1 平均变化率与瞬时变化率 1.1 平均变化率&1.2 瞬时变化率-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂（北师大版2019）

§１　平均变化率与瞬时变化率 １．１　平均变化率 １．２　瞬时变化率 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．了解函数的平均变化率和瞬时变化率的定义, 会求简单函数的平均变化率． ２．知道用平均变化率“逼近”瞬时变化率,知道变 化率是描述函数变化快慢的量． １．通过对变化率是描述函数变化快慢的量的学习,培养 了学生直观想象和数学抽象的核心素养． ２．借助求简单函数的平均变化率的学习,养成了学生的 数学运算的核心素养． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　高台跳水运动中,运动员 在运动过程中的重心相对水 面的高度h(单位:m)与起跳 后的时间t(单位:s)存在函数 关系h(t)＝－４􀆰９t２＋４．８． 如何利用上述 函 数 关 系 描述运动员从起跳到入水的过程中运动速度的快慢 程度呢? 这就是这节课我们要学习的变化率问题． [知识梳理] [知识点一]　平均变化率 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．定义:对一般的函数y＝f(x)来说,当自变量x 从 x１ 变为x２ 时,函数值从f(x１)变为f(x２),它在区 间[x１,x２]的平均变化率＝ f(x２)－f(x１) x２－x１ ．通常 我们把自变量的变化x２－x１ 称作自变量的　　　　, 记作　　　　,函数值的变化f(x２)－f(x１)称作 函数值的　　　　,记作　　　　．这样,函数的平 均变 化 率 就 可 以 表 示 为　　　　的 改 变 量 与 　　　　的改变量之比,即ΔyΔx＝ f(x２)－f(x１) x２－x１ ． ２．作用:平均变化率用来刻画函数值在区间[x１,x２] 上变化的　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　函数的平均变化率是固定不变的吗? [知识点二]　瞬时变化率 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．定义:对于一般的函数y＝f(x),在自变量x从x０ 变到x１ 的过程中,若设Δx＝x１－x０,Δy＝f(x１) －f (x０),则 函 数 的 平 均 变 化 率 为 Δy Δx ＝ f(x１)－f(x０) x１－x０ ＝f (x０＋Δx)－f(x０) Δx ． 当Δx趋于０时,平均变化率就趋于函数在x０ 点的 瞬时变化率． ２．作用:瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的 快慢． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１４􀅰 第二章　导数及其应用 [预习自测] １．判断下列说法是否正确(正确的打“√”,错误的打 “×”) (１)由Δx＝x２－x１,知Δx可以为０． (　　) (２)Δy＝f(x２)－f(x１)是Δx＝x２－x１ 相应的改变 量,Δy的值可正,可负,也可为零,因此平均变化率 可正,可负,可为零． (　　) (３)瞬时速度刻画某物体在某时刻变化快慢的 情况． (　　) (４)平均速度与瞬时速度可能相等． (　　) ２．y＝２x＋１在(１,２)内的平均变化率为 (　　) A．３　　　　　　　B．２ C．１ D．０ ３．质点运动规律为s(t)＝t２＋３,则从３到３＋Δt的平 均速度为 (　　) A．６＋Δt B．６＋Δt＋９Δt C．３＋Δt D．９＋Δt ４．函数y＝f(x)＝３x＋１在点x＝２处的瞬时变化率 为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　求函数的平均变化率 [例１]　求函数y＝２x２＋３在x０ 到x０＋Δx 之间的 平均变化率,并求当x０＝２,Δx＝－ １ ２ 时该函数的 平均变化率． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)①求函数值的增量:Δy＝f(x０＋Δx)－f(x０); ②计算平均变化率:ΔyΔx ＝ f(x０＋Δx)－f(x０) Δx ． (２)要注意Δx,Δy的值可正,可负,但Δx≠０．