5 数学归纳法-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂（北师大版2019）

数学(BS)·选择性必修第二册 4.解:设共有n个水龙头,每个水龙头开放时间依次为x; xo...... ## 由已知x-=-x=-r=.=xn-1,数列 +2.+。1,即S-24n,即 (x:十x。)n_24n,所 .-0- 24t . 以(x+→)-24.x1+r。=-48.又因为x-5x,所以 可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数”一致 分母可用项数n表示为3n十1. 6tr-48.x-8.t-5x-40. 故最后关闭的这个水龙头放水的时间是40min. 85 数学归纳法 下面用数学归纳法证明这个猜想 课前预习学案 (1)当n-1时,左边-S-1 知识梳理 1,猜想成立. 知识点一、正整数” 知识点二、1.第一个值n 2n-十1 (2)假设当n-k(N)时猜想成立,即 ##4#7 十 [思考] 1 [提示] 不一定,如证明n边形的内角和为(n一2)·180{},第 一个值n-3. 则当n-十1时, 预习自测 1 1 +.+(3k-2)(3+1) 1 14+47 +7×10 1 1.(1x(2)×(3) 2.C [A中,n=1时,式子-1+k;B中,n=1时,式子=1;$ +(③+D(3十4) 1 [3+1-213+1+1 3士1 3k+4+1(3+10+D 1 (3+1)(3+4)(3十1)(3+4)30+1,所以当n-&十 +3+334.故正确的是C] 1时猜想也成立. 3.B[若已假设n一b(一2为偶数)时命题为真,因为1只能取 根据(1)和(2),可知猜想对任意nN.都成立. 偶数,所以还需要证明n一h十2成立,故选:B 变式l练 2.解:由a-2-a,得a-1; 4./(2)n-+2 由a+a?-2x2-a2,得a2-2; ③ 课堂互动学案 由a+a+a-2x3-a,得a3-7: [例1] 证明 当n-1时,左边-1×4-4,右边-1×22-4,左 7 边一右边,等式成立. 假设当n-()时等式成立,即1×4+2×7+3×10+ 8: ...+(3+1)-(+1){。 2-1 猜想a 那么,当n-b+1时,1×4+2×7+3×10+...+k(3+1)+ 2--T. 下面证明猜想正确: (+1)[3(+1)+1]-(+1)②}+(+1)[3(+1+1]- ①当n一1时,由上面的计算可知猜想成立. +1(+4+4-(+1[(+1+1, 即当n一十1时等式也成立 ②假设当n一k时猜想成立,则有a一 综上所述,可知等式对任何nN.都成立 当n-b+1时,S+a+-2(+1)-+1 变式训练 所以,当n一k十1时,等式也成立, 1{} 超2 2 (+1) 2-1 由①和②可知,a一 2-1 对任意正整数n都成立. 2 (十1)2 .+2-1)(2+1)+(2+1)(2+3)= (十1) 士 2(2十D [例3][证明] 由已知条件可得b。一2n(nN )..',所证 (h+1(k+2). 不等式为21.4+1..2+11. (十)2 4 2t (2+1)(2+3) 2(2十3) 即当n一十1时等式也成立. 由①②可得对于任意的nN.等式都成立 式成立. .90. 参考答案 ②假设当n=k(kN.)时,不等式成立,即21.4+1. 1 4 ....211. # 22 答案: 271-#3 1 4 +1·2级+1)2、+1” 2+32+3 4.解:(1)-2- 2,a3-2-d2 2^+3二 #3.由此猜想。-"-1(nN) 要证当”一k十1时,不等式成立,只需证。 2/T 十2,即证2^+3(k+1)(+2)。 (2)证明:①当n-1时,a1-0,等式成立. 2 ②假设nn-k(k→1,且kéN.)时等式成立,即a--1. 2h+3 由基本不等式,得 (十1)+(k+2) 2 十1 (十1)(十2)成立 ..2+3二 十2成立,. 当n一十1时,不等式 '当n一h十1时等式也成立。 2VI 由①和②知,对于任意的nN,a.-"-1恒成立. 成立. 章末复习课 由①②可知,对一切”N。,原不等式均成立 变式训练 -5 3.证明:(1)由a2<a-aì,得a,<a-^{ .在数列(a中,oaoa-a0,0 (十1){②· a.<1, [答案]B [例2][解] 故数列a。)中的任何一项都小于1. .--3-1-2. a-a2-7-3-4. (2)由(1)知,0<a<1=- 士,那么a2<a-^{}= a-a3-13-7-6. ##(a-){}+<,由此猜想<# ... a-a-1=2(n-1)(n2). 