气阻力，取，则两平台的高度差h为（　　） A．0.5m B．5m C．10m D．20m 【答案】B 【详解】车做平抛运动，设运动时间为，竖直方向；水平方向；其中、 解得 故选B。 【例2】（多选）将小球从如图所示的阶梯状平台上以一定的水平初速度v0水平抛出，所有台阶的高度和宽度均为1.0 m，取g＝10 m/s2，要使小球抛出后落到第三级台阶上，则v0可能为(　　) A．2 m/s B．3.5 m/s C．4 m/s D．2 m/s 【答案】　AB 【解析】　小球抛出后越过第二台阶，根据平抛运动的特点水平方向做匀速运动，竖直方向做自由落体运动可知h2＝2L＝gt，x2＝v0t2＞2L；小球抛出后不会越过第三台阶，有h3＝3L＝gt，x3＝v0t3≤3L，解得 m/s＜v0≤ m/s，故选项A、B正确。 【变式2】如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以v的速度水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2.则v的取值范围是(　　) A．v>7 m/s B．v<2.3 m/s C．3 m/s<v<7 m/s D．2.3 m/s<v<3 m/s 【答案】 C　 【解析】小物件做平抛运动，可根据平抛运动规律解题．若小物件恰好经过窗子上沿，则有h＝gt，L＝v1t1，得v1＝7 m/s；若小物件恰好经过窗子下沿，则有h＋H＝gt，L＋d＝v2t2，得v2＝3 m/s，所以3 m/s<v<7 m/s，故只有C项正确 3.2 平抛运动的推论 (1)平抛运动中的某一时刻，速度与水平方向夹角为θ，位移与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α (2)做平抛运动的物体，任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点 顺着斜面平抛斜面倾斜角是“位移”偏向角 (1)落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下(如图) 分解位移：x＝v0t；y＝gt2；tan θ＝；可求得t＝ (2)物体离斜面距离最大，已知速度方向沿斜面向下(如图) 处理方法：分解速度vx＝v0，vy＝gt；tan θ＝；t＝ 【例1】高山滑雪项目是从高山上向山下以滑雪板、滑雪鞋、固定器和滑雪杖为主要用具的竞技运动．如图为某次训练中，运动员(可视为质点)从水平平台上以20 m/s的速度冲向倾角为45°的倾斜雪道面，落点仍在该斜面上，忽略空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，则运动员距雪道面的最远距离约为(　　) A．5.1 m B．10.2 m C．14.1 m D．21.1 m 【答案】　C 【解析】　把运动员的初速度分解为沿斜面方向和垂直于斜面方向，垂直于斜面方向的分速度vy＝v，同理将加速度也分解为沿斜面和垂直于斜面方向，其中垂直于斜面方向的加速度gy＝g，当沿垂直斜面方向的分速度为零时，运动员距离斜面最远，则有y＝≈14.1 m，故选C. 【变式1】如图所示，两个高度相同的斜面，倾角分别为30°和60°，小球A、B分别由斜面顶端以相同大小的水平速度v0抛出，若两球均落在斜面上，不计空气阻力，则A、B两球平抛运动过程(　　) A．飞行的时间之比为1∶3 B．水平位移大小之比为1∶9 C．竖直下落高度之比为1∶3 D．落至斜面时速度大小之比为1∶3 【答案】A 【解析】对于A球，tan 30°＝＝，解得tA＝，对于B球，tan 60°＝＝，解得tB＝，所以＝＝，由x＝v0t可知水平位移大小之比为1∶3，由y＝gt2，可知竖直下落高度之比为1∶9，故A正确，B、C错误； 落在斜面上的竖直分速度vyA＝gtA＝2v0tan 30°，vyB＝gtB＝2v0tan 60°，vA2＝vyA2＋v02，vB2＝vyB2＋v02，则落至斜面时vA＝v0，vB＝v0，速度大小之比为∶，故D错误． 顺着斜面（圆弧）平抛斜面倾斜角是“速度”偏向角 从斜面外恰好与斜面平行的方向落到斜面(如图)： 合速度与水平速度的夹角等于斜面倾角，常用速度关系tan θ＝＝. 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度tan θ＝＝ 【例2】如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道．已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为(　　) A. B. C. D. 【答案】　A 【解析】　由小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道可知，小球在B点时的速度方向与水平方向的夹角为α.由tan α＝，x＝v0t，联立解得A、B之间的水平距离为x＝，选项A正确． 【变式2】如图所示，P是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B点以某速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨迹的左端A点沿圆弧切线方向进入轨道，O是圆弧的圆心，θ1是OA与竖直方向的夹角，θ2是BA与竖直方向的夹角，则(　　) A.