若 函数f(x)为常值函数,则Δy＝０． 􀳀[变式训练] １．已知运动方程y＝f(x)＝２x２ 的图像上点P(１,２) 及邻近点Q(１＋Δx,２＋Δy),则ΔyΔx 的值为 (　　) A．４　　　　　　　　　B．４x C．４＋２Δx２ D．４＋２Δx 　　　平均变化率的实际应用 [例２]　甲、乙两人走过的路程s１(t),s２(t)与时间t 的关系如下图所示,试比较两人的速度哪个快? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 平均变化率的意义 (１)本题中比较两人的速度,其实就是比较两人走 过的路程相对时间的平均变化率,通过比较平 均变化率的大小关系得出结论． (２)平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上 变化的快慢,平均变化率的绝对值越大,函数 在区间上的变化越快;平均变化率的绝对值越 小,函数在区间上的变化越慢． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２４􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 􀳀[变式训练] ２．(多选)如图显示物体甲、乙在时间０到t１ 范围内路 程的变化情况,则下列说法不正确的是 (　　) A．在０到t０ 范围内,甲的平均速度大于乙的平均 速度 B．在０到t０ 范围内,甲的平均速度小于乙的平均 速度 C．在t０ 到t１ 范围内,甲的平均速度大于乙的平均 速度 D．在t０ 到t１ 范围内,甲的平均速度小于乙的平均 速度 　　　求瞬时变化率 [例３]　质点P 的运动方程为s＝８－３t２,其中s表示 位移(单位:m),t表示时间(单位:s)． (１)求质点 P 在[１,１＋Δt]这段时间内的平均 速度; (２)求质点P 在t＝１时的瞬时速度． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求函数f(x)在点x＝x０ 处的瞬时变化率的步骤 (１)求Δy＝f(x０＋Δx)－f(x０); (２)计算ΔyΔx ,并化简,直到当Δx→０或Δx趋于０ 时有意义为止; (３)将Δx→０或Δx趋于０代入化简后的ΔyΔx 即得 瞬时变化率． 􀳀[变式训练] ３．求函数y＝f(x)＝３x２＋x 在点x＝１处的瞬时变 化率． [当堂达标] １．如图,函数y＝f(x)在A,B 两点间的平均变化率 等于 (　　) A．１　　　　　　　　　B．－１ C．２ D．－２ ２．物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t 的函数s＝s(t),则物体在时间间隔[t０,t０＋Δt]内 的平均速度是 (　　) A．v０ B． Δt s(t０＋Δt)－s(t０) C． s(t０＋Δt)－s(t０) Δt D． s(t) t ３．观察函数f(x)的图像如图所示,平均变化率ΔyΔx＝ f(x２)－f(x１) x２－x１ 表示 (　　) A．直线AB 的点斜式方程 B．直线AB 的斜截式方程 C．直线AB 的两点式方程 D．直线AB 的斜率 ４．已知曲线f(x)＝２x２＋１在点 M(x０,y０)处的瞬时 变化率为－８,则点M 的坐标为　　　　． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３４􀅰 第二章　导数及其应用 [例１３]　解析:根据题意可得,An＋Bn＝３,An＝ ３ ４An－１＋ １ ４Bn－１ , ∴An＝ ３ ４An－１＋ １ ４ (３－An－１)＝ １ ２An－１＋ ３ ４ , ∴An－ ３ ２＝ １ ２ (An－１－ ３ ２ ),即数列 An－ ３ ２{ }是以A１－ ３ ２＝ ３ ４A０＋ １ ４B０－ ３ ２ ＝ １ ４ 为 首 项,１ ２ 为 公 比 的 等 比 数列, ∴An－ ３ ２＝ １ ４ 􀅰 １ ２n－１ ＝ １ ２n＋１ ⇒An＝ ３ ２＋ １ ２n＋１ , ∴Bn＝３－An＝ ３ ２－ １ ２n＋１ ,∴An－Bn＝ １ ２n＋１ ×２＝１ ２n (n∈ N＋)． 