下面用数学归纳法证明:当n2,且nN.时猜想正确 以上”一1个等式左右两边分别相加,微 ①当n-2时已证; a-a-2x[1+2+3+.+(n-1)]-(n-1)n. ②假设当n-k(b2,且kEN.)时,有a<士成立, '=n}-n+1(n→2),且n-1时,a=1适合上式。 .--n十1. 那么去1<1,+,<---(a-){}+1< [例3][解]:a=2,a。2án+1) 71 . ##) .2x22x3 ..,. n一赴十1时,猜想正确。 以上n-1个等式左右两边分别相乘得{-n·2-1. 综上所述,对于一切nN,都有a.一1. d1 n '.a-n·2”(n2),且n-1时,a-2适合上式.'a 当堂达标 n2”. 1.C [当n-1时,左边-2,右边一2,等式成立; [例4] [解] :a+1-a+a+1·a。=0.1-1 当-2时,左边-12+2x3-8,右边-3x2-3$2+$ “1a -1. 2-8,等式成立; 当=3时,左边-1$2+2x3+3x4-20,右边-3$ 3$ 一3×3+2-20,等式成立 1 当n-4时,左边-1×2+2×3+3×4+4×5-40,右边3 n ×4}-3×4十2-38,等式不成立.故选:C.] 2.D[结合f(n)中各项的特征可知,分子均为1,分母为n, 十1. n+1,...,n{}的连续自然数共有n2一n+1个,且f(2) #{,1 3.解析;从不等式结构看,左边n一k十l时,最后一项为 令b-a1-a(n-1,2,3,..),得b-a-a- .91.§５　数学归纳法 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．了解数学归纳法的原理． ２．能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题． 在学习数学归纳法的过程中达成数学抽象、逻辑推理的 核心素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　如图是多米诺骨牌游戏, 码放骨 牌 时,要 保 证 任 意 相 邻的两块骨牌,若前一块骨牌 倒下,则一定导致后一块骨牌 倒下．这样,只要推倒第１块 骨牌,就可导致第２块骨牌倒下;而第２块骨牌倒下, 就可导致第３块骨牌倒下;􀆺􀆺,总之,不论有多少块 骨牌,都能全部倒下．根据多米诺骨牌游戏原理,本节 我们就来介绍一种重要的证明方法———数学归纳法． [知识梳理] [知识点一]　数学归纳法 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 数学归纳法是用来证明某些与　　　　有关的数学 命题的一种方法． [知识点二]　数学归纳法的证明步骤 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．(归纳奠基)证明:当n取　　　　(n０∈N＋)时,命 题成立; ２．(归纳递推)假设n＝k(k∈N＋,k≥n０)时命题成立, 证明当　　　　时命题也成立． 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n０ 开 始的所有正整数n都成立． 根据(１)(２)可以断定命题对一切从n０ 开始的正整 数n都成立． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学归纳法的第一步n０ 的初始值是否一定 为１? [预习自测] １．判断下列说法是否正确(正确的里打“√”,错误的 打“×”) (１)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学 归纳法． (　　 ) (２)数学归纳法的第一步n０ 的初始值一定为１． (　　 ) (３)数学归纳法的两个步骤缺一不可． (　　) ２．下面四个判断中,正确的是 (　　) A．式子１＋k＋k２＋􀆺＋kn(n∈N＋)中,当n＝１时, 式子的值为１ B．式子１＋k＋k２＋􀆺＋kn－１(n∈N＋)中,当n＝１ 时,式子的值为１＋k C．式子１＋１２＋ １ ３＋ 􀆺＋ １２n＋１ (n∈N＋)中,当n＝ １时,式子的值为１＋１２＋ １ ３ D．设f(n)＝ １n＋１＋ １ n＋２＋ 􀆺＋ １３n＋１ (n∈N＋), 则f(k＋１)＝f(k)＋ １３k＋２＋ １ ３k＋３＋ １ ３k＋４ ３．