＝2 B.＝2 C.tan θ1tan θ2＝2 D.＝2 【答案】　C 【解析】　做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动.由题知，速度方向与水平方向的夹角为θ1，则tan θ1＝＝，位移方向与竖直方向的夹角为θ2，则tan θ2＝＝＝，所以tan θ1tan θ2＝2，所以选C. 对着斜面平抛“垂直”打在斜面上斜面倾斜角为“速度”偏向角的余角 对着斜面平抛 垂直撞在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下(如图) 处理方法：分解速度：vx＝v0；vy＝gt；tan θ＝＝；可求得t＝. 【例3】（多选）如图所示，倾角为30°的斜面体固定在水平地面上，斜面底端正上方某高度处有一小球以水平速度v0抛出，恰好垂直打在斜面上，已知重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　) A.小球从抛出到落在斜面上的运动时间为 B.小球从抛出到落在斜面上的运动时间为 C.小球抛出时距斜面底端的高度为 D.小球抛出时距斜面底端的高度为 【答案】　AD 【解析】　设小球恰好垂直打到斜面上的时间为t，根据几何关系可得tan 60°＝＝；解得t＝，故A正确，B错误； 小球垂直打到斜面上，根据平抛运动规律，则有x＝v0t，y＝gt2；小球落在斜面上，根据几何关系得tan 30°＝；将t＝代入，联立解得h＝，故C错误，D正确。 【变式3】如图，倾角为θ的斜面体ABC固定在水平地面上，在A点正上方的P点，以速度v0水平抛出一个小球，小球落在斜面上的Q点(图中未画出)，且落到斜面上时速度方向与斜面垂直，重力加速度为g，不计空气阻力，则Q点离地面的高度为(　　) A.sin θ B.cos θ C.tan θ D. 【答案】　D 【解析】　当小球落到斜面上时，设竖直方向的分速度为vy，则有vy＝，又vy＝gt，x＝v0t，联立解得x＝，则Q点离地面的高度h＝xtan θ＝，故选D. 对着斜面平抛“最小位移”打在斜面上斜面倾斜角为“位移”偏向角的余角 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面 分解位移tan θ＝＝＝ 【例4】(多选)如图所示，将一个小球以速度v水平抛出，要使小球从抛出到打到斜面上的位移与斜面垂直，斜面与水平方向的夹角为α。下列说法正确的是(　　) A.若保持水平速度v不变，斜面与水平方向的夹角α越大，小球的飞行时间越短 B.若保持水平速度v不变，斜面与水平方向的夹角α越小，小球的飞行时间越短 C.若保持斜面倾角α不变，水平速度v越大，小球的飞行时间越短 D.若保持斜面倾角α不变，水平速度v越小，小球的飞行时间越短 【答案】　AD 【解析】　小球水平抛出后只在重力作用下做平抛运动，可将平抛运动分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。若保持水平速度v不变，斜面与水平方向的夹角α 越大，小球的竖直位移越小，所以飞行时间越短，故A正确，B错误；满足题设条件的情况下，若保持斜面倾角α不变，则为定值，水平速度v越大，小球的飞行时间越长，故C错误，D正确。 【变式4】（多选）如图所示，一小球从某固定位置以一定初速度水平抛出，已知当抛出速度为v0时，小球落到一倾角为θ＝60°的斜面上，且球发生的位移最小，不计空气阻力，则(　　) A.小球从抛出到落到斜面的时间为 B.小球从抛出到落到斜面的时间为 C.小球的抛出点到斜面的距离为 D.小球的抛出点到斜面的距离为 【答案】　BC 【解析】　球平抛的位移最小，则抛出点和落点的连线与斜面垂直，分解位移，如图所示。 设平抛时间为t，结合几何关系知，tan θ＝，x＝v0t，y＝gt2，解得t＝，故选项A错误，B正确；s＝＝＝，选项C正确，D错误。 3.3 斜抛运动 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy. 初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ. 在水平方向，物体的位移和速度分别为x＝v0xt＝(v0cos θ)t①；vx＝v0x＝v0cos θ② 在竖直方向，物体的位移和速度分别为y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2③；vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt④ 斜抛运动中的极值： 在最高点，vy＝0，由④式得到t＝⑤ 将⑤式代入③式得物体的射高ym＝⑥ 物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，由③式得总时间t总＝⑦ 将⑦式代入①式得物体的射程xm＝；当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大 所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大 逆向思维法处理斜抛问题：对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。 