4 导数的四则运算法则 4.1 导数的加法与减法法则&4.2 导数的乘法与除法法则-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂（北师大版2019）

数学(BS)·选择性必修第二册 (2)[解]设两条曲线的一个公共点为P(x,y%),两条 §4导数的四则运算法则 曲线在P(xo,%)处的斜率分别为k1=cos工0 4.1导数的加法与减法法则 2=-sin o. 要使两条切线互相垂直，必须满足cosx0(一simx0)=一1， 4.2导数的乘法与除法法则 即sin rocos0=1,也就是sin2.x0=2,这是不可能的. 课前预习学案 两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互 知识梳理 相垂直. 知识点一、这两个函数导数f(x)十g'(x)f(x)一g(x) 变式训练 知识点二kf(x) 预习自测 1.(1)/(2)×(3)× 2.D[y=(x8·2)'=(x3)'·2r+x3·(2)y=3x2·2r+2 1 10V2 .] ·x1n2.] 3.解析：Wt)=3-121+16,W'(1)=70/s),W'(2)=4(J/s). (2)解：设切点P(x0y%),由直 f(x) 答案：74 线l与曲线y=f(x)相切于点 P,得切线1的斜毫为f'(x0) 4解折：（货}-22上h2。 (2)2 2 =4x0- (2(.re)'=e+xe=(1+x)e. 由直线I与曲线y=g(x)也相 切于点P,得切线1的斛率为g 0 答案：()一h2 (2)(1+x)e 2 )-2网 1 课堂互动学案 由f)=g).得42云 解得w [例1解y-(行i-号++)-（信r） (侍）+3+ 0=四=即点P的坐标为（仔2）】月 =x4-4x2+3. 由点P(号)在商线y=f)上，得2X(宁)+a (2)法-：y=(3x5-4x3)'(4x5+3x3)+(3x5-4x3)(4r5+ 3x3)y=(152-12.2)(4r5+3x3)+(3x5-4x3)(20x4+9r2) =60.x-48x7+45x7-36x5+60x2-80x7+27.x2-36x5= 120x-56.x7-72x5. ∴点P的坐标 (仔）a的值为受 法二：y=12x10-7.x8-122,y=120x9-56x7-72x. 当堂达标 (3)y=(3W+4√F)'=(3r÷)'+(4x)'=4x÷+6x÷ 又ae 4匠+6 1.B[由题意得f'(x)=一sinx,故sina= 变式训练 (受)故a吾] 1.解：(1)y=2x-2x8. 6 (2y=(ln3+1)·(3e)r-2rln2. 2.ABD[(cosx)'=一simx,故A不正确：(3)y=3·ln3, (3y-2+1-2x2.lnz 1 故B不正确：gxy=n故C正确：(x3y= x(x2+1) 2x21=-2x3,故D不正确.] ④0ry=-m壹ms音=2-sn∴=2r 3.解析：由导数的公式知，f(x)=2x,g(x)=3x2.因为 2 c0s r. f(x)十1=g'(x),所以2x+1=3x2,即3x2-2x-1=0, [例2][解析](1)由函数y=3sinx,得y'=3cosx, 解得x=1或x= 1 3 所以画数在一号处的切钱针岸为3X0子-子 答案：1或-行 [答案]昌 4.解：因为y=sinx,所以y=cosx. (2)解：①由题意，函数的定义域为(0，十∞)，由f(x)=ax2+ 图为向线在点P(信，）处的切线针率是co吾-号 n,得f)=2a+},所以D+f)=a+1. 所以建点P且与物我套直的直钱的件率为 2 ②因为曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜 率为0，问题转化为在x∈(0，十∞)内导函数(x)=2x十 所以所求的直线方程为y一专=一看（一音），即2红 1存在零点，即广x)=0,所以2ar十1=0有正实数解，即 +5-9吾=0 2ux2=一1有正实数解，故有a<0,所以实数a的取值范国 是（一∞，0）. ·96· 参考答案 变式训练 4.解：(1)y=(x3e2)'=(.r3)'e+x3(e)'=3x2e+x3e. 2.解：(1)由题可知，当x=一1时，y=一3，故点在曲线上，求 (2)y= (2 sin2sinr)r2-2sin( 导得： (x2)2 y=2x+2)-(2x-1D_ 5 2x cos r-4r sin x 2rcos r-4 sin (x十2)2 +2,所以当x=-1时得 切线斜率k=5.故切线方程为5.x-y十2=0. §5简单复合函数的求导法则 答案：5.x-y十2=0 课前预习学案 (2)解：设P(x0,%)为切点，则切线斜率为k=广(x)= 知识梳理 3x8-2, 知识点一x的函数复合函数y=f(g(x) 故切线方程为y一%=(3.x号一2)(x一x0),① [思考] (x0%)在曲线上，∴y0=x-2x0.