已知n为正偶数,用数学归纳法证明１－１２＋ １ ３－ １ ４＋ 􀆺＋ １n＋１＝２ １ n＋２＋ １ n＋４＋ 􀆺＋１２n æ è ç ö ø ÷时,若已 假设n＝k(k≥２为偶数)时命题为真,则还需要用 归纳假设再证n＝　　　　时等式成立 (　　) A．n＝k＋１　　　　　B．n＝k＋２ C．n＝２k＋２ D．n＝２(k＋２) ４．已知f(n)＝１＋１２＋ １ ３＋ 􀆺＋１n (n∈N＋),计算得 f(２)＝３２ ,f(４)＞２,f(８)＞５２ ,f(１６)＞３,f(３２)＞ ７ ２ ,由此推测,当n＞２时,有　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４３􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 　　　用数学归纳法证明等式 [例１]　用数学归纳法证明:１×４＋２×７＋３×１０＋ 􀆺＋n(３n＋１)＝n(n＋１)２(其中n∈N＋)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 用数学归纳法证明等式的方法 􀳀[变式训练] １．用数学归纳法证明:１ ２ １×３＋ ２２ ３×５＋ 􀆺＋ n２ (２n－１)(２n＋１)＝ n(n＋１) ２(２n＋１) (n∈N＋)． 　　　归纳—猜想—证明 [例 ２]　 已 知 数 列 １１×４ , １ ４×７ , １ ７×１０ ,􀆺, １ (３n－２)(３n＋１) 的前n项和为Sn,计算S１,S２,S３, S４,根据计算结果,猜想Sn 的表达式,并用数学归 纳法进行证明． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．“归纳—猜想—证明”的一般环节 ２．“归纳—猜想—证明”的主要题型 ①已知数列的递推公式,求通项或前n项和． ②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问 题,求使命题成立的参数值是否存在． ③给出一些简单的命题(n＝１,２,３,􀆺),猜想 并证明对任意正整数n都成立的一般性命题． 􀳀[变式训练] ２．数列{an}满足Sn＝２n－an(Sn 为数列{an}的前n项 和),先计算数列的前４项,再猜想an,并证明． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５３􀅰 第一章　数　列 　　　数学归纳法的综合应用 [例３]　已知{an}为等比数列且an＝２n－１,记bn＝ ２(log２an＋１)(n∈N＋),用数学归纳法证明对任意 的n∈N＋,不等式 b１＋１ b１ 􀅰b２＋１ b２ 􀅰􀆺􀅰bn＋１ bn ＞ n＋１成立． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　用数学归纳法证明不等式问题时要注意两 凑:一凑归纳假设;二凑证明目标,在凑证明目标 时,比较法、综合法、分析法都适用． 􀳀[变式训练] ３．已知正项数列{an}中,对于一切的n∈N＋ 均有a２n≤ an－an＋１成立． (１)证明:数列{an}中的任意一项都小于１; (２)探究an 与 １ n 的大小关系,并证明你的结论． [当堂达标] １．满足１×２＋２×３＋３×４＋􀆺＋n×(n＋１)＝３n２－ ３n＋２的自然数n等于 (　　) A．１　　　　　　　B．１或２ C．１,２,３ D．１,２,３,４ ２．已知f(n)＝１n＋ １ n＋１＋ １ n＋２＋ 􀆺＋１ n２ ,则 (　　) A．f(n)共有n项,当n＝２时,f(２)＝１２＋ １ ３ B．f(n)共有n＋１项,当n＝２时,f(２)＝１２＋ １ ３ ＋１４ C．f(n)共有n２－n项,当n＝２时,f(２)＝１２＋ １ ３ D．f(n)共有n２－n＋１项,当n＝２时,f(２)＝１２＋ １ ３＋ １ ４ ３．用数学归纳法证明:１ ２２ ＋１ ３２ ＋􀆺＋ １(n＋１)２ ＞１２－ １ n＋２． 假设n＝k时,不等式成立,则当n＝k＋１时, 应推证的目标不等式是　　　　． ４．已知数列{an}满足an＋１＝ １ ２－an (n∈N＋),且a１ ＝０． (１)计算a２,a３,a４ 的值,并猜想an 的表达式; (２)请用数学归纳法证明(１)中的猜想． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６３􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册