【例1】(多选)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同．空气阻力不计，则(　　) A．B的加速度比A的大 B．B的飞行时间比A的长 C．B在最高点的速度比A在最高点的大 D．B在落地时的速度比A在落地时的大 【答案】CD 【解析】A、B两球都做斜上抛运动，只受重力作用，加速度即为重力加速度，A项错误；在竖直方向上做竖直上抛运动，由于上升的竖直高度相同，竖直分速度相等，所以两小球在空中飞行的时间相等，B项错误；由于B球的水平射程比A球的大，故B球的水平速度及落地时的速度均比A球的大，C、D项正确 【变式1】如图所示，一运动员将篮球从地面上方B点以速度v0斜向上抛出，恰好垂直击中竖直篮板上A点。后来该运动员后撤到更远的C点投篮，仍然将球垂直击中篮板上A点，关于两次投篮的比较，下列说法正确的是(　　) A．在C点抛出速度v0更小，同时抛射角θ更大 B．在C点抛出速度v0更小，同时抛射角θ更小 C．在C点抛出速度v0更大，同时抛射角θ更大 D．在C点抛出速度v0更大，同时抛射角θ更小 【答案】　D 【解析】　将运动倒过来相当于从篮板做平抛运动，第一次抛到B点，第二次抛到C点，下落的高度相同，因此运动时间相同，竖直分速度相同，落到C点时水平速度更大，速度与水平夹角更小，因此篮球在C点抛出速度v0更大，同时抛射角θ更小，选项D正确。 【题型4】圆周运动向心力 向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。 ①方向时刻发生变化（始终指向圆心且与速度方向垂直） ②向心力的作用：只改变线速度的方向不改变速度大小 ③向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以是某一个力，或者是几个力的合力来提供。物体做匀速圆周运动时，由合力提供向心力。 向心力大小计算公式：Fn＝m＝mω2r＝mr。 【例1】如图所示，水平转台上放着一个纸箱A，当转台匀速转动时，纸箱相对转台静止。关于这种情况下纸箱A的受力情况，下列说法正确的是（　　） A．受重力、台面的支持力、向心力和静摩擦力 B．受重力、台面的支持力和静摩擦力 C．受重力和台面的支持力 D．受重力、台面的支持力和向心力 【答案】B 【详解】当转台匀速转动时，纸箱相对转台静止，所以纸箱A受重力、台面的支持力和静摩擦力，其中静摩擦力提供纸箱随转台一起做圆周运动的向心力，向心力是效果力，是一种力或几种力的合力，不是某种性质的力，因此ACD错误，B正确。 故选B。 【变式1】如图所示，把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗后，可以使小球在短时间内沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动，则提供小球做匀速圆周运动的向心力是（　　） A．小球的重力 B．小球对漏斗的压力 C．漏斗对小球的弹力 D．漏斗对小球的弹力沿水平方向的分力 【答案】D 【详解】对小球受力分析，重力竖直向下，支持力垂直漏斗内壁向上，合力指向圆心，提供向心力，故漏斗对小球的弹力沿水平方向的分力提供小球做匀速圆周运动的向心力，ABC错误，D正确。 故选D。 【例2】（多选）如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O点，设法让两个小球在不同的水平面上做匀速圆周运动。已知L1跟竖直方向的夹角为60°，L2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是（　　） A．细线L1和细线L2所受的拉力大小之比为∶1 B．小球m1和m2的角速度大小之比为∶1 C．小球m1和m2的向心力大小之比为3∶1 D．小球m1和m2的线速度大小之比为3∶1 【答案】AC 【详解】A．对任一小球进行研究，设细线与竖直方向的夹角为θ，竖直方向受力平衡，则FTcos θ=mg；解得FT=；所以细线L1和细线L2所受的拉力大小之比为；选项A正确； B．小球所受合力的大小为mgtan θ，根据牛顿第二定律得mgtan θ=mLω2sin θ；得ω=；故两小球的角速度大小之比为；选项B错误； C．小球所受合力提供向心力，则向心力为Fn=mgtan θ；小球m1和m2的向心力大小之比为=3选项C正确； D．两小球角速度大小之比为∶1，由v=ωr；得线速度大小之比为∶1，选项D错误。 故选AC。 【例3】（多选）如图，两个小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，质量分别为2m和m，a与转轴OO′的距离为L，b与转轴的距离为2L。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（　　） A．木块受重力、支持力、摩擦力和向心力 B．b一定比a先开始滑动 C．是b开始滑动的临界角速度 D．当时，a所受摩擦力的大小为kmg 【答案】BC 【详解】A．木块受重力，支持力、摩擦力，向心力是效果力，是由合力提供，故A错误； B．木块所受静摩擦力提供向心力，根据可知，半径大的需要的向心力大，随着圆盘转动加快，木块b需要的向心力先超过其所受的最大静摩擦力，故b一定比a先开始滑动，故B正确； C．由，，解得b开始滑动的临界角速度为；故C正确； D．