② 1.[提示]函数y=log2(x十1)是由y=log24及u=x+1两个 又(1，一1)在切线上， 函数复合而成的， .将②式和(1，-1)代入①式得-1-(.x8-2x0)=(3x8 预习自测 1.(1)/ (2)/(3)×(4)X -2)(1-x0). 2.A 解得0=1或0=一之k=1或=-号 3.D[f'(x)=3x2+cos3x·(3xy=3x2+3cos3.x.] 故所求的切线方程为y十1=x一1或y十1 4解折：y=[(贤-3r)门--m(子-）小(-3) =-子-1D,即x-y-2=0或5r十4y-1=0. 3sn(任-3r） [例3][解析]因为点P是曲线y=x2-lnx-1上任意 一点，所以当点P处的切线和直线y=x一3平行时，点卫 答案：3sin(千-3u） 到直线y=x一3的距离最小，因为直线y=x一3的针率 课堂互动学案 等于1，确线y=2-1n1一1的等教)/=2江-子◆y [例1][解】(1)函效y=e2r+1可看作函数y=e“和u= 2.x十1的复合函数， 1,可得x=1或x=一名（含去），所以在南线y=2-n口 .yz=yw'·uz'=(e")y'(2x+1)'=2e"=2e2r+1 一1与直线y=x一3平行的切线经过的切点坐标为(1， 1 (②》函数y2一—1序可看作函数)=“和u=2x一1的 0),所以点P到直线y=x-3的最小距离为d=山一3到 复合函数， 2 y'=yw'·4'=(u3)'(2x-1)/=-6ut= =√2 [答案]C -6(2.x-1)-4=-6 (2.r-1) 变式训练 (3)函数y=5l0g2(1-x)可看作函数y=51og2w和u=1 3.解析：y=(x十a)e,∴y'=(x十1十a)e, 一x的复合函数， 设切点为(x0,y0),则%=(0十a)e,切线斜率k=(x0 ∴y'=yw'·Wx=(5log2w)y'·(1-x)/= 一5 +1+a)e。, uln 2 切线方程为：y-(ro十a)e。=(xo十1十a)e2a(x-x0), 5 =x-11n2 ,切线过原点，.-(xo十a)e=(xo十1十a)e(-xo), (4)函教y=sin(元x十g)可以看成函数y=sinu,u=元x 整理得：x号十a0一a=0, 十g的复合函敏， 切线有两条，.△=a2+4a>0,解得a<-4或a>0, ∴yz'=yw'·u,'=(sinu)'·(πx+g)'=cosu·x ∴a取值范图是(-∞，一4)U(0,十∞)， rcos(rx十p). 答案：(-∞，-4)U(0,十∞) 变式训练 当堂达标 1.解：(1)令u=3.x-2,则y=10“, 1.B[,点(1，-1)在曲线y=x3-3x2+1上，该，点处切线 所以yx=y'w·4z'=10ln10·(3.x-2)'=3X103x-8 的斜率为k=y1,=1=(3x2-6.x)x=1=3-6=-3,∴.切 lh10. 线方程为y十1=-3(x-1),即y=-3.x+2.] (2)令u=e十x2,则y=lnu, 2.C[:f(.x)=2x+2f(1),∴.f(1)=2+2f(1),解得 所以，=.，=士e+y ·(e+ f(1)=-2 e+r? .f(x)=2x-4.∴.子(0)=-4.] 2x)=e+2x 3.解析：因为y=a·x1,所以在点(1,2)处的切线斜率k er+r?. =a,切钱方程为y一2=a(x一1).又切钱过原点，故0一2 (3)设y=2sinu,w=3r- 6 =a(0-1),解得a=2. 答案：2 则y,=y.·d:=2cosu×3=6co(3x-看） ·97·§４　导数的四则运算法则 ４．１　导数的加法与减法法则 ４．２　导数的乘法与除法法则 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．能利用导数的四则运算法则,求简单函数的 导数． ２．进一步理解导数的运算与几何意义的综合 应用． １．通过运用导数四则运算法则求解简单的导数问题,培 养数学运算的核心素养． ２．通过导数的综合应用,达成逻辑推理和数学运算的核 心素养． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　上节课学习了基本初等函数求导公式和它们的 应用．那么导数可以进行四则运算吗? 这是我们这节 课要研究的问题． [知识梳理] [知识点一]　导数的加法与减法法则 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 两个函数和(或差)的导数等于　　　　　　　 的和(或差),即[f(x)＋g(x)]′＝　　　　,[f(x)－ g(x)]′＝　　　　． [知识点二]　导数的乘法与除法法则 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 一般地,若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是 f′(x)和g′(x),则[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x), f(x) g(x)[ ] ′ ＝f′ (x)g(x)－f(x)g′(x) g２(x) (g(x)≠０)． 