答案:１ ２n 第二章　导数及其应用 §１　平均变化率与瞬时变化率 １．１　平均变化率 １．２　瞬时变化率 课前预习学案 知识梳理 知识点一、１．改变量　Δx　改变量　Δy　函数值　自变量 ２．快慢 [思考] [提示]　不一定．当x０ 取定值,Δx取不同的数值时,函数的 平均变化率不一定相同;当Δx取定值,x０ 取不同的数值时, 函数的平均变化率也不一定． 预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)√(４)√ ２．B　 [ΔyΔx＝ f(b)－f(a) b－a ＝ (２×２＋１)－(２×１＋１) ２－１ ＝２． ] ３．A　[因为 Δs＝s(３＋Δt)－s(３)＝６Δt＋(Δt)２,所以ΔsΔt＝６ ＋Δt．] ４．解析:Δy＝f(２＋Δx)－f(２)＝３(２＋Δx)＋１－(３×２＋１)＝ ３Δx,则ΔyΔx＝ ３Δx Δx＝３ ,∴当Δx趋于０时,ΔyΔx 趋于３． 答案:３ 课堂互动学案 [例１]　解:当自变量从x０ 变化到x０＋Δx时,函数的平均变化 率为 Δy Δx＝ f(x０＋Δx)－f(x０) Δx ＝ [２(x０＋Δx)２＋３]－(２x２０＋３) Δx ＝ ４x０Δx＋２(Δx)２ Δx ＝４x０＋２Δx． 当x０＝２,Δx＝－ １ ２ 时,平均变化率的值为４×２＋２× －１２( )＝７． 变式训练 １．D　[ΔyΔx＝ ２(１＋Δx)２－２×１２ Δx ＝４＋２Δx． 故选D．] [例２]　[解]　s１(t０)＝s２(t０),s１(t０－Δt)＞s２(t０－Δt), 故 s１(t０)－s１(t０－Δt) Δt ＜ s２(t０)－s２(t０－Δt) Δt ． 所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快,即在如题图所示 的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快． 变式训练 ２．ABD　[在０到t０ 范围内,甲、乙的平均速度都为 s０ t０ ,故 A、B 错误;在t０ 到t１ 范围内,甲的平均速度为 s２－s０ t１－t０ ,乙的平均速 度为 s１－s０ t１－t０ ．因为s２－s０＞s１－s０,t１－t０＞０,所以 s２－s０ t１－t０ ＞ s１－s０ t１－t０ ,故C正确,D错误．] [例３]　[解]　(１)质点P 在[１,１＋Δt]这段时间内的平均速 度为 Δs Δt＝ ８－３(１＋Δt)２－８＋３×１２ Δt ＝－６－３Δt (m/s)． (２)由(１)知ΔsΔt＝－６－３Δt ,当Δt趋于０时,ΔsΔt 趋于－６, 所以质点P 在t＝１时的瞬时速度为－６m/s． 变式训练 ３．解:Δy＝f(１＋Δx)－f(１) ＝３(１＋Δx)２＋(１＋Δx)－(３＋１) ＝７Δx＋３(Δx)２． ∴ΔyΔx＝ ７Δx＋３(Δx)２ Δx ＝７＋３Δx． ∴当 Δx趋于０时,ΔyΔx＝７＋３Δx 趋于７＋３×０＝７． ∴函数y＝３x２＋x在点x＝１处的瞬时变化率为７． 当堂达标 １．B　[平均变化率为１－３３－１＝－１． ] ２．C　[由平均变化率的概念知C正确．] ３．D　[ΔyΔx＝ f(x２)－f(x１) x２－x１ ＝BCAC＝tan∠BAC＝kAB． ] ４．解析:Δy＝ ２(x０＋Δx)２＋１[ ] －(２x２０＋１)＝４x０Δx＋ ２(Δx)２,ΔyΔx ＝４x０＋２Δx ,当 Δx 趋于０时,ΔyΔx 趋于４x０ ＝－８．∴x０＝－２．∴点 M 的坐标为(－２,９)． 答案:(－２,９) §２　导数的概念及其几何意义 ２．１　导数的概念 ２．２　导数的几何意义 课前预习学案 知识梳理 [思考] [提示]　曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可 以有多个,甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直 线也不一定是曲线的切线． 预习自测 １．(１)√　(２)×　(３)×　(４)×　(５)×　(６)× ２．B　[由导数的几何意义,f′(xA),f′(xB)分别是切线在点 A、B 处切线的斜率,由图像可知f′(xA)＜f′(xB)．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３９􀅰 参考答案