由，，解得当a将要滑动瞬间的临界角速度为故当时，a未滑动，所受摩擦力的大小为；故D错误。 故选BC。 【题型5】竖直平面内的圆周运动 绳—球模型 杆—球模型 实例 如球与绳连接、沿内轨道运动的球等 如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等 图示 最高点无支撑 最高点有支撑 最高点 受力特征 重力、弹力，弹力方向向下或等于零 重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上 受力 示意图 力学特征 mg＋FN＝m mg±FN＝m 临界特征 FN＝0，vmin＝ 竖直向上的FN＝mg，v＝0 过最高点条件 v≥ v≥0 速度和弹力关系讨论分析 ①能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN ②不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动 ①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 ②当0<v<时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小 ③当v＝时，FN＝0 ④当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大 【例1】如图所示，长为L的轻质细绳一端与质量为m的小球（可视为质点）相连。另一端可绕O点使小球在竖直平面内运动。设小球在最高点的速度为v，重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．v最小值可以为0 B．若v=，细绳必然对小球有拉力的作用 C．v若增大，此时小球所需的向心力将减小 D．若v=，当小球运动到最低点的速度为2v时，绳子的拉力是5mg 【答案】D 【解析】AB．绳连小球，则到达最高点速度最小时；则v最小值 即当v=时，细绳对小球无拉力的作用，选项AB错误； C．v若增大，根据；可知此时小球所需的向心力将变大，选项C错误； D．若v=，当小球运动到最低点的速度为2v时，绳子的拉力是选项D正确。 故选D。 【例2】如图所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN－v2图像如图所示。下列说法正确的是（　　） A．当地的重力加速度大小为 B．小球的质量为 C．v2＝c时，杆对小球弹力方向向上 D．若v2＝2b，则杆对小球弹力大小为2a 【答案】B 【解析】A．通过图分析可知：当v2＝b，FN＝0时，小球做圆周运动的向心力由重力提供，即 则；故A错误； B．当v2＝0，FN＝a时，重力与弹力FN大小相等，即；所以故B正确； C．当v2＞b时，杆对小球的弹力方向与小球重力方向相同，竖直向下，故v2＝c＞b时杆对小球的弹力方向竖直向下，故C错误； D．若v2＝2b时；解得FN＝a方向竖直向下，故D错误。 故选B。 【例3】如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，重力加速度为g。下列有关说法中正确的是（　　） A．小球在圆心上方管道内运动时，对外壁一定有作用力 B．小球能够到达最高点时的最小速度为 C．小球达到最高点的速度是时，球受到的合外力为零 D．若小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道外壁的作用力大小为3mg 【答案】D 【解析】AB．圆形管道内能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0，此时对外轨道没有作用力。故AB错误； C．小球做曲线运动，合外力不为零。故C错误； D．设管道外壁对小球的弹力大小为，方向竖直向下。由牛顿第二定律得；代入解得；方向竖直向下。故D正确。 故选D。 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 秘籍02 曲线运动 【高考考情】 考点 考察年份 考察题型 难度 平抛运动 2024 解答题 简单 目 录 【题型1】曲线运动 2 【题型2】运动的合成与分解 5 2.1 轨迹判断 5 2.2 运动的合成 5 2.3 船过河问题 7 2.4 关联速度 8 【题型3】抛体运动 10 3.1 平抛运动 10 3.2 平抛运动的推论 12 3.3 斜抛运动 16 【题型4】圆周运动向心力 18 【题型5】竖直平面内的圆周运动 20 ：曲线运动，是高中物理主要研究的两大运动之一，北京卷高考真题，常以平抛运动、圆周运动为载体，配以简单的多过程运动，与力学三大观点结合考察。 ：根据高考物理命题的趋势，曲线运动需要考生对运动的合成与分解、抛体运动的规律特点、向心力的判断和计算、竖直平面内的圆周运动临界问题等，熟练掌握，并且会根据运动过程构建模型，计算结果。 【题型1】曲线运动 物体所受合力方向（加速度方向）与速度方向共线，物体做直线运动。 物体所受合力方向（加速度方向）与速度方向不共线，物体做曲线运动，且合力方向（加速度方向）偏轨迹凹侧。v 曲线运动中，质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。 综上：同一位置，轨迹线介于速度方向与合力（加速度）方向之间。 