特别地,当g(x)＝k时,有[kf(x)]′＝　　　　． [预习自测] １．判断下列说法是否正确(正确的打“√”,错误的打 “×”) (１)和的导数就是导数的和,差的导数就是导数的差． (　　) (２)积的导数就是导数的积,商的导数就是导数的商． (　　) (３)(x２cosx)′＝－２xsinx． (　　) ２．函数y＝x３􀅰２x 的导函数是 (　　) A．y′＝３x２􀅰２x B．y′＝２x３􀅰２x C．y′＝３x２􀅰２x＋２xln２ D．y′＝３x２􀅰２x＋２x􀅰x３ln２ ３．某人拉着一个物体前进,他所做的功W(单位:J)是 时间t(单位:s)的函数,这个函数可以表示为W＝ W(t)＝t３－６t２＋１６t,则 W′(１),W′(２)分别为 　　　　J/s,　　　　J/s． ４．(１)x２x æ è ç ö ø ÷′＝　　　　;(２)(xex)′＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　导数四则运算法则的应用 [例１]　求下列函数的导数: (１)y＝１５x ５－４３x ３＋３x＋ ２; (２)y＝(３x５－４x３)􀅰(４x５＋３x３); (３)y＝３ ３ x４＋４ x３． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋１．多项式的积的导数,通常先展开再求导更简便． ２．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂,再 求导． 􀳀[变式训练] １．求下列函数的导数． (１)y＝x－２＋x２;(２)y＝３xex－２x＋e; (３)y＝lnxx２＋１ ;(４)y＝x２－sinx２cos x ２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０５􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 　　　利用导数求曲线的切线方程 [例２]　(１)函数y＝３sinx在x＝π３ 处的切线斜率为 　　　　． (２)已知函数f(x)＝ax２＋lnx的导数为f′(x)． ①求f(１)＋f′(１); ②若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线,求实数 a的取值范围． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求切线的注意点 １．求曲线的切线方程一定要分清是求曲线在点P 处的切线方程,还是求过点P 与曲线相切的直 线方程． ２．本题中点(１,－１)虽然在曲线上,但经过该点的 切线不一定只有一条,即该点可能是切点,也可 能是切线与曲线的交点． 􀳀[变式训练] ２．(１)(２０２１􀅰全国甲卷)曲线y＝２x－１x＋２ 在点(－１,－３) 处的切线方程为　　　　． (２)求过点(１,－１)与曲线f(x)＝x３－２x 相切的 直线方程． 　　　导数运算法则的综合应用 [例３]　若点P 是曲线y＝x２－lnx－１上任意一点, 则点P 到直线y＝x－３的最小距离为 (　　) A．１　　　　　　　　　B．２２ C．２ D．２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解决与切线有关的问题时,要充分运用切点 的坐标．特别是切点的横坐标,因为切点的横坐标 与导数有着直接的联系． 􀳀[变式训练] ３．(２０２２􀅰新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex 有两条 过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　 [当堂达标] １．曲线y＝x３－３x２＋１在点(１,－１)处的切线方程为 (　　) A．y＝３x－４　　　　　B．y＝－３x＋２ C．y＝－４x＋３ D．y＝４x－５ ２．已知f(x)＝x２＋２f′(１)x,则f′(０)等于 (　　) A．２ B．－２ C．－４ D．０ ３．若曲线y＝xα＋１(α∈R)在点(１,２)处的切线经过 坐标原点,则α＝　　　　． ４．求下列函数的导数 (１)y＝x３ex;(２)y＝２sinxx２ ． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１５􀅰 第二章　导数及其应用