曲线运动中，由于速度方向时刻在改变。所以曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，但加速度不一定变化（如平抛运动）。 F（a）恒定，物体做匀变速直线（曲线）运动 F（a）变化，物体做非匀变速直线（曲线）运动 合力方向与速度方向的夹角与速度大小的增减关系： 当F方向与v方向的夹角为锐角时，F的切向分力，方向与v方向相同，因此v的大小增加； 同理：二者夹角为钝角时，v大小减小； 二者夹角为直角时，F在切向无分力，v大小不变。 曲线运动一定是变速运动，因为运动过程中速度方向时刻变化。但速度大小可以不变，如匀速圆周运动； 做曲线运动的物体，合外力（加速度）一定不为0，因为物体合外力（加速度）为0，物体处于平衡状态：静止或做匀速直线运动； 做曲线运动的物体，合外力可以是恒力（即力的大小方向均不变），如抛体运动。 【例1】某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是（　　）    A．  B．C．   D．   【变式1】如图所示，歼-20沿曲线MN向上爬升，图中画出表示歼-20在P点速度的四种方向，其中可能正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【例2】（多选）如图所示，质量为m的物体在四个共点力的作用下做匀速直线运动，速度方向与力F1、F3的方向恰好在同一直线上，说法正确的是（　　） A．若只撤去F1，物体做匀加速直线运动 B．若只撤去F3，物体做匀加速直线运动 C．若只撤去F2，物体做匀变速曲线运动 D．若只撤去F4，物体做非匀变速曲线运动 【变式2】如图所示，一物体仅在三个共点恒力、、的作用下以速度水平向右做匀速直线运动，其中斜向右上方，竖直向下，水平向左。某时刻撤去其中的一个力，其他力的大小和方向不变，则下列说法正确的是（　　） A．如果撤去的是，则物体做匀变速曲线运动 B．如果撤去的是，则物体做加速度变化的曲线运动 C．如果撤去的是，则物体做曲线运动，且加速度的方向不断改变 D．如果撤去的是，物体将向右做匀减速直线运动 【题型2】运动的合成与分解 （1）合运动曲、直判断：找到加速度(合力)与速度方向 （2）是否为匀变速运动的判断：判断加速度(或合力) 2.1 轨迹判断 【例1】达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式1】如图所示，在一张白纸上，用手平推直尺沿纵向匀速移动，同时让铅笔尖靠着直尺沿横向匀加速移动，则笔尖画出的轨迹应为(　　) 2.2 运动的合成 【例2】如图，在灭火抢险的过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业。为了节省救援时间，在消防车向前前进的过程中，人同时相对梯子匀速向上运动。在地面上看消防队员的运动，下列说法中正确的是（　　） A．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀加速直线运动 B．当消防车匀速前进时，消防队员一定处于静止状态 C．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动 D．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速直线运动 【变式2】路灯维修车如图所示，车上带有竖直自动升降梯．若车匀加速向左沿直线运动的同时梯子匀加速上升，则关于站在梯子上的工人的描述正确的是 A．工人相对地面的运动轨迹一定是曲线 B．工人相对地面的运动轨迹一定是直线 C．工人相对地面的运动轨迹可能是直线，也可能是曲线 D．工人受到的合力可能是恒力，也可能是变力 【例3】某长跑选手正在以的速度向南奔跑，感受到的东风，此时实际的风速是（    ） A．大小为    方向为西偏南 B．大小为    方向为东偏北 C．大小为    方向为西偏南 D．大小为    方向为东偏南 【变式3】某人骑车向正东方向行驶，看到插在车上的小旗向正南方向飘动，假设风速保持不变，骑车人沿正南方向行驶时，小旗的飘动方向不可能的是（   ） A．正东方向 B．正北方向 C．东偏南方向 D．东偏北方向 【例4】有一个质量为4 kg的质点在xOy平面内运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象分别如图甲、乙所示．下列说法正确的是（　　） A．质点做匀变速直线运动 B．质点所受的合外力为22 N C．2 s时质点的速度为6 m/s D．零时刻质点的速度为5 m/s 【变式4】一小型无人机在高空中飞行，将其运动沿水平方向和竖直方向分解，水平位移x随时间t变化的图像如图甲所示，竖直方向的速度vy随时间t变化的图像如图乙所示。关于无人机的运动，下列说法正确的是（　　） A．0~2s内做匀加速直线运动 B．t=2s时速度大小为m/s C．2s~4s内加速度大小为1m/s2 D．0~4s内位移大小为10m 2.3 船过河问题 图示 说明 当船头垂直河岸时，渡河时间最短。 最短时间=； 渡河位移： t； 船到达河正对岸下游处。 当时： 满足，渡河位移最短； 渡河时间：= 。 当时： 满足，渡河位移最短； 渡河位移：； 渡河时间：= 。 【例5】（多选）如图甲、乙所示，河的宽度为d，船在静水中的速率为v1，水流速为v2，现以甲、乙两种方式渡河，则下列说法正确的是（　　） A．甲比乙渡河时间长 B．渡河最短时间为 C．若，则不能到达正对岸 D．若，如图乙，则渡河时间为 【变式5】甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为，船在静水中的速率均为，甲、乙两船船头均与河岸成角，如图所示。已知甲船恰能垂直河岸到达河正对岸的点，乙船到达河对岸的点，之间的距离为，下列判断正确的是（   ） A．乙船先到达对岸 B．若仅是河水流速增大，两船的渡河时间都不变 C．不论河水流速如何改变，只要适当改变角，甲船总能到达正对岸的点 D．若仅是河水流速增大，两船到达对岸时，两船之间的距离大于 2.4 关联速度 关联速度模型：指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物问题。绳或杆的长度不改变前提。绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的分速度大小相等。 　　乙 甲 丁 丙 【例6】如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，下列关于物体A的情况的说法，正确的是（　　） A．A的速度大于小车的速度 B．A的速度等于小车的速度 C．拉力先大于重力，后变为小于重力 D．绳的拉力大于A的重力 【变式6】均匀直杆上连着两个小球，不计一切摩擦。当直杆滑到如图所示位置时，球水平速度为，球竖直向下的速度为，直杆与竖直方向的夹角为，下列关于两球速度关系的式子正确的是（ ） A． B． C． D． 【题型3】抛体运动 3.1 平抛运动：初速度沿水平方向的抛体运动 特点：（1）初速度沿水平方向；（2）只受重力作用 性质：参与了水平方向上的匀速直线运动，和竖直方向上的自由落体两个分运动。合初速度方向斜向下，合加速度方向为重力加速度，竖直向下。二者不共线因此做加速度为g的匀变速曲线运动，且向下（加速度向）弯曲。 如图，将物体以初速度水平抛出，t时刻（运动至A）的速度： 水平方向：；竖直方向：； 合速度；方向(是与水平方向的夹角)。 位移：水平方向：；竖直方向：； 合位移：；方向：(是与水平方向的夹角)。 【真题回顾】．（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： （1）水从管口到水面的运动时间t； （2）水从管口排出时的速度大小； （3）管口单位时间内流出水的体积Q。 【变式1】在跨越河流表演中，一人骑车以25m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越长的河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25m，不计空气阻力，取，则两平台的高度差h为（　　） A．0.5m B．5m C．10m D．20m 【例2】（多选）将小球从如图所示的阶梯状平台上以一定的水平初速度v0水平抛出，所有台阶的高度和宽度均为1.0 m，取g＝10 m/s2，要使小球抛出后落到第三级台阶上，则v0可能为(　　) A．2 m/s B．3.5 m/s C．4 m/s D．2 m/s 【变式2】如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以v的速度水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2.则v的取值范围是(　　) A．v>7 m/s B．v<2.3 m/s C．3 m/s<v<7 m/s D．2.3 m/s<v<3 m/s 3.2 平抛运动的推论 (1)平抛运动中的某一时刻，速度与水平方向夹角为θ，位移与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α (2)做平抛运动的物体，任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点 顺着斜面平抛斜面倾斜角是“位移”偏向角 (1)落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下(如图) 分解位移：x＝v0t；y＝gt2；tan θ＝；可求得t＝ (2)物体离斜面距离最大，已知速度方向沿斜面向下(如图) 处理方法：分解速度vx＝v0，vy＝gt；tan θ＝；t＝ 【例1】高山滑雪项目是从高山上向山下以滑雪板、滑雪鞋、固定器和滑雪杖为主要用具的竞技运动．如图为某次训练中，运动员(可视为质点)从水平平台上以20 m/s的速度冲向倾角为45°的倾斜雪道面，落点仍在该斜面上，忽略空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，则运动员距雪道面的最远距离约为(　　) A．5.1 m B．10.2 m C．14.1 m D．21.1 m 【变式1】如图所示，两个高度相同的斜面，倾角分别为30°和60°，小球A、B分别由斜面顶端以相同大小的水平速度v0抛出，若两球均落在斜面上，不计空气阻力，则A、B两球平抛运动过程(　　) A．飞行的时间之比为1∶3 B．水平位移大小之比为1∶9 C．竖直下落高度之比为1∶3 D．落至斜面时速度大小之比为1∶3 顺着斜面（圆弧）平抛斜面倾斜角是“速度”偏向角 从斜面外恰好与斜面平行的方向落到斜面(如图)： 合速度与水平速度的夹角等于斜面倾角，常用速度关系tan θ＝＝. 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度tan θ＝＝ 【例2】如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道．已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为(　　) A. B. C. D. 【变式2】如图所示，P是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B点以某速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨迹的左端A点沿圆弧切线方向进入轨道，O是圆弧的圆心，θ1是OA与竖直方向的夹角，θ2是BA与竖直方向的夹角，则(　　) A.＝2 B.＝2 C.tan θ1tan θ2＝2 D.＝2 对着斜面平抛“垂直”打在斜面上斜面倾斜角为“速度”偏向角的余角 对着斜面平抛 垂直撞在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下(如图) 处理方法：分解速度：vx＝v0；vy＝gt；tan θ＝＝；可求得t＝. 【例3】（多选）如图所示，倾角为30°的斜面体固定在水平地面上，斜面底端正上方某高度处有一小球以水平速度v0抛出，恰好垂直打在斜面上，已知重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　) A.小球从抛出到落在斜面上的运动时间为 B.小球从抛出到落在斜面上的运动时间为 C.小球抛出时距斜面底端的高度为 D.小球抛出时距斜面底端的高度为 【变式3】如图，倾角为θ的斜面体ABC固定在水平地面上，在A点正上方的P点，以速度v0水平抛出一个小球，小球落在斜面上的Q点(图中未画出)，且落到斜面上时速度方向与斜面垂直，重力加速度为g，不计空气阻力，则Q点离地面的高度为(　　) A.sin θ B.cos θ C.tan θ D. 对着斜面平抛“最小位移”打在斜面上斜面倾斜角为“位移”偏向角的余角 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面 分解位移tan θ＝＝＝ 【例4】(多选)如图所示，将一个小球以速度v水平抛出，要使小球从抛出到打到斜面上的位移与斜面垂直，斜面与水平方向的夹角为α。下列说法正确的是(　　) A.若保持水平速度v不变，斜面与水平方向的夹角α越大，小球的飞行时间越短 B.若保持水平速度v不变，斜面与水平方向的夹角α越小，小球的飞行时间越短 C.若保持斜面倾角α不变，水平速度v越大，小球的飞行时间越短 D.若保持斜面倾角α不变，水平速度v越小，小球的飞行时间越短 【变式4】（多选）如图所示，一小球从某固定位置以一定初速度水平抛出，已知当抛出速度为v0时，小球落到一倾角为θ＝60°的斜面上，且球发生的位移最小，不计空气阻力，则(　　) A.小球从抛出到落到斜面的时间为 B.小球从抛出到落到斜面的时间为 C.小球的抛出点到斜面的距离为 D.小球的抛出点到斜面的距离为 3.3 斜抛运动 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy. 初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ. 在水平方向，物体的位移和速度分别为x＝v0xt＝(v0cos θ)t①；vx＝v0x＝v0cos θ② 在竖直方向，物体的位移和速度分别为y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2③；vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt④ 斜抛运动中的极值： 在最高点，vy＝0，由④式得到t＝⑤ 将⑤式代入③式得物体的射高ym＝⑥ 物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，由③式得总时间t总＝⑦ 将⑦式代入①式得物体的射程xm＝；当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大 所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大 逆向思维法处理斜抛问题：对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。 【例1】(多选)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同．空气阻力不计，则(　　) A．B的加速度比A的大 B．B的飞行时间比A的长 C．B在最高点的速度比A在最高点的大 D．B在落地时的速度比A在落地时的大 【变式1】如图所示，一运动员将篮球从地面上方B点以速度v0斜向上抛出，恰好垂直击中竖直篮板上A点。后来该运动员后撤到更远的C点投篮，仍然将球垂直击中篮板上A点，关于两次投篮的比较，下列说法正确的是(　　) A．在C点抛出速度v0更小，同时抛射角θ更大 B．在C点抛出速度v0更小，同时抛射角θ更小 C．在C点抛出速度v0更大，同时抛射角θ更大 D．在C点抛出速度v0更大，同时抛射角θ更小 【题型4】圆周运动向心力 向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。 ①方向时刻发生变化（始终指向圆心且与速度方向垂直） ②向心力的作用：只改变线速度的方向不改变速度大小 ③向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以是某一个力，或者是几个力的合力来提供。物体做匀速圆周运动时，由合力提供向心力。 向心力大小计算公式：Fn＝m＝mω2r＝mr。 【例1】如图所示，水平转台上放着一个纸箱A，当转台匀速转动时，纸箱相对转台静止。关于这种情况下纸箱A的受力情况，下列说法正确的是（　　） A．受重力、台面的支持力、向心力和静摩擦力 B．受重力、台面的支持力和静摩擦力 C．受重力和台面的支持力 D．受重力、台面的支持力和向心力 【变式1】如图所示，把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗后，可以使小球在短时间内沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动，则提供小球做匀速圆周运动的向心力是（　　） A．小球的重力 B．小球对漏斗的压力 C．漏斗对小球的弹力 D．漏斗对小球的弹力沿水平方向的分力 【例2】（多选）如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O点，设法让两个小球在不同的水平面上做匀速圆周运动。已知L1跟竖直方向的夹角为60°，L2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是（　　） A．细线L1和细线L2所受的拉力大小之比为∶1 B．小球m1和m2的角速度大小之比为∶1 C．小球m1和m2的向心力大小之比为3∶1 D．小球m1和m2的线速度大小之比为3∶1 【例3】（多选）如图，两个小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，质量分别为2m和m，a与转轴OO′的距离为L，b与转轴的距离为2L。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（　　） A．木块受重力、支持力、摩擦力和向心力 B．b一定比a先开始滑动 C．是b开始滑动的临界角速度 D．当时，a所受摩擦力的大小为kmg 【题型5】竖直平面内的圆周运动 绳—球模型 杆—球模型 实例 如球与绳连接、沿内轨道运动的球等 如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等 图示 最高点无支撑 最高点有支撑 最高点 受力特征 重力、弹力，弹力方向向下或等于零 重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上 受力 示意图 力学特征 mg＋FN＝m mg±FN＝m 临界特征 FN＝0，vmin＝ 竖直向上的FN＝mg，v＝0 过最高点条件 v≥ v≥0 速度和弹力关系讨论分析 ①能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN ②不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动 ①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 ②当0<v<时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小 ③当v＝时，FN＝0 ④当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大 【例1】如图所示，长为L的轻质细绳一端与质量为m的小球（可视为质点）相连。另一端可绕O点使小球在竖直平面内运动。设小球在最高点的速度为v，重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．v最小值可以为0 B．若v=，细绳必然对小球有拉力的作用 C．v若增大，此时小球所需的向心力将减小 D．若v=，当小球运动到最低点的速度为2v时，绳子的拉力是5mg 【例2】如图所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN－v2图像如图所示。下列说法正确的是（　　） A．当地的重力加速度大小为 B．小球的质量为 C．v2＝c时，杆对小球弹力方向向上 D．若v2＝2b，则杆对小球弹力大小为2a 【例3】如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，重力加速度为g。下列有关说法中正确的是（　　） A．小球在圆心上方管道内运动时，对外壁一定有作用力 B．小球能够到达最高点时的最小速度为 C．小球达到最高点的速度是时，球受到的合外力为零 D．若小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道外壁的作用力大小为3mg 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$